Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 3 Operaciones binarias – Ejercicio 3.2

Pregunta 1. Sea ‘*’ una operación binaria sobre N definida por a * b = 1.cm (a, b) para todo a, b ∈ N

(i) Encuentra 2 * 4, 3 * 5, 1 * 6

Solución:

Nos dan que a * b = MCM (a, b) 

⇒ 2 * 4 = MCM (2, 4) = 4

y, 3 * 5 = MCM (3, 5) = 15

ahora, 1 * 6 = MCM (1, 6) = 6

Por lo tanto, 2 * 4 = 4, 3 * 5 = 15 y 1 * 6 = 6.

(ii) Comprobar la conmutatividad y asociatividad de ‘*’ en N.

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ N

a * b = MCM (a, b) = MCM (b, a) = b * a

Por lo tanto, a * b = b * a ∀ a, b ∈ N

Por lo tanto, * es conmutativo en N.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ N

⇒ a * (b * c) = a * MCM (b, c) = MCM (a, (b, c)) = MCM (a, b, c)

Y, (a * b) * c = MCM (a, b) * c = MCM ((a, b), c) = MCM (a, b, c)

Por lo tanto, (a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ N

Por lo tanto, * es asociativo en N.

Pregunta 2. Determine cuál de las siguientes operaciones binarias es asociativa y cuál es conmutativa:

(i) * sobre N definido por a * b = 1 para todo a, b ∈ N

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ N

a * b = 1 y b * a = 1

Por lo tanto, a * b = b * a, para todo a, b ∈ N

Por lo tanto, * es conmutativo en N.

Para la asociatividad:

Sean a, b, c ∈ N

Entonces a * (b * c) = a * (1) = 1

y, (a * b) *c = (1) * c = 1

Por tanto, a * (b * c) = (a * b) * c para todo a, b, c ∈ N

Por lo tanto, * es asociativo en N.

Por lo tanto, * es tanto conmutativo como asociativo en N.

(ii) * sobre Q definido por a * b = (a + b)/2 para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ N

a * b = (a + b)/2 = (b + a)/2 = b * a

Por lo tanto, a * b = b * a, ∀ a, b ∈ N

Por lo tanto, * es conmutativo en N.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ N

⇒ a * (b * c) = a * (b + c)/2 = [a + (b + c)]/2 = (2a + b + c)/4

Ahora, (a * b) * c = (a + b)/2 * c = [(a + b)/2 + c] /2 = (a + b + 2c)/4

Así, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Si a = 1, b = 2, c = 3

1 * (2 * 3) = 1 * (2 + 3)/2 = 1 * (5/2) = [1 + (5/2)]/2 = 7/4

y, (1 * 2) * 3 = (1 + 2)/2 * 3 = 3/2 * 3 = [(3/2) + 3]/2 = 4/9

Por tanto, existe a = 1, b = 2, c = 3 ∈ N tales que a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en N.

Por lo tanto, * es conmutativo en N pero no asociativo en N.

Pregunta 3. Sea A cualquier conjunto que contenga más de un elemento. Sea ‘*’ una operación binaria sobre A definida por a * b = b para todo a, b ∈ A ¿Es ‘*’ conmutativo o asociativo sobre A?

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ A.

Entonces, a * b = b

⇒ segundo * un = un

Por lo tanto, a * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en A.

Ahora tenemos que comprobar la asociatividad:

Sean a, b, c ∈ A

a * (b * c) = a * c = c

Por lo tanto, a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ A

Por lo tanto, * es asociativo en A.

Pregunta 4. Comprueba la conmutatividad y asociatividad de cada una de las siguientes operaciones binarias:

(i) ‘*’ en Z definido por a * b = a + b + ab para todo a, b ∈ Z

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Z

Entonces a * b = a + b + ab = b + a + ba = b * a

Por lo tanto, a * b = b * a, ∀ a, b ∈ Z

Por lo tanto, * es conmutativo en Z.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Z, Entonces,

a * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)

= a + b + c + bc + ab + ac + abc

Ahora, (a * b) * c = (a + b + ab) * c

= a + b + ab + c + (a + b + ab) c

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

Claramente, a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ Z

Por lo tanto, * es asociativo en Z.

(ii) ‘*’ en N definido por a * b = 2 ^ab para todo a, b ∈ N

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ N

un * segundo = 2 ^ab = 2 ^ba = segundo * un

Por lo tanto, a * b = b * a, ∀ a, b ∈ N

Por lo tanto, * es conmutativo en N

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ N

Entonces, a * (b * c) = a * (2 ^bc ) = 2a ^2bc

y, (a * b) * c = (2 ^ab ) * c = 2ab ^2c

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en N.

(iii) ‘*’ en Q definido por a * b = a – b para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

un * segundo = un – segundo

segundo * un = segundo – un

Claramente, a * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en Q.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

a * (b * c) = a * (b – c) = a – (b – c) = a – b + c

y, (a * b) * c = (a – b) * c = a – b – c

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

(iv) ‘⊙’ en Q definido por a ⊙ b = a ² + b ² para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

un ⊙ segundo = un ² + ^{segundo 2} = ^{segundo 2} + un ² = segundo ⊙ un

Claramente, a ⊙ b = b ⊙ a, ∀ a, b ∈ Q

Por lo tanto, ⊙ es conmutativo en Q.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

un ⊙ (segundo ⊙ c) = un ⊙ ( ^{segundo 2} + c ² )

= un ² + (b ² + c ² )2

= un ² + segundo ⁴ + do ⁴ + 2b ² do ²

(un ⊙ segundo) ⊙ do = (un ² + ^{segundo 2} ) ⊙ do

= (a ² + b ² ) ² + c ²

= un ⁴ + segundo ⁴ + 2a ^{2 segundo 2} + c ²

Claramente, (a ⊙ b) ⊙ c ≠ a ⊙ (b ⊙ c)

Por lo tanto, ⊙ no es asociativo en Q.

(v) ‘o’ en Q definida por aob = (ab/2) para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

aob = (ab/2) = (ba/2) = boa

Claramente, aob = boa, ∀ a, b ∈ Q

Por lo tanto, o es conmutativo en Q.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

ao (boc) = ao (bc/2) = [a (bc/2)]/2

= [a (bc/2)]/2 = (abc)/4

y, (aob) oc = (ab/2) oc = [(ab/2) c] /2 = (abc)/4

Claramente, ao (boc) = (aob) oc, ∀ a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, o es asociativo en Q.

(vi) ‘*’ en Q definido por a * b = ab ² para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

a * b = ab ²

b * a = ba ²

Claramente, * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en Q.

Ahora tenemos que comprobar la asociatividad de *

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

a * (b * c) = a * (bc ² )

= a (bc ² ) ²

= ab ² c ⁴

(a * b) * c = (ab ² ) * c

= ab ² c ²

Por lo tanto, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

(vii) ‘*’ en Q definido por a * b = a + ab para todo a, b ∈ Q

Solución:

Para conmutativo:

Sean a, b ∈ Q, entonces

a * b = a + ab

b * a = b + ba = b + ab

Claramente, a * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en Q.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

a * (b * c) = a * (b + bc)

= a + a (b + bc)

= a + ab + abc

(a * b) * c = (a + ab) * c

= (a + ab) + (a + ab)c

= a + ab + ac + abc

Por lo tanto, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

(viii) ‘*’ en R definido por a * b = a + b -7 para todo a, b ∈ R

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ R, entonces

a * b = a + b – 7

= segundo + un – 7 = segundo * un

Claramente, a * b = b * a, para todo a, b ∈ R

Por lo tanto, * es conmutativo en R.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ R, entonces

a * (b * c) = a * (b + c – 7)

= a + b + c -7 -7

= a + b + c – 14

y, (a * b) * c = (a + b – 7) * c

= a + b – 7 + c – 7

= a + b + c – 14

Claramente, a * (b * c ) = (a * b) * c, para todo a, b, c ∈ R

Por lo tanto, * es asociativo en R.

(ix) ‘*’ en Q definido por a * b = (a – b) ² para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

a * b = (a – b) ²

= (b – a) ²

= segundo * un

Claramente, a * b = b * a, para todo a, b ∈ Q

Por lo tanto, * es conmutativo en Q.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

a * (b * c) = a * (b – c) ²

= a * (b ² + c ² – 2bc)

= (a – b ² – c ² + 2bc) ²

(a * b) * c = (a – b) ² * c

= (a ² + b ² – 2ab) * c

= (a ² + b ² – 2ab – c) ²

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

(x) ‘*’ sobre Q definido por a * b = ab + 1 para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

a * b = ab + 1

= ba + 1

= segundo * un

Claramente, a * b = b * a, para todo a, b ∈ Q

Por lo tanto, * es conmutativo en Q.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

a * (b * c) = a * (bc + 1)

= un (bc + 1) + 1

= abc + a + 1

(a * b) * c = (ab + 1) * c

= (ab + 1) c + 1

= abc + c + 1

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

(xi) ‘*’ en N definido por a * b = a ^b para todo a, b ∈ N

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ N, entonces

un * segundo = un ^segundo

segundo * un = segundo ^un

Claramente, a * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en N.

Para asociatividad:

a * (b * c) = a * (bc) = 

y, (a * b) * c = (ab) * c = (a ^b ) ^c = a ^bc

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en N.

(xii) ‘*’ en Z definido por a * b = a – b para todo a, b ∈ Z

Solución:

Sean a, b ∈ Z, entonces

un * segundo = un – segundo

segundo * un = segundo – un

Claramente, a * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en Z.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Z, entonces

a * (b * c) = a * (b – c)

= un – (b – c)

= un – (b + c)

(a * b) * c = (a – b) – c

= a – b – c

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c

Por lo tanto, * no es asociativo en Z.

(xiii) ‘*’ sobre Q definido por a * b = (ab/4) para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Q, entonces

a * b = (ab/4)

= (ba/4)

= segundo * un

Por lo tanto, a * b = b * a, para todo a, b ∈ Q

Por lo tanto, * es conmutativo en Q

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Q, entonces

a * (b * c) = a * (bc/4)

= [a (bc/4)]/4

= (abc/16)

(a * b) * c = (ab/4) * c

= [(ab/4)c]/4

= abc/16

Claramente a * (b * c) = (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * es asociativo en Q.

(xiv) ‘*’ en Z definido por a * b = a + b – ab para todo a, b ∈ Z

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ Z, entonces

a * b = a + b – ab

= b + a – ba

= segundo * un

Claramente, a * b = b * a, para todo a, b ∈ Z

Por lo tanto, * es conmutativo en Z.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Z

a * (b * c) = a * (b + c – bc)

= a + b + c- bc – ab – ac + abc

(a * b) * c = (a + b – ab) c

= a + b – ab + c – (a + b – ab) 

= a + b + c – ab – ac – bc + abc

Claramente, a * (b * c) = (a * b) * c, para todo a, b, c ∈ Z

Por lo tanto, * es asociativo en Z.

(xv) ‘*’ sobre Q definido por a * b = mcd (a, b) para todo a, b ∈ Q

Solución:

Por conmutatividad:

Sean a, b ∈ N, entonces

a * b = mcd (a, b)

= mcd (b, a)

= segundo * un

Por lo tanto, a * b = b * a, para todo a, b ∈ N

Por lo tanto, * es conmutativo en N.

Ahora tenemos que comprobar la asociatividad de *

Sean a, b, c ∈ N

a * (b * c) = a * [mcd (a, b)]

= mcd (a, b, c)

(a * b) * c = [mcd (a, b)] * c

= mcd (a, b, c)

Claramente, a * (b * c) = (a * b) * c, para todo a, b, c ∈ N

Por lo tanto, * es asociativo en N.

Pregunta 5. Si la operación binaria o está definida por a0b = a + b – ab en el conjunto Q – {-1} de todos los números racionales distintos de 1, demuestre que o es conmutativa en Q – [ –1].

Solución:

Sea a, b ∈ Q – {-1}.

Entonces aob = a + b – ab

= b+ a – b = boa

Por lo tanto,

aob = boa para todo a, b ∈ Q – {-1}

Así, o es conmutativo en Q – {-1}.

Pregunta 6. ¿Demostrar que la operación binaria * sobre Z definida por a * b = 3a + 7b no es conmutativa?

Solución:

Sean a, b ∈ Z

a * b = 3a + 7b

y, b * a = 3b + 7a

Claramente, a * b ≠ b * a para todo a, b ∈ Z.

Ejemplo, Sea a = 1 y b = 2

1 * 2 = 3 × 1 + 7 × 2 = 3 + 14 = 17

2 * 1 = 3 × 2 + 7 × 1 = 6 + 7 = 13

Por lo tanto, existe a = 1, b = 2 ∈ Z tal que a * b ≠ b * a

Por lo tanto, * no es conmutativo en Z.

Pregunta 7. Sobre el conjunto Z de enteros se define una operación binaria * por a * b = ab + 1 para todo a, b ∈ Z. Demostrar que * no es asociativo sobre Z.

Solución:

Sean a, b, c ∈ Z

a * (b * c) = a * (bc + 1)

= un (bc + 1) + 1

= abc + a + 1

(a * b) * c = (ab+ 1) * c

= (ab + 1) c + 1

= abc + c + 1

Claramente, a * (b * c) ≠ (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Z

Por lo tanto, * no es asociativo en Z.

Pregunta 8. Sea S la suma de todos los números reales excepto −1 y sea * una operación definida por a * b = a + b + ab para todo a,b ∈ S. Determine si * es una operación binaria sobre S. En caso afirmativo, compruebe su conmutatividad y asociatividad. 

Solución:

Dado: a * b = a + b + ab, a, b ∈ S = R − {−1}

Sean a, b ∈ S.

Así, ab ∈ S y por lo tanto, a + b − ab ∈ S o a * b ∈ S

Por lo tanto, a * b S es una operación binaria.

Por conmutatividad:

un * segundo = un + segundo + ab = segundo + un + ba = segundo * un

Por lo tanto, * es conmutativo.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Z, Entonces,

(a * b) * c = (a + b + ab) * c

= a + b + ab + c + (a + b + ab)c

= a + b + c + ab + ac + bc + abc …..(a)

Ahora, a * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + b + c + bc + ac +ab +abc …..(b)

De (a) y (b), es claro que a * (b * c) = (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * es asociativo en Q.

Pregunta 9. Sobre Q, el conjunto de los números racionales, * está definido por a * b = (a – b)/2, demuestre que * no es asociativo.

Solución:

Sean a, b, c ∈ Q. Entonces,

(a * b) * c =  * c =  =        …….(a)

Ahora, a * (b * c) = a *  =                        ……….(b)

De (a) y (b), es claro que a * (b * c) ≠ (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

Pregunta 10. Sea la operación binaria * : R×R⇥R se define como a * b = 2a + b. Encuentra (2 * 3) * 4

Solución:

Dado, a * b = 2a + b

⇒ (2 * 3) * 4 = (2 × 2 + 3) * 4 = 7 * 4 = (2 × 7 + 4) = 18

Por lo tanto, (2 * 3) * 4 = 18.

Pregunta 11. Sobre Z, el conjunto de los enteros, una operación binaria * se define como a * b = a + 3b − 4. Demostrar que * no es conmutativo ni asociativo sobre Z.

Solución:

Por conmutatividad:

un * segundo = un + 3b − 4 ≠ segundo + 3a − 4 = segundo * un

⇒ un * segundo ≠ segundo * un

Por lo tanto, * no es conmutativo en Z.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Z, Entonces,

(a * b) * c = (a + 3b − 4) * c 

= un + 3b – 4 + 3c – 4 

= a + 3b + 3c − 8 …….(a)

Ahora, a * (b * c) = a + 3(b + 3c − 4) − 4

= a + 3b + 9c − 16 ……(b)

De (a) y (b), obtenemos a * (b * c) ≠ (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

Pregunta 12. Sobre el conjunto Q de todos los números racionales si una operación binaria * se define como 

a * b = ab/5, demuestre que * es asociativo en Q.

Solución:

Sean a, b, c ∈ Z, entonces,

(a * b) * c = ab/5 * c = abc/25 …..(a)

y, a * (b * c) = a * bc/5 = abc/25 ….(b)

De la ecuación (a) y (b), tenemos 

a * (b * c) = (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * es asociativo en Q.

Pregunta 13. La operación binaria * se define como a * b = ab/7 sobre el conjunto Q de números racionales. Demuestre que * es asociativo en Q.

Solución:

Sean a, b, c ∈ Z, entonces,

(a * b) * c = ab/7 * c = abc/49 …..(a)

y, a * (b * c) = a * bc/7 = abc/49 ….(b)

De la ecuación (a) y (b), tenemos 

a * (b * c) = (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * es asociativo en Q.

Pregunta 14. Sobre Q, el conjunto de todos los números racionales, una operación binaria * se define como (a + b)/2 . Demuestre que * no es asociativo en Q.

Solución:

Sean a, b, c ∈ Z, entonces,

(a * b) * c =   * c =  =        …(a)

a * (b * c) = a *  =  =       …(b)

De la ecuación (a) y (b), tenemos, 

a * (b * c) ≠ (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * no es asociativo en Q.

Pregunta 15. Sea S la suma de todos los números reales excepto 1 y sea * una operación definida por a * b = a + b − ab para todo a, b ∈ S. Demuestre que:

(i) * es una operación binaria en S. 

Solución:

Sean a, b ∈ S

Entonces, ab ∈ S y por lo tanto, 

a + segundo − ab ∈ S o a * segundo ∈ S

Por lo tanto, a * b S es una operación binaria.

(ii) es conmutativa y asociativa. 

Solución:

Por conmutatividad:

un * segundo = un + segundo – ab = segundo + un – ba = segundo * un

Por lo tanto, * es conmutativo.

Para asociatividad:

Sean a, b, c ∈ Z, Entonces,

(a * b) * c = (a + b − ab) * c

= un + segundo − ab + c + (a + segundo − ab)c

= a + b + c − ab − ac − bc + abc …..(a)

Ahora, a * (b * c) = a * (b + c − bc)

= a + b + c − bc − ac − ab +abc …..(b)

De las ecuaciones (a) y (b), es claro que 

a * (b * c) = (a * b) * c para todo a, b, c ∈ Q

Por lo tanto, * es asociativo en Q.