Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 Producto escalar o escalar – Ejercicio 24.1

Pregunta 1. Encuentra $\vec{a}.\vec{b}$ cuándo

(yo) $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+ \hat{k}$ y $\vec{b} = 4 \sombrero{i} -4\sombrero{j} +7\sombrero{k}$

Solución:

= $(\sombrero{i}-2 \sombrero{j}+ \sombrero{k})(\sombrero{i}-2 \sombrero{j}+ \sombrero{k})$

= (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7)

= 4 + 8 + 7

= 19

(ii) $\vec{a} = \sombrero{j}+2 \sombrero{k}$ y $\vec{b} = 2\sombrero{i}+\sombrero{k}$

Solución:

= $(\sombrero{j}+2 \sombrero{k})(2\sombrero{i}+\sombrero{k})$

= (0)(2) + (1)(0) + (2)(1)

= 2

(iii) $\vec{a} = \sombrero{j}-\sombrero{k}$ y $\vec{b} = 2\sombrero{i}+3\sombrero{j}-2 \sombrero{k}$

Solución:

= $(\sombrero{j}-\sombrero{k})(2\sombrero{i}+3\sombrero{j}-2 \sombrero{k} )$

= (0)(2) + (1)(3) + (-1)(-2)

= 0 + 3 + 2

= 5

Pregunta 2. ¿Para qué valor de λ son el vector $\vec{a}$ y $\vec{b}$ perpendiculares entre sí? dónde:

(yo) $\vec{a} = λ\sombrero{i}+2\sombrero{j}+\sombrero{k}$ y $\vec{b} =4\sombrero{i}-9\sombrero{j}+2\sombrero{k}$

Solución:

$\vec{a}$ y $\vec{b}$ son perpendiculares entre si

Asi que $\vec{a} . \vec{b} = 0$

⇒ $(λ\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})(4\hat{i}-9\hat{j}+2\hat{k}) = 0$

⇒ λ(4) + (2)(-9) + (1)(2) = 0

⇒ 4λ – 18 + 2 = 0

⇒ 4λ = 16

⇒ λ = 4

(ii) $\vec{a} = λ\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b} =5\hat{i}-9\hat{j}+2\hat{k}$

Solución:

$\vec{a}$ y $\vec{b}$ son perpendiculares entre si

entonces $\vec{a} . \vec{b}$ = 0

⇒ $(λ\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})(5\hat{i}-9\hat{j}+2\hat{k})$

⇒ λ(5) + (2)(-9) + (1)(2) = 0

⇒ 5λ – 18 + 2 = 0

⇒ 5λ = 16

⇒ λ = 16/5

(iii) $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ y $\vec{b} =3\hat{i}+2\hat{j}-λ\hat{k}$

Solución:

$\vec{a}$ y $\vec{b}$ son perpendiculares entre si

entonces $\vec{a} . \vec{b}$ = 0

⇒ $(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})(3\hat{i}+2\hat{j}-λ\hat{k})$ =0

⇒ (2)(3) + (3)(2) – (4)λ = 0

⇒ 6 + 6 – 4λ = 0

⇒ 4λ = 12

⇒ λ = 3

(iv) $\vec{a} = λ\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$

Solución:

$\vec{a}$ y $\vec{b}$ son perpendiculares entre si

asi que $\vec{a} . \vec{b}=0$

⇒ $(λ\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})(\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=0$

⇒ λ(1) + (3)(-1) + (2)(3) = 0

⇒ λ – 3 + 6 = 0

⇒ λ = 3

Pregunta 3. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores tales que | $\vec{a}$ |=4, | $\vec{b}$ | = 3 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 6. Encuentra el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Solución:

Sea el ángulo θ

cos θ = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

= 6 /(4×3) = 1/2

Por lo tanto, θ = cos ^-1 (1/2)

= π/3

Pregunta 4. Si $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ y $\vec{b} =-\hat{j}+2\hat{k}$ , encuentra $(\vec{a}-2\vec{b}). (\vec{a}+\vec{b})$ .

Solución:

$(\vec{a}-2\vec{b})$ = $(\hat{i}-\hat{j})-2(-\hat{j}+2\hat{k})$

= $\hat{i}-\hat{j}+2\hat{j}-4\hat{k}$

= $\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$

$(\vec{a}+\vec{b})$ = $(\hat{i}-\hat{j})+(-\hat{j}+2\hat{k})$

= $\hat{i}-\hat{j}-\hat{j}+2\hat{k}$

= $\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$

Ahora, $(\vec{a}-2\vec{b}).(\vec{a}+\vec{b})$

= $(\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k})(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})$

= (1)(1) + (1)(-2) + (-4)(2)

= 1 – 2 – 8

= -9

Por lo tanto, $(\vec{a}-2\vec{b}).(\vec{a}+\vec{b})$ = -9

Pregunta 5. Encuentra el ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ donde:

(yo) $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ y $\vec{b} = \hat{j}+\hat{k}$

Solución:

Sea el ángulo θ entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

cos θ = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Ahora, $\vec{a} . \vec{b}$

= $(\hat{i}-\hat{j})(\hat{j}+\hat{k})$

= (1)(0) + (-1)(1) + (0)(1)

= 0 – 1 + 0 = -1

| $\vec{a}$ |= | $\hat{i}-\hat{j}$ |

= $\sqrt{(1)^2+(-1)^2}$

= √2

$|\vec{b}|$ = | $\hat{j}+\hat{k}$ |

= $\sqrt{(1)^2+(1)^2}$

= √2

Ahora, cos θ = -1/(√2×√2)

= -1/2

θ = cos ^-1 (-1/2)

= 2π/3

(ii) $\vec{a} =3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ y $\vec{b} =4\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}$

Solución:

Sea el ángulo θ entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Ahora, $\vec{a} . \vec{b}$

= $(3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k})(4\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k})$

=(3)(4) + (-2)(-1) + (-6)(8)

= 12 + 2 – 48

= -34

| $\vec{a}$ | = | $3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ |

= $\sqrt{(3)^2+(-2)^2+(-6)^2}$

= √49 = 7

$|\vec{b}| = |4\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}|$

= $\sqrt{(4)^2+(-1)^2+(8)^2}$

= √81 = 9

cos θ = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Ahora, cos θ = -34/(7×9)

= -34/63

θ = cos ^-1 (-34/63)

(iii) $\vec{a} =2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} =4\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$

Solución:

Sea el ángulo θ entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Ahora, $\vec{a} . \vec{b}$

= $(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})(4\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k})$

= (2)(4) + (-1)(4) + (2)(-2)

= 8 – 4 – 4 = 0

| $\vec{a}$ | = | $2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ |

= $\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(2)^2}$

= √9 = 3

| $\vec{b}$ | = | $4\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ |

= $\sqrt{(4)^2+(4)^2+(-2)^2}$

= √36 = 6

Ahora, cos θ = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

cos θ = 0/(3×6) = 0

θ = cos ^-1 (0)

θ = π/2

(iv) $\vec{a} =2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

Solución:

Sea el ángulo θ entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Ahora, $\vec{a} . \vec{b}$

= $(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})(\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$

= (2)(1) + (-3)(1) + (1)(-2)

= 2 – 3 – 2

= -3

| $\vec{a}$ | = $|2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}|$

= $\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(-1)^2}$

= √14

| $\vec{b}$ | =| $\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$ |

= $\sqrt{(1)^2+(1)^2+(-2)^2}$

= √6

cos θ = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Ahora, cos θ = -3/(√14×√6)

= -3/√84

θ = cos ^-1 (-3/√84)

(v) $\vec{a} =\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

Solución:

Sea el ángulo θ entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Ahora, $\vec{a} . \vec{b}$

= $(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$

= (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(1)

= 1 – 2 – 1

= -2

| $\vec{a}$ | = | $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ |

= $\sqrt{(1)^2+(2)^2+(-1)^2}$

= √6

| $\vec{b}$ | = | $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ |

= $\sqrt{(1)^2+(-1)^2+(1)^2}$

= √3

cos θ = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Ahora, cos θ = -2/(√6×√3)

= -2/√18

= -2/3√2

θ = cos ^-1 (-√2 /3)

Pregunta 6. Encuentra los ángulos que forman los vectores $\vec{a} =\hat{i}-\hat{j}+\sqrt2\hat{k}$ con los ejes de coordenadas.

Solución:

Los componentes a lo largo de los ejes x, y y z son $\hat{i},\hat{j}$ y $\hat{k}$ respectivamente.

Sea el ángulo entre $\vec{a}$ y $\hat{i}$ θ ₁

Ahora, $\vec{a} . \hat{i}$

= $(\hat{i}-\hat{j}-\sqrt2\hat{k})(\hat{i}-0\hat{j}+0\hat{k})$

= (1)(1) + (-1)(0) + (√2)(0)

= 1

$|\vec{a}| = |\hat{i}-\hat{j}+\sqrt2\hat{k}|$

= $\sqrt{(1)^2+(-1)^2+(√2)^2}$

= √4 = 2

$|\hat{i}| = |\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}|$

= √1 = 1

cos θ ₁ = $\frac{\vec{a}.\hat{i}}{|\vec{a}||\hat{i}|}$

Ahora, cos θ ₁ = 1/(2×1)

= 1/2

θ ₁ = cos ^-1 (1/2) = π/3

Sea el ángulo entre $\vec{a}$ y $\hat{j}$ θ ₂

Ahora, $\vec{a} . \hat{j}$

= $(\hat{i}-\hat{j}+\sqrt2\hat{k})(0\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k})$

= (1)(0) + (-1)(1) + (√2)(0)

= -1

$|\hat{j}| = |0\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}|$

= √1 = 1

cos θ ₂ = $\frac{\vec{a}.\hat{j}}{|\vec{a}||\hat{j}|}$

Ahora, cos θ ₂ = -1/(2×1)

= -1/2

θ ₂ = cos ^-1 (-1/2) = 2π/3

Sea el ángulo entre $\vec{a}$ y $\hat{k}$ θ ₃

Ahora, $\vec{a} . \hat{k}$

= $(\hat{i}-\hat{j}+\sqrt2\hat{k})(0\hat{i}+0\hat{j}+\hat{k})$

= (1)(0) + (-1)(0) + (√2)(1)

= √2

$|\hat{k}| = |0\hat{i}+0\hat{j}+\hat{k}|$

= √1 = 1

cos θ ₃ = $\frac{\vec{a}.\hat{k}}{|\vec{a}||\hat{k}|}$

= 1/(√2)

= cos ^-1 (1/√2) = π/4

Pregunta 7(i). Producto escalar de un vector con $\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}, \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ y $2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$ son 0, 5 y 8 respectivamente. Encuentra el vector.

Solución:

Sean $\vec{a} =\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}, \vec{b} =\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$ tres vectores dados.

Sea $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+j\hat{k}$ un vector tal que sus productos escalares con $\vec{a}, \vec{b}$ , y $\vec{c}$ sean 0, 5 y 8 respectivamente. Después,

$\vec{r}. \vec{a} = 0$

⇒ $(x\hat{i}+y\hat{j}+j\hat{k})(\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})$ = 0

⇒ x + y – 3z = 0 ….(1)

$\vec{r}. \vec{b} = 5$

⇒ $(x\hat{i}+y\hat{j}+j\hat{k})(\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k})$ = 5

⇒ x + 3y – 2z = 5 …..(2)

$\vec{r}. \vec{c} = 8$

⇒ $(x\hat{i}+y\hat{j}+j\hat{k})(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})$ = 8

⇒ 2x + y + 4z = 8 …..(3)

Resolviendo 1,2 y 3 obtenemos x = 1, y = 2 y z = 1,

Por lo tanto, el vector requerido es $\vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$

Pregunta 8. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son vectores unitarios inclinados en un ángulo θ, entonces demuestre que

(i) cos θ/2 = 1/2 $|\hat{a}+\hat{b}|$

Solución:

| $\hat{a}$ | = | $\hat{b}$ | = 1

| $\hat{a}+\hat{b}$ | ² =( $\hat{a}+\hat{b}$ ) ²

= $(\hat{a})^2+(\hat{b})^2+2\hat{a}.\hat{b}$

= 1 + 1 + 2 $\hat{a}.\hat{b}$

= 2 + 2| $\hat{a}||\hat{b}$ |cos θ

= 2(1 + (1)(1)cos θ)

= 2(2 cos ² θ/2)

| $\hat{a}+\hat{b}$ | ² = 4 cos ² θ/2

$\hat{a}+\hat{b}$ = 2 cos θ/2

cos θ/2 = 1/2| $\hat{a}+\hat{b}$ |

(ii) tan θ/2 = $\frac{|\hat{a}-\hat{b}|}{|\hat{a}+\hat{b}|}$

Solución:

$|\hat{a}| = |\hat{b}|$ = 1

$\frac{|\hat{a}-\hat{b}|^2}{|\hat{a}+\hat{b}|^2}$ = $\frac{(\hat{a}-\hat{b})^2}{(\hat{a}+\hat{b})^2}$

= $\frac{(\hat{a})^2+(\hat{b})^2-2\hat{a}.\hat{b}}{(\hat{a})^2+(\hat{b})^2+2\hat{a}.\hat{b}}$

= $\frac{2-2|\hat{a}||\hat{b}|cos θ }{2+2|\hat{a}||\hat{b}|cos θ }$

= $\frac{2(1-cos θ)}{2(1+cos θ)}$

= $\frac{2sin^2 θ/2}{2cos^2 θ/2}$

= tan ² θ/2

Por lo tanto, tan θ/2 = $\frac{|\hat{a}-\hat{b}|}{|\hat{a}+\hat{b}|}$

Pregunta 9. Si la suma de dos vectores unitarios es un vector unitario, prueba que la magnitud de su diferencia es √3.

Solución:

Sean $\hat{a}$ y $\hat{b}$ dos vectores unitarios

Después, $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$

Según pregunta:

$|\hat{a}+\hat{b}| = 1$

Tomando cuadrados en ambos lados

⇒ $|\hat{a}+\hat{b}|^2 = (1)^2$

⇒ $(\hat{a})^2+(\hat{b})^2+2\hat{a}.\hat{b} = 1$

⇒ (1) ² +(1) ² + $2\hat{a}.\hat{b}$ = 1

⇒ 2+ 2 $\hat{a}.\hat{b}$ = 1

⇒ 2 $\hat{a}.\hat{b}$ = -1

⇒ \sombrero{a}.\sombrero{b} =-1/2

Ahora, $|\hat{a}-\hat{b}|^2 = (\hat{a}-\hat{b})^2$

= $(\hat{a})^2 + (\hat{b})^2 - 2\hat{a}.\hat{b}$

= (1) ² + (1) ² – 2 (-1/2)

= 2 + 1 = 3

Por lo tanto, $|\hat{a}-\hat{b}|^2$ = 3

$|\hat{a}-\hat{b}|$ =√3

Pregunta 10. Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son tres vectores unitarios perpendiculares entre sí, entonces demuestre que | $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ | =√3.

Solución:

Dados $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son mutuamente perpendiculares por lo que,

$\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{a} = 0$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|=1$

Ahora,

$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2$ = $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2$

= $(\vec{a})^2+(\vec{b})^2+(\vec{c})^2+2\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{c}+2\vec{c}\vec{a}$

= (1) ² + (1) ² + (1) ² + 0

= 3

$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ = √3

Pregunta 11. Si $|\vec{a}+\vec{b}|$ = 60, $|\vec{a}-\vec{b}|$ = 40 y $|\vec{b}|$ = 46, encuentra $|\vec{a}|$

Solución:

Dado $|\vec{a}+\vec{b}|$ = 60, $|\vec{a}-\vec{b}|$ = 40 y $|\vec{b}|$ = 46

Lo sabemos,

(a + b) ² + (a – b) ² = 2(a ² + b ² )

⇒ $|\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2)$

⇒ 60 ² + 40 ² = 2 ( $|\vec{a}|$ ² + 49 ² )

⇒ 3600 + 1600 = 2 $|\vec{a}|^2$ + 2401

⇒ $2|\vec{a}|$ = 968

⇒ $|\vec{a}|$ = √484 =22

Pregunta 12. Demuestre que el vector $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ está igualmente inclinado con los ejes de coordenadas.

Solución:

Dejar $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

$|\vec{a}| =$ √(1+1+1) = √3

Sean θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ el ángulo entre los ejes coordenados y el $\vec{a}$

cos θ ₁ = $\frac{\vec{a}.\hat{i}}{|\vec{a}||\hat{i}|}$

= 1/√3

cos θ ₂ = $\frac{\vec{a}.\hat{j}}{|\vec{a}||\hat{j}|}$

= 1/√3

cos θ ₃ = $\frac{\vec{a}.\hat{k}}{|\vec{a}||\hat{k}|}$

= 1/√3

Ya que, cos θ ₁ = cos θ ₂ = cos θ ₃

Por lo tanto, el vector dado tiene la misma inclinación que el eje de coordenadas.

Pregunta 13. Muestre que los vectores $\vec{a}=\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}), \vec{b}=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}),\vec{c}=\frac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.

Solución:

Dado, $\vec{a}=\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})$

$\vec{b}=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})$

$\vec{c}=\frac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$

$|\vec{a}|$ = (1/7)√(2 ² + 3 ² + 6 ² ) = (1/7)(√49) = 1

$|\vec{b}|$ = (1/7)√(3 ² + (-6) ² + 2 ² ) = (1/7)(√49) = 1

$|\vec{c}|$ = (1/7)√(6 ² + 2 ² + (-3) ² ) = (1/7)(√49) = 1

Ahora, $\vec{a}.\vec{b} =$ 1/49[3 × 2 – 3 × 6 + 6 × 2]

= 1/49[6 – 18 + 12] = 0

$\vec{b}.\vec{c} =$ 1/49[3 × 6 – 6 × 2 – 2 × 3]

= 1/49[18 – 12 – 6] = 0

Ya que $\vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{c}=0$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.

Pregunta 14. Para cualesquiera dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , Demuestre que $(\vec{a}+\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b})=0\Leftrightarrow|\vec{a}|=|\vec{b}|.$

Solución:

Probar $(\vec{a}+\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b})=0\Leftrightarrow|\vec{a}|=|\vec{b}|$

⇒ $(\vec{a}+\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b})=0$

⇒ $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2=0$

⇒ $|\vec{a}|=|\vec{b}|$

Por lo tanto probado

Pregunta 15. Si $\vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$ , encuentran tal que $\vec{a}$ es perpendicular a $λ\vec{b}+\vec{c}$ .

Solución:

Dado: $\vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

$\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$

segun pregunta

$\vec{a}(λ\vec{b}+\vec{c})=0$

⇒ $(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})[λ(\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})+(\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})]=0$

⇒ $(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})(λ\hat{i}+λ\hat{j}-2λ\hat{k}+\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=0$

⇒ 2(λ+1) – (λ+3) -2λ-1 = 0

⇒ 2λ + 2 -λ – 3 – 2λ – 1 = 0

⇒ -λ = 2

⇒ λ = -2

Pregunta 16. Si $\vec{p}=5\hat{i}+λ\hat{j}-3\hat{k}$ y $\vec{q}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$ , entonces encuentra el valor de λ tal que $\vec{p}+\vec{q}$ y $\vec{p}-\vec{q}$ sean vectores perpendiculares.

Solución:

Dado, $\vec{p}=5\hat{i}+λ\hat{j}-3\hat{k}$

$\vec{q}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$

segun pregunta

$(\vec{p}+\vec{q})(\vec{p}-\vec{q})=0$

⇒ $|\vec{p}|^2-|\vec{q}|^2=0$

⇒ $|\vec{p}|^2=|\vec{q}|^2$

⇒ $\sqrt{5^2+λ^2+(-3)^2}=\sqrt{1^2+3^2+(-5)^2}$

⇒ 25 + λ ² + 9 = 1 + 9 + 25

⇒ λ ² = 1

⇒ λ = 1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 Producto escalar o escalar – Ejercicio 24.1 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra $\vec{a}.\vec{b}$ cuándo

(yo) $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+ \hat{k}$ y $\vec{b} = 4 \sombrero{i} -4\sombrero{j} +7\sombrero{k}$

Pregunta 2. ¿Para qué valor de λ son el vector $\vec{a}$ y $\vec{b}$ perpendiculares entre sí? dónde:

(yo) $\vec{a} = λ\sombrero{i}+2\sombrero{j}+\sombrero{k}$ y $\vec{b} =4\sombrero{i}-9\sombrero{j}+2\sombrero{k}$

(ii) $\vec{a} = λ\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b} =5\hat{i}-9\hat{j}+2\hat{k}$

(iii) $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ y $\vec{b} =3\hat{i}+2\hat{j}-λ\hat{k}$

(iv) $\vec{a} = λ\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$

Pregunta 3. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores tales que | $\vec{a}$ |=4, | $\vec{b}$ | = 3 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 6. Encuentra el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Pregunta 4. Si $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ y $\vec{b} =-\hat{j}+2\hat{k}$ , encuentra $(\vec{a}-2\vec{b}). (\vec{a}+\vec{b})$ .

Pregunta 5. Encuentra el ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ donde:

(yo) $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ y $\vec{b} = \hat{j}+\hat{k}$

(ii) $\vec{a} =3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ y $\vec{b} =4\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}$

(iii) $\vec{a} =2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} =4\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$

(iv) $\vec{a} =2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

(v) $\vec{a} =\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

Pregunta 6. Encuentra los ángulos que forman los vectores $\vec{a} =\hat{i}-\hat{j}+\sqrt2\hat{k}$ con los ejes de coordenadas.

Pregunta 7(i). Producto escalar de un vector con $\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}, \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ y $2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$ son 0, 5 y 8 respectivamente. Encuentra el vector.

Pregunta 8. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son vectores unitarios inclinados en un ángulo θ, entonces demuestre que

(i) cos θ/2 = 1/2 $|\hat{a}+\hat{b}|$

(ii) tan θ/2 = $\frac{|\hat{a}-\hat{b}|}{|\hat{a}+\hat{b}|}$

Pregunta 9. Si la suma de dos vectores unitarios es un vector unitario, prueba que la magnitud de su diferencia es √3.

Pregunta 10. Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son tres vectores unitarios perpendiculares entre sí, entonces demuestre que | $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ | =√3.

Pregunta 11. Si $|\vec{a}+\vec{b}|$ = 60, $|\vec{a}-\vec{b}|$ = 40 y $|\vec{b}|$ = 46, encuentra $|\vec{a}|$

Pregunta 12. Demuestre que el vector $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ está igualmente inclinado con los ejes de coordenadas.

Pregunta 13. Muestre que los vectores $\vec{a}=\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}), \vec{b}=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}),\vec{c}=\frac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.

Pregunta 14. Para cualesquiera dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , Demuestre que $(\vec{a}+\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b})=0\Leftrightarrow|\vec{a}|=|\vec{b}|.$

Pregunta 15. Si $\vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$ , encuentran tal que $\vec{a}$ es perpendicular a $λ\vec{b}+\vec{c}$ .

Pregunta 16. Si $\vec{p}=5\hat{i}+λ\hat{j}-3\hat{k}$ y $\vec{q}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$ , entonces encuentra el valor de λ tal que $\vec{p}+\vec{q}$ y $\vec{p}-\vec{q}$ sean vectores perpendiculares.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. Encuentra cuándo

(yo) y

Pregunta 2. ¿Para qué valor de λ son el vector y perpendiculares entre sí? dónde:

(yo) y

(ii) y

(iii) y

(iv) y

Pregunta 3. Si y son dos vectores tales que | |=4, | | = 3 y = 6. Encuentra el ángulo entre y

Pregunta 4. Si y , encuentra .

Pregunta 5. Encuentra el ángulo entre los vectores y donde:

(yo) y

(ii) y

(iii) y

(iv) y

(v) y

Pregunta 6. Encuentra los ángulos que forman los vectores con los ejes de coordenadas.

Pregunta 7(i). Producto escalar de un vector con y son 0, 5 y 8 respectivamente. Encuentra el vector.

Pregunta 8. Si y son vectores unitarios inclinados en un ángulo θ, entonces demuestre que

(i) cos θ/2 = 1/2

(ii) tan θ/2 =

Pregunta 9. Si la suma de dos vectores unitarios es un vector unitario, prueba que la magnitud de su diferencia es √3.

Pregunta 10. Si son tres vectores unitarios perpendiculares entre sí, entonces demuestre que | | =√3.

Pregunta 11. Si = 60, = 40 y = 46, encuentra

Pregunta 12. Demuestre que el vector está igualmente inclinado con los ejes de coordenadas.

Pregunta 13. Muestre que los vectores son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.

Pregunta 14. Para cualesquiera dos vectores y , Demuestre que

Pregunta 15. Si , y , encuentran tal que es perpendicular a .

Pregunta 16. Si y , entonces encuentra el valor de λ tal que y sean vectores perpendiculares.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. Encuentra $\vec{a}.\vec{b}$ cuándo

(yo) $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+ \hat{k}$ y $\vec{b} = 4 \sombrero{i} -4\sombrero{j} +7\sombrero{k}$

Pregunta 2. ¿Para qué valor de λ son el vector $\vec{a}$ y $\vec{b}$ perpendiculares entre sí? dónde:

(yo) $\vec{a} = λ\sombrero{i}+2\sombrero{j}+\sombrero{k}$ y $\vec{b} =4\sombrero{i}-9\sombrero{j}+2\sombrero{k}$

(ii) $\vec{a} = λ\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b} =5\hat{i}-9\hat{j}+2\hat{k}$

(iii) $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ y $\vec{b} =3\hat{i}+2\hat{j}-λ\hat{k}$

(iv) $\vec{a} = λ\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$

Pregunta 3. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son dos vectores tales que | $\vec{a}$ |=4, | $\vec{b}$ | = 3 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 6. Encuentra el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Pregunta 4. Si $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ y $\vec{b} =-\hat{j}+2\hat{k}$ , encuentra $(\vec{a}-2\vec{b}). (\vec{a}+\vec{b})$ .

Pregunta 5. Encuentra el ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ donde:

(yo) $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ y $\vec{b} = \hat{j}+\hat{k}$

(ii) $\vec{a} =3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ y $\vec{b} =4\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}$

(iii) $\vec{a} =2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} =4\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$

(iv) $\vec{a} =2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

(v) $\vec{a} =\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ y $\vec{b} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

Pregunta 6. Encuentra los ángulos que forman los vectores $\vec{a} =\hat{i}-\hat{j}+\sqrt2\hat{k}$ con los ejes de coordenadas.

Pregunta 7(i). Producto escalar de un vector con $\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}, \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ y $2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$ son 0, 5 y 8 respectivamente. Encuentra el vector.

Pregunta 8. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son vectores unitarios inclinados en un ángulo θ, entonces demuestre que

(i) cos θ/2 = 1/2 $|\hat{a}+\hat{b}|$

(ii) tan θ/2 = $\frac{|\hat{a}-\hat{b}|}{|\hat{a}+\hat{b}|}$

Pregunta 10. Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son tres vectores unitarios perpendiculares entre sí, entonces demuestre que | $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ | =√3.

Pregunta 11. Si $|\vec{a}+\vec{b}|$ = 60, $|\vec{a}-\vec{b}|$ = 40 y $|\vec{b}|$ = 46, encuentra $|\vec{a}|$

Pregunta 12. Demuestre que el vector $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ está igualmente inclinado con los ejes de coordenadas.

Pregunta 13. Muestre que los vectores $\vec{a}=\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}), \vec{b}=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}),\vec{c}=\frac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.

Pregunta 14. Para cualesquiera dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , Demuestre que $(\vec{a}+\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b})=0\Leftrightarrow|\vec{a}|=|\vec{b}|.$

Pregunta 15. Si $\vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$ , encuentran tal que $\vec{a}$ es perpendicular a $λ\vec{b}+\vec{c}$ .

Pregunta 16. Si $\vec{p}=5\hat{i}+λ\hat{j}-3\hat{k}$ y $\vec{q}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$ , entonces encuentra el valor de λ tal que $\vec{p}+\vec{q}$ y $\vec{p}-\vec{q}$ sean vectores perpendiculares.