Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.9 | Serie 1

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

Pregunta 1. x 2 dy + y(x + y)dy = 0

Solución:

Tenemos,

x 2 dy + y(x + y)dy = 0

dy/dx = -y(x + y)/x 2 

es una ecuacion homogenea 

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = -vx(x + vx)/x 2 

v + x(dv/dx) = -v – v2 

x(dv/dx) = -2v – v2 

\frac{dv}{(v^2 + 2v)} = -\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{dv}{(v^2+2v+1-1)}=-∫(\frac{dx}{x})

∫\frac{dv}{(v+1)^2-(1)^2}=-log(x)

\frac{1}{2}log(\frac{v+1-1}{v+1+1})=-log|x|+log|c|

log|v/(v + 2)| 1/2 = -log|x/c|

v/(v + 2) = c 2 /x 2

\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+2}=\frac{c^2}{x^2}

yx 2 = (y + 2x)c 2    (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 2. (dy/dx) = (y – x)/(y + x)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (y – x)/(y + x)

es una ecuacion homogenea 

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (vx – x)/(vx + x)

v + x(dv/dx) = (v – 1)/(v + 1)

x(dv/dx) = (v – 1)/(v + 1) – v

x(dv/dx) = (v – 1 – v 2 – v)/(v + 1)

x(dv/dx) = -(v 2 + 1)/(v + 1)

\frac{(v+1)dv}{(v^2+1)}=-\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{(v+1)dv}{(v^2+1)}=-∫\frac{dx}{x}

∫vdv/(v 2 +1)+∫dv/(v 2 +1)=-∫(dx/x)

\frac{1}{2}∫\frac{2v}{v^2+1}+∫\frac{dv}{v^2+1}=-log|x|+log|c|

(1/2)log|v 2 + 1| + tan -1 (v) = log(c/x)

log|(y 2 + x 2 )/x 2 | + 2tan -1 (y/x) = log(c/x) 2 

log(y 2 + x 2 ) – log(x) 2 + 2tan -1 (y/x) = log(c/x) 2 

log(y 2 + x 2 ) + 2tan -1 (y/x) = 2log(c) (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 3. (dy/dx) = (y 2 – x 2 )/2yx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (y 2 – x 2 )/2yx

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (v 2 x 2 – x 2 )/2vx 2

v + x(dv/dx) = (v 2 – 1)/2v

x(dv/dx) = [(v 2 – 1)/2v] – v

x(dv/dx) = (v 2 – 1 – 2v 2 )/2v

x(dv/dx) = -(v 2 + 1)/2v

\frac{2vdv}{(v^2 + 1)} = -\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{vdv}{(v^2+1)}=-∫\frac{dx}{x}

registro|v 2 +1| = -log(x) + log(c)

registro|v 2 +1| = registro(c/x)

y 2 /x 2 + 1 = |c/x|

(x 2 + y 2 ) = cx (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 4. x(dy/dx) = (x + y)

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) = (x+y)

(dy/dx) = (x+y)/x

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x + vx)/x

v + x(dv/dx) = (1 + v)

x(dv/dx) = 1

dv = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv = ∫(dx/x)

v = log(x) + c

y/x = log(x) + c

y = xlog(x) + cx (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 5. (x 2 – y 2 )dx – 2xydy = 0

Solución:

Tenemos,

(x 2 – y 2 )dx – 2xydy = 0

(dy/dx) = (x2 – y2 )/ 2xy

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 – v 2 x 2 )/2xvx

v + x(dv/dx) = (1 – v2 ) /2v

x(dv/dx) = [(1 – v 2 )/2v] – v

x(dv/dx) = (1 – 3v 2 )/2v

\frac{2vdv}{(1-3v^2)} = \frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{2vdv}{(1-3v^2)}=∫\frac{dx}{x}

\frac{1}{3}∫\frac{6v}{1-3v^2}dv=∫\frac{dx}{x}

-(1/3)log(1 – 3v 2 ) = log(x) – log(c)

log(1 – 3v 2 ) = -log(x) 3 + log(c)

(1-\frac{3y^2}{x^2})=(\frac{c}{x^3})

(x 2 – 3y 2 )/x 2 = (c/x 3 )

x(x 2 – 3y 2 ) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 6. (dy/dx) = (x + y)/(x – y)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (x + y)/(x – y)

es una ecuacion homogenea  

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x + vx)/(x – vx)

v + x(dv/dx) = (1 + v)/(1 – v)

x(dv/dx) = [(1 + v)/(1 – v)] – v

x(dv/dx) = (1 + v – v + v 2 )/(1 – v)

x(dv/dx) = (1 + v 2 )/(1 – v)

\frac{(1-v)dv}{(v^2+1)}=\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{(v+1)dv}{(v^2+1)}=∫\frac{dx}{x}

∫dv/(v 2 + 1) – ∫vdv/(v 2 + 1) = ∫(dx/x)

tan -1 (v) – (1/2)log(v 2 + 1) = log(x) + c

tan -1 (y/x) – (1/2)log(y 2 /x 2 + 1) = log(x) + c

tan -1 (y/x) – (1/2)log(y 2 + x 2 ) + log(x) = log(x) + c

tan -1 (y/x) = (1/2)log(y 2 + x 2 ) + c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 7. 2xy(dy/dx) = (x 2 + y 2 )

Solución:

Tenemos,

2xy (dy/dx) = (x2 + y2 )

(dy/dx) = (x2 + y2 )/ 2xy

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 + v 2 x 2 )/2xvx

v + x(dv/dx) = (1 + v2 ) /2v

x(dv/dx) = [(1 + v 2 )/2v] – v

x(dv/dx) = (1 – v2 ) /2v

\frac{2vdv}{(1 - v^2)} = \frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{2vdv}{(1 - v^2)} = ∫\frac{dx}{x}

-log(1 – v 2 ) = log(x) – log(c)

log(1 – v 2 ) = -log(x) + log(c)

1 – y2 / x2 = (c/x)

(x 2 – y 2 ) = cx (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 8. x 2 (dy/dx) = x 2 – 2y 2 + xy

Solución: 

Tenemos,

x2 (dy/dx) = x2 – 2y2 + xy

(dy/dx) = (x2 2y2 + xy)/ x2

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 – 2v 2 x 2 + xvx)/2xvx

v + x(dv/dx) = (1 – 2v 2 + v)/x 2

x(dv/dx) = (1 – 2v 2 + v) – v

x(dv/dx) = (1 – 2v 2 )

dv/(1 – 2v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

dv/(1 – 2v 2 ) = ∫(dx/x)

∫\frac{dv}{v^2-\frac{1}{2}}=-2\frac{dx}{x}

∫\frac{dv}{(\frac{1}{\sqrt2})^2-v^2}=2\frac{dx}{x}

\frac{1}{\sqrt{2}}log|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+v}{\frac{1}{\sqrt{2}}-v}|=2log(x)+log(c)

\frac{1}{\sqrt{2}}log|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{y}{x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{y}{x}}|=2log(x)+log(c)

(\frac{1}{√2})log|\frac{(x + y√2)}{(x - y√2)}|=log(x)^2 + log(c)

|\frac{(x + y√2)}{(x - y√2)}|^{\frac{1}{√2}} = cx^2

|\frac{(x+y√2)}{(x-y√2)}|=|cx^2|^{√2}  (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 9. xy(dy/dx) = x 2 – y 2

Solución:

Tenemos,

xy(dy/dx) = x2y2

(dy/dx) = (x 2 – y 2 )/xy

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 – v 2 x 2 )/xvx

v + x(dv/dx) = (1 – v 2 )/v

x(dv/dx) = [(1 – v 2 )/v] – v

x(dv/dx) = (1 – 2v 2 )/v

vdv/(1 – 2v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫vdv/(1 – 2v 2 ) = ∫(dx/x)

∫4vdv/(1 – 2v 2 ) = 4∫(dx/x)

-log(1 – 2v 2 ) = 4log(x) – log(c)

log(1 – 2v 2 ) = log(c/x 4 )

(1 – 2y 2 /x 2 ) = c/x 4

(x 2 -2y 2 )/x 2 = c/x 4

x 2 (x 2 – 2y 2 ) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 10. ye x/y dx = (xe x/y + y)dy

Solución:

Tenemos,

ye x/y dx = (xe x/y + y)dy

(dy/dx) = (xe x/y + y)/ye x/y

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon x = vy (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dx/dy = v + y(dv/dy)

Asi que,

v + y(dv/dy) = (vye vy/y + y)/ye vy/y

v + y(dv/dy) = (ve v + 1)/e v

y(dv/dy) = [(ve v + 1)/e v ] – v

y(dv/dy) = (ve v + 1 – ve v )/e v

y(dv/dy) = (1/e v )

e v dv = (dy/y)

Al integrar ambos lados,

∫e v dv = ∫(dy/y)

e v = log(y) + log(c)

e x/y = log(y) + log(c) (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 11. x 2 (dy/dx) = x 2 + xy + y 2

Solución:

Tenemos,

x 2 (dy/dx) = x 2 + xy + y 2

dy/dx = (x2 + xy + y2 ) / x2

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (x 2 + xvx + v 2 x 2 )/x 2

v + x(dv/dx) = (1 + v + v 2 )

x(dv/dx) = (1 + v + v 2 ) – v

dv/(1 + v 2 ) = (dx/x)

Al integrar ambos lados,

∫dv/(1 + v 2 ) = ∫(dx/x)

bronceado -1 (v) = log|x| +c

tan -1 (y/x) = log|x| + c (Donde ‘c’ es constante de integración)

Pregunta 12. (y 2 – 2xy)dx = (x 2 – 2xy)dy

Solución:

Tenemos,

( y2 – 2xy)dx = (x2 – 2xy )dy

(dy/dx) = ( y2 – 2xy)/(x2 – 2xy )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = (v 2 x 2 – 2xvx)/(x 2 – 2xvx)

v + x(dv/dx) = ( v2 – 2v)/(1 – 2v)

x(dv/dx) = [(v 2 – 2v – v + 2v 2 )/(1 – 2v)]

x(dv/dx) = 3(v 2 – 1)/(1 – 2v)

-(2v – 1)dv/(v 2 – v) = 3(dx/x)

Al integrar ambos lados,

-∫(2v – 1)dv/(v 2 – v) = 3∫(dx/x)

-registro|v 2 – v| = 3log|x| – registro|c|

registro|v 2 – v| = registro|c/x 3 |

(y2 / x2 – y/x) = (c / x3 )

(y 2 – xy) = c/x

x(y 2 – xy) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Pregunta 13. 2xydx + (x 2 + 2y 2 )dy = 0

Solución:

Tenemos,

2xydx + (x 2 + 2y 2 )dy = 0

dy/dx = -(2xy)/(x 2 + 2y 2 )

es una ecuacion homogenea

Entonces, pon y = vx (i)

Al diferenciar ambos lados de x,

dy/dx = v + x(dv/dx)

Asi que,

v + x(dv/dx) = -(2xvx)/(x 2 + 2v 2 x 2 )

v + x(dv/dx) = -(2v)/(1 + 2v 2 )

x(dv/dx) = -[(2v)/(1 + 2v 2 )] – v

x\frac{dv}{dx}=\frac{-3v-2v^3}{1+2v^2}

\frac{1+2v^2}{3v+2v^3}dv=-\frac{dx}{x}

Al integrar ambos lados,

∫\frac{1+2v^2}{3v+2v^3}dv=-∫\frac{dx}{x}

Sustituyendo (3v + 2v 3 ) = z

Al diferenciar ambos lados de x,

3(1 + 2v)dv = dz

(1 + 2v)dv = (dz/3)

(1/3)∫(dz/z) = -∫(dx/x)

(1/3)log|z| = -log|x| + log|c|

registro|3v + 2v 3 | = registro|c/x| 3

3y/x + 2(y/x) 3 = (c/x) 3

(3yx 2 + 2y 3 ) = c (Donde ‘c’ es la constante de integración)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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