Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 23 Álgebra de Vectores – Ejercicio 23.6 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 11: Encuentra el vector de posición del punto medio del vector que une los puntos P( 2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} ) y Q( 4\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k} ).

Solución:

El punto medio del segmento de recta que une 2 vectores viene dado por:

=> \vec{R} = \dfrac{\vec{P}+\vec{Q}}{2}

=> \vec{R} = \dfrac{(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})+(4\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}{2}

=> \vec{R} = \dfrac{6\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{2}

=> \vec{R} = 3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}

Pregunta 12: Encuentra el vector unitario en la dirección del vector  \vec{PQ}, donde P y Q son los puntos (1,2,3) y (4,5,6).

Solución:

Dejar,

=> \vec{p} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}

=> \vec{q} = 4\hat{i} + 5\hat{j}+6\hat{k}

=> \vec{PQ} = \vec{q}-\vec{p}

=> \vec{PQ} = (4\hat{i} + 5\hat{j}+6\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})

=> \vec{PQ} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}

vector unitario es,

=> \hat{PQ} = \dfrac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}

=> \hat{PQ} = \dfrac{1}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}}(3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k})

=> \hat{PQ} = \dfrac{1}{3\sqrt{3}}3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})

=> \hat{PQ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})

Pregunta 13: Demuestra que los puntos A( 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}), B( \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}), C( 3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Solución:

Dejar,

=> \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}

=> \vec{b} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}

=> \vec{c} = 3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}

Los segmentos de línea son,

=> \vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}

=> \vec{AB} = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k})-(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})

=> \vec{AB} = -\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}

=> \vec{BC} = \vec{c}-\vec{b}

=> \vec{BC} = (3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k})-(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k})

=> \vec{BC} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}

=> \vec{CA} = \vec{a}-\vec{c}

=> \vec{CA} = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})-(3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k})

=> \vec{CA} = -\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}

Las magnitudes de los lados son,

=> |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-6)^2} = \sqrt{41}

=> |\vec{BC}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}

=> |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2+3^2+5^2} = \sqrt{35}

Como podemos ver que |\vec{AB}|^2 = |\vec {BC}|^2+|\vec{CA}|^2

=> Por lo tanto, ABC es un triángulo rectángulo.

Pregunta 14: Encuentra el vector de posición del punto medio del vector que une los puntos P(2, 3, 4) y Q(4, 1, -2).

Solución:

Dejar,

=> \vec{p} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}

=> \vec{q} = 4\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}

 El punto medio del segmento de recta que une 2 vectores viene dado por:

=> \vec{r} = \dfrac{\vec{p}+\vec{q}}{2}

=> \vec{r} = \dfrac{(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})+( 4\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}{2}

=> \vec{r} = \dfrac{6\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}}{2}

=> \vec{r} = 3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}

Pregunta 15: Encuentra el valor de x para el cual x( \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) es un vector unitario.

Solución:

La magnitud del vector dado es,

=> |x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = \sqrt{x^2+x^2+x^2}

=> |x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = \sqrt{3x^2}

=> |x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = \pm x\sqrt{3}

Para que sea un vector unitario,

=> |x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = 1

=> x\sqrt{3} = \pm 1

=> x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}

Pregunta 16: Si  \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k},  \vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k} y  \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, encuentran un vector unitario paralelo a  2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} .

Solución:

Dado  \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ,  \vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}  y \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}

=> 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})+3(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})

=> 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} = 3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}

Por lo tanto, el vector unitario es,

=> \hat{p} = \dfrac{2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}}{|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}|}

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{3^2+(-3)^2+2^2}}(3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{22}}(3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})

Pregunta 17: Si  \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ,  \vec{b}=4\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} y  \vec{c} = \vec{i}-2\hat{j}+\hat{k}, encuentre un vector de 6 unidades de magnitud que sea paralelo al vector  2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}.

Solución:

Dado  \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ,  \vec{b}=4\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} y \vec{c} = \vec{i}-2\hat{j}+\hat{k}

=> 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(4\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})+3(\vec{i}-2\hat{j}+\hat{k})

=> 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} = \hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}

El vector unitario en esa dirección es,

=> \hat{p} = \dfrac{2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}}{|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}|}

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})

=> \hat{p} = \dfrac{1}{3}(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})

Dado que el vector tiene una magnitud de 6,

=> Los vectores requeridos son:  \pm6\times\dfrac{1}{3}(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}) = \pm2(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})

Pregunta 18: Encuentra un vector de magnitud 5 unidades paralelo a la resultante del vector  \vec{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}y  \vec{b} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}.

Solución:

dado,  \vec{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k} y \vec{b} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}

El vector resultante estará dado por,

=> \vec{r} = \vec{a}+\vec{b}

=> \vec{r} = (2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})+(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})

=> \vec{r} = 3\hat{i}+\hat{j}

vector unitario es,

=> \hat{p} = \dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{3^2+1^2}}(3\hat{i}+\hat{j})

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}(3\hat{i}+\hat{j})

Dado que el vector tiene una magnitud de 5,

=> Los vectores requeridos son: \pm5\times\dfrac{1}{\sqrt{10}}(3\hat{i}+\hat{j})= \pm\dfrac{5}{\sqrt{10}}(3\hat{i}+\hat{j})

Pregunta 19: Los dos vectores  \hat{j}+\hat{i} y  3\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k} representan los lados  \vec{AB} y  \vec{AC} respectivamente del triángulo ABC. Encuentre la longitud de la mediana a través de A.

Solución:

Sea D el punto de BC en el que toca la mediana que pasa por A.

D es también el punto medio de BC.

Así, la mediana  \vec{AD} viene dada por:

=> \vec{AD} = \dfrac{\vec{B}+\vec{C}}{2}- \vec{A}

=> \vec{AD} = \dfrac{\vec{B}-\vec{A}+\vec{C}-\vec{A}}{2}

=> \vec{AD} = \dfrac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}

=> \vec{AD} = \dfrac{(\hat{j}+\hat{i})+(3\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})}{2}

=> \vec{AD} = \dfrac{4\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}}{2}

=> \vec{AD} = 2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}

Por lo tanto, la longitud de la mediana es,

=> |\vec{AD}| = \sqrt{2^2+1^2+2^2}

=> |\vec{AD}| = \sqrt{9}

=> |\vec{AD}| = 3  unidades

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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