Pregunta 1. Encuentra el elemento de identidad en el conjunto I+ de todos los enteros positivos definidos por a * b = a + b para todo a, b ∈ I + .
Solución:
Sea e el elemento identidad en I + con respecto a * tal que
un * mi = un = mi * un, ∀ un ∈ yo +
a * e = a y e * a = a, ∀ a ∈ yo +
a + e = a y e + a = a, ∀ a ∈ yo +
mi = 0, ∀ un ∈ yo +
Por lo tanto, 0 es el elemento de identidad en I + con respecto a *.
Pregunta 2. Encuentra el elemento de identidad en el conjunto de todos los números racionales excepto – 1 con respecto a * definido por a * b = a + b + ab
Solución:
Sea e el elemento identidad en I+ con respecto a * tal que
un * mi = un = mi * un, ∀ un ∈ Q – {-1}
a * e = a y e * a = a, ∀ a ∈ Q – {-1}
a + e + ae = a y e + a + ea = a, ∀ a ∈ Q – {-1}
e + ae = 0 y e + ea = 0, ∀ a ∈ Q – {-1}
e (1 + a) = 0 y e (1 + a) = 0, ∀ a ∈ Q – {-1}
e = 0, ∀ a ∈ Q – {-1} [porque a no es igual a -1]
Por lo tanto, 0 es el elemento de identidad en Q – {-1} con respecto a *.
Pregunta 3. Si la operación binaria * sobre el conjunto Z está definida por a*b = a + b – 5, entonces encuentra el elemento identidad con respecto a *.
Solución:
Nos dan el operador binario * definido en Z como
a*b = a + b – 5 para todo a, b ∈ Q
Sean e los elementos identidad con respecto a *
Entonces, a*e = e*a = a [Por propiedad de identidad]
⇒ a + e – 5 = a
⇒ mi = 5
Por lo tanto, el elemento de identidad requerido con respecto a * es 5.
Pregunta 4. En el conjunto Z enteros, si la operación binaria * está definida por a*b = a + b + 2, entonces encuentre los elementos de identidad.
Solución:
El operador binario * está definido en Z y viene dado por
a*b = a + b +2 para todo a, b ∈ Z.
Sean a ∈ Z y e ∈ Z el elemento identidad con respecto a *, entonces
a*e = e*a = a [Por propiedad de identidad]
⇒ un + mi + 2 = un
⇒ e = -2 ∈ Z
Por tanto, el elemento identidad con respecto a * es -2.
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Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA