Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 23 Álgebra de Vectores – Ejercicio 23.7

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Demuestre que los puntos A, B, C con vectores de posición  \vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c},\ 2\vec{a}+3\vec{b}-4\vec{c} y  -7\vec{b}+10\vec{c} son colineales.

Solución: 

Dado que, 

Vector de posición de A=\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}  

Vector de posición de B=2\vec{a}+3\vec{b}-4\vec{c}

Vector de posición de C=-7\vec{b}+10\vec{c}

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición B – Vector de posición de A

= (2\vec{a}+3\vec{b}-4\vec{c})-(\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c})\\ =2\vec{a}+3\vec{b}-4\vec{c}-\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{c}

= \vec{a}+5\vec{b}-7\vec{c}

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

= (-7\vec{b}+10\vec{c})-(2\vec{a}+3\vec{b}-4\vec{c})\\ =-7\vec{b}+10\vec{c}-2\vec{a}-3\vec{b}+4\vec{c}  

= -2\vec{a}-10\vec{b}+14\vec{c}

Usando  \overrightarrow{AB} y  \overrightarrow{BC}, obtenemos,

\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{AB}

Entonces, \overrightarrow{AB} || \overrightarrow{BC} pero  \vec{B}  es un vector común. 

Por lo tanto, se demostró que A, B, C son colineales.

Pregunta 2 (i). Si  \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c} son vectores no coplanares, demuestre que los puntos que tienen los vectores de posición  \vec{a},\ \vec{b},\ 3\vec{a}-2\vec{b} son colineales.

Solución:

Supongamos tres puntos que son A, B, C

Vector de posición de A = \vec{a}

Vector de posición de B = \vec{b}

Vector de posición de C = 3\vec{a}-2\vec{b}

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de A

=  \vec{b}-\vec{a}           -(1)

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

=3\vec{a}-2\vec{b}-\vec{b}\\ =3\vec{a}-3\vec{b}           -(2)

Usando la ecuación (1) y (2), obtenemos

\overrightarrow{BC}  =(\overrightarrow{AB})

3\vec{a}-3\vec{b}=λ(\vec{b}-\vec{a})\\ 3\vec{a}-3\vec{b}=λ\vec{b}-λ\vec{a}\\ 3\vec{a}-3\vec{b}=λ\vec{a}+λ\vec{b}

Al comparar los coeficientes de LHS y RHS, 

-λ = 3

λ = 3

λ = -3

El valor de λ es diferente

Por lo tanto, los puntos A, B, C no son colineales.

Pregunta 2 (ii) Si  \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}  son vectores no coplanares, demuestre que los puntos que tienen los vectores de posición  \vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\ 4\vec{a}+3\vec{b},\ 10\vec{a}+7\vec{b}-2\vec{c}  son colineales.

Solución:

Supongamos tres puntos que son A, B, C

Vector de posición de A = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}

Vector de posición de B = 4\vec{a}+3\vec{b}

Vector de posición de C = 10\vec{a}+7\vec{b}-2\vec{c}

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de A

= =(4\vec{a}+3\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\ =4\vec{a}+3\vec{b}-\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\\ \overrightarrow{AB}=3\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c}

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

=(10\vec{a}+7\vec{b}-2\vec{c})-(4\vec{a}+3\vec{b})\\ =10\vec{a}+7\vec{b}-2\vec{c}-4\vec{a}-3\vec{b}\\ \overrightarrow{BC}=6\vec{a}+4\vec{b}-2\vec{c}

Usando  \overrightarrow{AB} y  \overrightarrow{BC}obtenemos

\overrightarrow{BC}  = 2 (\overrightarrow{AB})

Entonces,  (\overrightarrow{AB})  || (\overrightarrow{BC})  pero  \vec{B}  es un vector común.

Por lo tanto, A, B, C son colineales

Pregunta 3. Demuestra que los puntos que tienen vectores de posición  \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\ 3\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k},\ -3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}  son colineales.

Solución:

Consideremos los puntos A, B, C

Vector de posición de A = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}

Vector de posición de B = 3\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k}

Vector de posición de C = -3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de A

= =(3\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\\ =3\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\\ \overrightarrow{AB}=2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

=(-3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k})-(3\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k})\\ =-3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}-3\hat{i}-4\hat{j}-7\hat{k}\\ \overrightarrow{BC}=-6\hat{i}-6\hat{j}-12\hat{k}

Usando  \overrightarrow{AB} y  \overrightarrow{BC}obtenemos

\overrightarrow{BC}  = -3 (\overrightarrow{AB})

(\overrightarrow{AB})  || (\overrightarrow{BC})  pero  \vec{B}  es un vector común.

Por lo tanto, A, B, C son colineales

Pregunta 4. Si los puntos con vectores de posición  10\hat{i}+3\hat{j},\ 12\hat{i}-5\hat{j}\ and\ a\hat{i}+11\hat{j} son colineales, encuentra el valor de a.  

Solución:

Sean los puntos A, B, C

Vector de posición de A = 10\hat{i}+3\hat{j}

Vector de posición de B = 12\hat{i}-5\hat{j}

Vector de posición de C = a\hat{i}+11\hat{j}

Dado que A, B, C son colineales

⇒  \overrightarrow{AB}  y  \overrightarrow{BC}   son colineales

⇒  \overrightarrow{AB}  =(\overrightarrow{BC})

⇒ Vector de posición de B – Vector de posición de A = B)

⇒ (12\hat{i}-5\hat{j})-(10\hat{i}+3\hat{j})=λ[(a\hat{i}+11\hat{j})-(12\hat{i}-5\hat{j})]\\ ⇒ 12\hat{i}-5\hat{j}-10\hat{i}-3\hat{j}=λ(a\hat{i}+11\hat{j}-12\hat{i}+5\hat{j})]\\ ⇒ 2\hat{i}-8\hat{j}=(λa-12λ)\hat{i}=(11λ+5λ)\hat{j}

Al comparar los coeficientes de LHS y RHS, obtenemos

Ahora pon el valor de

Entonces, el valor de a es 8.

Pregunta 5. Si  \vec{a},\ \vec{b} son dos vectores no colineales, demuestre que los puntos con vectores de posición  \vec{a}+\vec{b},\ \vec{a}-\vec{b}\ and\ \vec{a}+λ\vec{b} son colineales para todos los valores reales de

Solución:

Consideremos los puntos A, B, C

Vector de posición de A = \vec{a}+\vec{b}

Vector de posición de B = \vec{a}-\vec{b}

Vector de posición de C = \vec{a}+λ\vec{b}

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de A

=(\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b})\\ =\vec{a}-\vec{b}-\vec{a}-\vec{b}\\ \overrightarrow{AB}=-2\vec{b}

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

=(\vec{a}+λ\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})\\ =\vec{a}+λ\vec{b}-\vec{a}+\vec{b}\\ =λ\vec{b}+\vec{b}\\ \overrightarrow{BC}=(λ+1)\vec{b}

usando  \overrightarrow{AB}  y \overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AB}  = \left[\frac{(λ+1)}{-2}\right](\overrightarrow{BC})

Sea  \left(\frac{λ+1}{-2}\right)  = μ

Como μ también es un número real.

(\overrightarrow{AB})  || (\overrightarrow{BC})  pero  \vec{B}  es un vector común.

Por lo tanto, A, B, C son colineales.

Pregunta 6. Si  \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} , prueba que A, B, C son puntos colineales

Solución:

Según la pregunta

\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\\ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{CO}\\ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}

Entonces,  (\overrightarrow{AB})  || (\overrightarrow{BC})  pero  \vec{B}  es un vector común.

Por lo tanto, A, B, C son colineales.

Pregunta 7. Demuestre que los vectores  2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\ and\ -4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}  son colineales.

Solución:

Consideremos, el vector de posición A = 2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}

Vector de posición B = -4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}

Supongamos que O es el punto inicial que tiene el vector de posición

0\times\hat{i}+0\times\hat{j}+0\times\hat{k}

\overrightarrow{OA}  = Vector de posición de A – Vector de posición de O

=(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})-(0\times\hat{i}+0\times\hat{j}+0\times\hat{k})\\ =2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}

\overrightarrow{OB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de O

=(-4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k})-(0\times\hat{i}+0\times\hat{j}+0\times\hat{k})\\ =-4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}

Usando OA y OB, obtenemos

\overrightarrow{OB}=-2(\overrightarrow{OA})

Por lo tanto,  \overrightarrow{OA}  || \overrightarrow{OB}  pero O es el punto común para ellos.

Por lo tanto, A y B son colineales.

Pregunta 8. Si los puntos A(m, -1), B(2, 1), C(4, 5) son colineales, encuentra el valor de m.

Solución: 

Consideremos

A = (m, -1)

B = (2, 1)

C = (4, 5)

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de A

=(2\hat{i}+\hat{j})-(m\hat{i}-\hat{j})\\ =2\hat{i}+\hat{j}-m\hat{i}+\hat{j}\\ =(2-m)\hat{i}+2\hat{j}

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

=(4\hat{i}+5\hat{j})-(2\hat{i}+\hat{j})\\ =4\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{i}-\hat{j}\\ =2\hat{i}+4\hat{j}

A, B, C son colineales.

Entonces,  \overrightarrow{AB}  y  \overrightarrow{BC}  son colineales.

Entonces,  \overrightarrow{AB}  =  (\overrightarrow{BC})

(2-m)\hat{i}+2\hat{j}=λ(2\hat{i}+4\hat{j}),\ \ for\ λ\ scalar\\ (2-m)\hat{i}+2\hat{j}=2λ\hat{i}+4λ\hat{j}

Al comparar el coeficiente de LHS y RHS, obtenemos

2-m = 2

\frac{2-m}{2}=λ           -(1)

2 = 4

\frac{2}{4}  =

\frac{1}{2}  = -(2)

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

\frac{2-m}{2}=\frac{1}{2}

4 – 2m = 2

-2m = 2 – 4

metro = \frac{-2}{-2}

metro = 1

entonces el valor de m es 1

Pregunta 9. Demuestra que los puntos (3, 4), (-5, 16), (5, 1) son colineales.

Solución:

Deja que su considerado 

A = (3, 4)

B = (-5, 16)

C = (5, 1)

\overrightarrow{AB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de A

=(-5\hat{i}+16\hat{j})-(3\hat{i}+4\hat{j})\\ =-5\hat{i}+16\hat{j}-3\hat{i}-4\hat{j}\\ \overrightarrow{AB}=-8\hat{i}+12\hat{j}

\overrightarrow{BC}  = Vector de posición de C – Vector de posición de B

=(5\hat{i}+\hat{j})-(-5\hat{i}+16\hat{j})\\ =5\hat{i}+\hat{j}+5\hat{i}-16\hat{j}\\ \overrightarrow{BC}=10\hat{i}-15\hat{j}

Asi que, 4(\overrightarrow{AB})=-5(\overrightarrow{BC})

\overrightarrow{AB}  ||  \overrightarrow{BC}  pero B es un punto común.

Por lo tanto, A, B, C son colineales.

Pregunta 10. Si los vectores  \vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}\ and\ \vec{b}=-6\hat{i}+m\hat{j} son colineales, encuentra el valor de m.

Solución:

Dado: a=2\hat{i}-3\hat{j}  y  b=-6\hat{i}+m\hat{j}  son colineales.

Entonces, un =

2\hat{i}-3\hat{j}=λ(-6\hat{i}+m\hat{j})\\ 2\hat{i}-3\hat{j}=-6λ\hat{i}+mλ\hat{j}

Al comparar los coeficientes de LHS y RHS, obtenemos

2 = -6λ

λ = 2/(-6) 

λ = -1/3 -(1)

-3 = λm

λ = -3/m -(2)

De la ecuación (1) y (2), tenemos

-1/3 = -3/m

m = 3 × 3

metro = 9

entonces el valor de m es 9

Pregunta 11. Demuestra que los puntos A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) y C(11, 3, 7) son colineales y encuentra la razón en que B divide a AC.

Solución:

Dado: A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) y C(11, 3, 7).

\overrightarrow{AB}=(5-1)\hat{i}+(0+2)\hat{j}+(-2+8)\hat{k}=4\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\\ \overrightarrow{BC}=(11-5)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(7+2)\hat{k}=6\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k}\\ \overrightarrow{AC}=(11-1)\hat{i}+(3+2)\hat{j}+(7+8)\hat{k}=10\hat{i}+5\hat{j}+15\hat{k}\\ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4^2+2^2+6^2}=\sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\\ \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{6^2+3^2+9^2}=\sqrt{36+9+81}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}\\ \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{10^2+5^2+15^2}=\sqrt{100+25+225}=\sqrt{350}=5\sqrt{14}\\ \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|

Entonces los puntos dados son colineales

Ahora, consideremos el punto B dividiendo AC en la razón

\overrightarrow{OB}=\frac{λ\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}}{(λ+1)}

⇒5\hat{i}-2\hat{k}=\frac{λ(11\hat{i}+3\hat{j}+7\hat{k})+(\hat{i}-2\hat{j}-8\hat{k})}{λ+1}\\ ⇒(λ+1)(5\hat{i}-2\hat{k})=11λ\hat{i}+3λ\hat{j}+7λ\hat{k}+\hat{i}-2\hat{j}-8\hat{k}\\ ⇒5(λ+1)\hat{i}-2(λ+1)\hat{k}=(11λ+1)\hat{i}+(3λ-2)\hat{j}+(7λ-8)\hat{k}

5(

⇒ 6

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Entonces, el punto B divide a AC en la razón 2 : 3.

Pregunta 12. Usando el vector, demuestre que los puntos A(-2, 3, 5), B(7, 0, -1) y C(-3, -2, -5) y D(3, 4, 7) son tal que AB y CD se cortan en el punto P(1, 2, 3).

Solución:

De acuerdo con la pregunta, tenemos,

\overrightarrow{AP}  = Vector de posición de P – Vector de posición de A

\overrightarrow{AP}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}-(-2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}

\overrightarrow{PB}  = Vector de posición de B – Vector de posición de P

\overrightarrow{PB}=7\hat{i}-\hat{k}-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})=6\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k}

Por lo tanto,  \overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP} . Entonces, los vectores son colineales.

Pero P es un punto común, por lo que P, A, B son puntos colineales.

Similarmente, \overrightarrow{CP}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}-(-3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k})=4\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\\ \overrightarrow{PD}=3\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k}-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})=2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}

\overrightarrow{CP}\ and\ \overrightarrow{PD}  son colineales,

Pero P es un punto común a  \overrightarrow{CP}\ and\ \overrightarrow{CD} . Entonces, C, P, D son puntos colineales.

Por lo tanto, AB y CD se cortan en el punto P.

Pregunta 13. Usando vectores, encuentre el valor de I tal que los puntos (I, -10, 3), (1, -1, 3) y (3, 5, 3) sean colineales.

Solución:

Dado: Puntos (I

x = 5/2 y y = -3/2

Ahora, pon el valor de x e y en la ecuación (1), obtenemos

yo = -2

Entonces el valor de I es -2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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