Pregunta 1. Muestra que las rectas y se intersecan y encuentra su punto de intersección.
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la primera línea son
⇒ x = λ, y = 2λ + 2, z = 3λ – 3
Las coordenadas de un punto general sobre la segunda línea están dadas por:
⇒ x = 2 μ + 2, y = 3 μ + 6, z = 4 μ + 3
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
λ – 2μ = 2 ……(1)
2λ – 3μ = 4 ……(2)
3λ – 4μ = 6 …..(3)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos
λ = 2 y μ = 0
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 3(2) – 4(0)
= 6 = lado derecho
Por lo tanto, las rectas dadas se cortan en (2, 6, 3).
Pregunta 2. Demuestra que las rectas y no se intersecan.
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la primera línea son
⇒ x = 3λ + 1, y = 2λ – 1, z = 5λ + 1
Las coordenadas de un punto general sobre la segunda línea están dadas por:
⇒ x = 4μ – 2, y = 3μ + 1, z = -2μ – 1
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
3λ – 4μ = -3 ……(1)
2λ – 3μ = 2 ……(2)
5λ + 2μ = -2 …..(3)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos
λ = -17 y μ = -12
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 3(-17) + 2(-12)
= -75 ≠ lado derecho
Por lo tanto, las líneas dadas no se cortan entre sí.
Pregunta 3. Muestra que las rectas y se intersecan y encuentra su punto de intersección.
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la primera línea son
⇒ x = 3λ – 1, y = 5λ – 3, z = 7λ – 5
Las coordenadas de un punto general sobre la segunda línea están dadas por:
⇒ x = 2 μ + 2, y = 3 μ + 6, z = 4 μ + 3
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
3λ – μ = 3 ……(1)
5λ – 3μ = 7 ……(2)
7λ – 5μ = 11 …..(3)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos
λ = 1/2 y μ = -3/2
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 3(2) – 4(0)
= -3/2 = lado derecho
Ahora pon el valor de λ en la primera ecuación y obtenemos
x = 1/2, y = -1/2, z = -3/2
Por lo tanto, las rectas dadas se cortan en (1/2, -1/2, -3/2).
Pregunta 4. Demuestra que la recta que pasa por (0, -1, -1) y B(4, 5, 1) interseca a la recta que pasa por C(3, 9, 4) y D(-4, 4, 4). Además, encuentre su punto de intersección.
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la recta AB son
⇒ x = 4λ, y = 6λ – 1, z = 2λ – 1
Además, dado que las coordenadas de cualquier punto de la línea CD son
⇒ x = 7 μ + 3, y = 5 μ + 9, z = 4
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
4λ – 7μ = 3 ……(1)
6λ – 5μ = 10 ……(2)
λ = 5/2 …..(3)
⇒ λ = 5/2 y μ = 1.
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 4(5/2) – 7(1)
= 3 = lado derecho
Ahora pon el valor de λ en la línea AB, obtenemos
x = 10, y = 14, z = 4
Por tanto, las rectas dadas AB y CD se cortan en el punto (10, 14, 4).
Pregunta 5. Demuestra que la recta y se intersecan y encuentra su punto de intersección.
Solución:
Según la pregunta, se da que el vector de posición de dos puntos sobre las rectas es
Si las líneas se cruzan, entonces para algún valor de λ y μ, debemos tener:
Ahora igualamos el coeficiente de obtenemos
1 + 3λ = 4 + 2μ ……(1)
1 – λ = 0 …..(2)
-1 = -1 +3μ …..(3)
Al resolver la ecuación, obtenemos
λ = 1 y μ = 0.
Ahora, reemplazando los valores en la ecuación (1), obtenemos
1 + 3(1) = 4 + 2(0)
4 = 4
LHS = RHS
Así, las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas son (4, 0, -1).
Pregunta 6. Determina si los siguientes pares de rectas se intersecan o no:
(yo) y
Solución:
Dado que:
Si las líneas se cruzan, entonces para algún valor de λ y μ, debemos tener:
Ahora igualamos el coeficiente de obtenemos
1 + 2λ = 2 + μ …..(1)
-1 = -1 + µ …..(2)
λ = -μ …..(3)
Al resolver las ecuaciones, obtenemos
λ = 0 y μ = 0.
Ahora, sustituimos los valores en la ecuación (1), obtenemos
1 + 2λ = 2 + μ
1 + 2(0) = 2 + 0
1 ≠ 2
IZQ ≠ DERECHO
Por lo tanto, las rectas dadas no se cortan.
(ii) y
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la recta AB son
⇒ x = 2λ + 1, y = 3λ – 1, z = λ
Las coordenadas de un punto general en la segunda línea están dadas por
⇒ x = 5μ – 1, y = μ + 2, z = 2
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
2λ – 5μ = -2 ……(1)
3λ – μ = 3 ……(2)
λ = 2 …..(3)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos
λ = 2 y μ = 3
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 2(2) – 5(3)
= -2 ≠ lado derecho
Por lo tanto, las líneas dadas no se cortan entre sí.
(iii) y
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la recta AB son
⇒ x = λ, y = 2λ + 2, z = 3λ – 3
Las coordenadas de un punto general en la segunda línea están dadas por
⇒ x = 2μ + 4, y = 0, z = 3μ – 1
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
λ – 2μ = 2 …….(1)
2λ – 3μ = 4 ……(2)
3λ – 4μ = 6 ……(3)
Al resolver este sistema de ecuaciones, obtenemos
λ = 1 y μ = 0
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 3(1) – 2(0)
= 3 = lado derecho
Por lo tanto, las rectas dadas se cortan en (4, 0, -1).
(iv) y
Solución:
Dado que las coordenadas de cualquier punto de la recta AB son
⇒ x = 4λ + 5, y = 4λ + 7, z = -5λ – 3
Las coordenadas de un punto general sobre la segunda línea están dadas por:
⇒ x = 7 μ + 8, y = μ + 4, z = 3 μ + 5
Si las rectas se cortan, para algunos valores de λ y μ, debemos tener:
4λ – 7μ = 3 …….(1)
4λ – μ = -3 ……(2)
5λ + 3μ = -8 ……(3)
Al resolver este sistema de ecuaciones, obtenemos
λ = -1 y μ = -1
Al sustituir los valores en la ecuación (3), tenemos
IZQ = 5(-1) – 3(-1)
= -8 = lado derecho
Por lo tanto, las rectas dadas se cortan en (1, 3, 2).
Pregunta 7. Demuestra que las rectas y se intersecan. Por lo tanto, encuentre su punto de intersección.
Solución:
Dado que,
Si las líneas se cruzan, entonces para algún valor de λ y μ, debemos tener:
Ahora igualamos el coeficiente de obtenemos
3 + λ = 5 + 3μ ……..(1)
2 + 2λ = -2 + 2μ ……..(2)
2λ – 4 = 6μ ……..(3)
Resolviendo la ecuación, tenemos:
λ = -4 y μ = -2.
Al sustituir los valores, obtenemos
IZQ = 2(-4) – 4
= -12
lado derecho = 6(-2)
= -12
Por lo tanto, las líneas dadas se cortan en el punto (-1, -6, -12).
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Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA