Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.5

Pregunta 14. sen ⁴ x(dy/dx) = cosx

Solución:

Tenemos,

sen ⁴ x(dy/dx) = cosx

dy = (cosx/sen ⁴ x)dx

Sea, senx = z

Al diferenciar ambos lados, obtenemos

cosx dx = dz

dy = (dz/z ⁴ )

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫(dy) = ∫(1/z ⁴ )dz

y = (1/ -3t ³ ) + c

y = -(1/3sen ^3x ) + c

y = (-cosec ³ x/3) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 15. cosx(dy/dx) – cos2x = cos3x

Solución:

Tenemos,

cosx(dy/dx) – cos2x = cos3x

(dy/dx) = (cos3x + cos2x)/cosx

(dy/dx) = (4cos ³ x – 3cosx + 2cos ² x – 1)/cosx

(dy/dx) = (4cos ³ x/cosx) – 3(cosx/cosx) + 2(cos ² x/cosx) – secx

dy = [4cos ² x – 3 + 2cosx – secx]dx

dy = [4{(cos2x + 1)/2} – 3 + 2cosx – secx]dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫[2cos2x – 1 + 2cosx – secx]dx

y = sen2x – x + 2senx – log|secx + tanx| + c -(Aquí, ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 16. √(1 – x ⁴ )(dy/dx) = xdx

Solución:

Tenemos,

√(1 – x ⁴ )(dy/dx) = xdx

Sea, x ² = z

Al diferenciar ambos lados, obtenemos

2xdx = dz

xdx = (dz/2)

√(1 – z ² )dy = (dz/2)

dí = $\frac{dz}{2\sqrt{1-z^2}}$

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫ $\frac{dz}{2\sqrt{1-z^2}}$

y = (1/2) sen ^-1 (z) + c

y = (1/2)sin ^-1 (x ² ) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 17. √(a + x)(dy) + xdx = 0

Solución:

Tenemos,

√(a + x)(dy) + xdx = 0

dy = $\frac{-x}{\sqrt{a + x}}$ dx

Sea, (x + a) = z ²

Al diferenciar ambos lados, obtenemos

dx = 2zdz

(x + a) = z ²

x = z ² – un

dy = -2[(z ² – a)/z]zdz

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = -2∫[(z ² – a)/z]zdz

y = -(2/3)(z ³ ) + 2az + c

y = -(2/3)(x + a) ^3/2 + 2a√(x + a) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 18. (1 + x ² )(dy/dx) – x = 2tan ^-1 x

Solución:

Tenemos,

(1 + x ² )(dy/dx) – x = 2tan ^-1 x

(1 + x ² )(dy/dx) = 2tan ^-1 x + x

dy/dx = $\frac{2tan^{-1}x + x}{1 + x^2}$

dy $=(\frac{2tan^{-1}x+x}{1+x^2})dx$

Al integrar ambos lados, obtenemos

$∫dy=∫(\frac{2tan^{-1}x+x}{1+x^2})dx$

y = yo ₁ + yo ₂

yo ₁ = ∫( $\frac{2tan^{-1}x}{1 + x^2}$

Sea, tan ^-1 x = z

Al diferenciar ambos lados, obtenemos

$\frac{dx}{1 + x^2}$ = dz

= ∫2zdx

= z ²

yo ₁ = (tan ^-1 x) ²

yo ₂ = ∫ $\frac{xdx}{(1+x^2)}$

= (1/2)log|1 + x ² |

y = (tan ^-1 x) ² + 1/2log|1 + x ² |+ c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 19. (dy/dx) = xlogx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = xlogx

dy = xlogxdx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫xlogxdx

y = log|x|∫xdx – ∫[ $\frac{(logx)}{dx}$ ∫xdx]dx

y = (x ² /2)log|x| – ∫(1/x)(x ² /2)dx

y = (x ² /2)log|x| – ∫(x/2)dx

y = (x ² /2)log|x| – (x ² /4) + c -(Aquí, ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 20. (dy/dx) = xe ^x – (5/2) + cos ² x

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = xe ^x – (5/2) + cos ² x

dy = (xe ^x – (5/2) + cos ² x) dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫xe ^x dx – 5/2∫dx + ∫cos ² x dx

y = ∫xe ^x dx – 5/2∫dx + ∫(1 + cos2x)/2 dx

= ∫xe ^x dx – 5/2∫dx + 1/2∫dx + 1/2∫cos2x dx

= ∫xe ^x dx – 2∫dx + 1/2∫cos2x dx

= x∫e ^x dx – ∫(1∫e ^x dx)dx – 2x + sen2x/4 dx

= xe ^x – e ^x – 2x + 1/4sen2x + c

Pregunta 21. (x ³ + x ² + x + 1)(dy/dx) = 2x ² + x

Solución:

Tenemos,

(x ³ + x ² + x + 1)(dy/dx) = 2x ² + x

(dy/dx) = (2x ² + x)/(x ³ + x ² + x + 1)

dí = $\frac{2x^2+x}{(x+1)(x^2+1)}dx$

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫ $\frac{2x^2+x}{(x+1)(x^2+1)}dx$

Dejar,

$\frac{2x^2+x}{(x+1)(x^2+1)}dx=\frac{A}{(x+1)}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

2x ² + x = Ax ² + A + Bx ² + Bx + Cx + C

2x ² + x = (A + B)x ² + (B + C)x + (A + C)

Al comparar los coeficientes en ambos lados,

(A + B) = 2

(B + C) = 1

(A + C) = 0

Después de resolver las ecuaciones,

A = (1/2)

B = (3/2)

C = -(1/2)

y = (1/2)∫(dx/(x + 1) + $∫\frac{\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}}{x^2+1}dx$

y = (1/2)log(x + 1) + (3/4)∫ $\frac{2x}{x^2 + 1}$ dx – (1/2)∫ $\frac{dx}{(x^2 + 1)}$

y = (1/2)log|x + 1| + (3/4)log|x ² + 1| – (1/2)tan ^-1 x + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 22. sen(dy/dx) = k, y(0) = 1

Solución:

Tenemos,

sen(dy/dx) = k,

(dy/dx) = sen ^-1 (k)

dy = sen ^-1 (k)dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = sen ^-1 (k)∫dx

y = xsen ^-1 k + c -(1)

Ponga x = 0, y = 1

1 = 0 + c

1 = c

Al poner el valor de c en la ecuación (1)

y = x sen ^-1 k + 1

y – 1 = xsen ^-1 x

Pregunta 23. e ^(dy/dx) = x + 1, y(0) = 3

Solución:

Tenemos,

e ^(dy/dx) = x + 1

(dy/dx) = log(x + 1)

dy = log(x + 1)dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫log(x + 1)dx

y = log(x + 1)∫dx – ∫[ $\frac{dlog(x+1)}{dx}$ ∫dx]dx

y = xlog(x + 1) – ∫[x/(x + 1)]dx

y = xlog(x + 1) – ∫1 – \frac{1}{(x+1)}dx

y = xlog(x + 1) – x + log(x + 1) + c

y = (x + 1)log(x + 1) – x + c -(1)

Ponga, y = 3, x = 0 en la ecuación (1)

3 = 0 + c

y = (x + 1)log(x + 1) – x + 3

Pregunta 24. c'(x) = 2 + 0.15x, c(0) = 100

Solución:

Tenemos,

c'(x) = 2 + 0.15x -(1)

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫c'(x)dx = ∫(2 + 0.15x)dx

c(x) = 2x + 0.15(x ² /2) + c -(2)

Ponga, c(0) = 100, x = 0 en la ecuación (2)

100 = 2(0) + 0 + c

c = 100

c(x) = 2x + 0,15(x2 / ² ) + 100

Pregunta 25. x(dy/dx) + 1 = 0, y(-1) = 0

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) + 1 = 0

xdy = -dx

dy = -(dx/x)

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = -∫(dx/x)

y = -logx + c -(1)

Ponga, y = 0, x = -1 en la ecuación (1)

0 = 0 + c

c = 0

y = -log|x|

Pregunta 26. x(x ² – 1)(dy/dx) = 1, y(2) = 0

Solución:

Tenemos,

x(x ² – 1)(dy/dx) = 1 -(1)

dy = dx/x(x + 1)(x – 1)

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫dx/x(x + 1)(x – 1)

Sea, 1/x(x + 1)(x – 1) = A/x + B/(x + 1) + C/(x – 1)

1 = A(x + 1)(x – 1) + B(x)(x – 1) + C(x)(x + 1) -(2)

Ponga, x = 0, -1, 1 respectivamente y simplifique la ecuación anterior, obtenemos,

A = -1, B = (1/2), C = (1/2)

y = $-∫\frac{dx}{x}+∫\frac{1}{2}\frac{dx}{(x+1)}+∫\frac{1}{2}\frac{dx}{(x-1)}$

y = -logx + (1/2)log(x + 1) + (1/2)log(x – 1)

y = (1/2)log(1/x ² ) + (1/2)log(x + 1) + (1/2)log(x – 1) + c -(3)

Ponga, y = 0, x = 2 en la ecuación (3)

0 = (1/2) registro (1/4) + (1/2) registro (3) + 0 + c

c = -(1/2)log(3/4)

y = (1/2)log[(x ² – 1)/x ² ] – (1/2)log(3/4)

$y=\frac{1}{2}log[\frac{4}{3}\frac{(x^2-1)}{x^2}]$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.5 | conjunto 2

Pregunta 14. sen ⁴ x(dy/dx) = cosx

Pregunta 15. cosx(dy/dx) – cos2x = cos3x

Pregunta 16. √(1 – x ⁴ )(dy/dx) = xdx

Pregunta 17. √(a + x)(dy) + xdx = 0

Pregunta 18. (1 + x ² )(dy/dx) – x = 2tan ^-1 x

Pregunta 19. (dy/dx) = xlogx

Pregunta 20. (dy/dx) = xe ^x – (5/2) + cos ² x

Pregunta 21. (x ³ + x ² + x + 1)(dy/dx) = 2x ² + x

Pregunta 22. sen(dy/dx) = k, y(0) = 1

Pregunta 23. e ^(dy/dx) = x + 1, y(0) = 3

Pregunta 24. c'(x) = 2 + 0.15x, c(0) = 100

Pregunta 25. x(dy/dx) + 1 = 0, y(-1) = 0

Pregunta 26. x(x ² – 1)(dy/dx) = 1, y(2) = 0

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Pregunta 14. sen 4 x(dy/dx) = cosx

Pregunta 15. cosx(dy/dx) – cos2x = cos3x

Pregunta 16. √(1 – x 4 )(dy/dx) = xdx

Pregunta 17. √(a + x)(dy) + xdx = 0

Pregunta 18. (1 + x 2 )(dy/dx) – x = 2tan -1 x

Pregunta 19. (dy/dx) = xlogx

Pregunta 20. (dy/dx) = xe x – (5/2) + cos 2 x

Pregunta 21. (x 3 + x 2 + x + 1)(dy/dx) = 2x 2 + x

Pregunta 22. sen(dy/dx) = k, y(0) = 1

Pregunta 23. e (dy/dx) = x + 1, y(0) = 3

Pregunta 24. c'(x) = 2 + 0.15x, c(0) = 100

Pregunta 25. x(dy/dx) + 1 = 0, y(-1) = 0

Pregunta 26. x(x 2 – 1)(dy/dx) = 1, y(2) = 0

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Pregunta 14. sen ⁴ x(dy/dx) = cosx

Pregunta 16. √(1 – x ⁴ )(dy/dx) = xdx

Pregunta 18. (1 + x ² )(dy/dx) – x = 2tan ^-1 x

Pregunta 20. (dy/dx) = xe ^x – (5/2) + cos ² x

Pregunta 21. (x ³ + x ² + x + 1)(dy/dx) = 2x ² + x

Pregunta 23. e ^(dy/dx) = x + 1, y(0) = 3

Pregunta 26. x(x ² – 1)(dy/dx) = 1, y(2) = 0