Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 23 Álgebra de Vectores – Ejercicio 23.9

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1: ¿Puede un vector tener ángulos de dirección de 45°, 60° y 120°?

Solución:

Sabemos que si l, m y n son los cosenos directores y  \alpha ,  \beta  y  \gamma  son los ángulos directores entonces,

=> l = \cos \alpha = \cos 45 \degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

=> m = \cos \beta = \cos 60 \degree = \dfrac{1}{2}

=> n = \cos \gamma = \cos 120 \degree = \dfrac{1}{2}

También,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> (\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\dfrac{1}{2})^2+ (\dfrac{1}{2})^2 = 1

=> \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} = 1

=> Como LHS = RHS, el vector puede tener estos ángulos de dirección.

Pregunta 2: Demuestra que 1,1 y 1 no pueden ser los cosenos directores de una recta.

Solución:

Dado que, l=1, m=1 y n=1.

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1

=> 3 ≠ 1

Por lo tanto, 1, 1 y 1 nunca pueden ser los cosenos directores de una línea recta.

=> Por lo tanto probado.

Pregunta 3: Un vector forma un ángulo  \dfrac{\pi}{4}  con cada uno de los ejes x e y. Encuentre el ángulo que forma con el eje z.

Solución:

Sabemos que si l, m y n son los cosenos directores y  \alpha ,  \beta  y  \gamma  son los ángulos directores entonces,

=> l = \cos \alpha = \cos 45 \degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

=> m = \cos \beta = \cos 45 \degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

Sea  \gamma el ángulo que tenemos que calcular.

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> n^2 = 1- [(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2]

=> norte 2 = 1 – 1

=> norte 2 = 0

=> \cos^2 \gamma = 0

=> \cos \gamma = 0

=> \gamma = \cos^{-1}0

=> \gamma = \dfrac{\pi}{2}

Pregunta 4: Un vector \vec{r}  está inclinado en ángulos agudos iguales al eje x, eje y y eje z. Si  |\vec{r}|  = 6 unidades, encuentre  \vec{r} .

Solución:

Dado que \alpha=\beta=\gamma

=> \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma

=> l = metro = norte = pag (digamos)

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> pag 2 + pag 2 + pag 2 = 1

=> 3p 2 = 1

=> p = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}

El vector  \vec{r}  se puede describir como,

=> \vec{r} = |\vec{r}|(l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k})

=> \vec{r} = 6(\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+ \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} +\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{k})

=> \vec{r} = \pm2\sqrt{3}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})

Pregunta 5: Un vector  \vec{r}  está inclinado al eje x a 45° y al eje y a 60°. Si  |\vec{r}|=8  son unidades, encuentre  \vec{r} .

Solución:

Dado eso  \alpha = 45 \degree  y \beta = 60 \degree

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1

=> (\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2+ (\dfrac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1

=> \cos^2 \gamma = 1- [\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}]

=> \cos ^2 \gamma = 1- \dfrac{3}{4}

=> \cos ^2 \gamma = \dfrac{1}{4}

=> \cos \gamma = \pm \dfrac{1}{2}

El vector  \vec{r}  se puede describir como,

=> \vec{r} = |\vec{r}|(l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k})

=> \vec{r} = 8(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+ \dfrac{1}{2}\hat{j} +\pm \dfrac{1}{2}\hat{k})

=> \vec{r} = 4(\sqrt{2}\hat{i}+\hat{j}+\pm \hat{k})

Pregunta 6: Encuentra los cosenos directores de los siguientes vectores:

(i): 2\hat{i}+ 2\hat{j}-\hat{k}

Solución:

Las relaciones de dirección se dan como 2, 2 y -1.

Los cosenos directores se dan como,

=> \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma = \dfrac{2}{|\vec{r}|}, \dfrac{2}{|\vec{r}|}, \dfrac{-1}{|\vec{r}|}

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{2}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}, \dfrac{2}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}, \dfrac{-1}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{-1}{3}

(ii): 6\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}

Solución:

Las relaciones de dirección se dan como 6, -2 y -3.

Los cosenos directores se dan como,

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{6}{|\vec{r}|}, \dfrac{-2}{|\vec{r}|}, \dfrac{-3}{|\vec{r}|}

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{6}{\sqrt{6^2+(-2)^2+(-3)^2}}, \dfrac{-2}{\sqrt{6^2+(-2)^2+(-3)^2}}, \dfrac{-3}{\sqrt{6^2+(-2)^2+(-3)^2}}

=>\cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{6}{7}, \dfrac{-2}{7}, \dfrac{-3}{7}

(iii): 3\hat{i}-4\hat{k}

Solución:

Las relaciones de dirección se dan como 3, 0 y -4.

Los cosenos directores se dan como,

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{3}{|\vec{r}|}, \dfrac{0}{|\vec{r}|}, \dfrac{-4}{|\vec{r}|}

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{3}{\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}}, \dfrac{0}{\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}}, \dfrac{-4}{\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}}

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{3}{5}, 0 , \dfrac{-4}{5}

Pregunta 7: Encuentra los ángulos en los que los siguientes vectores se inclinan a cada uno de los ejes de coordenadas.

(i): \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}

Solución:

Las relaciones de dirección dadas son: 1,-1,1.

De este modo,

=> l, m, n = \dfrac{1}{|\vec{r}|}, \dfrac{-1}{|\vec{r}|}, \dfrac{1}{|\vec{r}|}

=> l, m, n = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}, \dfrac{-1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}, \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}

=> l, m, n = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{-1}{\sqrt{3}} , \dfrac{1}{\sqrt{3}}

=> \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{-1}{\sqrt{3}} , \dfrac{1}{\sqrt{3}}

=> \alpha , \beta , \gamma = \cos ^{-1} (\dfrac{1}{\sqrt{3}}), \cos ^{-1} (\dfrac{-1}{\sqrt{3}}), \cos ^{-1} (\dfrac{1}{\sqrt{3}})

(ii): \hat{j}-\hat{k}

Solución:

Las relaciones de dirección dadas son: 0,1,-1.

De este modo,

=> l, m, n = \dfrac{0}{|\vec{r}|}, \dfrac{1}{|\vec{r}|}, \dfrac{-1}{|\vec{r}|}

=> l, m, n = \dfrac{0}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}, \dfrac{1}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}, \dfrac{-1}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}

=> l, m, n = 0 , \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{-1}{\sqrt{2}}

=> \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma = 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{-1}{\sqrt{2}}

=> \alpha , \beta , \gamma = \cos ^{-1}(0), \cos ^{-1} (\dfrac{1}{\sqrt{2}}), \cos ^{-1} (\dfrac{-1}{\sqrt{2}})

=> \alpha , \beta , \gamma = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}

(iii): 4\hat{i}+8\hat{j}+\hat{k}

Solución:

Las relaciones de dirección dadas son: 4, 8, 1.

De este modo,

=> l, m, n = \dfrac{4}{|\vec{r}|}, \dfrac{8}{|\vec{r}|}, \dfrac{1}{|\vec{r}|}

=> l, m, n = \dfrac{0}{\sqrt{4^2+8^2+1^2}}, \dfrac{8}{\sqrt{4^2+8^2+1^2}}, \dfrac{1}{\sqrt{4^2+8^2+1^2}}

=> l, m, n = \dfrac{4}{9}, \dfrac{8}{9} , \dfrac{1}{9}

=> \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{4}{9}, \dfrac{8}{9} , \dfrac{1}{9}

=> \alpha , \beta , \gamma = \cos ^{-1}(\dfrac{4}{9}), \cos ^{-1} (\dfrac{8}{9}), \cos ^{-1} (\dfrac{1}{9})

Pregunta 8: Demuestra que el vector  \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}  tiene la misma inclinación que los ejes OX, OY y OZ.

Solución:

Dejar \vec{r}= \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}

De este modo, |\vec{r}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2}

=> |\vec{r}| = \sqrt{3}

Así, los cosenos directores son:  \dfrac{1}{|\vec{r}|} ,  \dfrac{1}{|\vec{r}|}  y \dfrac{1}{|\vec{r}|}

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}

De este modo,

=> \cos \alpha, \cos \beta , \cos \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{3}}

=> Así, el vector está igualmente inclinado con los 3 ejes.

Pregunta 9: Muestre que los cosenos directores de un vector igualmente inclinado a los ejes OX, OY y OZ son  \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}},  \dfrac{1}{\sqrt{3}} .

Solución:

Sea el vector igualmente inclinado en un ángulo de  \alpha .

Entonces los cosenos directores del vector l, m, n son:  \cos \alpha ,  \cos \beta  y \cos \gamma

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha+ \cos^2 \alpha = 1

=> 3\cos^2 \alpha = 1

=> \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}

=> Así, los cosenos directores son:  \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} ,  \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},  \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Pregunta 10: Si un vector unitario  \vec{a}  forma un ángulo  \dfrac{\pi}{3}  con  \hat{i},  \dfrac{\pi}{4}  con  \hat{j}  y un ángulo agudo  \theta  con \hat{k} , entonces encuentre \theta y, por lo tanto, las componentes de  \vec{a}.

Solución:

El vector unitario ser,

=> \vec{r} = r_1\hat{i}+r_2\hat{j}+r_3\hat{k}

=> r_1 , r_2, r_3 = \cos (\dfrac{\pi}{3}), \cos (\dfrac{\pi}{4}), \cos \theta

Dado que  \vec{r}  es un vector unitario,

=> |\vec{r}| = 1

=> \sqrt{r_1^2+r_2^2+ r_3^2 }= 1

=> r_1^2+r_2^2+ r_3^2 = 1

=>  (\cos (\dfrac{\pi}{3}))^2 + (\cos (\dfrac{\pi}{4}))^2 + (\cos \theta)^2 =1

=> (\cos \theta)^2 = 1-[\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}]

=> (\cos \theta)^2 = 1- \dfrac{3}{4}

=> (\cos \theta)^2 = \dfrac{1}{4}

=> \cos \theta = \dfrac{1}{2}

=> \theta = \cos ^{-1} (\dfrac{1}{2})

=> \theta = \dfrac{\pi}{3}

Pregunta 11: Encuentre un vector  \vec{r} de unidades de magnitud  3\sqrt{2}  que forme un ángulo de  \dfrac{\pi}{4}  y  \dfrac{\pi}{2}  con los ejes y y z respectivamente.

Solución:

Sean l, m, n los cosenos directores del vector  \vec{r} .

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> \cos ^2 \alpha+ \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma =1

=> l^2 =1 - [(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2+(0)^2]

=> l^2 = 1- \dfrac{1}{2}

=> l = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}

Así el vector es,

=> \vec{r} = |\vec{r}|(l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k})

=> \vec{r} = 3\sqrt{2}(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k})

=> \vec{r} = \pm 3\hat{i} + 3\hat{j}

Pregunta 12: Un vector  \vec{r}  está inclinado en ángulos iguales a los 3 ejes. Si la magnitud de  \vec{r} es  2\sqrt{3} , encuentre  \vec{r} .

Solución:

Sean l, m, n los cosenos directores del vector  \vec{r} .

Dado que el vector está inclinado en ángulos iguales a los 3 ejes.

=> l = m = n = \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma

Lo sabemos,

=> l 2 + metro 2 + norte 2 = 1

=> 3\cos ^2\alpha = 1

=> \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}

Por lo tanto, el vector se da como,

=> \vec{r} = |\vec{r}|(l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k})

=> \vec{r} = 2\sqrt{3}(\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{i}+ \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{j}+ \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{k})

=> \vec{r} = \pm 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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