Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.3 | Serie 1

Pregunta 1: Demuestra que y=be ^x +ce ^2x es la solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² -3(dy/dx)+2y=0

Solución:

y=be ^x +ce ^2x (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=be ^x +2ce ^2x

dy/dx=be ^x +2ce ^2x (ii)

De nuevo, diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =be ^x +4ce ^2x (iii)

tenemos,

d ² y/dx ² -3(dy/dx)+2y=0 (iv)

Poniendo los valores de d ² y/dx ² anddy/dx en la ecuación (iv)

=ser ^x +4ce ^2x -3(ser ^2x +2ce ^2x )+2(ser ^x +ce ^2x )

=3be ^x -3be ^x +6ce ^2x -6ce ^2x

=0

Entonces, d ² y/dx ² -3(dy/dx)+2y=0

Pregunta 2: Verifica que y=4sin3x es una solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² +9y=0 

Solución:

y=4sin3x (yo)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=(4)(3)cos3x (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =-(12)(3)sen3x

d ² y/dx ² =-(9)(4sen3x)

d ² y/dx ² =-9y (Ya que y=4sin3x)

d2y /dx2 ⁺ 9y=0

Entonces, d ² y/dx ² +9y=0

Pregunta 3: Muestre que y=ae ^2x +be ^−x es una solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² -dy/dx-2y=0

Solución:

y=ae ^2x +be ^−x (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=2ae ^2x -be ^-x (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =4ae ^2x +be ^-x (iii)

tenemos,

d ² y/dx ² -dy/dx-2y (iv)

Poner los valores de y en la ecuación (iv)

=4ae ^2x +be ^-x -(2ae ^2x -be ^-x )-2(ae ^2x +be ^−x )

=4ae ^2x -4ae ^2x +be ^−x -be ^−x )

=0

Pregunta 4: Muestre que la función, y=Acosx-Bsenx es una solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² +y=0

Solución:

y=Acosx-Bsenx (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=-Asenx-Bcosx (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =-Acosx+Bsenx

d ² y/dx ² =-(Acosx-Bsenx)

d ² y/dx ² +(Acosx-Bsenx)=0

d ² y/dx ² +y=0 (dado que y=Acosx-Bsenx)

Pregunta 5: Demuestre que la función, y=Acos2x-Bsin2x es una solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² + 4y = 0

Solución:

y=Acos2x-Bsen2x (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=-2Asen2x-2Bcos2x (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =-4Acos2x+4Bsen2x

d ² y/dx ² +4(Acos2x-Bsen2x)=0

d ² y/dx ² +4y=0 (ya que y=Acos2x-Bsen2x)

Pregunta 6: Demuestre que, y=Ae ^Bx es la solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² =(1/y)(dy/dx) ²

Solución:

y=Ae ^Bx (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=ABe ^Bx (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =AB ² e ^bx

d ² y/dx ² =(ABe ^bx ) ² /(Ae ^Bx )

d2y/dx2=(1/y)(dy/dx) ²

Pregunta 7: Verifica que y= (x/a)+b es la solución de la ecuación diferencial.

d ² y/dx ² +(2/x)(dy/dx) ² =0

Solución:

y= (x/a)+b (yo)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

dy/dx=-(a/x ² ) (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

d ² y/dx ² =+(2a/x ³ )

d ² y/dx ² =-(-2/x)(a/x ² )

d ² y/dx ² +(2/x)(dy/dx)=0

Pregunta 8: Verifica que y ² =4ax es la solución de la ecuación diferencial.

x(dy/dx)+y(dx/dy)=y

Solución:

y ² = 4ax (yo)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

2y(dy/dx)=4a

dy/dx=(2a/y)

tenemos,

x(dy/dx)+y(dx/dy)

=x(2a/y)+y(y/2a)

=(4xa+y ² )/2y

=(2y ² /2y)

=y

Pregunta 9: Demuestra que Ax ² +By ² =1 es la solución de la ecuación diferencial.

Solución:

Hacha ² + Por ² = 1 (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

2Ax+2By(dy/dx)=0

2Ax=-2By(dy/dx)

y(dy/dx)=-(Ax/B) (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

(dy/dx) ² +y(d ² y/dx ² )=-(A/B)

(dy/dx) ² +y(d ² y/dx ² )=-(y/x)(dy/dx)

Pregunta 10: Muestre que y=ax ³ +bx ² +cis la solución de la ecuación diferencial.

(d ³ y/dx ³ )=6a

Solución:

Tenemos,

y=ax ³ +bx ² +c (i)

Ecuación en diferenciación (i)wrt x,

(dy/dx)=3ax ² +2bx (ii)

De nuevo diferenciando la ecuación (ii)wrt x,

(d ² y/dx ² )=6ax (iii)

Nuevamente diferenciando la ecuación (iii)wrt x,

(d ³ y/dx ³ )=6a