Pregunta 1. Una pequeña empresa manufacturera produce dos tipos de dispositivos A y B, que primero se procesan en la fundición y luego se envían al taller de máquinas para su acabado. El número de horas-hombre de trabajo requeridas en cada taller para la producción de cada unidad de A y B, y el número de horas-hombre disponibles por semana de la empresa son los siguientes:
| Artilugio | Fundición | Tienda de máquina |
| A | 10 | 5 |
| B | 6 | 4 |
| Capacidad de la empresa por semana | 1000 | 60 |
La ganancia por la venta de A es de 30 rupias por unidad en comparación con 20 rupias por unidad de B. El problema es determinar la producción semanal de los aparatos A y B, de modo que se maximice la ganancia total. Formule este problema como LPP.
Responder:
Los datos dados se pueden poner en la siguiente forma tabular:
Artilugio Fundición Tienda de máquina Lucro A 10 5 Rs. 30 B 6 4 Rs. 20 Capacidad de la empresa por semana 1000 600 Sea x e y respectivamente la producción semanal requerida de los aparatos A y B.
Dado eso, la ganancia en cada dispositivo A es de 30 rupias y el dispositivo B es de 20 rupias.
Beneficio en x gadget de tipo A = 30x
Beneficio en y gadget de Tipo B = 20y
Sea Z la ganancia total, entonces
Z = 30x + 20y
Dado que la producción de un dispositivo A requiere 10 horas por semana para la fundición y el dispositivo B requiere 6 horas por semana para la fundición.
Entonces, x unidades del dispositivo A requieren 10x horas por semana e y unidades del dispositivo B requieren 6y horas por semana. Pero la capacidad máxima de fundición por semana es de 1000 horas. Asi que,
10x + 6y <= 1000 (Primera restricción).
Dado que la producción de una unidad del aparato A requiere 5 horas por semana de taller mecánico y la producción de una unidad del aparato B requiere 4 horas por semana de taller mecánico.
Entonces, x unidades del dispositivo A requieren 5x horas por semana e y unidades del dispositivo B requieren 4y horas por semana, pero la capacidad máxima del taller mecánico es de 600 horas por semana.
Entonces, 5x + 4y <= 600 (Segunda restricción).
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x e y que maximicen Z = 30x + 20y
Sujeto a restricciones,
10x + 6y <= 1000
5x + 4y <=600
Y, x, y >=0 (Dado que la producción no puede ser menor que 0.)
Pregunta 2: Una empresa fabrica dos productos A y B. El costo de producir una unidad de los productos A y B es de 60 y 80 rupias respectivamente. Según el acuerdo, la empresa debe suministrar al menos 200 unidades del producto B a sus clientes habituales. Una unidad del producto A requiere una hora de máquina, mientras que el producto B tiene abundantes horas de máquina disponibles dentro de la empresa. El total de horas de máquina disponibles para el producto A es de 400 horas. Una unidad de cada producto A y B requiere una hora de trabajo cada uno y hay un total de 500 horas de trabajo disponibles. La empresa quiere minimizar el costo de producción al satisfacer los requisitos dados. Formule este problema como LPP.
Responder:
La información dada se puede escribir en forma tabular de la siguiente manera:
Producto Horas de máquina Horas de trabajo Lucro A 1 1 60 rupias B – 1 80 rupias Capacidad total 400 por A 500 El suministro mínimo del producto B es de 200 unidades.
Sea la producción del producto A x unidades y la producción del producto B sea y unidades.
Ganancia en una unidad del producto A = Rs 60
Ganancia en x unidades del producto A = Rs 60y
Ganancia en una unidad del producto B = Rs 80
Ganancia en y unidades del producto B = Rs 80y
Sea Z la ganancia total. Asi que,
Z = 60x + 80y
Dado, el suministro mínimo del producto B es 200.
Entonces, y >= 200 (Primera restricción)
Dado que la producción de una unidad del producto A requiere 1 hora de horas de máquina, x unidades del producto A requieren x horas, pero dado que el total de horas de máquina disponibles para el producto A es de 400 horas. Asi que,
x <= 400 (Segunda restricción)
Dado que cada unidad del producto A y B requiere una hora de trabajo, entonces x unidades del producto A requieren x horas e y unidades del producto B requieren y horas de trabajo, pero el total de horas de trabajo disponibles es 500. Entonces,
x + y <= 500 (Tercera restricción)
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es,
Encuentre x e y que minimicen Z = 60x + 80y
Sujeto a restricciones,
y >= 200,
x <= 400,
x + y <= 500
x, y >=0 (Dado que la producción no puede ser menor que 0.)
Pregunta 3: Una empresa produce 3 productos A, B y c. Las ganancias son Rs 3, Rs 2 y Rs 4 respectivamente. La empresa tiene 2 máquinas y a continuación se muestra el tiempo de procesamiento requerido en minutos para cada máquina en cada producto:
| Máquina | productos | ||
| A | B | C | |
| M1 | 4 | 3 | 5 |
| M2 | 2 | 2 | 4 |
Las máquinas M1 y M2 tienen 2000 y 2500 minutos máquina respectivamente. La empresa debe fabricar 100 A, 200 B y 50 C, pero no más de 150 A. Configure un LPP para maximizar las ganancias.
Responder:
La información dada se puede escribir en forma tabular de la siguiente manera:
Producto Máquina (M1) Máquina (M2) Lucro A 4 2 3 B 3 2 2 C 5 4 4 Maxima capacidad 2000 2500 Sea la producción requerida del producto A, B y C en unidades x, y y z respectivamente.
Dado, el beneficio de una unidad del producto A, B y C es Rs 3, Rs. 2 y 4 rupias respectivamente
Entonces, la ganancia en x unidad de A, y unidad de B y z unidad de C están dadas por Rs 3x, Rs. 2y y Rs 4z respectivamente.
Sea U la ganancia total, entonces
U = 3x + 2y + 4z
Dado que una unidad del producto A, B y C requiere 4, 3 y 5 minutos en la máquina M1. Entonces, x unidades del producto A, y unidades del producto B y z unidades del producto C requieren 4x, 3y y 5z minutos en la máquina M1. Por lo tanto,
4x + 3y + 5z <= 2000 (Primera restricción)
Dado que una unidad del producto A, B y C requiere 2, 2 y 4 minutos en la máquina M1. Entonces, x unidades del producto A, y unidades del producto B y z unidades del producto C requieren 2x, 2y y 4z minutos en la máquina M2. Por lo tanto,
2x + 2y + 4z <= 2500 (Segunda restricción)
Además, dado que la empresa debe fabricar 100 A, 200 B y 50 C, pero no más de 150 A. Asi que,
100 <= x <= 150
y >=200
z >=50
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x, y y z que minimicen U = 3x + 2y + 4z
Sujeto a restricciones,
4x + 3y + 5z <= 2000
2x + 2y + 4z <= 2500
100 <= x <= 150
y >=200
z >=50
x, y, z >=0
Pregunta 4: Una empresa fabrica dos tipos de productos A y B y los vende con una ganancia de Rs 2 en el tipo A y Rs 3 en el tipo B. Cada producto se procesa en dos máquinas M1 y M2. El tipo A requiere un minuto de tiempo de procesamiento en M1 y dos minutos en M2; el tipo B requiere un minuto en M1 y un minuto en M2. La máquina M1 está disponible por no más de 6 horas y 40 minutos, mientras que la máquina M2 está disponible por 10 horas durante cualquier día laboral. Formule este problema como LPP.
Responder:
La información dada se puede escribir en forma tabular de la siguiente manera:
Producto M1 M2 Lucro A 1 2 2 B 1 1 3 Capacidad 6 horas 40 min. = 400 minutos 10 horas = 600 min. Sea x unidades la producción requerida del producto A y del producto B y unidades.
Ganancia en una unidad del producto A = Rs 2
Ganancia en x unidades del producto A = Rs 2x
Ganancia en una unidad del producto B = Rs 3
Ganancia en y unidades del producto A = Rs 3y
Sea Z el beneficio total, entonces
Z = 2x + 3y
En la máquina M1,
La producción de una unidad del producto A requiere 1 minuto.
La producción de x unidades del producto A requiere x minutos.
La producción de una unidad del producto B requiere 1 minuto.
La producción de y unidades del producto B requiere y minutos.
Pero el tiempo total disponible en la máquina M1 es de 600 minutos.
Entonces, x + y <=400 (Primera restricción)
En la máquina M2,
La producción de una unidad del producto A requiere 2 minutos.
La producción de x unidades del producto A requiere 2x minutos.
La producción de una unidad del producto B requiere 1 minuto.
La producción de y unidades del producto B requiere y minutos.
Pero el tiempo total disponible en la máquina M2 es de 600 minutos.
Entonces, 2x + y <=600 (Segunda restricción)
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x, y y z que maximicen Z = 2x + 3y
Sujeto a restricciones,
x + y <=400
2x + y <=600
x, y >=0 (La producción no puede ser menor que cero).
Pregunta 5: Una empresa de caucho se dedica a producir tres tipos de llantas A, B y C. Cada tipo requiere procesamiento en dos plantas, Planta 1 y Planta 2. Las capacidades de las dos plantas, en número de llantas por día, son como sigue:
| Planta | A | B | C |
| 1 | 50 | 100 | 100 |
| 2 | 60 | 60 | 200 |
La demanda mensual de las llantas A, B y C es de 2500, 3000 y 7000 respectivamente. Si la planta 1 cuesta R2 2500 por día y la planta 2 cuesta Rs 3500 por día para operar, ¿cuántos días se debe operar cada una por mes para minimizar el costo y satisfacer la demanda? Formule este problema como LPP.
Responder:
La información dada se puede escribir en forma tabular de la siguiente manera:
Planta A B C Costo 1 50 100 100 2500 2 60 60 200 3500 Demanda mensual 2500 3000 7000 Deje que la planta 1 requiera x días y la planta 2 requiera y días por mes para minimizar el costo.
Dado, la planta 1 y la planta 2 requieren Rs 2500 por día y Rs 3500 por día respectivamente.
Por lo tanto, el costo de operar la planta 1 y 2 es Rs 2500x y Rs 3500y por mes.
Sea Z el costo total por mes, entonces
Z = 2500x + 3500y
Dada la producción del neumático A de la planta 1 y 2 por día es 50 y 60 respectivamente. Entonces, la producción de la llanta A de las plantas 1 y 2 por mes será de 50x y 60y respectivamente. Pero la demanda máxima de la llanta A es de 2500 por mes. Asi que,
50x + 60y >= 2500 (Primera restricción)
Dada la producción del neumático B de la planta 1 y 2 por día es 100 y 60 respectivamente. Entonces, la producción de la llanta B de las plantas 1 y 2 por mes será de 100x y 60y respectivamente. Pero la demanda máxima del neumático B es de 3000 por mes. Asi que,
100x + 60y >= 3000 (Segunda restricción)
Dada la producción del neumático C de la planta 1 y 2 por día es 100 y 200 respectivamente. Entonces, la producción de neumáticos C de las plantas 1 y 2 por mes será de 100x y 200y respectivamente. Pero la demanda máxima de la llanta A es de 7000 por mes. Asi que,
100x + 200y >= 7000 (Tercera restricción)
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x e y que minimicen Z = 2500x + 3500y
Sujeto a restricciones,
50x + 60y >= 2500
100x + 60y >= 3000
100x + 200y >= 7000
x, y >= 0 (Dado que el número de días no puede ser menor que cero)
Pregunta 6: Una empresa vende dos productos diferentes A y B. Los dos productos se producen en un proceso de producción común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad total de 45000 horas-hombre. Se necesitan 5 horas para producir una unidad de A y 3 horas para producir una unidad de B. Se ha estudiado el mercado y los funcionarios de la empresa creen que el número máximo de unidades de A que se pueden vender es 7000 y el de B 10000. Si la ganancia es de 60 rupias por unidad para el producto A y 40 rupias para el producto B, ¿cuántas unidades de cada producto se deben vender para maximizar la ganancia? Formule este problema como LPP.
Responder:
Producto Horas hombre Máxima demanda Lucro A 5 7000 60 B 3 10000 40 Capacidad total 45000 Sea x unidades la producción requerida del producto A y del producto B y unidades.
Ganancia en una unidad del producto A = Rs 60
Ganancia en x unidades del producto A = Rs 60x
Ganancia en una unidad del producto B = Rs 40
Ganancia en y unidades del producto A = Rs 40y
Sea Z el beneficio total, entonces
Z = 60x + 40y
La producción de una unidad del producto A requiere 5 horas.
La producción de x unidades del producto A requiere 5x horas.
La producción de una unidad del producto B requiere 3 horas.
La producción de y unidades del producto B requiere 3y horas.
Pero el total de horas hombre disponibles es de 45000 horas, por lo que
5x + 3y <= 450000 (Primera restricción)
Dado que la demanda máxima del producto A es 7000, entonces
x <= 7000 (Segunda restricción)
Dado que la demanda máxima del producto B es 10000, entonces
y <= 10000 (Tercera restricción)
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x e y que minimicen Z = 2500x + 3500y
Sujeto a restricciones,
5x + 3y <= 450000
x <= 7000
y <= 10000
x, y >= 0 (Dado que la producción no puede ser menor que cero)
Pregunta 7: Para mantener su salud, una persona debe cumplir con ciertos requisitos mínimos diarios de varios tipos de nutrientes. Suponiendo que solo hay tres tipos de nutrientes: calcio, proteínas y calorías, y que la dieta de la persona consta de solo dos alimentos, 1 y 2, cuyo precio y contenido de nutrientes se muestran en la siguiente tabla:
| Alimento 1 (por libra) |
Alimento 2 (por libra) |
Requerimiento mínimo diario del nutriente | |
| Calcio | 10 | 5 | 20 |
| Proteína | 5 | 4 | 20 |
| calorías | 2 | 6 | 13 |
| Precio ($) | 60 | 100 |
¿Qué combinación de dos alimentos satisfará el requerimiento diario y supondrá el menor costo? Formule este problema como LPP.
Responder:
Sean x e y los paquetes de 25 g de Alimentos 1 y Alimentos 2 comprados. Sea Z el precio pagado. Obviamente tenemos que minimizar el precio.
Tome un balance de masa de los nutrientes de los Alimentos 1 y 2,
Calcio: 10x + 4y >= 20, es decir, 5x + 2y >= 10 (Ecuación 1)
Proteína: 5x + 5y >= 20, es decir, x + y >= 20 (Ecuación 2)
Calorías: 2x + 6y >=13 (Ecuación 3)
Estas se convierten en las restricciones para que la función de costo, Z sea minimizada, es decir, 0.6x + y = Z, dado que el costo del Alimento 1 es Rs 0.6 y Rs 1 por libra.
De las ecuaciones 1, 2 y 3 obtenemos puntos en los ejes X e Y como (0,5) y (2,0); (0,4) y (4,0); (0,13/6) y (6,5, 0).
Trazando estos,
El valor más pequeño de Z es 2,9 en el punto (2,75, 1,25). No podemos decir que el valor mínimo de Z es 2.9 ya que la región factible no está acotada.
Por tanto, tenemos que dibujar la gráfica de la desigualdad 0.6x + y < 2.9.
Trazar esto para ver si la línea resultante tiene algún gráfico común con la región factible. Como no hay puntos comunes, este es el valor mínimo de la función Z y la mezcla es
Alimento 1 = 2,75 libras; Alimento 2 = 1,25 lb; Precio = 2,9 rupias
Cuando Z tiene un valor óptimo (máximo o mínimo), donde las variables x e y están sujetas a restricciones descritas por desigualdades lineales, este valor óptimo debe ocurrir en un punto de esquina (vértice) de la región factible.
Aquí la región factible es la región ilimitada ABCD.
Cálculo del valor de Z en los puntos de esquina de la región factible ABHG
Punto Punto de esquina Valor de Z = 0.6x + y A 2 ,5 6.2 B 0,67, 3,33 3.73 C 2,75, 1,25 2.9 D 6.5, 2.16 6.06
Pregunta 8: Un fabricante puede producir dos productos, A y B, durante un período de tiempo determinado. Cada uno de estos productos requiere cuatro operaciones de fabricación diferentes: esmerilado, torneado, ensamblaje y prueba. Los requerimientos de fabricación en horas por unidad de los productos A y B son los siguientes:
| A | B | |
| Molienda | 1 | 2 |
| Torneado | 3 | 1 |
| Montaje | 6 | 3 |
| Pruebas | 5 | 4 |
Las capacidades disponibles de estas operaciones en horas para el período de tiempo dado son: molienda 30; cumplir 60 años; montaje 200; prueba 200. La contribución al beneficio es de 20 rupias por cada unidad de A y 30 rupias por cada unidad de B. La empresa puede vender todo lo que produce al precio de mercado vigente. Determine la cantidad óptima de A y B para producir durante el período de tiempo dado. Formule este problema como LPP.
Responder:
Producto Molienda Torneado Montaje Pruebas Lucro A 1 3 6 5 2 B 2 1 3 4 3 Maxima capacidad 30 horas 60 horas 200 horas 200 horas Sea x unidades la producción requerida del producto A y del producto B y unidades.
Ganancia en una unidad del producto A = Rs 2
Ganancia en x unidades del producto A = Rs 2x
Ganancia en una unidad del producto B = Rs 3
Ganancia en y unidades del producto A = Rs 3y
Sea Z el beneficio total, entonces
Z = 2x + 3y
La producción de una unidad del producto A requiere 1 hora de molienda.
La producción de x unidades del producto A requiere x horas de molienda.
La producción de una unidad del producto B requiere 2 horas de molienda.
La producción de y unidades del producto B requiere 2y horas de molienda.
Pero el tiempo total disponible para moler es de 30 horas, por lo que
x + 2y <= 30 (Primera restricción)
La producción de una unidad del producto A requiere 3 horas de torneado.
La producción de x unidades del producto A requiere 3x horas de torneado.
La producción de una unidad del producto B requiere 1 hora de torneado.
La producción de y unidades del producto B requiere y horas de torneado.
Pero el tiempo total disponible para tornear es de 60 horas, entonces
3x + y <= 60 (Segunda restricción)
La producción de una unidad del producto A requiere 6 horas de montaje.
La producción de x unidades del producto A requiere 6x horas de montaje.
La producción de una unidad del producto B requiere 3 horas de montaje.
La producción de y unidades del producto B requiere 3y horas de montaje.
Pero el tiempo total disponible para el montaje es de 200 horas, por lo que
6x + 3y <= 200 (Tercera restricción)
La producción de una unidad del producto A requiere 5 horas de prueba.
La producción de x unidades del producto A requiere 5x horas de prueba.
La producción de una unidad del producto B requiere 4 horas de prueba.
La producción de y unidades del producto B requiere 4y horas de prueba.
Pero el tiempo total disponible para la prueba es de 200 horas, por lo que
5x + 4y <= 200 (Cuarta restricción)
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x e y que maximicen Z = 2x + 3y
Sujeto a restricciones,
x + 2y <= 30
3x + y <= 60
6x + 3y <= 200
5x + 4y <= 200
x, y >= 0 (Dado que la producción no puede ser negativa)
Pregunta 9: Las vitaminas A y B se encuentran en dos alimentos diferentes F1 y F2. Una unidad de alimento F1 contiene 2 unidades de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Una unidad de alimento F2 contiene 4 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Una unidad de alimento F1 y F2 cuesta 50 y 25 rupias respectivamente. Los requerimientos diarios mínimos para una persona de vitamina A y B son 40 y 50 unidades respectivamente. Suponiendo que todo lo que exceda el requerimiento mínimo diario de vitamina A y B no es dañino, encuentre la mezcla óptima de alimentos F1 y F2 al costo mínimo que cumpla con el requerimiento mínimo diario de vitamina A y B. Formule este problema como LPP.
Responder:
La información dada se puede tabular de la siguiente manera:
Alimentos vitamina a Vitamina B Costo F1 2 3 5 F2 4 2 2.5 Requisito mínimo diario 40 50 Sea x unidades la cantidad requerida de alimento F1 y y sean la cantidad de alimento F2 y unidades.
Dado, el costo de una unidad de alimento F1 y F2 es Rs 5 y Rs 2,5 respectivamente. Entonces, el costo de x unidades de alimentos F1 e y unidades de alimentos F2 son Rs 5x y 2.5y respectivamente.
Sea Z el costo total, entonces
Z = 5x + 2,5y
Dado que una unidad de alimento F1 y F2 contiene 2 y 4 unidades de vitamina A respectivamente, entonces x unidad de alimento F1 e y unidades de alimento F2 contienen 2x y 4y unidades de vitamina A respectivamente, pero el requerimiento mínimo de vitamina A es de 40 unidades , asi que
2x + 4y >= 40 (Primera restricción)
Dado que una unidad de alimento F1 y F2 contiene 3 y 2 unidades de vitamina B respectivamente, entonces x unidad de alimento F1 e y unidades de alimento F2 contienen 3x y 2y unidades de vitamina B respectivamente, pero el requerimiento mínimo de vitamina A es de 50 unidades , asi que
3x + 2y >= 50 (Segunda restricción)
Por lo tanto, la formulación matemática de LPP es:
Encuentre x e y que maximicen Z = 5x + 2.5y
Sujeto a restricciones,
2x + 4y >= 40
3x + 2y >= 50
x, y>= 0 (Dado que el requerimiento de alimentos F1 y F2 no puede ser menor que cero)
Pregunta 10: Un fabricante de automóviles fabrica automóviles y camiones en una fábrica que está dividida en dos talleres. El taller A, que realiza la operación básica de ensamblaje, debe trabajar 5 días-hombre en cada camión, pero solo 2 días-hombre en cada automóvil. El taller B, que realiza las operaciones de acabado, debe trabajar 3 días-hombre por cada automóvil o camión que produce. Debido a las limitaciones de hombres y máquinas, el taller A tiene 180 días-hombre disponibles por semana, mientras que el taller B tiene 135 días-hombre por semana. Si el fabricante obtiene una ganancia de 30 000 rupias por cada camión y 2 000 rupias por cada automóvil, ¿cuántos debe producir de cada uno para maximizar su ganancia? El taller A, que realiza la operación básica de ensamblaje, debe trabajar 5 días-hombre en cada camión, pero solo 2 días-hombre en cada automóvil.
Responder:
Sea x el número de automóviles producidos y y sea y el número de camiones producidos.
Sea Z la función de beneficio a maximizar.
Z = 2000x + 30000y
Las restricciones están en las horas hombre trabajadas
Tienda A : 2x + 5y <= 180 (Ecuación 1)
Tienda B : 3x + 3y <= 135 ((Ecuación 2)
Los puntos de las esquinas se pueden obtener de
2x + 5y = 180, es decir, x= 0; y = 36 y x = 90; y = 0
3x + 3y = 135, es decir, x =0; y = 45 y x = 45; y = 0
Resolviendo la Ecuación 1 y la Ecuación 2 da x = 15 & y = 30
punto de esquina Valor de Z = 2000x + 30000y 0, 0 0 0, 36 1080000 15, 30 930000 45, 0 90000 0 automóviles y 36 camiones darán una ganancia máxima de 1080000 Rs.