Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 Producto escalar o escalar – Ejercicio 24.1

Pregunta 33. Encuentra el ángulo entre los dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , si

(i) $|\vec{a}|$ =√3, $|\vec{b}|$ = 2 y $\vec{a}.\vec{b}$ = √6

Solución:

Sabemos, $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

⇒ √6 = 2√3 cos θ

⇒ cos θ = 1/√2

⇒ θ = cos ^-1 (1/√2)

⇒ θ = π/4

(ii) $|\vec{a}|$ = 3, $|\vec{b}|$ = 3 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 1

Solución:

Sabemos, $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

⇒ 1 = 3×3 cos θ

⇒ cos θ = 1/9

⇒ θ = cos ^-1 (1/9)

Pregunta 34. Expresar el vector $\vec{a}=5\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$ como la suma de dos vectores tales que uno es paralelo al vector $\vec{b}=3\hat{i}+\hat{k}$ y el otro es perpendicular a $\vec{b}$

Solución:

Dado, $\vec{a}=5\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$

$\vec{b}=3\hat{i}+\hat{k}$

Sean los dos vectores $\vec{a_1}, \vec{a_2}$

Ahora, $\vec{a}=\vec{a_1}+\vec{a_2}$ ….(1)

Suponiendo $\vec{a_1}$ que es paralelo a $\vec{b}$

Entonces, $\vec{a_1}=λ\vec{b}$ ……(2)

$\vec{a_2}$ es perpendicular a $\vec{b}$

Entonces, $\vec{a_2}.\vec{b}=0$ ……(3)

De la ecuación (1)

$\vec{a_1}=λ\vec{b}$

⇒ $\vec{a_2} = \vec{a}-λ\vec{b}$

⇒ $\vec{a_2} =5\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k} -λ(3\hat{i}+\hat{k})$

⇒ $\vec{a_2} =(5-3λ)\hat{i}-2\hat{j}+(5-λ)\hat{k}$

De la ecuación (3)

$\vec{a_2}.\vec{b}=0$

⇒ $((5-3λ)\hat{i}-2\hat{j}+(5-λ)\hat{k})(3\hat{i}+\hat{k})$

⇒ (5-3λ)3+(5-λ)=0

⇒ 15-9λ+5-λ=0

⇒ -10λ = -20

⇒ λ=2

De la ecuación (2)

$\vec{a_1}=6\hat{i}+2\hat{k}$

$\vec{a_2}=-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$

$\vec{a}=(6\hat{i}+2\hat{k})+(-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})$

Pregunta 35. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores de la misma magnitud inclinados en un ángulo de 30° tal que $\vec{a}.\vec{b}$ = 3, encuentre $|\vec{a}|, |\vec{b}|.$

Solución:

Dado que dos vectores de la misma magnitud inclinados en un ángulo de 30°, y $\vec{a}.\vec{b} = 3$

Encontrar $|\vec{a}|, |\vec{b}|$

Sabemos, $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

⇒ 3 = $|\vec{a}||\vec{a}|cos θ$

⇒ 3 = $|\vec{a}|^2 cos 30°$

⇒ 3 = $|\vec{a}|^2$ (√3/2)

⇒ $|\vec{a}|^2$ = 6/√3

⇒ $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2\sqrt{3}}$

Pregunta 36. Expresar $2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ como la suma de un vector paralelo y un vector perpendicular a $2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}.$

Solución:

Asumiendo $\vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$

$\vec{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$

Sean los dos vectores $\vec{a_1}, \vec{a_2}$

Ahora, $\vec{a}=\vec{a_1}+\vec{a_2}$

o $\vec{a_2}=\vec{a}-\vec{a_1}$ ….(1)

Suponiendo $\vec{a_1}$ que es paralelo a $\vec{b}$

entonces, $\vec{a_1}=λ\vec{b}$ …(2)

$\vec{a_2}$ es perpendicular a $\vec{b}$

entonces, $\vec{a_2}.\vec{b}=0$ ……(3)

Poniendo eq(2) en eq(1), obtenemos

$\vec{a_1}=λ\vec{b}$

⇒ $\vec{a_2} = \vec{a}-λ\vec{b}$

⇒ $\vec{a_2} =2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k} -λ(2\hat{i}+4\vec{j}-2\hat{k})$

⇒ $\vec{a_2} =(2-2λ)\hat{i}-(1+4λ)\hat{j}+(3+2λ)\hat{k}$

De la ecuación (3)

$\vec{a_2}.\vec{b}=0$

⇒ $((2-2λ)\hat{i}-(1+4λ)\hat{j}+(3+2λ)\hat{k})(2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k})=0$

⇒ (2 – 2λ)2 – (1 + 4λ)4 – (3 + 2λ)2 = 0

⇒ 4 – 4λ – 4 – 16λ – 6 – 4λ = 0

⇒ 24λ = -6

⇒ λ = -6/24

De la ecuación (2)

$\vec{a_1}=-1/4(2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k})$

$\vec{a_1}=-1/2\hat{i}-1\hat{j}+1/2\hat{k}$

$\vec{a_2}=(2+1/2)\hat{i}-0\hat{j}+(3-1/2)\hat{k}$

$\vec{a_2}=5/2\hat{i}+5/2\hat{k}$

$\vec{a}=\vec{a_1}+\vec{a_2}$

$\vec{a}=(-1/2\hat{i}-1\hat{j}+1/2\hat{k})+(5/2\hat{i}+5/2\hat{k})$

Pregunta 37. Descomponer el vector $6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}$ en vectores paralelos y perpendiculares al vector . $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}.$

Solución:

dejar $\vec{a}=6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}$ y $\vec{m}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

Sea $\vec{b}$ un vector paralelo a $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}.$

Por lo tanto, $\vec{b} =λ(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$

$\vec{a}$ a descomponer en dos vectores

$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$

⇒ $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$

⇒ $\vec{c}=(6-λ)\hat{i}+(-3-λ)\hat{j}+(-6-λ)\vec{k}$

Ahora, $\vec{c}$ es perpendicular a $\vec{m}$

o $\vec{c}.\vec{m}=0$

⇒ $((6-λ)\hat{i}+(-3-λ)\hat{j}+(-6-λ)\vec{k})(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=0$

⇒ 6 – λ – 3 – λ – 6 – λ = 0

⇒ λ = -1

Por lo tanto, los vectores requeridos son $\vec{b} =-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{c}=7\hat{i}-2\hat{j}-5\vec{k}$

Pregunta 38. Sea $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+λ\hat{k}$ . Encuentre λ tal que $\vec{a}+\vec{b}$ sea ortogonal a $\vec{a}-\vec{b}$

Solución:

Dado, $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+λ\hat{k}$

segun pregunta

$(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=0$

⇒ $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2=0$

⇒ $|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2$

⇒ $\sqrt{5^2+(-1)^2+7^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2+λ^2}$

⇒ 25 + 1 + 49 = 1 + 1 + λ ²

⇒ λ2 ⁼ 73

⇒ λ = √73

Pregunta 39. Si $\vec{a}.\vec{a}=0$ y $\vec{a}.\vec{b}=0$ , ¿qué puedes concluir sobre el vector $\vec{b}$ ?

Solución:

Dado, $\vec{a}.\vec{a}=0$ , $\vec{a}.\vec{b}=0$

$|\vec{a}| = 0$

Ahora, $\vec{a}.\vec{b}=0$

Concluimos que $\vec{a}=0$ o $\vec{b}=0$ o θ = 90°

Por lo tanto, $\vec{b}$ puede ser cualquier vector arbitrario.

Pregunta 40. Si $\vec{c}$ es perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , entonces demuestre que es perpendicular a ambos $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$

Solución:

Dado $\vec{c}$ es perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$

$\vec{c}.\vec{a}=0$ ….(1)

$\vec{c}.\vec{b}=0$ ….(2)

para probar $\vec{c}.(\vec{a}+\vec{b})=0$ y $\vec{c}.(\vec{a}-\vec{b})=0$

Ahora, $\vec{c}.(\vec{a}+\vec{b})$

⇒ $\vec{c}.\vec{a}+\vec{c}.\vec{b}=0$ [De la ecuación (1) y (2)]

Otra vez, $\vec{c}.(\vec{a}-\vec{b})$

⇒ $\vec{c}.\vec{a}-\vec{c}.\vec{b}=0$ [De la ecuación (1) y (2)]

Por lo tanto probado

Pregunta 41. Si $|\vec{a}|= a$ y $|\vec{b}|= b$ , demuestre que $(\frac{\vec{a}}{a^2}-\frac{\vec{b}}{b^2})^2= (\frac{\vec{a}-\vec{b}}{ab})^2$

Solución:

dado, $|\vec{a}| = a$ y $|\vec{b}| = b,$

Probar

$(\frac{\vec{a}}{a^2}-\frac{\vec{b}}{b^2})^2= (\frac{\vec{a}-\vec{b}}{ab})^2.$

Tomando LHS

$(\frac{\vec{a}}{a^2}-\frac{\vec{b}}{b^2})^2$

= $\frac{\vec{a}.\vec{a}}{a^4}+\frac{\vec{b}.\vec{b}}{b^4}-2\frac{\vec{a}.\vec{b}}{a^2b^2}$

= $\frac{a^2}{a^4}+\frac{b^2}{b^4}-2\frac{\vec{a}.\vec{b}}{a^2b^2}$

= $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-2\frac{\vec{a}.\vec{b}}{a^2b^2}$

Tomando RHS

$(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{ab})^2 \vec{d}.\vec{a}=0$

= $(\frac{a^2+b^2-2\vec{a}\vec{b}}{a^2b^2})$

= $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-2\frac{\vec{a}.\vec{b}}{a^2b^2}$

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 42. Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son tres vectores no coplanares tales que $\vec{d}.\vec{a}=\vec{d}.\vec{b}=\vec{d}.\vec{c} =0$ entonces muestre que $\vec{d}$ es el vector nulo.

Solución:

Dado que $\vec{d}.\vec{a}=0$

Así que $\vec{d} = 0$ o bien $\vec{d}⊥\vec{a}=0$

Similarmente, $\vec{d}.\vec{b} = 0$

O bien $\vec{d}= 0$ o $\vec{d}⊥\vec{b}=0$

También, $\vec{d}.\vec{c} =0$

Entonces $\vec{d} = 0$ o $\vec{d}⊥\vec{c}=0$

Pero $\vec{d}$ no puede ser perpendicular a $\vec{a},\vec{b}$ y $\vec{c}$ porque $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ no son coplanares.

Entonces $\vec{d}$ = 0 o $\vec{d}$ es un vector nulo

Pregunta 43. Si un vector $\vec{a}$ es perpendicular a dos vectores no colineales $\vec{b}$ y $\vec{c}$ , entonces es $\vec{a}$ perpendicular a todo vector en el plano de $\vec{b}$ y $\vec{c}$

Solución:

Dado que $\vec{a}$ es perpendicular a $\vec{b}$ y $\vec{c}$

$\vec{a}.\vec{b}=0 , \vec{a}.\vec{c}=0$

Sea $\vec{r}$ cualquier vector en el plano de $\vec{b}$ y $\vec{c}$ y $\vec{r}$ es la combinación lineal de $\vec{b}$ y $\vec{c}$

$\vec{r} =x\vec{b}+y\vec{c}$ [x, y son escalares]

Ahora $, \vec{a}.\vec{r}$

⇒ $\vec{a}.\vec{r} =\vec{a}(x\vec{b}+y\vec{c})$

⇒ $\vec{a}.\vec{r} =x(\vec{a}.\vec{b})+y(\vec{a}.\vec{c})$

⇒ $\vec{a}.\vec{r} =x0+y0$

⇒ $\vec{a}.\vec{r} = 0$

Por lo tanto, $\vec{a}$ es perpendicular a es $\vec{r}$ decir , $\vec{a}$ es perpendicular a todo vector.

Pregunta 44. Si $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ , ¿cómo es que el ángulo θ entre los vectores $\vec{b}$ y $\vec{c}$ está dado por cos θ = $\frac{|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{b}||\vec{c}|}$

Solución:

Dado que $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$

⇒ $\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c})$

⇒ $(\vec{a})^2=(\vec{b}+\vec{c})^2$

⇒ $\vec{a}.\vec{a}=(\vec{b}+\vec{c})(\vec{b}+\vec{c})$

⇒ $|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{b}||\vec{c}|+|\vec{b}||\vec{c}|+|\vec{c}|^2$

⇒ $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2=2|\vec{b}||\vec{c}|$

⇒ $|\vec{b}||\vec{c}|=(|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2)/2$

⇒ cos θ = $\frac{|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{b}||\vec{c}|}.$

Pregunta 45. Sea $\vec{u},\vec{v}$ y $\vec{w}$ sea vector tal $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$ . $|\vec{u}|$ = 3, $|\vec{v}|$ = 4 y $|\vec{w}|$ = 5, luego encuentra $\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u}$

Solución:

Dado que $\vec{u},\vec{v}$ y $\vec{w}$ son vectores tales que $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$ . $|\vec{u}|$ = 3, $|\vec{v}|$ = 4 y $|\vec{w}|$ =5,

Encontrar $\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u}$

Tomando

$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$

Cuadrando en ambos lados, obtenemos

⇒ $(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})^2=\vec{0}$

⇒ $|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u})=0$

⇒ $2(\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u})=-(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2)$

⇒ $2(\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u})=-(3^2+4^2+5^2)$

⇒ $2(\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u})=-50$

Por lo tanto, $\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u}=-25$

Pregunta 46. Sean $\vec{a}=x^2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},$ y $\vec{c}=x^2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k}$ tres vectores. Encuentre los valores de x para los cuales el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es agudo y el ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es obtuso.

Solución:

Dado $\vec{a}=x^2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=x^2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k}$

Caso I: Cuando el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es agudo:-

$\vec{a}.\vec{b}$ >0

⇒ $(x^2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})>0$

⇒ x ² – 2 – 2 > 0

⇒x2 > ⁴

x ∈ (2, -2)

Caso II: Cuando el ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es obtuso:-

$\vec{b}.\vec{c}<0$

⇒ $(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})(x^2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k})<0$

⇒ x ² – 5 – 4 < 0

⇒x2 < ⁹

x ∈ (3, -3)

Por lo tanto, x ∈ (-3, -2)∪(2, 3)

Pregunta 47. Encuentra el valor de x e y si los vectores $\vec{a}=3\hat{i}+x\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}+y\hat{k}$ son vectores mutuamente perpendiculares de igual magnitud.

Solución:

Dados $\vec{a}=3\hat{i}+x\hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}+y\hat{k}$ son vectores mutuamente perpendiculares de igual magnitud.

$|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2$

⇒ 3 ² + x ² + (-1) ² = 2 ² + 1 ² + y ²

⇒ x ² + 10 = y ² + 5

⇒ x2 – y2 ⁺⁵ = 0 ….(1)

Ahora, $\vec{a}.\vec{b} = 0$

⇒ 6 + x – y = 0

⇒ y = x + 6 …..(2)

De la ecuación (1)

x ² – (x + 6) ² + 5 = 0

⇒ x2 – (x2 ⁺³⁶ – 12x) + 5 = 0

⇒ -12x – 31 = 0

⇒ x = -31/12

Ahora, y = -31/12 + 6

y = 41/12

Pregunta 48. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores unitarios no coplanares tales que $|\vec{a}+\vec{b}| =√3$ , hallar $(2\vec{a}-5\vec{b}).(3\vec{a}+\vec{b}).$

Solución:

Dado que $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores unitarios no coplanares tales que $|\vec{a}+\vec{b}| =√3$

Encontrar $(2\vec{a}-5\vec{b}).(3\vec{a}+\vec{b}).$

Ahora,

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 =3$

$⇒|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2\vec{a}.\vec{b}=3$

$⇒ 1+1+2\vec{a}.\vec{b}=3$

$⇒ \vec{a}.\vec{b}=1/2$

Ahora, $(2\vec{a}-5\vec{b}).(3\vec{a}+\vec{b})$

= $6|\vec{a}|^2-13\vec{a}.\vec{b}-5|\vec{b}|^2$

= 6 – 13(1/2) – 5

= 1 – 13/2

= -11/2

Pregunta 49. Si $\vec{a},\vec{b}$ son dos vectores tales que | $\vec{a}+\vec{b}$ | = $|\vec{b}|$ , luego demuestre que $\vec{a}+2\vec{b}$ es perpendicular a $\vec{a}.$

Solución:

Probar

$(\vec{a}+2\vec{b})\vec{a}= 0$

Ahora,

$\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}$

Cuadrando en ambos lados, obtenemos

$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{b}|^2$

⇒ $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{b}.\vec{b}$

⇒ $\vec{a}\vec{a}+\vec{a}\vec{b}+\vec{b}\vec{a}+\vec{b}\vec{b} = \vec{b}.\vec{b}$

⇒ $\vec{a}\vec{a}+2\vec{a}\vec{b} = 0$

⇒ $\vec{a}(\vec{a}+2\vec{b}) = 0$

Por lo tanto, $\vec{a}+2\vec{b}$ es perpendicular a $\vec{a}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 Producto escalar o escalar – Ejercicio 24.1 | conjunto 3

Pregunta 33. Encuentra el ángulo entre los dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , si

(i) $|\vec{a}|$ =√3, $|\vec{b}|$ = 2 y $\vec{a}.\vec{b}$ = √6

(ii) $|\vec{a}|$ = 3, $|\vec{b}|$ = 3 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 1

Pregunta 34. Expresar el vector $\vec{a}=5\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$ como la suma de dos vectores tales que uno es paralelo al vector $\vec{b}=3\hat{i}+\hat{k}$ y el otro es perpendicular a $\vec{b}$

Pregunta 35. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores de la misma magnitud inclinados en un ángulo de 30° tal que $\vec{a}.\vec{b}$ = 3, encuentre $|\vec{a}|, |\vec{b}|.$

Pregunta 36. Expresar $2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ como la suma de un vector paralelo y un vector perpendicular a $2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}.$

Pregunta 37. Descomponer el vector $6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}$ en vectores paralelos y perpendiculares al vector . $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}.$

Pregunta 38. Sea $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+λ\hat{k}$ . Encuentre λ tal que $\vec{a}+\vec{b}$ sea ortogonal a $\vec{a}-\vec{b}$

Pregunta 39. Si $\vec{a}.\vec{a}=0$ y $\vec{a}.\vec{b}=0$ , ¿qué puedes concluir sobre el vector $\vec{b}$ ?

Pregunta 40. Si $\vec{c}$ es perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , entonces demuestre que es perpendicular a ambos $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$

Pregunta 41. Si $|\vec{a}|= a$ y $|\vec{b}|= b$ , demuestre que $(\frac{\vec{a}}{a^2}-\frac{\vec{b}}{b^2})^2= (\frac{\vec{a}-\vec{b}}{ab})^2$

Pregunta 42. Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son tres vectores no coplanares tales que $\vec{d}.\vec{a}=\vec{d}.\vec{b}=\vec{d}.\vec{c} =0$ entonces muestre que $\vec{d}$ es el vector nulo.

Pregunta 43. Si un vector $\vec{a}$ es perpendicular a dos vectores no colineales $\vec{b}$ y $\vec{c}$ , entonces es $\vec{a}$ perpendicular a todo vector en el plano de $\vec{b}$ y $\vec{c}$

Pregunta 44. Si $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ , ¿cómo es que el ángulo θ entre los vectores $\vec{b}$ y $\vec{c}$ está dado por cos θ = $\frac{|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{b}||\vec{c}|}$

Pregunta 45. Sea $\vec{u},\vec{v}$ y $\vec{w}$ sea vector tal $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$ . $|\vec{u}|$ = 3, $|\vec{v}|$ = 4 y $|\vec{w}|$ = 5, luego encuentra $\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u}$

Pregunta 46. Sean $\vec{a}=x^2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},$ y $\vec{c}=x^2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k}$ tres vectores. Encuentre los valores de x para los cuales el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es agudo y el ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es obtuso.

Pregunta 47. Encuentra el valor de x e y si los vectores $\vec{a}=3\hat{i}+x\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}+y\hat{k}$ son vectores mutuamente perpendiculares de igual magnitud.

Pregunta 48. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores unitarios no coplanares tales que $|\vec{a}+\vec{b}| =√3$ , hallar $(2\vec{a}-5\vec{b}).(3\vec{a}+\vec{b}).$

Pregunta 49. Si $\vec{a},\vec{b}$ son dos vectores tales que | $\vec{a}+\vec{b}$ | = $|\vec{b}|$ , luego demuestre que $\vec{a}+2\vec{b}$ es perpendicular a $\vec{a}.$

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Pregunta 33. Encuentra el ángulo entre los dos vectores y , si

(i) =√3, = 2 y = √6

(ii) = 3, = 3 y = 1

Pregunta 34. Expresar el vector como la suma de dos vectores tales que uno es paralelo al vector y el otro es perpendicular a

Pregunta 35. Si y son dos vectores de la misma magnitud inclinados en un ángulo de 30° tal que = 3, encuentre

Pregunta 36. Expresar como la suma de un vector paralelo y un vector perpendicular a

Pregunta 37. Descomponer el vector en vectores paralelos y perpendiculares al vector .

Pregunta 38. Sea y . Encuentre λ tal que sea ortogonal a

Pregunta 39. Si y , ¿qué puedes concluir sobre el vector ?

Pregunta 40. Si es perpendicular a ambos y , entonces demuestre que es perpendicular a ambos y

Pregunta 41. Si y , demuestre que

Pregunta 42. Si son tres vectores no coplanares tales que entonces muestre que es el vector nulo.

Pregunta 43. Si un vector es perpendicular a dos vectores no colineales y , entonces es perpendicular a todo vector en el plano de y

Pregunta 44. Si , ¿cómo es que el ángulo θ entre los vectores y está dado por cos θ =

Pregunta 45. Sea y sea vector tal . = 3, = 4 y = 5, luego encuentra

Pregunta 46. Sean y tres vectores. Encuentre los valores de x para los cuales el ángulo entre y es agudo y el ángulo entre y es obtuso.

Pregunta 47. Encuentra el valor de x e y si los vectores y son vectores mutuamente perpendiculares de igual magnitud.

Pregunta 48. Si y son dos vectores unitarios no coplanares tales que , hallar

Pregunta 49. Si son dos vectores tales que | | = , luego demuestre que es perpendicular a

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 33. Encuentra el ángulo entre los dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , si

(i) $|\vec{a}|$ =√3, $|\vec{b}|$ = 2 y $\vec{a}.\vec{b}$ = √6

(ii) $|\vec{a}|$ = 3, $|\vec{b}|$ = 3 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 1

Pregunta 34. Expresar el vector $\vec{a}=5\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$ como la suma de dos vectores tales que uno es paralelo al vector $\vec{b}=3\hat{i}+\hat{k}$ y el otro es perpendicular a $\vec{b}$

Pregunta 35. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores de la misma magnitud inclinados en un ángulo de 30° tal que $\vec{a}.\vec{b}$ = 3, encuentre $|\vec{a}|, |\vec{b}|.$

Pregunta 36. Expresar $2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ como la suma de un vector paralelo y un vector perpendicular a $2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}.$

Pregunta 37. Descomponer el vector $6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}$ en vectores paralelos y perpendiculares al vector . $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}.$

Pregunta 38. Sea $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+λ\hat{k}$ . Encuentre λ tal que $\vec{a}+\vec{b}$ sea ortogonal a $\vec{a}-\vec{b}$

Pregunta 39. Si $\vec{a}.\vec{a}=0$ y $\vec{a}.\vec{b}=0$ , ¿qué puedes concluir sobre el vector $\vec{b}$ ?

Pregunta 40. Si $\vec{c}$ es perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , entonces demuestre que es perpendicular a ambos $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$

Pregunta 41. Si $|\vec{a}|= a$ y $|\vec{b}|= b$ , demuestre que $(\frac{\vec{a}}{a^2}-\frac{\vec{b}}{b^2})^2= (\frac{\vec{a}-\vec{b}}{ab})^2$

Pregunta 42. Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son tres vectores no coplanares tales que $\vec{d}.\vec{a}=\vec{d}.\vec{b}=\vec{d}.\vec{c} =0$ entonces muestre que $\vec{d}$ es el vector nulo.

Pregunta 43. Si un vector $\vec{a}$ es perpendicular a dos vectores no colineales $\vec{b}$ y $\vec{c}$ , entonces es $\vec{a}$ perpendicular a todo vector en el plano de $\vec{b}$ y $\vec{c}$

Pregunta 44. Si $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ , ¿cómo es que el ángulo θ entre los vectores $\vec{b}$ y $\vec{c}$ está dado por cos θ = $\frac{|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{b}||\vec{c}|}$

Pregunta 45. Sea $\vec{u},\vec{v}$ y $\vec{w}$ sea vector tal $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$ . $|\vec{u}|$ = 3, $|\vec{v}|$ = 4 y $|\vec{w}|$ = 5, luego encuentra $\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{w}+\vec{w}.\vec{u}$

Pregunta 46. Sean $\vec{a}=x^2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},$ y $\vec{c}=x^2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k}$ tres vectores. Encuentre los valores de x para los cuales el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es agudo y el ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es obtuso.

Pregunta 47. Encuentra el valor de x e y si los vectores $\vec{a}=3\hat{i}+x\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}+y\hat{k}$ son vectores mutuamente perpendiculares de igual magnitud.

Pregunta 48. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores unitarios no coplanares tales que $|\vec{a}+\vec{b}| =√3$ , hallar $(2\vec{a}-5\vec{b}).(3\vec{a}+\vec{b}).$

Pregunta 49. Si $\vec{a},\vec{b}$ son dos vectores tales que | $\vec{a}+\vec{b}$ | = $|\vec{b}|$ , luego demuestre que $\vec{a}+2\vec{b}$ es perpendicular a $\vec{a}.$