Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 23 Álgebra de Vectores – Ejercicio 23.2

Pregunta 1. Si P, Q y R son tres puntos colineales tales que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{b}$ . Encuentra el vector $\overrightarrow{PR}$

Solución:

Según la pregunta, dado que

Los puntos P, Q y R son colineales.

También, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{b}$

Asi que,

$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\\ =\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Pregunta 2. Dada la condición de que tres vectores $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},$ y $\space \overrightarrow{c}$ forman los tres lados de un triángulo. ¿Cuáles son otras posibilidades?

Solución:

Según la pregunta, dado que $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}and\space \overrightarrow{c}$ son tres lados de un triángulo ABC.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}$ [desde $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ]

$=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}$ [desde $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}$ ]

Asi que, $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

Como sabemos que si los vectores están representados en magnitud y dirección por los dos lados

del triángulo tomado es del mismo orden, entonces su suma está representada por el tercer lado tomado en orden inverso.

Asi que,

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

o

$\overrightarrow{a+}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$

Pregunta 3. Si $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son dos vectores no colineales que tienen el mismo punto inicial. ¿Cuáles son los vectores representados por $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ ?

Solución:

Según la pregunta, dado que $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$

son dos vectores no colineales que tienen el mismo punto inicial.

Entonces, consideremos $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\space and \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$

Ahora dibujamos un paralelogramo llamado ABCD

Usando las propiedades del paralelogramo, obtenemos

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\space and \space \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{a}$

En ∆ABC,

Usando la ley del triángulo, obtenemos

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ …….(i)

En ∆ABD,

Usando la ley del triángulo, obtenemos

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ …….(ii)

Al resolver las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

son las diagonales de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$

Pregunta 4. Si $\overrightarrow{a}$ es un vector y m es un escalar tal que $m\vec{a}=0$ , ¿cuáles son las alternativas para m y $\overrightarrow{a}$ ?

Solución:

De acuerdo con la pregunta, dado que m es un escalar y $\overrightarrow{a}$ es un vector tal que

$\overrightarrow{ma}=\overrightarrow{o}$

$m(a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{k}=)$ [desde que $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{k}$ ]

$ma_1\overrightarrow{i}+mb_1\overrightarrow{j}+mc_1\overrightarrow{k}=0*\overrightarrow{i}*+0*\overrightarrow{j}+0*\overrightarrow{k}$

Ahora, al comparar los coeficientes $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ de LHS y RHS, obtenemos

ma ₁ = 0 ⇒ m = 0 o a ₁ = 0 …….(i)

mb ₁ = 0 ⇒ m = 0 o b ₁ = 0 …….(ii)

mc ₁ = 0 ⇒ m = 0 o c ₁ = 0 …….(iii)

Ahora de la ecuación (i), (ii) y (iii), obtenemos

m = 0 o un ₁ = segundo ₁ = do ₁ = 0

m = 0 o $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{j}=0$

m = 0 o $\overrightarrow{a}=0$

Pregunta 5. Si $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ son dos vectores, entonces escribe el valor de verdad del siguiente enunciado:

(yo) $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ ⇒ $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}⇒ \overrightarrow{a} =&pm;\overrightarrow{b}$

(iii) $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix} ⇒\overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}$

Solución:

(i) Supongamos $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{b}=a_2\overrightarrow{i}+b_2\overrightarrow{j}+c_2\overrightarrow{k}$

Dado que, a = -b

Asi que,

$a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{k}=-a_2\overrightarrow{i}-b_2\overrightarrow{j}-c_2\overrightarrow{k}$

Ahora al comparar los coeficientes de i, j, k en LHS y RHS, obtenemos

a1 = a2 …….(yo)

b1 = b2 …….(ii)

c1 = c2 …….(iii)

$\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}$

De la ecuación (i), (ii) y (iii),

$\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\sqrt{(-a_2)^2+(-b_2)^2+(-c_2)^2}\\ \begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}\\ \begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}$

(ii) Dados a y b son dos vectores tales que $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}$

Entonces, significa que la magnitud del vector $\overrightarrow{a}$ es igual a la magnitud

del vector $\overrightarrow{b}$ , pero no podemos encontrar la dirección del vector.

Por lo tanto, es falso que

$\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}⇒\overrightarrow{a} =&pm;\overrightarrow{b}$

(iii) Dado para cualquier vector $\overrightarrow{a} and \overrightarrow{b}$

son iguales pero no podemos encontrar la dirección del vector de $\overrightarrow{a} \space and \space \overrightarrow{b}$

Entonces, es falso.

Pregunta 6. ABCD es un cuadrilátero. Encuentre la suma de los vectores $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},$ y $\overrightarrow{DA}$ .

Solución:

Según la pregunta,

ABCD es un cuadrilátero.

asi que,

En ∆CAD,

Usando la ley del triángulo, obtenemos

$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}$ ……(i)

En ∆ABC,

Usando la ley del triángulo, obtenemos

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ ……(ii)

Ahora pon el valor de $\overrightarrow{CA}$ en la ecuación (ii), obtenemos

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}$

Ahora, al agregar $\overrightarrow{BA}$ en ambos lados,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}\\ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{BA}$

Pregunta 7. ABCDE es un pentágono, prueba que

(i) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0$

(ii) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$

Solución:

(i) Según la pregunta,

ABCDE es un pentágono,

Asi que,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0 =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0$

Usando la ley del triángulo $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ , obtenemos

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}$

$=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}$

$=(\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}$

Usando la ley del triángulo $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}]$ , obtenemos

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$

$=\overrightarrow{AD}-(-\overrightarrow{AD})$

= 0

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0$

Por lo tanto probado

(ii) Según la pregunta,

ABCDE es un pentágono,

Asi que,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC}\\ =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}+(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED})+\overrightarrow{AC}$

Usando la ley del triángulo $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ , obtenemos

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}+(\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AC}\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\\ =3\overrightarrow{AC}$

Por lo tanto probado

Pregunta 8. Demuestra que la suma de todos los vectores dibujados desde el centro de un octágono regular hasta sus vértices es el vector cero.

Solución:

Supongamos que O es el centro de un octágono regular, ya que sabemos que el

El centro de un octágono regular biseca todas las diagonales que lo atraviesan.

Asi que,

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OE}$ …….(i)

$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OF}$ …….(ii)

$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OG}$ …….(iii)

$\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OH}$ [Tex]\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OH} [/Tex] …….(iv)

Ahora, al sumar las ecuaciones (i), (ii) y (iv), obtenemos

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}\\ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}\\ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH})\\ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}=0$

Por lo tanto probado

Pregunta 9. Si P es un punto y ABCD es un cuadrilátero $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PC}$ y, demuestra que ABCD es un paralelogramo.

Solución:

Según la pregunta

$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PC}\\ \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PD}$

$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{DP}$

Ya que, $\overrightarrow{DP}=-\overrightarrow{PD}$

$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PC}$

Usando la ley del triángulo en ∆APB, $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}$

y usando la ley del triángulo en ∆ DPC, $\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{DC}$

Obtenemos

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Entonces, AB es paralelo a DC e igual es la magnitud.

Por lo tanto, ABCD es un paralelogramo.

Pregunta 10. Cinco fuerzas $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ y $\overrightarrow{AF}$ actúan en el vértice de un hexágono regular ABCDEF. Demostrar que la resultante es 6 $\overrightarrow{AO},$ donde o es el centro del hexágono.

Solución:

Según la pregunta,

Pruebalo

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{AF}=6 \overrightarrow{AO}$

Prueba:

Como sabemos que el centro (O) del hexágono biseca la diagonal $\overrightarrow{AD}$

Asi que,

$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{BO}=- \overrightarrow{EO}; \overrightarrow{CO}=- \overrightarrow{FO}$

Ahora,

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BO}= \overrightarrow{AO}\\ \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CO}= \overrightarrow{AO}\\ \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DO}= \overrightarrow{AO}\\ \overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{EO}= \overrightarrow{AO}\\ \overrightarrow{AF}+ \overrightarrow{FO}= \overrightarrow{AO}$

Al sumar estas ecuaciones, obtenemos

$( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{AF})+( \overrightarrow{BO}+ \overrightarrow{CO}+ \overrightarrow{DO}+ \overrightarrow{EO}+ \overrightarrow{FO})=5 \overrightarrow{AO}$

⇒ $( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})+\overrightarrow{DO}=5\overrightarrow{AO}$

Pero $\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{AO}$

Asi que,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=6\overrightarrow{AO}$

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Si P, Q y R son tres puntos colineales tales que y . Encuentra el vector

Pregunta 2. Dada la condición de que tres vectores y forman los tres lados de un triángulo. ¿Cuáles son otras posibilidades?

Pregunta 3. Si y son dos vectores no colineales que tienen el mismo punto inicial. ¿Cuáles son los vectores representados por y ?

Pregunta 4. Si es un vector y m es un escalar tal que , ¿cuáles son las alternativas para m y ?

Pregunta 5. Si son dos vectores, entonces escribe el valor de verdad del siguiente enunciado:

(yo) ⇒

(ii)

(iii)

Pregunta 6. ABCD es un cuadrilátero. Encuentre la suma de los vectores y .

Pregunta 7. ABCDE es un pentágono, prueba que

(i)

(ii)

Pregunta 8. Demuestra que la suma de todos los vectores dibujados desde el centro de un octágono regular hasta sus vértices es el vector cero.

Pregunta 9. Si P es un punto y ABCD es un cuadrilátero y, demuestra que ABCD es un paralelogramo.

Pregunta 10. Cinco fuerzas y actúan en el vértice de un hexágono regular ABCDEF. Demostrar que la resultante es 6 donde o es el centro del hexágono.

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Pregunta 1. Si P, Q y R son tres puntos colineales tales que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{b}$ . Encuentra el vector $\overrightarrow{PR}$

Pregunta 2. Dada la condición de que tres vectores $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},$ y $\space \overrightarrow{c}$ forman los tres lados de un triángulo. ¿Cuáles son otras posibilidades?

Pregunta 3. Si $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son dos vectores no colineales que tienen el mismo punto inicial. ¿Cuáles son los vectores representados por $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ ?

Pregunta 4. Si $\overrightarrow{a}$ es un vector y m es un escalar tal que $m\vec{a}=0$ , ¿cuáles son las alternativas para m y $\overrightarrow{a}$ ?

Pregunta 5. Si $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ son dos vectores, entonces escribe el valor de verdad del siguiente enunciado:

(yo) $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ ⇒ $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix}⇒ \overrightarrow{a} =&pm;\overrightarrow{b}$

(iii) $\begin{vmatrix} \overrightarrow{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{b} \end{vmatrix} ⇒\overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}$

Pregunta 6. ABCD es un cuadrilátero. Encuentre la suma de los vectores $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},$ y $\overrightarrow{DA}$ .

(i) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0$

(ii) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$

Pregunta 9. Si P es un punto y ABCD es un cuadrilátero $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PC}$ y, demuestra que ABCD es un paralelogramo.

Pregunta 10. Cinco fuerzas $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ y $\overrightarrow{AF}$ actúan en el vértice de un hexágono regular ABCDEF. Demostrar que la resultante es 6 $\overrightarrow{AO},$ donde o es el centro del hexágono.