Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 25 Vector o Producto Cruzado – Ejercicio 25.1

Pregunta 25. Si $|\vec{a}|=\sqrt{26}$ , $|\vec{b}|= 7$ y $|\vec{a}\times\vec{b}|=35$ , encuentran $\vec{a}.\vec{b}$

Solución:

Lo sabemos,

=> $\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}$

=> $|\vec{a}\times\vec{b} |= |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\|hat{n}|$

=> $35 = \sqrt{26}\times7|\sin\theta|\times1$

=> $\sin\theta = \dfrac{35}{7\sqrt{26}}$

=> $\sin\theta = \dfrac{5}{\sqrt{26}}$

como $\cos^2\theta + \sin^2\theta =1$ ,

=> $\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta}$

=> $\cos\theta = \sqrt{1-(\dfrac{5}{\sqrt{26}})^2}$

=> $\cos\theta = \sqrt{1-\dfrac{25}{26}}$

=> $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{26}}$

De este modo,

=> $\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

=> $\vec{a}.\vec{b} = 7\sqrt{26}\times\dfrac{1}{\sqrt{26}}$

=> $\vec{a}.\vec{b} = 7$

Pregunta 26. Encuentra el área del triángulo formado por O, A, B cuando $\vec{OA} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{OB} = -3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

Solución:

El área de un triángulo cuyos lados adyacentes están dados por $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $\dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

=> $\vec{OA}\times\vec{OB} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$

=> $\vec{OA}\times\vec{OB} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & 2 & 3\\-3 & -2 & 1\end{vmatrix}$

=> $\vec{OA}\times\vec{OB} = \hat{i}[2+6]-\hat{j}[1+9]+\hat{k}[-2+6]$

=> $\vec{OA}\times\vec{OB} = 8\hat{i}-10\hat{j}+4\hat{k}$

=> Área = $\dfrac{1}{2} |\vec{OA}\times\vec{OB}|$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{8^2+(-10^2)+4^2}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{64+100+16}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\times6\sqrt{45}$

=> Área = $3\sqrt{5}$ unidades cuadradas.

Pregunta 27. Sea $\vec{a}=\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$ , $\vec{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+7\hat{k}$ y $\vec{c} = 2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ . Encuentre un vector $\vec{d}$ que sea perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ y $\vec{c}.\vec{d} = 15$

Solución:

Dado que $\vec{d}$ es perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .

=> $\vec{d}.\vec{a} =0$ ……….(1)

=> $\vec{d}.\vec{b} =0$ ……….(2)

También,

=> $\vec{c}.\vec{d} = 15$ …….(3)

Dejar $\vec{d} = d_1\hat{i}+d_2\hat{j}+d_3\hat{k}$

De la ecuación (1),

=> re ₁ + 4 re ₂ + 2 re ₃ = 0

De la ecuación (2),

=> 3 días ₁ – 2 días ₂ + 7 días ₃ = 0

De la ecuación (3),

=> 2d ₁ – re ₂ + 4d ₃ = 15

Al resolver las 3 ecuaciones obtenemos,

d ₁ = 160/3, d ₂ = -5/3 y d ₃ = -70/3,

=> $\vec{d} = \dfrac {1}{3}(160\hat{i}-5\hat{j}-70\hat{k})$

Pregunta 28. Encuentra un vector unitario perpendicular a cada uno de los vectores $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ , donde $\vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ .

Solución:

Dado eso, $\vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$

Dejar $\vec{c} = \vec{a}+\vec{b}$

=> $\vec{c} = (3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})+ (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})$

=> $\vec{c} = \hat{i}[3+1] +\hat{j}[2+2] +\hat{k}[2-2]$

=> $\vec{c} = 4\hat{i} +4\hat{j}$

Dejar $\vec{d} = \vec{a}-\vec{b}$

=> $\vec{d} = (3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})$

=> $\vec{d} = \hat{i}[3-1] +\hat{j}[2-2] +\hat{k}[2+2]$

=> $\vec{d} = 2\hat{i} +4\hat{k}$

Un vector perpendicular a ambos $\vec{c}$ y $\vec{d}$ es,

=> $\vec{c}\times\vec{d} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\c_1 & c_2 & c_3\\d_1 & d_2 & d_3\end{vmatrix}$

=> $\vec{c}\times\vec{d} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\4 & 4 & 0\\2 & 0 & 4\end{vmatrix}$

=> $\vec{c}\times\vec{d} = \hat{i}[16-0]-\hat{j}[16-0]+\hat{k}[0-8]$

=> $\vec{c}\times\vec{d} = 16\hat{i}-16\hat{j}-8\hat{k}$

Para encontrar el vector unitario,

=> $\hat{p} = \dfrac{\vec{c}\times\vec{d}}{|\vec{c}\times\vec{d}|}$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{16^2+(-16)^2+(-8)^2}}(16\hat{i}-16\hat{j}-8\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{256+256+64}}(16\hat{i}-16\hat{j}-8\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{24}(16\hat{i}-16\hat{j}-8\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{3}(2\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k})$

Pregunta 29. Usando vectores, encuentra el área del triángulo con los vértices A(2, 3, 5), B(3, 5, 8) y C(2, 7, 8).

Solución:

Dado, A(2, 3, 5), B(3, 5, 8) y C(2, 7, 8)

Dejar,

=> $\vec{a} = A = 2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$

=> $\vec{b} = B = 3\hat{i}+5\hat{j}+8\hat{k}$

=> $\vec{c} = C = 2\hat{2}+7\hat{j}+8\hat{k}$

Después,

=> $\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$

=> $\vec{AB} = (3\hat{i}+5\hat{j}+8\hat{k})-(2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})$

=> $\vec{AB} = \hat{i}[3-2]+\hat{j}[5-3]+\hat{k}[8-5]$

=> $\vec{AB} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

=> $\vec{AC} = \vec{c}-\vec{a}$

=> $\vec{AC} = (2\hat{2}+7\hat{j}+8\hat{k})-(2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})$

=> $\vec{AC} = \hat{i}[2-2]+\hat{j}[7-3]+\hat{k}[8-5]$

=> $\vec{AC} = 4\hat{j}+3\hat{k}$

El área de un triángulo cuyos lados adyacentes están dados por $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $\dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC}= \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & 2& 3\\0 & 4 & 3\end{vmatrix}$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = \hat{i}[6-12]-\hat{j}[3-0]+\hat{k}[4-0]$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = -6\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2+(-3)^2+4^2}$

=> Área = √61/2

Pregunta 30. Si $\vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$ , $\vec{c}=2\hat{j}-\hat{k}$ son tres vectores, encuentra el área del paralelogramo que tiene las diagonales $(\vec{a}+\vec{b})$ y $(\vec{b}+\vec{c})$ .

Solución:

Dado, $\vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$ , $\vec{c}=2\hat{j}-\hat{k}$

Dejar,

=> $\vec{c} = (\vec{a}+\vec{b})$

=> $\vec{c} = (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})+(-\hat{i}+\hat{k})$

=> $\vec{c} = (2-1)\hat{i}+(-3)\hat{j}+(1+1)\hat{k}$

=> $\vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$

=> $\vec{d} = (\vec{b}+\vec{c})$

=> $\vec{d} = (-\hat{i}+\hat{k})+(2\hat{j}-\hat{k})$

=> $\vec{d} = -\hat{i}+2\hat{j}$

El área del paralelogramo que tiene diagonales $\vec{c}$ y $\vec{d}$ es $\dfrac{1}{2}|\vec{c}\times\vec{d}|$

=> $\vec{c}\times\vec{d} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & -3& 2\\-1 & 2 & 0\end{vmatrix}$

=> $\vec{c}\times\vec{d} = \hat{i}[0-4] -\hat{j}[0+2]+\hat{k}[2-3]$

=> $\vec{c}\times\vec{d} = -4\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}|\vec{c}\times\vec{d}|$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-1)^2}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{21}$

=> Área = √21/2

Pregunta 31. Los dos lados adyacentes de un paralelogramo son $2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ y $\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$ . Encuentra el vector unitario paralelo a una de sus diagonales. Además, encuentre su área.

Solución:

Dado un paralelogramo ABCD y sus 2 lados AB y BC.

Por la ley triangular de la suma,

=> $\vec{AC} = \vec{AB}+\vec{BC}$

=> $\vec{AC} = (2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})+(\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k})$

=> $\vec{AC} = \hat{i}[2+1] +\hat{j}[-4-2]+\hat{k}[5-3]$

=> $\vec{AC} = 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}$

vector unitario es,

=> $\hat{p} = \dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{3^2+(-6)^2+2^2}}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{49}}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})$

El área de un paralelogramo cuyos lados adyacentes se dan es $|\vec{a}\times\vec{b}|$

=> $|\vec{AB}\times\vec{BC}| = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2 & -4 & 5\\1 & -2 & -3\end{vmatrix}$

=> $|\vec{AB}\times\vec{BC}| = \hat{i}[12+10]-\hat{j}[-6-5]+\hat{k}[-4+4]$

=> $|\vec{AB}\times\vec{BC}| = 22\hat{i}+11\hat{j}$

Así el área es,

=> Área = $|22\hat{i}+11\hat{j}|$

=> Área = $\sqrt{22^2+11^2}$

=> Área = $\sqrt{605}$

=> Área = 11 √5 unidades cuadradas

Pregunta 32. Si $\vec{a}=0$ o bien $\vec{b}=0$ , entonces $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ . ¿Es cierto lo contrario? Justifique con el ejemplo.

Solución:

Tomemos dos vectores paralelos distintos de cero $\vec{a}$ y $\vec{b}$

=> $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$

Por ejemplo,

$\vec{a} = \hat{i}$ y $\vec{b}=2\hat{i}$

=> $\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & 0 & 0\\2 & 0 & 0\end{vmatrix}$

=> $\vec{a}\times\vec{b} = 0$

Pero,

=> $|\vec{a}| = \sqrt{1^2} =1$

=> $|\vec{b}| = \sqrt{2^2} =2$

Por lo tanto, lo contrario puede no ser cierto.

Pregunta 33. Si $\vec{a} = a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ , $\vec{b} = b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ y $\vec{c} = c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ , entonces verifique que $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ .

Solución:

Dado $\vec{a} = a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ , $\vec{b} = b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ y $\vec{c} = c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$

=> $(\vec{b}+\vec{c}) = (b_1+c_1)\hat{i}+(b_2+c_2)\hat{j}+(b_3+c_3)\hat{k}$

=> $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\(b_1+c_1) & (b_2+c_2) & (b_3+c_3)\end{vmatrix}$

=> $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \hat{i}[a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2)]-\hat{j}[a_1(b_3+c_3)-a_3(b_1+c_1)]+\hat{k}[a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1)]$

=> $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \hat{i}[a_2b_3+a_2c_3-a_3b_2-a_3c_2]+\hat{j}[-a_1b_3-a_1c_3+a_3b_1+a_3c_1]+\hat{k}[a_1b_2+a_1c_2-a_2b_1-a_2c_1]$ …..eq(1)

Ahora,

=> $\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$

=> $\vec{a}\times\vec{b} = \hat{i}[a_2b_3-b_2a_3]-\hat{j}[a_1b_3-b_1a_3]+\hat{k}[a_1b_2-b_1a_2]$

Y,

=> $\vec{a}\times\vec{c} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}$

=> $\vec{a}\times\vec{c} = \hat{i}[a_2b_3-c_2a_3]-\hat{j}[a_1c_3-c_1a_3]+\hat{k}[a_1c_2-c_1a_2]$

De este modo,

=> $\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c} = (\hat{i}[a_2b_3-b_2a_3]-\hat{j}[a_1b_3-b_1a_3]+\hat{k}[a_1b_2-b_1a_2]) + (\hat{i}[a_2b_3-c_2a_3]-\hat{j}[a_1c_3-c_1a_3]+\hat{k}[a_1c_2-c_1a_2])$

=> $\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c} = \hat{i}[a_2b_3+a_2c_3-a_3b_2-a_3c_2]+\hat{j}[-a_1b_3-a_1c_3+a_3b_1+a_3c_1]+\hat{k}[a_1b_2+a_1c_2-a_2b_1-a_2c_1]$ …ecuación(2)

Así eq(1) = eq(2)

Por lo tanto probado.

Pregunta 34(i). Usando vectores encuentra el área del triángulo con los vértices A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) y C(1, 5, 5).

Solución:

Dado, A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) y C(1, 5, 5)

=> $\vec{a} = A = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$

=> $\vec{b} = B = 2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$

=> $\vec{c} = C = \hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}$

Ahora 2 lados del triángulo están dados por,

=> $\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$

=> $\vec{AB} = (2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})-(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})$

=> $\vec{AB} = \hat{i}[2-1] +\hat{j}[3-1]+\hat{j}[5-2]$

=> $\vec{AB} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

=> $\vec{AC} = \vec{c}-\vec{a}$

=> $\vec{AC} = (\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k})-(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})$

=> $\vec{AC} = \hat{i}[1-1] +\hat{j}[5-1]+\hat{j}[5-2]$

=> $\vec{AC} = 4\hat{j}+3\hat{k}$

El área del triángulo cuyos lados adyacentes se dan es $\dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & 2 & 3\\0 & 4 & 3\end{vmatrix}$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = \hat{i}[6-12]-\hat{j}[3-0]+\hat{k}[4-0]$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = -6\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$

Por lo tanto, el área del triángulo es,

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2+(-3)^2+4^2}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{36+9+16}$

=> Área = √61/2

Pregunta 34(ii). Usando vectores encuentra el área del triángulo con los vértices A(1, 2, 3), B(2, -1, 4) y C(4, 5, -1).

Solución:

Dado, A(1, 2, 3), B(2, -1, 4) y C(4, 5, -1)

=> $\vec{a} = A = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

=> $\vec{b} = B = 2\hat{i}-1\hat{j}+4\hat{k}$

=> $\vec{c} = C = 4\hat{i}+5\hat{j}-1\hat{k}$

Ahora 2 lados del triángulo están dados por,

=> $\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$

=> $\vec{AB} = (2\hat{i}-1\hat{j}+4\hat{k})-(4\hat{i}+5\hat{j}-1\hat{k})$

=> $\vec{AB} = \hat{i}[2-1] +\hat{j}[-1-2]+\hat{j}[4-3]$

=> $\vec{AB} = \hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$

=> $\vec{AC} = \vec{c}-\vec{a}$

=> $\vec{AC} = (4\hat{i}+5\hat{j}-1\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

=> $\vec{AC} = \hat{i}[4-1] +\hat{j}[5-2]+\hat{j}[-1-3]$

=> $\vec{AC} = 3\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$

El área del triángulo cuyos lados adyacentes se dan es $\dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & -3 & 1\\3 & 3 & -4\end{vmatrix}$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = \hat{i}[12-3]-\hat{j}[-4-3]+\hat{k}[3+9]$

=> $\vec{AB}\times\vec{AC} = 9\hat{i}+7\hat{j}+12\hat{k}$

Por lo tanto, el área del triángulo es,

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{(9)^2+(7)^2+12^2}$

=> Área = $\dfrac{1}{2}\sqrt{81+49+144}$

=> Área = √274/2

Pregunta 35. Encuentra todos los vectores de magnitud $10\sqrt{3}$ que son perpendiculares al plano de $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $-\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ .

Solución:

dado, $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$

Un vector perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es,

=> $\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & 2 & 1\\-1 & 3 & 4\end{vmatrix}$

=> $\vec{a}\times\vec{b} = \hat{i}[8-3]-\hat{j}[4+1]+\hat{k}[3+2]$

=> $\vec{a}\times\vec{b} = 5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}$

vector unitario es,

=> $\hat{p} = \dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|}$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{5^2+(-5)^2+5^2}}(5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{5\sqrt{3}}(5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$

Ahora los vectores de magnitud $10\sqrt{3}$ están dados por,

=> $10\sqrt{3}\hat{p} = \pm10\sqrt{3}\times \dfrac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$

=> Vectores requeridos, $\pm10(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$

Pregunta 36. Los lados adyacentes de un paralelogramo son $2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k}$ y $2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ . Encuentra los 2 vectores unitarios paralelos a sus diagonales. Además, encuentre su área del paralelogramo.

Solución:

dado, $\vec{AB}=2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k}$ y $\vec{BC} = 2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

=> $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

=> $\vec{AC} = (2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k})+(2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

=> $\vec{AC} = 4\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$

vector unitario es,

=> $\hat{p} = \dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{4^2+(-1)^2+(-2)^2}}(4\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})$

=> $\hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{21}}(4\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})$

El área está dada por $|\vec{AB}\times\vec{BC}|$ ,

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 25 Vector o Producto Cruzado – Ejercicio 25.1 | conjunto 3

Pregunta 25. Si $|\vec{a}|=\sqrt{26}$ , $|\vec{b}|= 7$ y $|\vec{a}\times\vec{b}|=35$ , encuentran $\vec{a}.\vec{b}$

Pregunta 26. Encuentra el área del triángulo formado por O, A, B cuando $\vec{OA} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{OB} = -3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

Pregunta 27. Sea $\vec{a}=\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$ , $\vec{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+7\hat{k}$ y $\vec{c} = 2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ . Encuentre un vector $\vec{d}$ que sea perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ y $\vec{c}.\vec{d} = 15$

Pregunta 28. Encuentra un vector unitario perpendicular a cada uno de los vectores $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ , donde $\vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ .

Pregunta 29. Usando vectores, encuentra el área del triángulo con los vértices A(2, 3, 5), B(3, 5, 8) y C(2, 7, 8).

Pregunta 30. Si $\vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$ , $\vec{c}=2\hat{j}-\hat{k}$ son tres vectores, encuentra el área del paralelogramo que tiene las diagonales $(\vec{a}+\vec{b})$ y $(\vec{b}+\vec{c})$ .

Pregunta 31. Los dos lados adyacentes de un paralelogramo son $2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ y $\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$ . Encuentra el vector unitario paralelo a una de sus diagonales. Además, encuentre su área.

Pregunta 32. Si $\vec{a}=0$ o bien $\vec{b}=0$ , entonces $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ . ¿Es cierto lo contrario? Justifique con el ejemplo.

Pregunta 33. Si $\vec{a} = a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ , $\vec{b} = b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ y $\vec{c} = c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ , entonces verifique que $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ .

Pregunta 34(i). Usando vectores encuentra el área del triángulo con los vértices A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) y C(1, 5, 5).

Pregunta 34(ii). Usando vectores encuentra el área del triángulo con los vértices A(1, 2, 3), B(2, -1, 4) y C(4, 5, -1).

Pregunta 35. Encuentra todos los vectores de magnitud $10\sqrt{3}$ que son perpendiculares al plano de $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $-\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ .

Pregunta 36. Los lados adyacentes de un paralelogramo son $2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k}$ y $2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ . Encuentra los 2 vectores unitarios paralelos a sus diagonales. Además, encuentre su área del paralelogramo.

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Pregunta 25. Si , y , encuentran

Pregunta 26. Encuentra el área del triángulo formado por O, A, B cuando ,

Pregunta 27. Sea , y . Encuentre un vector que sea perpendicular a ambos y y

Pregunta 28. Encuentra un vector unitario perpendicular a cada uno de los vectores y , donde y .

Pregunta 29. Usando vectores, encuentra el área del triángulo con los vértices A(2, 3, 5), B(3, 5, 8) y C(2, 7, 8).

Pregunta 30. Si , , son tres vectores, encuentra el área del paralelogramo que tiene las diagonales y .

Pregunta 31. Los dos lados adyacentes de un paralelogramo son y . Encuentra el vector unitario paralelo a una de sus diagonales. Además, encuentre su área.

Pregunta 32. Si o bien , entonces . ¿Es cierto lo contrario? Justifique con el ejemplo.

Pregunta 33. Si , y , entonces verifique que .

Pregunta 34(i). Usando vectores encuentra el área del triángulo con los vértices A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) y C(1, 5, 5).

Pregunta 34(ii). Usando vectores encuentra el área del triángulo con los vértices A(1, 2, 3), B(2, -1, 4) y C(4, 5, -1).

Pregunta 35. Encuentra todos los vectores de magnitud que son perpendiculares al plano de y .

Pregunta 36. Los lados adyacentes de un paralelogramo son y . Encuentra los 2 vectores unitarios paralelos a sus diagonales. Además, encuentre su área del paralelogramo.

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Pregunta 25. Si $|\vec{a}|=\sqrt{26}$ , $|\vec{b}|= 7$ y $|\vec{a}\times\vec{b}|=35$ , encuentran $\vec{a}.\vec{b}$

Pregunta 26. Encuentra el área del triángulo formado por O, A, B cuando $\vec{OA} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{OB} = -3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

Pregunta 27. Sea $\vec{a}=\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$ , $\vec{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+7\hat{k}$ y $\vec{c} = 2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ . Encuentre un vector $\vec{d}$ que sea perpendicular a ambos $\vec{a}$ y $\vec{b}$ y $\vec{c}.\vec{d} = 15$

Pregunta 28. Encuentra un vector unitario perpendicular a cada uno de los vectores $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ , donde $\vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ y $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ .

Pregunta 30. Si $\vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$ , $\vec{c}=2\hat{j}-\hat{k}$ son tres vectores, encuentra el área del paralelogramo que tiene las diagonales $(\vec{a}+\vec{b})$ y $(\vec{b}+\vec{c})$ .

Pregunta 31. Los dos lados adyacentes de un paralelogramo son $2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ y $\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$ . Encuentra el vector unitario paralelo a una de sus diagonales. Además, encuentre su área.

Pregunta 32. Si $\vec{a}=0$ o bien $\vec{b}=0$ , entonces $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ . ¿Es cierto lo contrario? Justifique con el ejemplo.

Pregunta 33. Si $\vec{a} = a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ , $\vec{b} = b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ y $\vec{c} = c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ , entonces verifique que $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ .

Pregunta 35. Encuentra todos los vectores de magnitud $10\sqrt{3}$ que son perpendiculares al plano de $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $-\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ .

Pregunta 36. Los lados adyacentes de un paralelogramo son $2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k}$ y $2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ . Encuentra los 2 vectores unitarios paralelos a sus diagonales. Además, encuentre su área del paralelogramo.