Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 25 Vector o Producto Cruzado – Ejercicio 25.1 | Serie 1

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Pregunta 1. Si  \vec{a}= \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k} y  \vec{b}= -\hat{i}+3\hat{k} , encuentra |\vec{a} \times \vec{b}|

Solución:

dado,  \vec{a}= \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k} y  \vec{b}= -\hat{i}+3\hat{k}  .

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 1 & 3 & -2\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(3)(3)-(0)(-2)]-\hat{j}[(1)(3)-(-1)(-2)]+\hat{k}[(1)(0)-(-1)(3)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[9-0]-\hat{j}[3-2]+\hat{k}[0-(-3)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 9\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}

Ahora, |\vec{a} \times \vec{b}|  

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(9)^2+(-1)^2+(3)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{81+1+9}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = √91

Pregunta 2(i). Si  \vec{a}= 3\hat{i}+4\hat{j}  y  \vec{b}= \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} , encuentre el valor de |\vec{a} \times \vec{b}|  

Solución:

dado,  \vec{a}= 3\hat{i}+4\hat{j}  y \vec{b}= \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}  

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 3 & 4 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(4)(1)-(1)(0)]-\hat{j}[(3)(1)-(1)(0)]+\hat{k}[(3)(1)-(1)(4)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[4-0]-\hat{j}[3-0]+\hat{k}[3-4]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 4\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}

Ahora, |\vec{a} \times \vec{b}|  

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(4)^2+(-3)^2+(-1)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{16+1+9}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{26}

Pregunta 2(ii). Si  \vec{a}= 2\hat{i}+\hat{j}  y  \vec{b}= \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} , encuentre la magnitud de |\vec{a} \times \vec{b}|  

Solución:

dado,  \vec{a}= 2\hat{i}+\hat{j}  y \vec{b}= \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(1)(1)-(1)(0)]-\hat{j}[(2)(1)-(1)(0)]+\hat{k}[(2)(1)-(1)(1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[1-0]-\hat{j}[2-0]+\hat{k}[2-1]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}

Ahora, |\vec{a} \times \vec{b}|  

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(1)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1+4+1}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = √6

Pregunta 3(i). Encuentre un vector unitario perpendicular a ambos vectores  4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}  y -2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}  

Solución:

Dado  4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}  y -2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}  

Un vector perpendicular a 2 vectores viene dado por \vec{a} \times \vec{b}  

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 4 & -1 & 3\\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(-1)(-2)-(1)(3)]-\hat{j}[(4)(-2)-(-2)(3)]+\hat{k}[(4)(1)-(-2)(-1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[2-3]-\hat{j}[-8+6]+\hat{k}[4-2]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}

El vector unitario viene dado por 

=>  \hat{p}  = \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2+(2)^2+(2)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = 3

=> El vector unitario es,

=>  \hat{p} = \dfrac{1}{3}(-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})

Pregunta 3(ii). Encuentre un vector unitario perpendicular al plano que contiene los vectores  \vec{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}  y  \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}  .

Solución:

 dado,  \vec{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} y \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}  

Un vector perpendicular a 2 vectores viene dado por \vec{a} \times \vec{b}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(1)(1)-(2)(1)]-\hat{j}[(2)(1)-(1)(1)]+\hat{k}[(2)(2)-(1)(1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[1-2]-\hat{j}[2-1]+\hat{k}[4-1]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}

El vector unitario viene dado por 

=>  \hat{p} = \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(3)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{11}

=> El vector unitario es,

=>  \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{11}}(-\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})

Pregunta 4. Encuentra la magnitud del vector \vec{a} = (3\hat{k}+4\hat{j})\times(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})  

Solución:

Dado \vec{a} = (3\hat{k}+4\hat{j})\times(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})  

=> \vec{a} = (3\hat{k}+4\hat{j})\times(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})   

=>  \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 0 & 4 & 3\\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} = \hat{i}[(4)(-1)-(1)(3)]-\hat{j}[(0)(-1)-(1)(3)]+\hat{k}[(0)(1)-(1)(4)]

=>  \vec{a} = \hat{i}[-4-3]-\hat{j}[0-3]+\hat{k}[0-4]

=>  \vec{a} = -7\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}

vector unitario es,

=>  |\vec{a}| = \sqrt{(-7)^2+(3)^2+(-4)^2}

=>  |\vec{a}| = \sqrt{49+9+16}

=>  |\vec{a}| = √74

Pregunta 5. Si  \vec{a}=4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}  y  \vec{b}=\hat{i}-2\hat{k} , entonces encuentra |2\hat{b}\times\vec{a}|  

Solución:

dado,  \vec{a}=4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} y \vec{b}=\hat{i}-2\hat{k}  

=>  \hat{b} = \dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}

=>  \hat{b} = \dfrac{(\hat{i}-2\hat{k})}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}

=>  \hat{b} = \dfrac{(\hat{i}-2\hat{k})}{\sqrt{5}}

=>  2\hat{b} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}{(\hat{i}-2\hat{k})}

=>  2\hat{b}\times\vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \dfrac{2}{\sqrt{5}} & 0 &\dfrac{-4}{\sqrt{5}}\\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}

=>  2\hat{b}\times\vec{a} = \hat{i}[(0)(1)-(3)(-\dfrac{4}{\sqrt{5}})]-\hat{j}[(\dfrac{2}{\sqrt{5}})(1)-(4)(\dfrac{-4}{\sqrt{5}})]+\hat{k}[(\dfrac{2}{\sqrt{5}})(3)-(4)(0)]

=>  2\hat{b}\times\vec{a} = \hat{i}[0+\dfrac{12}{\sqrt{5}}]-\hat{j}[\dfrac{2}{\sqrt{5}}+\dfrac{16}{\sqrt{5}}]+\hat{k}[\dfrac{6}{\sqrt{5}}-0]

=>  2\hat{b}\times\vec{a} = \dfrac{12}{\sqrt{5}}\hat{i}-\dfrac{18}{\sqrt{5}}\hat{j}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\hat{k}

Ahora, |2\hat{b}\times\vec{a}|  

=>  |2\hat{b}\times\vec{a}| = \sqrt{(\dfrac{12}{\sqrt{5}})^2+(\dfrac{-18}{\sqrt{5}})^2+(\dfrac{6}{\sqrt{5}})^2}

=>  |2\hat{b}\times\vec{a}| = \sqrt{\dfrac{144}{5} + \dfrac{324}{5}+\dfrac{36}{5}}

=>  |2\hat{b}\times\vec{a}| = \sqrt{\dfrac{504}{5}}

Pregunta 6. Si  \vec{a}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k} y  \vec{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} , encuentra (\vec{a}+2\vec{b})\times(2\vec{a}-\vec{b})  

Solución:

dado,  \vec{a}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}  y \vec{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}  

=>  2\vec{a} = 2(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})

=>  2\vec{a} = 6\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k}

=>  2\vec{b} = 2(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})

=>  2\vec{b} = 4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}

=>  \vec{a}+2\vec{b} = (3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})+(4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})

=>  \vec{a}+2\vec{b} = (3+4)\hat{i}+(-1+6)\hat{j}+(-2+2)\hat{k}

=>  \vec{a}+2\vec{b} = 7\hat{i}+5\hat{j}

=>  2\vec{a}-\vec{b} = (6\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k})-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})

=>  2\vec{a}-\vec{b} = (6-2)\hat{i}+(-2-3)\hat{j}+(-4-1)\hat{k}

=>  2\vec{a}-\vec{b} = 4\hat{i}-5\hat{j}-5\hat{k}

=>  (\vec{a}+2\vec{b})\times(2\vec{a}-\vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 7 & 5 & 0\\ 4 & -5 & -5 \end{vmatrix}

=>  (\vec{a}+2\vec{b})\times(2\vec{a}-\vec{b}) = \hat{i}[(5)(-5)-(-5)(0)]-\hat{j}[(7)(-5)-(4)(0)]+\hat{k}[(7)(-5)-(4)(5)]

=>  (\vec{a}+2\vec{b})\times(2\vec{a}-\vec{b}) = \hat{i}[-25-0]-\hat{j}[-35-0]+\hat{k}[-35-20]

=>  (\vec{a}+2\vec{b})\times(2\vec{a}-\vec{b}) = -25\hat{i}+35\hat{j}-55\hat{k}

Pregunta 7(i). Encuentre un vector de magnitud 49, que sea perpendicular a ambos vectores  2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}  y 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}  

Solución:

dado,  \vec{a} =2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}  y \vec{b}=3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}  

Un vector perpendicular a 2 vectores viene dado por \vec{a} \times \vec{b}

=> \vec{a} \times \vec{b}  = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b}  = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 3 & 6\\ 3 & -6 & 2 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b}  = \hat{i}[(3)(2)-(-6)(6)]-\hat{j}[(2)(2)-(3)(6)]+\hat{k}[(2)(-6)-(3)(3)]

=>  \vec{a} \times \vec{b}  = \hat{i}[6+36]-\hat{j}[4-18]+\hat{k}[-12-9]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 42\hat{i}+14\hat{j}-21\hat{k}

La magnitud del vector está dada por,

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(42)^2+(14)^2+(-21)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1764+196+441}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2401}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = 49

=> Vector es, 42\hat{i}+14\hat{j}-21\hat{k}

Pregunta 7(ii). Encuentre el vector cuya longitud es 3 y que es perpendicular al vector  3\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k} y 6\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}  

Solución:

dado,  3\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}  y 6\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}  

Un vector perpendicular a 2 vectores viene dado por   \vec{a} \times \vec{b}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 3 & 1 & -4\\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(1)(-2)-(5)(-4)]-\hat{j}[(3)(-2)-(6)(-4)]+\hat{k}[(3)(5)-(6)(1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[-2+20]-\hat{j}[-6+24]+\hat{k}[15-6]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 18\hat{i}-18\hat{j}+9\hat{k}

La magnitud del vector está dada por,

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(18)^2+(-18)^2+(9)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{324+324+81}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{729}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = 27

=> El vector unitario es,

=>  \hat{p} = \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}

=>  \hat{p} = \dfrac{1}{27}(18\hat{i}-18\hat{j}+9\hat{k})

El vector requerido es, 

=> 3\times\dfrac{1}{27}(18\hat{i}-18\hat{j}+9\hat{k})=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}  

Pregunta 8(i). Encuentre el paralelogramo determinado por los vectores:  2\hat{i}  y 3\hat{j}  

Solución:

Dado eso,  \vec{a}=2\hat{i} y \vec{b} =3\hat{j}  

=> El área del paralelogramo es |\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(0)(0)-(3)(0)]-\hat{j}[(2)(0)-(0)(0)]+\hat{k}[(2)(3)-(0)(0)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[0-0]-\hat{j}[0-0]+\hat{k}[6-0]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 6\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(0)^2+(0)^2+(6)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = 6

=> Área = 6 unidades cuadradas.

Pregunta 8(ii). Encuentra el paralelogramo determinado por los vectores:  2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}  y  \hat{i}-\hat{j} .

Solución:

Dado eso,  \vec{a}=2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k} y \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}

=> El área del paralelogramo es |\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(1)(0)-(-1)(3)]-\hat{j}[(2)(0)-(1)(3)]+\hat{k}[(2)(-1)-(1)(1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[0+3]-\hat{j}[0-3]+\hat{k}[-2-1]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 3\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}

Por lo tanto, el área del paralelogramo es,

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(3)^2+(3)^2+(-3)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{9+9+9}

=> Área = 3\sqrt{3}

Pregunta 8(iii). Encuentre el área del paralelogramo determinada por los vectores:  3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}  y \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}  

Solución:

Dado eso,  \vec{a} = 3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k} y \vec{b} = \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}

=> El área del paralelogramo es |\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 3 & 1 & -2\\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(1)(4)-(-3)(-2)]-\hat{j}[(3)(4)-(1)(-2)]+\hat{k}[(3)(-3)-(1)(1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[4-6]-\hat{j}[12+2]+\hat{k}[-9-1]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = -2\hat{i}-14\hat{j}-10\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2+(-14)^2+(-10)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{4+196+100}

=> Área = 10\sqrt{3}

Pregunta 8(iv). Encuentre el área del paralelogramo determinada por los vectores:  \hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}  y \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}  

Solución:

Dado eso,  \vec{a} = \hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}  y \vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}

=> El área del paralelogramo es |\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 1 & -3 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(-3)(1)-(1)(1)]-\hat{j}[(1)(1)-(1)(1)]+\hat{k}[(1)(1)-(1)(-3)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[-3-1]-\hat{j}[1-1]+\hat{k}[1+3]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = -4\hat{i}+4\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-4)^2+(0)^2+(4)^2}

=>  |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{16+16}

=> Área = 4\sqrt{2}

Pregunta 9(i). Encuentre el área del paralelogramo cuyas diagonales son:  4\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k} y -2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}  

Solución:

dado,  \vec{a}=4\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k} y \vec{b}=-2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}

=> El área del paralelogramo es \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 4 & -1 & -3\\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(-1)(-2)-(1)(-3)]-\hat{j}[(4)(-2)-(-2)(-3)]+\hat{k}[(4)(1)-(-2)(-1)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[2+3]-\hat{j}[-8-6]+\hat{k}[4-2]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 5\hat{i}+14\hat{j}+2\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{(5)^2+(14)^2+(2)^2}

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{225}

=> Área = 15/2 = 7,5 unidades cuadradas

Pregunta 9(ii). Encuentre el área del paralelogramo cuyas diagonales son:  2\hat{i}+\hat{k}  y \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}  

Solución:

dado,  \vec{a}=2\hat{i}+\hat{k} y \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}

=> El área del paralelogramo es \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(0)(1)-(1)(1)]-\hat{j}[(2)(1)-(1)(1)]+\hat{k}[(2)(1)-(1)(0)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[0-1]-\hat{j}[2-1]+\hat{k}[2-0]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(2)^2}

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{6}

=> Área = \dfrac{\sqrt{6}}{2}

Pregunta 9(iii). Encuentre el área del paralelogramo cuyas diagonales son:  3\hat{i}+4\hat{j}  y \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}  

Solución:

dado,  \vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j} y \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}

=> El área del paralelogramo es \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 3 & 4 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(4)(1)-(1)(0)]-\hat{j}[(3)(1)-(1)(0)]+\hat{k}[(3)(1)-(1)(4)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[4-0]-\hat{j}[3-0]+\hat{k}[3-4]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 4\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{(4)^2+(-3)^2+(-1)^2}

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}

=> Área = \dfrac{\sqrt{26}}{2}

Pregunta 9(iv). Encuentre el área del paralelogramo cuyas diagonales son:  2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}  y 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}  

Solución:

dado,  \vec{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k} y \vec{b}=3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}

=> El área del paralelogramo es \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 3 & 6\\ 3 & -6 & 2 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(3)(2)-(-6)(6)]-\hat{j}[(2)(2)-(3)(6)]+\hat{k}[(2)(-6)-(3)(3)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[6+36]-\hat{j}[4-18]+\hat{k}[-12-9]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 42\hat{i}+14\hat{j}-21\hat{k}

Por tanto, el área del paralelogramo es,

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{(42)^2+(14)^2+(-21)^2}

=>  \dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{2401}

=> Área = \dfrac{49}{2}

=> Área = 24.5

Pregunta 10. Si   \vec{a}=2\hat{i}+5\hat{j}-7\hat{k} ,  \vec{b}=-3\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}  y  \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k} , calcule  (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}  y  \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})  verifique que estos no son iguales.

Solución:

dado  \vec{a}=2\hat{i}+5\hat{j}-7\hat{k} ,  \vec{b}=-3\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k} y \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 5 & -7\\ -3 & -4 & 1 \end{vmatrix}

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[(5)(1)-(4)(-7)]-\hat{j}[(2)(1)-(-3)(-7)]+\hat{k}[(2)(4)-(-3)(5)]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}[5+28]-\hat{j}[2-21]+\hat{k}[8+15]

=>  \vec{a} \times \vec{b} = 33\hat{i}+19\hat{j}+23\hat{k}

=>  (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 33 & 19 & 23\\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}

=>  (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}  = \hat{i}[(19)(-3)-(-2)(23)]-\hat{j}[(33)(-3)-(1)(23)]+\hat{k}[(33)(-2)-(1)(19)]

=>  (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}  = \hat{i}[-57+46]-\hat{j}[-99-23]+\hat{k}[-66-19]

=>  (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} = -11\hat{i}+122\hat{j}-85\hat{k}

=>  \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ -3 & 4 & 1\\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}

=>  \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i}[(4)(-3)-(-2)(1)]-\hat{j}[(-3)(-3)-(1)(1)]+\hat{k}[(-3)(-2)-(1)(4)]

=>  \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i}[-12+2]-\hat{j}[9-1]+\hat{k}[6-4]

=>  \vec{b} \times \vec{c} = -10\hat{i}-8\hat{j}+2\hat{k}

=>  \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 5 & -7\\ -10 & -8 & 2 \end{vmatrix}

=>  \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \hat{i}[(5)(2)-(-8)(-7)]-\hat{j}[(2)(2)-(-10)(-7)]+\hat{k}[(2)(-8)-(-10)(5)]

=>  \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \hat{i}[10-56]-\hat{j}[4-70]+\hat{k}[-16+50]

=>  \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = -46\hat{i}+66\hat{j}+34\hat{k}

=>  (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} no es igual a \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})

=> Por lo tanto verificado.

Pregunta 11. Si  |\vec{a}|=2 ,  |\vec{b}|=5  y  |\vec{a}\times\vec{b}|=8 , encuentran \vec{a}.\vec{b}  

Solución:

Lo sabemos,

=> \vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}

=> |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}||\sin\theta||\hat{n}|

Sabemos que  |\hat{n}|  es 1, ya que  \hat{n}  es un vector unitario

=> 8 = 2\times5\times\sin\theta\times1

=> 10\sin\theta = 8

=> \sin\theta = \dfrac{4}{5}

También,

=> \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

Y \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

=> \cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta}

=> \cos\theta = \sqrt{1-(\dfrac{4}{5})^2}

=> \cos\theta = \sqrt{\dfrac{9}{16}}

=> \cos\theta = \dfrac{3}{5}

=> \vec{a}.\vec{b} = 2\times5\times\dfrac{3}{5}

=> \vec{a}.\vec{b} = 6

Pregunta 12. Dado  que \vec{a} = \dfrac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}) ,  \vec{b} = \dfrac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}) ,  \vec{c} = \dfrac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}) ,  \hat{i} ,  \hat{j} , \hat{k}  es un sistema ortogonal derecho de vectores unitarios en el espacio, demuestre que  \vec{a} y  \vec{b}  también  \vec{c}  es otro sistema.

Solución:

Para demostrar que  \vec{a} ,  \vec{b}  y  \vec{c}  es un sistema ortogonal de vectores unitarios de mano derecha, necesitamos probar:

(1) |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1

=> |\vec{a}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{2^2+3^2+6^2}

=> |\vec{a}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{4+9+36}

=> |\vec{a}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{49}

=> |\vec{a}| = \dfrac{1}{7}\times7

=> |\vec{a}| = 1

=> |\vec{b}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{3^2+(-6)^2+2^2}

=> |\vec{b}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{9+36+4}

=> |\vec{b}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{49}

=> |\vec{b}| = \dfrac{1}{7}\times7

=> |\vec{b}| = 1

=> |\vec{c}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{6^2+2^2+(-3)^2}

=> |\vec{c}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{36+4+9}

=> |\vec{c}| = \dfrac{1}{7}\sqrt{49}

=> |\vec{c}| = \dfrac{1}{7}\times7

=> |\vec{c}| = 1

(2) \vec{a}\times\vec{b} = \vec{c}

=> \vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_ 2& b_3\end{vmatrix}

=>\vec{a}\times\vec{b}= \dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{7}\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2 & 3 & 6\\3 & -6& 2\end{vmatrix}

=>\vec{a}\times\vec{b} = \dfrac{1}{49}(\hat{i}[6+36]-\hat{j}[4-18]+\hat{k}[-12-9])

=>\vec{a}\times\vec{b} = \dfrac{1}{49}(42\hat{i}+14\hat{j}-21\hat{k})

=> \vec{a}\times\vec{b} = \dfrac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})=\vec{c}

(3) \vec{b}\times\vec{c} =\vec{a}

=>\vec{b}\times\vec{c} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\b_1 & b_2 & b_3\\c_1 & c_ 2& c_3\end{vmatrix}

=>\vec{b}\times\vec{c}= \dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{7}\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\3 & -6 & 2\\6 & 2& -3\end{vmatrix}

=>\vec{b}\times\vec{c} = \dfrac{1}{49}(\hat{i}[18-4]-\hat{j}[-9-12]+\hat{k}[6+36])

=>\vec{b}\times\vec{c} = \dfrac{1}{49}(14\hat{i}+21\hat{j}+42\hat{k})

=>\vec{b}\times\vec{c} = \dfrac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})=\vec{a}

(4) \vec{c}\times\vec{a} = \vec{b}

=>\vec{c}\times\vec{a} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\c_1 & c_2 & c_3\\a_1 & a_ 2& a_3\end{vmatrix}

=> \vec{c}\times\vec{a}= \dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{7}\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\6 & 2 & -3\\2 & 3& 6\end{vmatrix}

=>\vec{c}\times\vec{a} = \dfrac{1}{49}(\hat{i}[12+9]-\hat{j}[36+6]+\hat{k}[18-4])

=>\vec{c}\times\vec{a} = \dfrac{1}{49}(21\hat{i}-42\hat{j}+14\hat{k})

=>\vec{c}\times\vec{a} = \dfrac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})=\vec{b}

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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