Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.3

Pregunta 11: Demuestra que y=(cx)/(1+cx) es la solución de la ecuación diferencial.

(1+x ² )(dy/dx)+(1+y ² )=0

Solución:

Tenemos,

y=(cx)/(1+cx) (yo)

Ecuación diferencial (i) con x,

$\frac{dy}{dx}=\frac{(-1)(1+cx)-(c)(c-x)}{(1+cx)^2}$

dy/dx=(-1-cx+cx-c ² )/(1+cx) ²

dy/dx=-(c ² +1)/(1+cx ² ) ²

LHS,

(1+x ² )(dy/dx)+(1+y ² )

=(1+x2)[-(c2+1)/(1+cx2)2]+[1+(cx) ² /(1+cx) ² ]

= $-\frac{(1+c^2)(1+x^2)}{(1+cx)^2}+[\frac{(1+cx)^2+(c-x)^2}{(1+cx)^2}]$

Simplifica la ecuación anterior,

=0/(1+cx) ²

=0

Entonces, (1+x ² )(dy/dx)+(1+y ² )=0

Pregunta 12: Demuestra que y=e ^x (Acosx+Bsenx) es la solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² -2(dy/dx)+2y= 0

Solución:

tenemos,

y=e ^x (Acosx+Bsenx) (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=e ^x (Acosx+Bsenx)+e ^x (-Asenx+Bcosx) (ii)

dy/dx=e ^x [(A+B)cosx-(AB)senx] (iii)

Nuevamente diferenciando la ecuación (ii) con x,

d ² y/dx ² =e ^x (Acosx+Bsenx)+e ^x (-Asenx+Bcosx)+e ^x (-Asenx+Bcosx)+e ^x (-Acosx-Bsenx)

d ² y/dx ² =2e ^x [Bcosx-Asenx] (iv)

d2y/dx2=2e ^x [(A+B)cosx-(AB)senx] -2e ^x (Acosx+Bsenx)

d ² y/dx ² =2(dy/dx)-2y

d ² y/dx ² -2(dy/dx)+2y= 0

Pregunta 13: Verifica que y=cx+2c ² es una solución de la ecuación diferencial.

2(dy/dx) ² +x(dy/dx)-y=0

Solución:

tenemos,

y=cx+2c ² (yo)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=c (ii)

LHS,

2(dy/dx) ² +x(dy/dx)-y=2(c) ² +x(c)-cx+2c ²

=0

Pregunta 14: Verifica que y=-x-1 es una solución de la ecuación diferencial.

(yx)dy-(y ² -x ² )dx=0

Solución:

tenemos,

y=-x-1 (yo)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=-1

LHS,

=(yx)dy-(y ² -x ² )dx

=(yx)(dy/dx)-(y ² -x ² )

=(-x-1-x)(-1)-[(-x-1) ² -x ² ]

=(2x+1)-(x2 + ^2x +1- ^x2 )

=(x ² -x ² +2x-2x-1+1)

=0

Pregunta 15: Verifica que y ² =4a(x+a) es una solución de la ecuación diferencial.

y[1-(día/dx) ² ]=2x(día/dx)

Solución:

tenemos,

y2 ⁼ 4a(x+a) (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

2y(dy/dx)=4a

(dy/dx)=(2a/y)

LHS,

=y[1-(dy/dx) ² ]

=y[1-(2a/y) ² ]

=y[1-(4a ² /y ² )]

=y[(y ² -4a ² )/y ² ]

=(4a(x+a)-4a ² )/y

=(4ax+4a ² -4a ² )/y

=[2x(2a)]/y

=2x(dy/dx)

=lado derecho

Pregunta 16: Verifica que y=ce ^{tan-1 x} es una solución de la ecuación diferencial.

(1+x ² )(d ² y/dx ² )+(2x-1)(dy/dx)=0

Solución:

tenemos,

y=ce ^{tan-1 x}       (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=ce ^{tan-1 x} *(1/1+x ² )

(1+x2)(dy/dx)=y    (ii)

Nuevamente diferenciando la ecuación (ii) con x,

2x(dy/dx)+(1+x ² )d ² y/dx ² =dy/dx

(2x-1)(dy/dx)+(1+x ² )d ² y/dx ² =0

Pregunta 17: Verifica que y=e ^{m cos-1} ^x es una solución de la ecuación diferencial.

(1-x ² )(d ² y/dx ² )-x(dy/dx)-m ² y=0

Solución:

tenemos,

y=e ^{m cos-1 x} (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx= $\frac{me^mcos^{-1}x}{-\sqrt{1-x^2}}$

dy/dx = (ii) $\frac{-my}{\sqrt{1-x^2}}$

Nuevamente diferenciando la ecuación (ii) con x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\sqrt{(1-x^2})(-m\frac{dy}{dx})-(-my)\frac{(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}}{(1-x^2)}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(-my)(-m)-x\frac{dy}{dx}}{(1-x^2)}$

(1-x ² )d ² y/dx ² =m ² y-xdy/dx

(1-x ² )d ² y/dx ² -m ² y-xdy/dx=0

Pregunta 18: Verifica que y=log(x+1/√(x ² +a ² )) ² es una solución de la ecuación diferencial.

(a ² +x ² )d ² y/dx ² +x(dy/dx)=0

Solución:

tenemos,

y=log(x+1/√(x ² +a ² )) ² (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx= $\frac{1}{(x+\sqrt{a^2+x^2})^2}*2(x+\sqrt{a^2+x^2})*\frac{d}{dx}(x+\sqrt{a^2+x^2}))$

dy/dx = $\frac{2}{(x+\sqrt{a^2+x^2})}*(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+a^2}})$

dy/dx= $\frac{2}{(x+\sqrt{x^2+a^2})}\frac{(x+\sqrt{x^2+a^2})}{2\sqrt{x^2+a^2}}$

$\sqrt{x^2+a^2}(\frac{dy}{dx})=1$ (ii)

Nuevamente diferenciando la ecuación (ii) con x,

(√x ² +a ²) d ² y/dx ²+ (1/(2√x ² +a ² ))*(2x)*(dy/dx)=0

(a ² +x ² )d ² y/dx ² +x(dy/dx)=0

Pregunta 19: Muestre que la ecuación diferencial de la cual y=2(x ² -1)+ce ^-x2 es la solución

dy/dx+2xy=4x ³

Solución:

tenemos,

y=2(x ² -1)+ce ^-x2 (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=4x+ce ^-x2 (-2x)

dy/dx=4x-2cxe- ^x2 (ii)

LHS,

=dy/dx+2xy

= 4x-2cxe ^-x2 -2x(y=2(x ² -1)+ce ^-x2

= 4x-2cxe ^-x2 +4x ³ -4x+2xce ^-x2

=0

Pregunta 20: Demuestra que y=e ^-x +ax+c es la solución de la ecuación diferencial.

e ^x re ² y/dx ² =1

Solución:

Tenemos,

y=e -x+ ^ax +c (i)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=-e ^-x +a (ii)

Nuevamente diferenciando la ecuación (ii) con x,

d ² y/dx ² = e ^-1

(1/e ^-1 )d ² y/dx ² =1

e ^x re ² y/dx ² =1

Pregunta 21: Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales verifique que la función que las acompaña sea una solución en el dominio mencionado.

(i) Función, y=ax , Ecuación diferencial, x(dy/dx)=y

Solución:

Tenemos,

y=ax (yo)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=a (ii)

De la ecuación (i) a=(y/x)

Poniendo el valor de a en la ecuación (i)

(dy/dx)=a

(dy/dx)=(y/x)

x(dy/dx)=y

(ii) Función, y=±√(a ² -x ² ), Ecuación diferencial : x+y( dy/dx)=0

Solución:

tenemos,

y=±√(a ² -x ² ) (i)

Elevando al cuadrado ambos lados, tenemos

y ² =(a ² -x ² )

2y(dy/dx)=-2x

x+y(dy/dx)=0

(iii) Función, y=a/(x+a), Ecuación diferencial, y+x(dy/dx)=y ²

Solución:

tenemos _

y=a/(x+a)   (yo)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=a(-1)/(x+a) ²

dy/dx=-a/(x+a) ²

LHS,

=y+x(dy/dx)

=a/(x+a)-ax/(x+a) ²

=(-ax+ax+a ² )/(x+a) ²

=a ² /(x+a) ²

2 ^años

(iv) Función, y=ax+b+1/2x, Ecuación diferencial, x ³ d ² y/dx ² =1

Solución:

Tenemos,

y=ax+b+1/2x (yo)

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=a+1/(-2x ² )

dy/dx=a-1/2x ² (ii)

Nuevamente diferenciando la ecuación (ii) con x,

d ² y/dx ² =0-(-2)/(2x ³ )

d ² y/dx ² = 1/x ³

x ³ d ² y/dx ² =1

(v) Función, y=(1/4)*(x±a) ² , Ecuación diferencial, y=(dy/dx) ²

Solución:

Tenemos,

y=(1/4)*(x±a) ²

Ecuación diferencial (i) con x,

dy/dx=(1/4)*2(x±a)

Elevando al cuadrado ambos lados, tenemos

(dy/dx) ² =(1/4)*(x±a)2

(dy/dx) ² =y

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Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.3 | conjunto 2

Pregunta 11: Demuestra que y=(cx)/(1+cx) es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 12: Demuestra que y=e ^x (Acosx+Bsenx) es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 13: Verifica que y=cx+2c ² es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 14: Verifica que y=-x-1 es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 15: Verifica que y ² =4a(x+a) es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 16: Verifica que y=ce ^{tan-1 x} es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 17: Verifica que y=e ^{m cos-1} ^x es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 18: Verifica que y=log(x+1/√(x ² +a ² )) ² es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 19: Muestre que la ecuación diferencial de la cual y=2(x ² -1)+ce ^-x2 es la solución

Pregunta 20: Demuestra que y=e ^-x +ax+c es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 21: Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales verifique que la función que las acompaña sea una solución en el dominio mencionado.

(i) Función, y=ax , Ecuación diferencial, x(dy/dx)=y

(ii) Función, y=±√(a ² -x ² ), Ecuación diferencial : x+y( dy/dx)=0

(iii) Función, y=a/(x+a), Ecuación diferencial, y+x(dy/dx)=y ²

(iv) Función, y=ax+b+1/2x, Ecuación diferencial, x ³ d ² y/dx ² =1

(v) Función, y=(1/4)*(x±a) ² , Ecuación diferencial, y=(dy/dx) ²

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Pregunta 11: Demuestra que y=(cx)/(1+cx) es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 12: Demuestra que y=e x (Acosx+Bsenx) es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 13: Verifica que y=cx+2c 2 es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 14: Verifica que y=-x-1 es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 15: Verifica que y 2 =4a(x+a) es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 16: Verifica que y=ce tan-1 x es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 17: Verifica que y=e m cos-1 x es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 18: Verifica que y=log(x+1/√(x 2 +a 2 )) 2 es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 19: Muestre que la ecuación diferencial de la cual y=2(x 2 -1)+ce -x2 es la solución

Pregunta 20: Demuestra que y=e -x +ax+c es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 21: Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales verifique que la función que las acompaña sea una solución en el dominio mencionado.

(i) Función, y=ax , Ecuación diferencial, x(dy/dx)=y

(ii) Función, y=±√(a 2 -x 2 ), Ecuación diferencial : x+y( dy/dx)=0

(iii) Función, y=a/(x+a), Ecuación diferencial, y+x(dy/dx)=y 2

(iv) Función, y=ax+b+1/2x, Ecuación diferencial, x 3 d 2 y/dx 2 =1

(v) Función, y=(1/4)*(x±a) 2 , Ecuación diferencial, y=(dy/dx) 2

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Pregunta 12: Demuestra que y=e ^x (Acosx+Bsenx) es la solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 13: Verifica que y=cx+2c ² es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 15: Verifica que y ² =4a(x+a) es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 16: Verifica que y=ce ^{tan-1 x} es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 17: Verifica que y=e ^{m cos-1} ^x es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 18: Verifica que y=log(x+1/√(x ² +a ² )) ² es una solución de la ecuación diferencial.

Pregunta 19: Muestre que la ecuación diferencial de la cual y=2(x ² -1)+ce ^-x2 es la solución

Pregunta 20: Demuestra que y=e ^-x +ax+c es la solución de la ecuación diferencial.

(ii) Función, y=±√(a ² -x ² ), Ecuación diferencial : x+y( dy/dx)=0

(iii) Función, y=a/(x+a), Ecuación diferencial, y+x(dy/dx)=y ²

(iv) Función, y=ax+b+1/2x, Ecuación diferencial, x ³ d ² y/dx ² =1

(v) Función, y=(1/4)*(x±a) ² , Ecuación diferencial, y=(dy/dx) ²