Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.9 | conjunto 3

Pregunta 27. (x 2 – 2xy)dy + (x 2 – 3xy + 2y 2 )dx = 0

Solución:

Tenemos,

(x2 – 2xy )dy + (x2 – 3xy + 2y2 )dx = 0

(dy/dx) = (x2 – 3xy + 2y2 )/(2xy y2 )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 – 3xvx + 2v 2 x 2 )/(2xvx – x 2 )

v + x(dv/dx) = (1 – 3v + 2v 2 )/(2v – 1)

x(dv/dx) = [(1 – 3v + 2v 2 )/(2v – 1)] – v

x(dv/dx) = (1 – 3v + 2v 2 – 2v 2 + v)/(2v – 1)

x(dv/dx) = (1 – 2v)/(2v – 1)

x(dv/dx) = -1

dv = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv = -∫(dx/x)

v = -log|x| + log|c|

(y/x) + log|x| = registro|c| (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 28. x(dy/dx) = y – xcos 2 (y/x)

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) = y – xcos 2 (y/x)

(dy/dx) = y/x – cos 2 (y/x)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v – cos 2 (v)

x(dv/dx) = -cos 2 (v)

dv/cos 2 (v) = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/cos 2 (v) = -∫(dx/x)

∫seg 2 vdv = -∫(dx/x)

tan(v) = -log|x| + log|c|

tan(y/x) = log|c/x| (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 29. x(dy/dx) – y = 2√(y 2 – x 2 )

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) – y = 2√(y 2 – x 2 )

(dy/dx) = [2√(y 2 – x 2 ) + y]/x

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2\sqrt{v^2x^2-x^2}+vx}{x}

v+x\frac{dv}{dx}=2\sqrt{v^2-1}+v

x(dv/dx) = 2√(v 2 – 1)

dv/√(v 2 – 1) = 2(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/√(v 2 – 1) = 2∫(dx/x)

log|v + √(v 2 – 1)| = 2log(x) + log(c)

|v + √(v 2 – 1)| = |cx 2 |

\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}=|cx^2|

y+\sqrt{y^2-x^2}=cx^3    (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 30. xcos(y/x)(ydx + xdy) = ysen(y/x)(xdy – ydx)

Solución:

Tenemos,

xcos(y/x)(ydx + xdy) = ysen(y/x)(xdy – ydx)

xycos(y/x)dx + x 2 cos(y/x)dy = xysen(y/x)dy – y 2 sen(y/x)dx

x 2 cos(y/x)dy – xysen(y/x)dy = -y 2 sen(y/x)dx – xycos(y/x)dx

\frac{dy}{dx}=\frac{xysin(\frac{y}{x})+y^2cos(\frac{y}{x})}{xysin(\frac{y}{x})-x^2cos(\frac{y}{x})}

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v+x\frac{dv}{dx}=\frac{xvxsinv+v^2x^2cosv}{xvxsinv-x^2cosv}

v + x(dv/dx) = (vcosv + v 2 senv)/(v senv – cosv)

x(dv/dx) = [(vcosv + v 2 senv)/(vsenv – cosv)] – v

x(dv/dx) = (vcosv + v 2 senv – v 2 senv + vcosv)/(v senv – cosv)

x(dv/dx) = (2vcosv)/(vsenv – cosv)

[(vsinv – cosv)/(vcosv)]dv = 2(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫tanvdv – ∫(dv/v) = 2log|x| + log|c|

log|seg| – registro|v| = registro|cx 2 |

log|(segv/v)| = registro|cx 2 |

(x/y)seg(y/x) = cx 2

sec(y/x) = cxy (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 31. (x 2 + 3xy + y 2 )dx – x 2 dy = 0

Solución:

Tenemos,

(x 2 + 3xy + y 2 )dx – x 2 dy = 0

dy/dx = (x2 + 3xy + y2 ) / x2

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 + 3xvx + v 2 x 2 )/x 2

v + x(dv/dx) = (1 + 3v + v 2 )

x(dv/dx) = (1 + 3v + v 2 ) – v

x(dv/dx) = (1 + 2v + v 2 )

x(dv/dx) = (1 + v) 2

dv/(1 + v) 2 = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/(1 + v) 2 = ∫(dx/x)

-[1/(v + 1)] = log|x| – C

-\frac{1}{\frac{y}{x}+1}=log|x|-c

x/(x + y) + log|x| = c (Donde ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 32. (x – y)(dy/dx) = (x + 2y)

Solución:

Tenemos,

(x – y)(dy/dx) = (x + 2y)

(dy/dx) = (x + 2y)/(x – y)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x + 2vx)/(x – vx)

v + x(dv/dx) = (1 + 2v)/(1 – v)

x(dv/dx) = [(1 + 2v)/(1 – v)] – v

x(dv/dx) = (1 + 2v – v + v 2 )/(1 – v)

x(dv/dx) = (1 + v + v 2 )/(1 – v)

(1 – v)dv/(1 + v + v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫[(1 – v)/(1 + v + v 2 )]dv = ∫(dx/x)

-\frac{1}{2}∫\frac{2v-2}{v^2+v+1}dv=∫\frac{dx}{x}

∫\frac{(2v+1)-3}{v^2+v+1}dv=-2∫\frac{dx}{x}

∫\frac{2v+1}{v^2+v+1}dv-∫\frac{3dv}{v^2+2v(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2+1}=-2log|x|+c

log|v^2+v+1|-∫\frac{3dv}{(v+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=-log|x^2|+c

log|\frac{y^2}{x^2}+\frac{y}{x}+1|-3(\frac{2}{\sqrt{3}})tan^{-1}(\frac{v+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})+log|x^2|=c

log|y^2+xy+x^2|=2\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2y+x}{x\sqrt{3}})+c      (Donde ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 33. (2x 2 y + y 3 )dx + (xy 2 – 3x 2 )dy = 0

Solución:

Tenemos,

(2x 2 y + y 3 )dx + (xy 2 – 3x 2 )dy = 0

dy/dx = (2x 2 y + y 3 )/(3x 3 – xy 2 )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (2x 2 vx + v 3 x 3 )/(3x 3 – xv 2 x 2 )

v + x(dv/dx) = (2v + v3 )/(3 v3 )

x(dv/dx) = [(2v + v 3 )/(3 – v 3 )] – v

x(dv/dx) = (2v + v3 – 3v + v3 ) /(3 v3 )

(3 – v 3 )dv/(2v 3 – v) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫[(3 – v 3 )/(2v 3 – v)]dv = ∫(dx/x)

∫\frac{3-v^2}{v(2v^2-1)}dv=∫\frac{dx}{x}

Usando fracciones parciales,

\frac{3-v^2}{v(2v^2-1)}=\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{2v^2-1}

3 – v 2 = A(2v 2 – 1) + (Bv + C)v

3 – v 2 = 2Av 2 – A + Bv 2 + Cv

3 – v 2 = v 2 (2A + B) + Cv – A

Al comparar los coeficientes, obtenemos

A = -3,

B = 5,

C = 0,

-3∫\frac{dv}{v}+∫\frac{5v}{2v^2-1}dv=∫\frac{dx}{x}

-3∫\frac{dv}{v}+\frac{5}{4}∫\frac{4v}{2v^2-1}dv=∫\frac{dx}{x}

-3log|v|+(5/4)log|2v 2 -1|=log|x|+log|c|

-12log|v|+5log|2v 2 -1|=4log|x|+4log|c|

log|\frac{2v^2-1}{v^{12}}|=log|x^4c^4|

(2\frac{y^2}{x^2}-1)^5=x^4c^4\frac{y^{12}}{x^{12}}

\frac{2y^2-x^2}{x^{10}}=x^4c^4\frac{y^{12}}{x^{12}}

| 2y2 x2 | 5 = x 2 c 4 y 12  (Donde ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 34. x(dy/dx) – y + xsen(y/x) = 0

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) – y + xsen(y/x) = 0
x(dy/dx) = y – xsen(y/x)

(dy/dx) = [y – xsen(y/x)]/x

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = [vx – xsenv]/x

v + x(dv/dx) = (v – senv)

x(dv/dx) = -senv

cosecvdv = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫cosecvdv = -∫(dx/x)

-log|cosecv + cotv| = -log|x| + log|c|

-log|(1/senv) + (cosv/senv)| = -log|x/c|

|(1 + cosv)/senv| = |x/c|

xsenv = c(1 + cosv)

xsen(y/x) = c[1 + cos(y/x)] (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 35. ydx + {xlog(y/x)}dy – 2xydy = 0

Solución:

Tenemos,

ydx + {xlog(y/x)}dy – 2xydy = 0

y + {xlog(y/x)}(dy/dx) – 2xy = 0

\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x-xlog(\frac{y}{x})}

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{vx}{2x-xlogv}

v + x(dv/dx) = v/(2 – logv)

x(dv/dx) = [v/(2 – logv)] – v

x(dv/dx) = (v – 2v + vlogv)/(2 – logv)

x(dv/dx) = -v(logv – 1)/(logv – 2)

\frac{(logv-2)}{v(logv-1)}dv=-\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{(logv-2)}{v(logv-1)}dv=-∫\frac{dx}{x}

∫\frac{(logv-1)-1}{v(logv-1)}dv=-∫\frac{dx}{x}

∫\frac{dv}{v(logv-1)}-∫\frac{dv}{v(logv-1)}=-∫\frac{dx}{x}

Dejar. logv – 1 = z

Al diferenciar ambos lados, 

(dv/v) = dz

∫dz – ∫(dz/z) = -∫(dx/x)

z – log|z| = -log|x| + log|c|

(logv – 1) – log|(logv – 1)| = -log|x| + log|c|

logv – log|logv – 1| = -log|x| + log|c| + 1

log|(logv – 1)/v| = registro|c 1 x|

|logv – 1| = |c 1xv |

|registro(y/x) – 1| = |c 1x(y/x) |

|registro(y/x) – 1| = |c 1 y| (Donde ‘c 1 ‘ es la constante de integración)

Pregunta 36(i). (x2 + y2 )dx = 2xydy, y(1) = 0

Solución:

Tenemos,

 (x2 + y2 )dx = 2xydy

(dy/dx) = (x2 + y2 )/ 2xy

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = ( x2 + v2x2 ) / 2vx2

v + x(dv/dx) = (1 + v2 ) /2v

x(dv/dx) = [(1 + v 2 )/2v] – v

x(dv/dx) = (1 + v2 – 2v2 ) /2v

x(dv/dx) = (1 – v2 ) /2v

2vdv/(1 – v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫2vdv/(1 – v 2 ) = ∫(dx/x)

-log|1 – v 2 | = registro|x| – registro|c|

registro|1 – v 2 | = registro|c/x|

|1 – y 2 /x 2 | = |c/x|

|x 2 – y 2 | = |xx|

En x = 1, y = 0

1 – 0 = c

c = 1

|x 2 – y 2 | = |x|

(x 2 – y 2 ) = x

Pregunta 36(ii). xe x/y – y + x(dy/dx) = 0, y(e) = 0

Solución:

Tenemos,

xe x/y – y + x(dy/dx) = 0

(dy/dx) = (y – xe x/y )/x

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (vx – xe v )/x

v + x(dv/dx) = v – e v

x(dv/dx) = v – e v – v

x(dv/dx) = -e v

e -v dv = -(dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫e -v dv = -∫(dx/x)

-e -v = -log|x| – registro|c|

e -v = log|x| + log|c|

e -(y/x) = log|x| + log|c|

En x = e, y = 0

e -(0/e) = log|e| + log|c|

1 = 1 + registro|c|

c = 0

e -y/x = logx

Pregunta 36(iii). (dy/dx) – (y/x) + cosec(y/x) = 0, y(1) = 0

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – (y/x) + cosec(y/x) = 0

(dy/dx) = (y/x) – cosec(y/x)

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v – cosec(v)

x(dv/dx) = v – cosec(v) – v

x(dv/dx) = -cosec(v)

-sen(v)dv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

-∫sen(v)dv = ∫(dx/x)

cos(v) = log|x| + log|c|

cos(y/x) = log|x| + log|c|

En x = 1, y = 0

cos(0/1) = registro|1| + log|c|

1 = 0 + registro|c|

registro|c| = 1

cos(y/x) = log|x| + 1

registro|x| = cos(y/x) – 1

Pregunta 36(iv). (xy – y 2 )dx – x 2 dy = 0, y(1) = 1

Solución:

Tenemos,

(xy – y 2 )dx – x 2 dy = 0

(dy/dx) = (xy – y 2 )/x 2

(dy/dx) = (y/x) – (y 2 /x 2 )

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v – v 2

x(dv/dx) = v – v 2 – v

x(dv/dx) = -v 2

-(dv/v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

-∫(dv/v 2 ) = ∫(dx/x)

-(-1/v) = registro|x| +c

(1/v) = registro|x| +c

x/y = registro|x| +c

En x = 1, y = 1

1 = registro|1| +c

c = 1

x/y = registro|x| + 1

y = x/[registro|x| + 1]

Pregunta 36(v). (dy/dx) = [y(x + 2y)]/[x(2x + y)]

Solución:

Tenemos,

 (dy/dx) = [y(x + 2y)]/[x(2x + y)]

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = [vx(x + 2vx)]/[x(2x + vx]

x(dv/dx) = [vx(x + 2vx)]/[x(2x + vx] – v

x(dv/dx) = (v + 2v 2 – 2v – v 2 )/(2 + v)

x(dv/dx) = (v 2 – v)/(2 + v)

(2 + v)dv/[v(v – 1)] = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫\frac{2+v}{v(v-1)}dv=\frac{dx}{x}

Usando derivada parcial,

\frac{2+v}{v(v-1)}dv=\frac{A}{v}+\frac{B}{v-1}

2 + v = A(v – 1) + B(v)

2 + v = v(A + B) – A

Al comparar los coeficientes,

A = -2

B = 3

-2∫(dv/v) + 3∫dv/(v – 1) = ∫(dx/x)

-2log|v| + 3log|v – 1| = registro|x| + log|c|

log|(v – 1) 3 /v 2 | = registro|xc|

(v – 1) 3 = v 2 |xc|

(y – x) 3 /x 3 = (y/x) 2 |xc|

(y – x) 3 = y 2 x 2 c

En x = 1, y = 2,

(2 – 1) 3 = 4 * 1 * c

c = (1/4)

(y – x) 3 = (1/4)y 2 x 2

Pregunta 36 (vi). (y 4 – 2x 3 y)dx + (x 4 – 2xy 3 )dy = 0, y(1) = 0

Solución:

Tenemos,

(y 4 – 2x 3 y)dx + (x 4 – 2xy 3 )dy = 0

dy/dx = (2x 3 y – y 4 )/(x 4 – 2xy 3 )

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (2x 3 vx – v 4 x 4 )/(x 4 – 2xv 3 x 3 )

v + x(dv/dx) = (2v – v 4 )/(1 – 2v 3 )

x(dv/dx) = [(2v – v 4 )/(1 – 2v 3 )] – v

x(dv/dx) = (2v – v 4 – v + 2v 4 )/(1 – 2v 3 )

x(dv/dx) = (v + v 4 )/(1 – 2v 3 )

\frac{1-2v^3}{v(1+v^3)}dv=\frac{dx}{x}

\frac{1+v^3-3v^3}{v(1+v^3)}dv=\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{1+v^3}{v(1+v^3)}dv-∫\frac{3v^3}{v(1+v^3)}dv=∫\frac{dx}{x}

∫(dv/v) – ∫(3v 2 )dv/(1 + v 3 ) = log|x| + log|c|

registro|v| – registro|1 + v 3 | = registro|xc|

log|v/(1 + v 3 )| = registro|xc|

\frac{\frac{y}{x}}{1+(\frac{y}{x})^3}=|cx|

En x = 1, y = 1,

1/(1 + 1) = c

c = (1/2)

(yx 2 )/(x 3 + y 3 ) = (1/2)x

Pregunta 36 (vii). x(x 2 + 3y 2 )dx + y(y 2 + 3x 2 )dy = 0, y(1) = 1

Solución:

Tenemos,

x(x 2 + 3y 2 )dx + y(y 2 + 3x 2 )dy = 0

dy/dx = -[x(x 2 + 3y 2 )/y(y 2 + 3x 2 )]

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x(x^2+3v^2x^2)}{vx(v^2x^2+3x^2)}

v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{(1+3v^2)}{v(v^2+3)}

x\frac{dv}{dx}=-\frac{(1+3v^2)}{v(v^2+3)}-v

x(dv/dx) = -(1 + 3v 2 + v 4 + 3v 2 )/v(v 2 + 3)

[(v 3 + 3v)/(1 + 6v 2 + v 4 )]dv = -(dx/x)

Multiplica ambos lados por 4 e integrando,

∫\frac{4v^3+12v}{v^4+6v^2+1}dv=-4∫\frac{dx}{x}

registro|v 4 + 6v 2 + 1| = -log|x| 4 + registro|c|

|v 4 + 6v 2 + 1| = |c/x 4 |

(y 4 + 6x 2 y 2 + x 4 ) = c

En y = 1, x = 1

(1 + 6 + 1) = c

c = 8

(y 4 + 6x 2 y 2 + x 4 ) = 8

Pregunta 36 (viii). {xsen 2 (y/x) – y}dx + xdy = 0, y(1) = π/4

Solución:

Tenemos,

{xsen 2 (y/x) – y}dx + xdy = 0

dy/dx = [y – xsen 2 (y/x)]/x

dy/dx = (y/x) – sen 2 (y/x)

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v – sen 2 (v)

x(dv/dx) = v – sen 2 (v) – v

x(dv/dx) = -sen 2 (v)

-coseg 2 (v)dv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

-∫coseg 2 (v) = ∫(dx/x)

cuna(v) = log|x| + log|c|

cuna(y/x) = log|xc|

En x = 1, y = π/4

cuna(π/4) = log|c|

registro|c| = 1

c = mi

cuna(y/x) = log|ex|

Pregunta 36(ix). x(dy/dx) – y + xsen(y/x) = 0, y(2) = π

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) – y + xsen(y/x) = 0

x(dy/dx) = y – xsen(y/x)

(dy/dx) = (y/x) – sin(y/x)

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v – sen(v)

x(dv/dx) = v – sin(v) – v

x(dv/dx) = -sen(v)

-cosec(v)dv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫coseg(v) = -∫(dx/x)

log|cosec(v) – cot(v)| = -log|x| + log|c|

log|cosec(v) – cot(v)| = -log|x| + log|c|

log|cosec(y/x) – cot(y/x)| = -log|x| + log|c|

En x = 2, y = π

|cosec(π/2) – cot(π/2)| = -registro|2| + log|c|

registro|c| = 0

log|cosec(y/x) – cot(y/x)| = -log|x|

Pregunta 37. xcos(y/x)(dy/dx) = ycos(y/x) + x, Cuando x = 1, y = π/4

Solución:

Tenemos,

xcos(y/x)(dy/dx) = ycos(y/x) + x

\frac{dy}{dx}=\frac{ycos(\frac{y}{x})+x}{xcos(\frac{y}{x})}

(dy/dx) = (y/x) + [1/cos(y/x)]

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = v + 1/cosv

x(dv/dx) = v + 1/cosv – v

x(dv/dx) = 1/cosv

cosvdv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫cosvdv = ∫(dx/x)

sen(v) = log|x| + log|c|

sin(y/x) = log|x| + log|c|

En x = 1, y = π/4

1/√2 = 0 + log|c|

registro|c| = (1/√2)

sin(y/x) = log|x| + (1/√2)

Pregunta 38. (x – y)(dy/dx) = (x + 2y), cuando x = 1,y = 0

Solución:

Tenemos,

(x – y)(dy/dx) = (x + 2y)

(dy/dx) = (x + 2y)/(x – y)

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x + 2vx)/(x – vx)

v + x(dv/dx) = (1 + 2v)/(1 – v)

x(dv/dx) = [(1 + 2v)/(1 – v)] – v

x(dv/dx) = (1 + 2v – v + v 2 )/(1 – v)

(1 – v)dv/(1 + v + v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫\frac{1-v}{1+v+v^2}dv=\frac{dx}{x}

\frac{1}{2}∫\frac{2-2v}{1+v+v^2}dv=∫\frac{dx}{x}

∫\frac{3-(1+2v)}{1+v+v^2}dv=∫\frac{dx}{x}

\frac{3}{2}∫\frac{dv}{1+v+v^2}-\frac{1}{2}∫\frac{2v+1}{1+v+v^2}dv=∫\frac{dx}{x}

\frac{3}{2}∫\frac{dv}{(v+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}-\frac{1}{2}log|v^2+v+1|=log|x|+c

\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{v+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})-\frac{1}{2}log|v^2+v+1|=log|x|+c

\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}x})-\frac{1}{2}log|\frac{x^2+xy+y^2}{x^2}|=log|x|+c

\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}x})-\frac{1}{2}log|x^2+xy+y^2|+log|x|=log|x|+c

\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}x})-\frac{1}{2}log|x^2+xy+y^2|=c

En x = 1, y = 0

√3tan -1 |1/√3| – (1/2)registro|1| = do

c = √3(π/6)

c = (π/2√3)

\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}x})-\frac{1}{2}log|x^2+xy+y^2|=\frac{π}{2\sqrt{3}}

\frac{1}{2}log|x^2+xy+y^2|=2\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}x})-\frac{π}{\sqrt{3}}

Pregunta 39. (dy/dx) = xy/(x 2 + y 2 )

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = xy/(x 2 + y 2 )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = xvx/(x 2 + v 2 x 2 )

v + x(dv/dx) = v/(1 + v2 )

x(dv/dx) = [v/(1 + v2 ) ] – v

x(dv/dx) = (v – v – v 3 )/(1 + v 2 )

[-(1/v 3 ) – (1/v)]dv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

-∫dv/v 3 – ∫dv/v = ∫(dx/x)

(1/2v 2 ) – log|v| = registro|x| +c

(x2 /2y2 ) = log|vx| +c

(x 2 /2y 2 ) = log|(y/x)x| +c

(x 2 /2y 2 ) = log|y| +c

En x = 0, y = 1

c = 0

(x 2 /2y 2 ) = log|y|

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *