Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.2

Pregunta 11. Suponga que una gota de lluvia se evapora a una velocidad proporcional a su área de superficie. Forme una ecuación diferencial que involucre la tasa de cambio del radio de la gota de lluvia.

Solución:

Consideremos que ‘r’ es el radio de la gota de lluvia, el volumen de la gota es ‘V’ y el área de la gota es ‘A’

(dV/dt) proporcional a A

(dV/dt) – kA -(V disminuye con el aumento en t tan negativo cantar)

Aquí, k es constante de proporcionalidad,

$\frac{d(\frac{4π}{3}r^3)}{dt}$ = -k(4π r ² )

4πr ² (dr/dt) = -k(4πr ² )

(dr/dt) = -k

Pregunta 12. Encuentra la ecuación diferencial de todas las parábolas con latus rectum 4a’ y cuyos ejes son paralelos al eje x.

Solución:

Ecuación de parábola cuya área es paralela al eje x y vértices en (h, k).

(y – k) ² = 4a(x – h) -(1)

Al diferenciar wrt x,

2(y – k)(dy/dx) = 4a

(y – k)(dy/dx) = 2a

$(y-k)=\frac{2a}{\frac{dy}{dx}}$ -(2)

De nuevo, diferenciando wrt x,

d ² y/dx ² (y – k) + (dy/dx)(dy/dx) = 0

$(\frac{2a}{\frac{dy}{dx}})\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2=0$

2a(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) ³ = 0

Pregunta 13. Demostrar que la ecuación diferencial de la cual $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ es solución, es (dy/dx) + 2xy = 4x ³

Solución:

$y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ -(1)

Al diferenciar wrt x,

$\frac{dy}{dx}=4x-2cxe^{-x^2}$

Al sumar 2xy en RHS y LHS,

$\frac{dy}{dx}+2xy=4x-2cxe^{-x^2}+2xy$

Al poner el valor de y en la ecuación anterior,

$\frac{dy}{dx}+2xy=4x-2cxe^{-x^2}+2x(2(x^2-1)+ce^{-x^2})$

$4x-2cxe^{-x^2}+4x^3-4x+2xce^{-x^2}$ = $4x^3$

(dy/dx) + 2xy = 4x ³

Pregunta 14. De la ecuación diferencial que tiene y = (sen ^-1 x) ² + A cos ^-1 x + B, donde A y B son constantes arbitrarias, como su solución general.

Solución:

y = (sen ^-1 x) ² + A cos ^-1 x + B

Al diferenciar wrt x,

$\frac{dy}{dx} = 2sin^{-1}x(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})+A(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}})+0$

$\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}=2sin^{-1}x - A$

De nuevo, al diferenciar wrt x,

$\sqrt{1-x^2}\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-2x)\\ = 2(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})-0\\ =(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}-2=0$

Pregunta 15. Formar la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por la ecuación (siendo a el parámetro)

(i) (2x + a) ² + y ² = a ²

Solución:

(2x + a) ² + y ² = a ² -(1)

Al diferenciar wrt x,

2(2x + a) + 2y(dy/dx) = 0

(2x + a) + y(dy/dx) = 0

a = -2x – y(dy/dx) -(2)

Al poner el valor de ‘a’ en la ecuación (1), tenemos

$(2x-2x-y\frac{dy}{dx})^2+y^2=(-2x-y\frac{dy}{dx})^2$

$(y\frac{dy}{dx})^2+y^2=(4x^2+4xy\frac{dy}{dx}+y^2(\frac{dy}{dx})^2)$

y2 ^{= 4×2}⁺ 4xy (dy/dx)

y ² – 4x ² – 4xy(dy/dx) = 0

(ii) (2x – a) ² – y ² = a ²

Solución:

(2x – a) ² – y ² = a ²

4x ² – 4ax + un ² – y ² = un ²

4ax = 4x ² – y ²

a = (4x ² – y ² )/4x

Al diferenciar wrt x,

$[\frac{4x(8x-2y\frac{dy}{dx}-4(4x^2-y^2}{(4x)^2}]=0$

$32x^2-8xy\frac{dy}{dx}-16x^2+4y^2=0$

$16x^2+4y^2-8xy\frac{dy}{dx}=0$

4x ² + y ² = 2xy(dy/dx)

(iii) (x – a) ² + 2y ² = a ²

Solución:

(x – a) ² + 2y ² = a ² -(1)

Al diferenciar wrt x,

2(x – a) + 4y(dy/dx) = 0

(x – a) + 2y(dy/dx) = 0

a = x + 2y(dy/dx) -(2)

Al poner el valor de a en la ecuación (1)

$(x-x-2y\frac{dy}{dx})^2+2y^2=(x+2y\frac{dy}{dx})^2$

$4y^2(\frac{dy}{dx})^2+2y^2=x^2+4xy(\frac{dy}{dx})+4y^2(\frac{dy}{dx})^2$

2y ² – 4xy(dy/dx) – x ² = 0

Pregunta 16. Representa las siguientes familias de curvas formando las ecuaciones diferenciales correspondientes (siendo a, b parámetros):

(i) x ² + y ² = un ²

Solución:

x ² + y ² = un ²

Al diferenciar wrt x,

2x + 2y(dy/dx) = 0

x + y(dy/dx) = 0

(ii) x ² – y ² = un ²

Solución:

x ² – y ² = un ²

Al diferenciar wrt x,

2x – 2y(dy/dx) = 0

x – y(dy/dx) = 0

(iii) ^y2 = 4ax

Solución:

y2 ⁼ 4ax

(y2/x) = 4a

Al diferenciar wrt x,

$[\frac{2xy\frac{dy}{dx}-y^2}{x^2}]=0$

2xy(dy/dx) – y ² = 0

2x(dy/dx) – y = 0

(iv) x ² + (y – b) ² = 1

Solución:

x ² + (y – b) ² = 1 -(1)

Al diferenciar wrt x,

2x + 2(y – b)(dy/dx) = 0

$(y-b)=-\frac{x}{\frac{dy}{dx}}$

Al poner el valor de (y – b) en la ecuación (1)

$x^2+[-\frac{x}{\frac{dy}{dx}}]^2=1$

x ² (dy/dx) ² + x ² = (dy/dx) ²

x ² [(dy/dx) ² + 1] = (dy/dx) ²

(v) (x – a) ² – y ² = 1

Solución:

(x – a) ² – y ² = 1 -(1)

Al diferenciar wrt x,

2(x – a) – 2y(dy/dx) = 0

(x – a) – y(dy/dx) = 0

(x – a) = y(dy/dx)

Al poner el valor de (y – b) en la ecuación (i), obtenemos

y ² (dy/dx) ² – y ² = 1

y ² [(dy/dx)2 – 1] = 1

(vi) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ -(1)

$\frac{b^2x^2-a^2y^2}{a^2b^2}=1$

{(bx) ² – (ay) ² } = (ab) ² -(2)

Al diferenciar wrt x,

2xb ² – 2a ² y(dy/dx) = 0

xb ² – a ² y(dy/dx) = 0 -(3)

De nuevo, diferenciando wrt x,

$b^2-a^2[y(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]$

$b^2=a^2[y(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]$

Al poner el valor de b ² en la ecuación (3), obtenemos

xb ² – a ² y(dy/dx) = 0

$xa^2[y(\frac{dy}{dx}^2)+y\frac{d^2y}{dx^2}]-a^2y\frac{dy}{dx}=0$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}+x(\frac{dy}{dx})^2-y(\frac{dy}{dx})=0$

$x[y\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2]=y(\frac{dy}{dx})$

(vii) y ² = 4a(x – b)

Solución:

Tenemos,

y ² = 4a(x – b)

Al diferenciar wrt x,

2y(dy/dx) = 4a

Nuevamente diferenciando wrt x,

$2[(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]=0$

[(dy/dx) ² + y(d ² y/dx ² )] = 0

(viii) y = eje ³

Solución:

Tenemos,

y = eje ³ -(1)

Al diferenciar wrt x,

(dy/dx) = 3ax ²

De la ecuación (1),

a=(y/x ³ -(1)

Al poner el valor de a en la ecuación (1)

dy/dx = 3(y/x ³ ) × x ²

x(dy/dx) = 3y

(ix) x ² + y ² = eje ³

Solución:

Tenemos,

x ² + y ² = eje ³

a = (x2 + y2 ⁾ / ⁽^x3 )

Al diferenciar wrt x,

$\frac{(2x+2y\frac{dy}{dx})(x^3)-(3x^2)(x^2+y^2)}{(x^3)^2}=0$

$2x^3y\frac{dy}{dx}+2x^4-3x^4-3x^2y^2=0$

2x ³ y(dy/dx) = x ⁴ + 3x ² y ²

2x ³ y(dy/dx) = x ² (x ² + 3y ² )

^2xy (dy/dx) = (x2 ⁺ 3y2 )

(x) y = ^{eje e}

Solución:

Tenemos,

y = ^eje e -(1)

Al diferenciar wrt x,

dy/dx = ae ^hacha

dy/dx = ay -(2)

y = ^{eje e}

Al tomar registro de ambos lados, obtenemos

logía = hacha

a = (logía/x)

Ahora, pon el valor de ‘a’ en la ecuación (2)

(dy/dx) = lógica/x) × y

x(dy/dx) = ylogía

Pregunta 17. Forme la ecuación diferencial que representa la familia de elipses que tienen focos en el eje x y el centro en el origen.

Solución:

Tenemos,

Ecuación de elipse que tiene focos en el eje x,

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ -(donde a > b)

$\frac{b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2}=1$

(bx) ² + (ay) ² = (ab) ² -(1)

Al diferenciar la ecuación anterior wrt x,

2b ^2x + 2a ^2y (dy/dx) = 0

b ² x + a ² y(dy/dx) = 0 -(2)

De nuevo, diferenciando wrt x,

$b^2+a^2[y(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]=0$

$b^2=-a^2[y(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]$

Al poner el valor de b ² en la ecuación (2),

xb ² + a ² y(dy/dx) = 0

$-xa^2[y(\frac{dy}{dx}^2)+y\frac{d^2y}{dx^2}]+a^2y\frac{dy}{dx}=0$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}+x(\frac{dy}{dx})^2-y(\frac{dy}{dx})=0$

x[y(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) ² ] = y(dy/dx)

Pregunta 18. Forme la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas que tienen focos en el eje X y centro en el origen

Solución:

Tenemos,

Ecuación de una hipérbola que tiene un centro en el origen y focos a lo largo del eje x

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ -(1)

$\frac{b^2x^2-a^2y^2}{a^2b^2}=1$

(bx) ² -(ay) ² =(ab) ² -(2)

Al diferenciar la ecuación anterior wrt x,

2xb ² -2a ² y(dy/dx)=0

xb ² -a ² y(dy/dx)=0 -(3)

De nuevo, diferenciando la ecuación anterior wrt x,

$b^2-a^2[y(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]=0$

$b^2=a^2[y(\frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx})+y\frac{d^2y}{dx^2}]$

Poniendo el valor de b ² en la ecuación (3),

$xb^2-a^2y\frac{dy}{dx}=0$

$xa^2[y(\frac{dy}{dx}^2)+y\frac{d^2y}{dx^2}]-a^2y\frac{dy}{dx}=0$

xy(d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) ² – y(dy/dx) = 0

x[y(d ² y/dx ² ) +(dy/dx) ² ] = y(dy/dx)

Esta es la ecuación diferencial requerida.

Pregunta 19. Formar la ecuación diferencial de la familia de círculos en el segundo cuadrante y tocando el eje de coordenadas.

Solución:

Tenemos,

Sean (-a, a) las coordenadas del centro de la circunferencia

Entonces, la ecuación del círculo está dada por,

(x + a) ² + (y – b) ² = a ² -(1)

x2 ⁺ 2ax + a2 + ^y2 – 2ay + a2 ⁼ 0 -(2 ⁾

Al diferenciar la ecuación anterior wrt x,

2x + 2a + 2y(dy/dx) – 2a(dy/dx) = 0

x + a + y(dy/dx) – a(dy/dx) = 0

$x+y\frac{dy}{dx}=a(\frac{dy}{dx}-1)$

$a=\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}-1}$

Al sustituir el valor de ‘a’ en la ecuación (2)

$[x+\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}-1}]^2+[y-\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}-1}]^2=[\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}-1}]^2$

Sea, (dy/dx) = p

[xp – x + x + yp] ² + [yp – y – x – yp] ² = [x + yp] ²

(x + y) ² p ² + (x + y) ² = (x + yp) ²

(x + y) ² [p ² + 1] = (x + yp) ² -(donde (dy/dx) = p)

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Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.2 | conjunto 2

Pregunta 11. Suponga que una gota de lluvia se evapora a una velocidad proporcional a su área de superficie. Forme una ecuación diferencial que involucre la tasa de cambio del radio de la gota de lluvia.

Pregunta 12. Encuentra la ecuación diferencial de todas las parábolas con latus rectum 4a’ y cuyos ejes son paralelos al eje x.

Pregunta 13. Demostrar que la ecuación diferencial de la cual $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ es solución, es (dy/dx) + 2xy = 4x ³

Pregunta 14. De la ecuación diferencial que tiene y = (sen ^-1 x) ² + A cos ^-1 x + B, donde A y B son constantes arbitrarias, como su solución general.

Pregunta 15. Formar la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por la ecuación (siendo a el parámetro)

(i) (2x + a) ² + y ² = a ²

(ii) (2x – a) ² – y ² = a ²

(iii) (x – a) ² + 2y ² = a ²

Pregunta 16. Representa las siguientes familias de curvas formando las ecuaciones diferenciales correspondientes (siendo a, b parámetros):

(i) x ² + y ² = un ²

(ii) x ² – y ² = un ²

(iii) ^y2 = 4ax

(iv) x ² + (y – b) ² = 1

(v) (x – a) ² – y ² = 1

(vi) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

(vii) y ² = 4a(x – b)

(viii) y = eje ³

(ix) x ² + y ² = eje ³

(x) y = ^{eje e}

Pregunta 17. Forme la ecuación diferencial que representa la familia de elipses que tienen focos en el eje x y el centro en el origen.

Pregunta 18. Forme la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas que tienen focos en el eje X y centro en el origen

Pregunta 19. Formar la ecuación diferencial de la familia de círculos en el segundo cuadrante y tocando el eje de coordenadas.

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Pregunta 11. Suponga que una gota de lluvia se evapora a una velocidad proporcional a su área de superficie. Forme una ecuación diferencial que involucre la tasa de cambio del radio de la gota de lluvia.

Pregunta 12. Encuentra la ecuación diferencial de todas las parábolas con latus rectum 4a’ y cuyos ejes son paralelos al eje x.

Pregunta 13. Demostrar que la ecuación diferencial de la cual es solución, es (dy/dx) + 2xy = 4x 3

Pregunta 14. De la ecuación diferencial que tiene y = (sen -1 x) 2 + A cos -1 x + B, donde A y B son constantes arbitrarias, como su solución general.

Pregunta 15. Formar la ecuación diferencial de la familia de curvas representada por la ecuación (siendo a el parámetro)

(i) (2x + a) 2 + y 2 = a 2

(ii) (2x – a) 2 – y 2 = a 2

(iii) (x – a) 2 + 2y 2 = a 2

Pregunta 16. Representa las siguientes familias de curvas formando las ecuaciones diferenciales correspondientes (siendo a, b parámetros):

(i) x 2 + y 2 = un 2

(ii) x 2 – y 2 = un 2

(iii) y2 = 4ax

(iv) x 2 + (y – b) 2 = 1

(v) (x – a) 2 – y 2 = 1

(vi)

(vii) y 2 = 4a(x – b)

(viii) y = eje 3

(ix) x 2 + y 2 = eje 3

(x) y = eje e

Pregunta 17. Forme la ecuación diferencial que representa la familia de elipses que tienen focos en el eje x y el centro en el origen.

Pregunta 18. Forme la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas que tienen focos en el eje X y centro en el origen

Pregunta 19. Formar la ecuación diferencial de la familia de círculos en el segundo cuadrante y tocando el eje de coordenadas.

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Pregunta 13. Demostrar que la ecuación diferencial de la cual $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ es solución, es (dy/dx) + 2xy = 4x ³

Pregunta 14. De la ecuación diferencial que tiene y = (sen ^-1 x) ² + A cos ^-1 x + B, donde A y B son constantes arbitrarias, como su solución general.

(i) (2x + a) ² + y ² = a ²

(ii) (2x – a) ² – y ² = a ²

(iii) (x – a) ² + 2y ² = a ²

(i) x ² + y ² = un ²

(ii) x ² – y ² = un ²

(iii) ^y2 = 4ax

(iv) x ² + (y – b) ² = 1

(v) (x – a) ² – y ² = 1

(vi) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

(vii) y ² = 4a(x – b)

(viii) y = eje ³

(ix) x ² + y ² = eje ³

(x) y = ^{eje e}