Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.7

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

Pregunta 21. (1 – x ² )dy + xydx = xy ² dx

Solución:

Tenemos,

(1 – x ² )dy + xydx = xy ² dx

(1 – x ² )dy = xy ² dx – xydx

(1 – x ² )dy = xy(y – 1)dx

$\frac{dy}{y(y-1)}=\frac{xdx}{(1-x^2)}$

Al integrar ambos lados,

$∫[\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}]dy=\frac{1}{2}∫\frac{2x}{1-x^2}dx$

log(y – 1) – logía = -(1/2)log(1 – x ² ) + logc

log(y – 1) – logy + (1/2)log(1 – x ² ) = logc (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 22. tanydx + seg ² ytanxdy = 0

Solución:

Tenemos,

tanydx + seg ² ytanxdy = 0

tanydx = -sec ² ytanxdy

(seg ² y/tany)dy = -dx/tanx

Al integrar ambos lados,

∫(seg2y/tany)dy = -∫cotxdx

Sea tany = z

Al diferenciar ambos lados

seg ² xdx = dz

∫(dz/z) = -∫cotxdx

log(z) = -log(senx) + log(c)

Al poner el valor de z en la ecuación anterior

log(tany) + log(senx) = log(c)

log[(senx)(tany)] = log(c)

sinx.tany = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 23. (1 + x)(1 + y ² )dx + (1 + y)(1 + x ² )dy = 0

Solución:

Tenemos,

(1 + x)(1 + y ² )dx + (1 + y)(1 +x ² )dy = 0

$\frac{(1+y)dy}{(1+y^2)}=\frac{-(1+x)dx}{(1+x^2)}$

$\frac{dy}{(1+y^2)}+\frac{ydy}{(1+y^2)}=\frac{-dx}{(1+x^2)}-\frac{xdx}{(1+x^2)}$

Al integrar ambos lados,

bronceado ^-1 (y) + (1/2)log(1 + y ² ) = -tan ^-1 (x) – (1/2)log(1 + x ² ) + c

tan ^-1 (y) + tan ^-1 (x) + (1/2)log[(1 + y ² )(1 + x ² )] = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 24. tany(dy/dx) = sin(x + y) + sin(x – y)

Solución:

Tenemos,

tany(dy/dx) = sin(x + y) + sin(x – y)

tany(dy/dx) = 2sen{(x + y + x – y)/2}cos{(x + y – x + y)/2}

tany(dy/dx) = 2senxcosy

(tany/acogedor)dy = 2sinxdx

Al integrar ambos lados,

∫secitanydy = 2∫senxdx

sec = -2cosx + c

secy + cosx = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 25. cosxcosy(dy/dx) = -sinxsiny

Solución:

Tenemos,

cosxcosy(dy/dx) = -senxsiny

(cosy/seny)dy = -(senx/cosx)dx

cotydy = -tanxdx

Al integrar ambos lados,

∫cotydy = -∫tanxdx

log(seno) = log(cosx) + logc

log(seno) = log(cosx.c)

siny = c.cosx (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 26. (dy/dx) + cosxseny/cosy = 0

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + cosxseny/cosy = 0

(dy/dx) = -cosx.tany

dy/tany = -cosxdx

cotydy = -cosxdx

Al integrar ambos lados,

∫cotydy = -∫cosxdx

log(acogedor) = -senx + c

log(cosy) + senx = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 27. x√(1 – y ² )(dx) + y√(1 – x ² )dy = 0

Solución:

Tenemos,

x√(1 – y ² )(dx) + y√(1 – x ² )dy = 0

x√(1 – y ² )(dx) = -y√(1 – x ² )dy

$\frac{ydy}{\sqrt{(1-y^2)}} = \frac{-xdx}{\sqrt{(1 - x^2)}}$

Al integrar ambos lados,

$\frac{1}{2}∫\frac{2ydy}{\sqrt{(1-y^2)}}=-\frac{1}{2}∫\frac{xdx}{\sqrt{(1-x^2)}}$

√(1 – y ² ) = -√(1 – x ² ) + c

√(1 – y ² ) + √(1 – x ² ) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 28. y(1 + e ^x )dy =(y + 1)e ^x dx

Solución:

Tenemos,

y(1 + e ^x )dy =(y + 1)e ^x dx

$\frac{ydy}{(y+1)}=\frac{e^xdx}{(1+e^x)}$

$1-\frac{1}{(y+1)}=\frac{e^xdx}{(1+e^x)}$

Al integrar ambos lados,

∫[1 – 1/(y + 1)]dy = ∫e ^x dx/(1 + e ^x )

y – log(y + 1) = log(1 + e ^x ) + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 29. (y + xy)dx + (x – xy ² )dy = 0

Solución:

Tenemos,

(y + xy)dx + (x – xy ² )dy = 0

y(1 + x)dx = -x(1 – y ² )dy

[(1 – y ² )/y]dy = -[(1 + x)/x]dx

Al integrar ambos lados,

∫[(1 – y ² )/y]dy = -∫[(1 + x)/x]dx

∫(dy/y) – ∫ydy = -∫dx/x – ∫dx

log(y) – (y ² /2) = -log(x) – x + c

log(x) + x + log(y) – (y ² /2) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 30. (dy/dx) = 1 – x + y – xy

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = 1 – x + y – xy

(dy/dx) = (1 – x) + y(1 – x)

(dy/dx) = (1 – x)(1 – y)

dy/(1 – y) = (1 – x)dx

Al integrar ambos lados,

∫dy/(1 – y) = ∫(1 – x)dx

log(1 – y) = x – (x ² /2) + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 31. (y ² + 1)dx – (x ² + 1)dy = 0

Solución:

Tenemos,

(y ² + 1) dx – (x ² + 1) dy = 0

(y ² + 1) dx = (x ² + 1) dy

$\frac{dy}{(y^2+1)}=\frac{dx}{(x^2+1)}$

Al integrar ambos lados,

$∫\frac{dy}{(y^2+1)}=\frac{∫dx}{(x^2+1)}$

tan ^-1 y = tan ^-1 x + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 32. dy + (x + 1)(y + 1)dx = 0

Solución:

Tenemos,

dy + (x + 1)(y + 1)dx = 0

dy/(y + 1) = -(x + 1)dx

Al integrar ambos lados,

∫dy/(y + 1) = -∫(x + 1)dx

log(y + 1) = -(x ² /2) – x + c

log(y + 1) + (x ² /2) + x = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 33. (dy/dx) = (1 + x ² )(1 + y ² )

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (1 + x ² )(1 + y ² )

$\frac{dy}{(1+y^2)}=(1+x^2)dx$

Al integrar ambos lados,

$∫\frac{dy}{(1+y^2)}=∫(1+x^2)dx$

bronceado ^-1 y = x + (x ³ /3) + c

tan ^-1 y – x – (x ³ /3) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 34. (x – 1)(dy/dx) = 2x ³ y

Solución:

Tenemos,

(x – 1)(dy/dx) = 2x ³ y

dy/y = 2x ³ dx/(x – 1)

Al integrar ambos lados,

∫dy/y = 2∫x ³ dx/(x – 1)

$log(y)=2∫[x^2+x+1+\frac{1}{(x-1)}]$

log(y) = (2/3)(x ³ ) + 2(x ² /2) + 2x + 2log(x – 1) + log(c)

$log(y)=loge^{[\frac{2}{3}x^3+x^2+2x]}+log(x-1)^2+logc$

y = c|x – 1| ² e ^{[(2/3)x3+x2+2x]} (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 35. (dy/dx) = e ^x+y + e ^-x+y

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = e ^x+y + e ^-x+y

(dy/dx) = e ^x .e ^y + e ^-x .e ^y

(dy/dx) = e ^y (ex ⁺ e ^-x )

dy/e ^y = (ex ⁺ e ^-x )dx

Al integrar ambos lados,

∫e ^-y dy = ∫e ^x dx + ∫e ^-x dx

-e ^-y = e ^x – e ^-x + c

e ^-x -e ^-y = e ^x + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 36. (dy/dx) = (cos ² x – sen ² x)cos ² y

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (cos ² x – sen ² x)cos ² y

dy/cos ² y = (cos ² x – sen ² x)dx

sexo ² ydy = cos2xdx

Al integrar ambos lados,

∫sexo ² ydy = ∫cos2xdx

tany = (sen2x/2) + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 37(i). (xy ² + 2x)(dx) + (x ² y + 2y)dy = 0

Solución:

Tenemos,

(xy ² + 2x)(dx) + (x ² y + 2y)dy = 0

x(y ² + 2)(dx) = -y(x ² + 2)dy

$\frac{ydy}{(y^2+1)}=\frac{-xdx}{(x^2+1)}$

Multiplicando ambos lados por 2,

$\frac{2ydy}{(y^2+1)}=\frac{-2xdx}{(x^2+1)}$

Al integrar ambos lados,

$∫\frac{2ydy}{(y^2+1)}=-∫\frac{2xdx}{(x^2+1)}$

log(y ² + 1) = -log(x ² + 1) + log(c)

$(y^2+1)=[\frac{1}{(x^2+1)}]c$

$(y^2+1)=\frac{c}{(x^2+1)}$ (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 37 (ii). cosecx logía(dy/dx) + x ² y ² = 0

Solución:

Tenemos,

cosecx logía(dy/dx) + x ² y ² = 0

log(y)dy/y ² = -x ² dx/cosecx

Al integrar ambos lados,

∫[log(y)/y ² ]dy = -∫x ² senxdx

$log(y)∫\frac{dy}{y^2}-∫[\frac{d(logía)}{dy}∫\frac{dy}{y^2}]dy=-[x^2∫sinxdx -∫(\frac{d(x^2)}{dx}∫sinxdx)dx]+c$

-log(y)/y + ∫dy/y ² = x ² cosx – 2∫xcosxdx + c

-log(y)/y – 1/y = x ² cosx – 2[x∫cosxdx – ∫{dx/dx∫cosxdx}dx] + c

-[{log(y) + 1}/y] = x ² cosx – 2(xsenx – ∫senxdx) + c

x ² cosx + [{log(y) + 1}/y] – 2(xsenx + cosx) = c

Pregunta 38 (i). xy(dy/dx) = 1 + x + y + xy

Solución:

Tenemos,

xy(dy/dx) = 1 + x + y + xy

xy(dy/dx) = (1 + x) + y(1 + x)

xy(dy/dx) = (1 + x)(1 + y)

ydy/(1 + y) = [(1 + x)/x]dx

Al integrar ambos lados,

∫ydy/(1 + y) = ∫[(1 + x)/x]dx

∫[1 – 1/(1 + y)]dy = ∫(dx/x) + ∫dx

y – log(1 + y) = log(x) + x + log(c)

y = log(x) + log(1 + y) + x + log(c)

y = log[cx(1 + y)] + x (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 38 (ii). y(1 – x ² )(dy/dx) = x(1 + y ² )

Solución:

Tenemos,

y(1 – x ² )(dy/dx) = x(1 + y ² )

$\frac{ydy}{(1+y^2)}=\frac{xdx}{(1-x^2)}$

Al integrar ambos lados,

$∫\frac{ydy}{(1+y^2)}=∫\frac{xdx}{(1-x^2)}$

Multiplicando ambos lados por 2,

$∫\frac{2ydy}{(1+y^2)}=∫\frac{2xdx}{(1-x^2)}$

log(1 + y ² ) = -log(1 – x ² ) + log(c)

log[(1 + y ² )(1 – x ² )] = logc

(1 + y ² )(1 – x ² ) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 38 (iii). ye ^x/y dx = (xe ^x/y + y ² )dy

Solución:

Tenemos,

ye ^x/y dx = (xe ^x/y + y ² )dy

ye ^x/y dx – xe ^x/y dy = y ² dy

e ^x/y (ydx – xdy)/y ² = dy

e ^x/y d(x/y) = dy

Al integrar ambos lados,

∫e ^x/y d(x/y) = ∫dy

e ^x/y = y + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 38 (iv). (1 + y ² )tan ^-1 xdx + 2y(1 + x ² )dy = 0

Solución:

Tenemos,

(1 + y ² )tan ^-1 xdx + 2y(1 + x ² )dy = 0 -(i)

$\frac{ydy}{(1+y^2)}=-[\frac{tan^{-1}x}{2(1+x^2)}]dx$

Al integrar ambos lados,

$∫\frac{ydy}{(1+y^2)}=-∫[\frac{tan^{-1}x}{2(1+x^2)}]dx$ -(ii)

Vamos, yo = $∫[\frac{tan^{-1}x}{2(1+x^2)}]dx$

$I=tan^{-1}x∫\frac{1}{2(x^2+1)}dx-∫[\frac{d}{dx}(tan^{-1}x)∫\frac{1}{2(x^2+1)}dx]dx$

$I=tan^{-1}x(\frac{1}{2}tan^{-1}x)-∫\frac{tan^{-1}x}{2(1+x^2)}dx$

$I=tan^{-1}x(\frac{1}{2}tan^{-1}x)-I$

2I = (1/2)(tan ^-1 x) ²

yo = (1/4)(tan ^-1 x) ²

De la ecuación (ii)

(1/2)log(1 + y ² ) = -(1/4)(tan ^-1 x) ² + c

log(1 + y ² ) + (1/2)(tan ^-1 x) ² = c

Pregunta 39. (dy/dx) = ytan2x, y(0) = 2

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = ytan2x

(dy/y) = tan2xdx

Al integrar ambos lados,

∫(dy/y) = ∫tan2xdx

log(y) = (1/2)log(seg2x) + log(c)

y = c(seg2x) ^1/2

Ponga x = 0, y = 2 en la ecuación anterior

c = 2

y = 2(seg2x) ^1/2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.7 | conjunto 2

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

Pregunta 21. (1 – x ² )dy + xydx = xy ² dx

Pregunta 22. tanydx + seg ² ytanxdy = 0

Pregunta 23. (1 + x)(1 + y ² )dx + (1 + y)(1 + x ² )dy = 0

Pregunta 24. tany(dy/dx) = sin(x + y) + sin(x – y)

Pregunta 25. cosxcosy(dy/dx) = -sinxsiny

Pregunta 26. (dy/dx) + cosxseny/cosy = 0

Pregunta 27. x√(1 – y ² )(dx) + y√(1 – x ² )dy = 0

Pregunta 28. y(1 + e ^x )dy =(y + 1)e ^x dx

Pregunta 29. (y + xy)dx + (x – xy ² )dy = 0

Pregunta 30. (dy/dx) = 1 – x + y – xy

Pregunta 31. (y ² + 1)dx – (x ² + 1)dy = 0

Pregunta 32. dy + (x + 1)(y + 1)dx = 0

Pregunta 33. (dy/dx) = (1 + x ² )(1 + y ² )

Pregunta 34. (x – 1)(dy/dx) = 2x ³ y

Pregunta 35. (dy/dx) = e ^x+y + e ^-x+y

Pregunta 36. (dy/dx) = (cos ² x – sen ² x)cos ² y

Pregunta 37(i). (xy ² + 2x)(dx) + (x ² y + 2y)dy = 0

Pregunta 37 (ii). cosecx logía(dy/dx) + x ² y ² = 0

Pregunta 38 (i). xy(dy/dx) = 1 + x + y + xy

Pregunta 38 (ii). y(1 – x ² )(dy/dx) = x(1 + y ² )

Pregunta 38 (iii). ye ^x/y dx = (xe ^x/y + y ² )dy

Pregunta 38 (iv). (1 + y ² )tan ^-1 xdx + 2y(1 + x ² )dy = 0

Pregunta 39. (dy/dx) = ytan2x, y(0) = 2

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Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

Pregunta 21. (1 – x 2 )dy + xydx = xy 2 dx

Pregunta 22. tanydx + seg 2 ytanxdy = 0

Pregunta 23. (1 + x)(1 + y 2 )dx + (1 + y)(1 + x 2 )dy = 0

Pregunta 24. tany(dy/dx) = sin(x + y) + sin(x – y)

Pregunta 25. cosxcosy(dy/dx) = -sinxsiny

Pregunta 26. (dy/dx) + cosxseny/cosy = 0

Pregunta 27. x√(1 – y 2 )(dx) + y√(1 – x 2 )dy = 0

Pregunta 28. y(1 + e x )dy =(y + 1)e x dx

Pregunta 29. (y + xy)dx + (x – xy 2 )dy = 0

Pregunta 30. (dy/dx) = 1 – x + y – xy

Pregunta 31. (y 2 + 1)dx – (x 2 + 1)dy = 0

Pregunta 32. dy + (x + 1)(y + 1)dx = 0

Pregunta 33. (dy/dx) = (1 + x 2 )(1 + y 2 )

Pregunta 34. (x – 1)(dy/dx) = 2x 3 y

Pregunta 35. (dy/dx) = e x+y + e -x+y

Pregunta 36. (dy/dx) = (cos 2 x – sen 2 x)cos 2 y

Pregunta 37(i). (xy 2 + 2x)(dx) + (x 2 y + 2y)dy = 0

Pregunta 37 (ii). cosecx logía(dy/dx) + x 2 y 2 = 0

Pregunta 38 (i). xy(dy/dx) = 1 + x + y + xy

Pregunta 38 (ii). y(1 – x 2 )(dy/dx) = x(1 + y 2 )

Pregunta 38 (iii). ye x/y dx = (xe x/y + y 2 )dy

Pregunta 38 (iv). (1 + y 2 )tan -1 xdx + 2y(1 + x 2 )dy = 0

Pregunta 39. (dy/dx) = ytan2x, y(0) = 2

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Pregunta 21. (1 – x ² )dy + xydx = xy ² dx

Pregunta 22. tanydx + seg ² ytanxdy = 0

Pregunta 23. (1 + x)(1 + y ² )dx + (1 + y)(1 + x ² )dy = 0

Pregunta 27. x√(1 – y ² )(dx) + y√(1 – x ² )dy = 0

Pregunta 28. y(1 + e ^x )dy =(y + 1)e ^x dx

Pregunta 29. (y + xy)dx + (x – xy ² )dy = 0

Pregunta 31. (y ² + 1)dx – (x ² + 1)dy = 0

Pregunta 33. (dy/dx) = (1 + x ² )(1 + y ² )

Pregunta 34. (x – 1)(dy/dx) = 2x ³ y

Pregunta 35. (dy/dx) = e ^x+y + e ^-x+y

Pregunta 36. (dy/dx) = (cos ² x – sen ² x)cos ² y

Pregunta 37(i). (xy ² + 2x)(dx) + (x ² y + 2y)dy = 0

Pregunta 37 (ii). cosecx logía(dy/dx) + x ² y ² = 0

Pregunta 38 (ii). y(1 – x ² )(dy/dx) = x(1 + y ² )

Pregunta 38 (iii). ye ^x/y dx = (xe ^x/y + y ² )dy

Pregunta 38 (iv). (1 + y ² )tan ^-1 xdx + 2y(1 + x ² )dy = 0