Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 23 Álgebra de Vectores – Ejercicio 23.5

Pregunta 1. Si el vector de posición de un punto (-4,-3) es $\overrightarrow{a}$ , encuentra $|\overrightarrow{a}|$ .

Solución:

Tenemos,

$\overrightarrow{a} = -4\hat i - 3\hat j \\|\overrightarrow{a}| = \sqrt[]{(-4)^2+ (-3)^2} \\ = \sqrt[]{16+9} \\ = \sqrt[]{25} \\= 5 \\|\overrightarrow{a}| = 5$

Pregunta 2. Si el vector $\overrightarrow{a}$ de posición de un punto (12,n) es tal que $|\overrightarrow{a}|= 13$ , encuentra los valores.

Solución:

Tenemos,

$\overrightarrow{a} = 12\hat i + n \hat j \\ |\overrightarrow{a}| = \sqrt[]{12^2 + n^2} \\ 13 = \sqrt[]{144 + n^2}$

Al cuadrar ambos lados,

$(13)^2 = (\sqrt[]{144 + n^2})^2 \\169 = 144 + n^2 \\n^2 = 169 - 144 \\n^2 = 25 \\n^2 = \pm \sqrt[]{25} \\n = \pm 5$

Pregunta 3. Encuentra un vector de 4 unidades de magnitud que sea paralelo al vector $\sqrt[]{3} \hat i + \hat{j}$ .

Solución:

Dado,

$\overline{a} = \sqrt{3 \hat i} + \hat{j}$

Sea $\overline{b}$ un vector paralelo a $\overline{a}$
Por lo tanto,
$\overline{b} = \lambda{\overline{a}}$ para cualquier escalar
$\\ = \lambda(\sqrt{3} \hat i + \lambda \hat j) \\ = \overline{b} = \lambda \sqrt{3} \hat i + \lambda \hat j \\ |\overline{b}| = \sqrt{(\lambda \sqrt{3})^2+(\lambda)^2} \\ = \sqrt{4 \lambda^2} \\ |\overline{b}| = 2\lambda \\ 4 = 2\lambda \\ \lambda = 2 \\ \overline{b}= \lambda \sqrt{3} \hat i + \lambda \hat j \\ \overline{b}= 2 \sqrt{3} \hat i + \lambda \hat j$

Pregunta 4. Expresar $\overlinearrow{AB}$ en términos de vectores unitarios (i)A = (4,-1),B = (1,3) (ii)A = (-6,3) , B = (-2,-5)

Solución:

(i) Tenemos,
A = (4,-1)
B = (1,3)
Vector de posición de A = $4\hat i - \hat j$
Vector de posición de B = $\hat i + 3 \hat j$
Ahora,
$\overlinearrow {AB} = Position Vector of B - Position Vector of A \\ ( \hat i + 3 \hat j - 4\hat i + \hat j) \\ \overlinearrow{AB} = -3\hat i + 4 \hat j \\ |\overlinearrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \\ = \sqrt{9+16} \\ = \sqrt{25} \\ |\overlinearrow{AB}| = 5$
por lo tanto,
$\overlinearrow{AB} = -3\hat i + 4 \hat j$

(ii) Tenemos,
A = (-6,3)
B = (-2,-5)
Vector de posición de A = $-6\hat i + 3\hat j$
Vector de posición de B = $-2\hat i - 5\hat j$
Ahora,
$\overlinearrow {AB} = Position Vector of B - Position Vector of A \\ (-2\hat i -5 \hat j) - (-6\hat i + 3\hat j) \\ \overlinearrow{AB} = 4\hat i - 8\hat j \\ |\overlinearrow{AB}| = \sqrt{(4)^2 + (-8)^2} \\ = \sqrt{16+64} \\ = \sqrt{80} \\ = \sqrt{16*5} \\ |\overlinearrow{AB}| = 4 \sqrt{5}$
por lo tanto,
$\overlinearrow{AB} = 4\hat i - 8\hat j$

Pregunta 5. Encuentra las coordenadas de la punta del vector de posición que es equivalente a $\overrightarrow{AB}$ , donde las coordenadas de A y B son (-1,3) y (-2,1)

Solución:

Tenemos,

A = (-1,3)

B = (-2,1)

Ahora,

Vector de posición de $A = -\hat i + 3 \hat j$

Vector de posición de $-2 \hat i + 1\hat j$

Por lo tanto,

$\overrightarrow{AB} = Position Vector of B - Position Vector of A \\ = (-2\hat i + \hat j) - (-\hat i + 3 \hat j) \\ = -2 \hat i + \hat j + \hat i -3 \hat j \\ = -\hat i - 2 \hat j$

Coordenada del vector de posición $\overrightarrow{AB} = -\hat i - 2 \hat j$

Pregunta 6. ABCD es un paralelogramo. Si las coordenadas de A,B,C son (-2,-1), (3,0),(1,-2) respectivamente, encuentre las coordenadas de D.

Solución:

Aquí, A = (-2,-1)

B = (3,0)

C = (1,-2)

Supongamos que D sea (x, y).

Calculando el vector de posición de AB, tenemos,

= Vector de posición de B – Vector de posición de A

$= (3 \hat i) - (-2 \hat i - \hat j) \\ \overrightarrow{AB} = 5 \hat i + \hat j \\ \overrightarrow{DC} = Position Vector of C - Position Vector of D \\ = ( \hat i - 2 \hat j) - (x \hat i + y \hat j) \\ = \hat i - 2 \hat j - x \hat i - y \hat j \\ \overrightarrow{DC} = (1-x)\hat i + (-2-y)\hat j$

Comparando LHS y RHS de ambos,

5 = 1-x

X = -4

Y,

1 = -2-y

y = -3

Entonces, coordenadas de D = (-4,-3).

Pregunta 7. Si los vectores de posición de los puntos A(3,4), B(5,-6) y C(4,-1) son $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ respectivamente, calcula el valor de $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$ .

Solución:

Calculando los vectores de posición de todos los puntos que tenemos,

$\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \\ \vec{b} = 5\hat{i} -6\hat{j} \\ \vec{c} = 4\hat{i} - \hat{j}$

Ahora,

Cálculo del valor final después de sustituir los valores,

$\vec{a} + 2\vec{b}-3\vec{c} = (3\hat i + 4\hat j ) + 2(5 \hat i - 6 \hat j) - 3(4 \hat i - \hat j) \\ = 3 \hat i + 4 \hat j + 10 \hat i - 12 \hat j -12 \hat i + 3 \hat j \\ = \hat i - 5 \hat j \\Therefore, \\ \vec{a} + 2\vec{b}-3\vec{c} = \hat i - 5 \hat j$

Cuestión 8. Si $\vec {a}$ es el vector de posición cuya punta es (-5,3), hallar las coordenadas de un punto B tal que $\overrightarrow{AB} = \vec {a}$ , siendo las coordenadas de A (-4,1).

Solución:

Dado,
Coordenada de A = (4,-1)
Vector de posición de A = $4\hat i - \hat j$
Vector de posición de $\vec{a} = 5\hat i - 3\hat j$
Sea coordenada del punto B = (x, y)
Vector de posición de B = $x\hat i + y\hat j$
Dado que, $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$
Vector de posición de B – Vector de posición de A = \ vec{a}
$(x\hat i + y\hat j) - (4\hat i - \hat j) = 5\hat i - 3\hat j \\ (x - 4) \hat i + (y+1)\hat j = 5 \hat i - 3 \hat j$
Comparando los coeficientes de LHS y RHS
x – y = 5
x = 9
Además,
y + 1 = 3
y = -1
Entonces, coordenada de B = (9,-4)

Pregunta 9. Demuestra que los puntos $2 \hat i , -\hat i -4 \hat j and -\hat i+4 \hat j$ forman un triángulo isósceles.

Solución:

$|\overrightarrow{AB}| = 5 units \\ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt[]{8^2} \\ |\overrightarrow{BC}| = 8 units \\ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt[]{(-3)^2 + (8)^2} \\ = \sqrt[]{9+16} \\ = \sqrt[]{25} \\Here, \\|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$

Entonces, los dos lados AB y AC del triángulo ABC son iguales.

Por lo tanto, ABC es un triángulo isósceles.

Pregunta 10. Encuentra un vector unitario paralelo al vector $\hat i + \sqrt{3} \hat j$ .

Solución:

Tenemos,

Dejar $\vec {a} = \hat i + \sqrt{3} \hat j$

Supongamos $\vec{a}$ que cualquier vector es paralelo a $\vec{a}$

$\vec{b} = λ \vec{a}$ , donde λ es cualquier escalar.

$= λ(\hat i + \sqrt{3} \hat j)$

$\vec{b} = λ(\hat i + \sqrt{3} \hat j)$

vector unitario de

$\vec{b}= \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ \hat{b} = \frac{\hat i + \sqrt[]{3} \hat j}{2} \\ \hat{b} = \frac{1}{2}(\hat i + \sqrt[]{3} \hat j)$
Por lo tanto,
$\\ \hat{b} = \frac{1}{2}\hat i + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat j$

Pregunta 11. Encuentra las componentes a lo largo de los ejes de coordenadas del vector de posición de cada uno de los siguientes puntos:

(yo) P(3,2)

(ii) Q(-5,1)

(iii) R(-11,-9)

(iv) S(4,-3)

Solución:

(i) Dado, P = (3,2)

Vector de posición de P = $3\hat i + 2\hat j$

Componente de P a lo largo del eje x = $3 \hat i$

Componente de P a lo largo del eje y = $2 \hat j$

(ii) Dado, Q = (-5,1)

Vector de posición de Q = $-5\hat i + \hat j$

Componente de Q a lo largo del eje x = $-5 \hat i$

Componente de Q a lo largo del eje y = $\hat j$

(iii) Dado, R = (-11,-9)

Vector de posición de R = $-11\hat i -9 \hat j$

Componente de R a lo largo del eje x = $-11 \hat i$

Componente de R a lo largo del eje y = $-9 \hat j$

(iv) Dado, S = (4,-3)

Vector de posición de S = $4\hat i -3 \hat j$

Componente de S a lo largo del eje x = $4 \hat i$

Componente de S a lo largo del eje y = $-3 \hat j$

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Artículo escrito por yippeee25 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Si el vector de posición de un punto (-4,-3) es , encuentra .

Pregunta 2. Si el vector de posición de un punto (12,n) es tal que , encuentra los valores.

Pregunta 3. Encuentra un vector de 4 unidades de magnitud que sea paralelo al vector .

Pregunta 4. Expresar en términos de vectores unitarios (i)A = (4,-1),B = (1,3) (ii)A = (-6,3) , B = (-2,-5)

Pregunta 5. Encuentra las coordenadas de la punta del vector de posición que es equivalente a , donde las coordenadas de A y B son (-1,3) y (-2,1)

Pregunta 6. ABCD es un paralelogramo. Si las coordenadas de A,B,C son (-2,-1), (3,0),(1,-2) respectivamente, encuentre las coordenadas de D.

Pregunta 7. Si los vectores de posición de los puntos A(3,4), B(5,-6) y C(4,-1) son respectivamente, calcula el valor de .

Cuestión 8. Si es el vector de posición cuya punta es (-5,3), hallar las coordenadas de un punto B tal que , siendo las coordenadas de A (-4,1).

Pregunta 9. Demuestra que los puntos forman un triángulo isósceles.

Pregunta 10. Encuentra un vector unitario paralelo al vector .

Pregunta 11. Encuentra las componentes a lo largo de los ejes de coordenadas del vector de posición de cada uno de los siguientes puntos:

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Pregunta 1. Si el vector de posición de un punto (-4,-3) es $\overrightarrow{a}$ , encuentra $|\overrightarrow{a}|$ .

Pregunta 2. Si el vector $\overrightarrow{a}$ de posición de un punto (12,n) es tal que $|\overrightarrow{a}|= 13$ , encuentra los valores.

Pregunta 3. Encuentra un vector de 4 unidades de magnitud que sea paralelo al vector $\sqrt[]{3} \hat i + \hat{j}$ .

Pregunta 4. Expresar $\overlinearrow{AB}$ en términos de vectores unitarios (i)A = (4,-1),B = (1,3) (ii)A = (-6,3) , B = (-2,-5)

Pregunta 5. Encuentra las coordenadas de la punta del vector de posición que es equivalente a $\overrightarrow{AB}$ , donde las coordenadas de A y B son (-1,3) y (-2,1)

Pregunta 7. Si los vectores de posición de los puntos A(3,4), B(5,-6) y C(4,-1) son $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ respectivamente, calcula el valor de $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$ .

Cuestión 8. Si $\vec {a}$ es el vector de posición cuya punta es (-5,3), hallar las coordenadas de un punto B tal que $\overrightarrow{AB} = \vec {a}$ , siendo las coordenadas de A (-4,1).

Pregunta 9. Demuestra que los puntos $2 \hat i , -\hat i -4 \hat j and -\hat i+4 \hat j$ forman un triángulo isósceles.

Pregunta 10. Encuentra un vector unitario paralelo al vector $\hat i + \sqrt{3} \hat j$ .