Pregunta 1. Una dieta de dos alimentos F 1 y F 2 contiene nutrientes tiamina, fósforo y hierro. La cantidad de cada nutriente en cada uno de los alimentos (en miligramos por 25 gramos) se da en la siguiente tabla.
| Nutrientes/Alimentos | F 1 | F 2 |
| tiamina | 0.25 | 0.10 |
| Fósforo | 0.75 | 1.50 |
| Hierro | 1.60 | 0.80 |
El requerimiento mínimo de nutrientes en la dieta es de 1,00 mg de tiamina, 7,50 mg de fósforo y 10,00 mg de hierro. El costo de F 1 es de 20 paise por 25 gramos, mientras que el costo de F 2 es de 15 paise por 25 gramos. Encuentre el costo mínimo de la dieta.
Solución:
Use 25x gramos de alimento F 1 y 25y gramos de alimento F 2 para cumplir con el requerimiento mínimo de tiamina, fósforo y hierro.
Dado
Nutrientes/Alimentos F 1 F 2 tiamina 0.25 0.10 Fósforo 0.75 1.50 Hierro 1.60 0.80 El requerimiento mínimo de los nutrientes en la dieta son 1,00 mg de tiamina, 7,50 mg de fósforo y 10,00 mg de hierro. Por lo tanto,
0,25x+0,10y ≥ 1
0,75x+1,50y ≥7,5
1,6x+0,8y ≥ 10
Como la cantidad no puede ser negativa
⇒ x, y ≥ 0
El costo de F 1 es de 20 paise por 25 gramos y el costo de F 2 es de 15 paise por 25 gramos.
Por lo tanto, el costo de 25x gramos de alimento F 1 y 25y gramos de alimento F 2 es (0,20x+0,15y) rupias.
Minimicemos z=0.20x+0.15y
sujeto a
0,25x+0,10y ≥ 1
0,75x+1,50y ≥7,5
1,6x+0,8y ≥ 10
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos,
0,25x+0,10y = 1
0,75x+1,50y =7,5
1.6x+0.8y = 10
x=0 y y=0
Región representada por 0.25x+0.10y ≥ 1:
La línea 0.25x+0.10y =1 se encuentra con el eje de coordenadas en A(4, 0) y B(0, 10).
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 0.25x+0.10y≥1. Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de la inecuación dada.
Región representada por 0.75x+1.50y ≥7.5:
La línea 0.75x+1.50y =7.5 se encuentra con el eje de coordenadas en C(10, 0) y D(0, 5).
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 0.75x+1.50y≥7.5. Entonces la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por 1.6x+0.8y ≥ 10:
La línea 1.6x+0.8y = 10 se encuentra con el eje de coordenadas en E(25/4, 0) y F(0, 25/2).
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 1.6x+0.8y ≥ 10. Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de la inecuación dada.
Región representada por x,y ≥ 0:
En la región representada por x≥0 e y≥0, todos los puntos del primer cuadrante satisfacen estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son F(0, 12.5), G(5, 2.5), C(10, 0)
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla
Puntos valor de z F 0,20(0)+0,15(12,5)=1,875 GRAMO 0,20(5)+0,15(2,5)=1,375 C 0.20(10)+00.15(0)=200 Por lo tanto, el costo mínimo está en G, que es de 1,375 rupias.
Pregunta 2. La dieta de una persona enferma debe contener al menos 4000 unidades de vitaminas, 50 unidades de minerales y 1400 unidades de calorías. Dos alimentos A y B están disponibles a un costo de Rs 4 y Rs 3 por unidad respectivamente. Si una unidad de A contiene 200 unidades de vitamina, 1 unidad de mineral y 40 calorías y una unidad de alimento B contiene 100 unidades de vitamina, 2 unidades de minerales y 40 calorías, encuentre qué combinación de alimentos debe usarse para tener la menor cantidad ¿costo?
Solución:
Supongamos que la persona enferma toma x unidades e y unidades de alimento A y B respectivamente.
1 unidad de alimento A cuesta Rs 4 y la de alimento B cuesta Rs 3.
Por lo tanto, x unidades de alimento A cuestan Rs 4x y y unidades de alimento B cuestan Rs 3y.
Costo total =Rs (4x+3y)
Sea z=4x+3y
Si una unidad de A contiene 200 unidades de vitamina y una unidad de alimento B contiene 100 unidades de vitamina.
Entonces, x unidades del alimento A y y unidades del alimento B contienen (200x+100y) unidades de vitamina.
Pero una dieta para una persona enferma debe contener al menos 4000 unidades de vitamina.
Así 200x+100y≥4000
Si una unidad de A contiene 1 unidad de mineral y una unidad de alimento B contiene 2 unidades de mineral.
Entonces, x unidades de alimento A e y unidades de alimento B contienen x+2y unidades de mineral.
Pero una dieta para una persona enferma debe contener al menos 50 unidades de vitamina.
Así, x+2y≥50
Si una unidad de A contiene 40 calorías y una unidad de alimento B contiene 40 calorías.
Entonces x unidades de alimento A e y unidades de alimento B contienen 40x+40y unidades de calorías.
Pero una dieta para una persona enferma debe contener al menos 1400 unidades de calorías.
Así, 40x+40y≥1400
Finalmente, las cantidades de alimento A y alimento B son valores no negativos.
Entonces, x, y ≥ 0
Por lo tanto, el LPP requerido es el siguiente:
Mín. z=4x+3y
sujeto a
200x+100y≥4000
x+2y≥50
40x+40y≥1400
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos,
200x+100y=4000
x+2y=50
40x+40y=1400
x=0 y y=0
Región representada por 200x+100y≥4000 :
La línea 200x+100y=4000 se encuentra con el eje de coordenadas en A 1 (20, 0) y B 1 (0, 40) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 200x+100y≥4000.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por x+2y≥50 :
La línea x+2y=50 se encuentra con el eje de coordenadas en C 1 (50, 0) y D 1 (0, 25) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación x+2y≥50.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por 40x+40y≥1400 :
La línea 40x+40y=1400 se encuentra con el eje de coordenadas en E 1 (35, 0) y F 1 (0, 35) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 40x+40y≥1400.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por x≥ 0 y y≥0:
Cada punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son B 1 (0, 40), G 1 (5, 30), C 1 (50, 0), H 1 (20, 15).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla
Puntos valor de z B 1 4(0)+3(40)=120 G1 _ 4(5)+3(30)=110 H 1 4(20)+3(15)=125 C 1 4(50)+3(0)=200 Por lo tanto, el costo mínimo está en G 1 , que es de 110 rupias.
Pregunta 3. Para mantener la salud, una persona debe cumplir con ciertos requisitos mínimos diarios de los siguientes tres nutrientes: calcio, proteínas y calorías. La dieta consta únicamente de los ítems I y II cuyos precios y contenido de nutrientes se muestran a continuación:
| Comida yo | Comida II |
Mínimo diario requisito |
|
| Calcio | 10 | 4 | 20 |
| Proteína | 5 | 6 | 20 |
| calorías | 2 | 6 | 12 |
| Precio |
$0.60 por unidad |
$1.00 por unidad |
Encuentre la combinación de alimentos para que el costo sea mínimo.
Solución:
Deje que la persona tome x unidades e y unidades de comida I y II respectivamente.
Ya que, por unidad de alimento I cuesta Rs 0,60 y la de alimento II cuesta Rs.1,00.
Por lo tanto, x unidades de alimento I cuestan Rs 0,60xy y unidades de alimento II cuestan Rs1,00y.
Costo total por día=0.60x+1.00y
Sea z=0.60x+1.00y
Ya que, cada unidad de alimento I contiene 10 unidades de calcio.
Por tanto, x unidades de alimento I contienen 10x unidades de calcio.
Cada unidad de alimento II contiene 4 unidades de Calcio.
Entonces, y unidades de alimento II contienen 4y unidades de calcio.
Así, x unidades de alimento I ey unidades de alimento II contienen (10x+4y) unidades de calcio.
Pero el requerimiento mínimo es de 20 unidades de calcio.
Así, 10x+4y≥20
Ya que, cada unidad de alimento I contiene 5 unidades de proteína.
Por tanto, x unidades de alimento I contienen 5x unidades de proteína.
Cada unidad de alimento II contiene 6 unidades de proteína.
Entonces, y unidades de comida II contienen 6y unidades de proteína.
Así, x unidades de alimento I e y unidades de alimento II contienen (5x+6y) unidades de proteína.
Pero el requerimiento mínimo es de 20 unidades de proteína.
Así, 5x+6y≥20
Ya que, cada unidad de alimento I contiene 2 unidades de Calorías.
Por lo tanto, x unidades de alimento I contienen 2x unidades de Calorías.
Cada unidad de alimento II contiene 6 unidades de Calorías.
Entonces, y unidades de alimento II contienen 6y unidades de Calorías.
Por lo tanto, x unidades de alimento I e y unidades de alimento II contienen (2x+6y) unidades de Calorías.
Pero el requerimiento mínimo es de 12 unidades de Calorías.
Así, 2x+6y≥12
Finalmente las cantidades de comida I y comida II son valores no negativos.
Entonces, x, y ≥ 0
Por lo tanto, el LPP requerido es el siguiente:
Mín. z=0,60x+1,00y
sujeto a
10x+4y≥20
5x+6y≥20
2x+6y≥12
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos,
10x+4y=20
5x+6y=20
2x+6y=12
x=0 y y=0
Región representada por 10x+4y≥20:
La línea 10x+4y=20 se encuentra con los ejes de coordenadas en A(2, 0) y B(0, 5) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 10x+4y≥20.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por 5x+6y≥20:
La línea 5x+6y=20 se encuentra con los ejes de coordenadas en C(4, 0) y D(0, 10/3) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 5x+6y≥20.
Entonces la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación
Región representada por 2x+6y≥12:
La línea 2x+6y=12 se encuentra con los ejes de coordenadas en E(6, 0) y F(0, 2) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 2x+6y≥12.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por x, y ≥ 0:
Cada punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son B(0, 5), G(1, 5/2), E(6, 0), H(8/3, 10/9).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla
Puntos valor de z B 0.6(0)+5=5 GRAMO 0,6(1)+5/2=3,1 H 0.6(8/3)+(10/9)=2.711 mi 0,6(6)+0=3,6 En la tabla, podemos ver que el costo mínimo está en H(8/3, 10/9) y ese valor es Rs 2,71
Pregunta 4. El dietista de un hospital desea encontrar la combinación más económica de dos alimentos, A y B, que contenga al menos 0,5 miligramos de tiamina y al menos 600 calorías. Cada unidad de A contiene 0,12 miligramos de tiamina y 100 calorías, mientras que cada unidad de B contiene 0,10 miligramos de tiamina y 150 calorías. Si cada alimento cuesta 10 paise por unidad, ¿cuántas unidades de cada uno se deben combinar a un costo mínimo?
Solución:
Sea el dietista el que desee mezclar x unidades de alimento A e y unidades de alimento B
Por lo tanto x,y≥0
La información dada se puede tabular de la siguiente manera
Tiamina (mg) calorías (mg) Comida A 0.12 100 Comida B 0.1 150 Mínimo
requisito
0.5 600 Según pregunta,
Las restricciones son
0,2x+0,1y≥0,5
100x+150y≥600
Se da que cada alimento cuesta 10 paise por unidad
Sea el costo total z
z=10x+10y
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
0,2x+0,1y≥0,5
100x+150y≥600
Región representada por 0.12x+0.1y≥0.5:
La línea 0.12x+0.1y=0.5 se encuentra con los ejes de coordenadas en A 1 (25/6, 0) y B 1 (0, 5) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 0.12x+0.1y≥0.5.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por 100x+150y≥600:
La línea 100x+150y=600 se encuentra con los ejes de coordenadas en C 1 (6, 0) y D 1 (0, 4) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 100x+150y≥600.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por x,y≥0:
Cada punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son B 1 (0, 5), E 1 (15/8, 11/4), C 1 (6, 0).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla
punto de esquina z=10x+10y B 1 50 mi 1 46.2 C 1 60 El mínimo de z está en E 1 (15/8, 11/4) y el valor es Rs 46,2.
Por tanto, la combinación más barata de alimentos será 1,875 unidades del alimento A y 2,75 unidades del alimento B.
Pregunta 5. Un dietista mezcla 2 tipos de alimentos de tal manera que la mezcla contiene al menos 6 unidades de vitamina A, 7 unidades de vitamina B, 11 unidades de vitamina C y 9 unidades de vitamina D. El contenido de vitaminas de 1 kg de alimento X y 1 kg de alimento Y se dan a continuación:
|
Vitamina A |
Vitamina B |
Vitamina C |
Vitamina D |
|
| Comida X | 1 | 1 | 1 | 2 |
| Comida Y | 2 | 1 | 3 | 1 |
Un kg de comida X cuesta Rs 5 y un kg de comida Y cuesta Rs 8. Encuentra el costo mínimo de la mezcla que producirá la dieta deseada.
Solución:
Sea el dietista el que desee mezclar x kg de alimento X e y kg de alimento Y.
Por lo tanto, x,y≥0
Dado
Vitamina
A
Vitamina
B
Vitamina
C
Vitamina
D
Comida X 1 1 1 2 Comida Y 2 1 3 1 Se da que la mezcla debe contener al menos 6 unidades de vitamina A, 7 unidades de vitamina B, 11 unidades de vitamina C y 9 unidades de vitamina D.
Por lo tanto, las restricciones son
x+2y≥6
x+y≥7
x+3y≥11
2x+y≥9
Se sabe que el costo del alimento X es de 5 rupias por kg y el costo del alimento Y es de 8 rupias por kg.
Sea el costo total z.
Por lo tanto, z=5x+8y
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z=5x+8y
sujeto a
x+2y≥6
x+y≥7
x+3y≥11
2x+y≥9
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos
x+2y=6
x+y=7
x+3y=11
2x+y=9
x=0 y y=0
Región representada por x+2y≥6:
La línea x+2y=6 se encuentra con los ejes de coordenadas en A 1 (6, 0) y B 1 (0, 3) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación x+2y≥6.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por x+y≥7:
La línea x + y=7 se encuentra con los ejes de coordenadas en C 1 (7, 0) y D 1 (0, 7) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación x+y≥7.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por x+3y≥11:
La línea x+3y=11 se encuentra con los ejes de coordenadas en E 1 (11, 0) y F 1 (0, 11/3) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación x+3y≥11.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por 2x+y≥9:
La línea 2x+y=9 se encuentra con los ejes de coordenadas en G 1 (9/2, 0) y H 1 (0, 9) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 2x+y≥9.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por x,y≥0:
Cada punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son H 1 (0, 9), I 1 (2, 5), E 1 (11, 0), J 1 (5, 2).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina z=5x+8y H 1 72 yo 1 50 J 1 41 mi 1 55 El valor mínimo de z está en J 1 (5, 2) que es Rs 41 .
Por lo tanto, la combinación de alimentos más barata será 5 unidades de alimento X y 2 unidades de alimento Y.
Pregunta 6. Una dieta debe contener al menos 80 unidades de vitamina A y 100 unidades de minerales. Hay dos alimentos F 1 y F 2 disponibles. Los alimentos F 1 cuestan Rs 4 por unidad y F 2 cuestan Rs 6 por unidad. Una unidad de alimento F 1 contiene 3 unidades de vitamina A y 4 unidades de minerales. Una unidad de alimento F 2 contiene 6 unidades de vitamina A y 3 unidades de minerales. Formule esto como un problema de programación lineal y encuentre gráficamente el costo mínimo de una dieta que consiste en una mezcla de estos alimentos y también cumple con los requerimientos nutricionales de minerales.
Solución:
Supongamos que el dietista desea mezclar x unidades de alimento F 1 ey unidades de alimento F 2 .
Claramente x,y≥0
La información dada se puede tabular de la siguiente manera
Vitamina
A
Vitamina
B
Alimentos F 1 3 4 Comida F 2 6 3 Mínimo
requisito
80 100 Las restricciones son
3x+6y≥80
4x+3y≥100
Se da que el costo de los alimentos F 1 es de 4 rupias por unidad y el costo de los alimentos F 2 es de 6 rupias por unidad.
Por lo tanto, el costo de x unidades de alimentos F 1 e y unidades de alimentos F 2 es Rs 4x y Rs 6y respectivamente.
Sea el costo total z.
z=4x+6y
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z=4x+6y
sujeto a
3x+6y≥80
4x+3y≥100
x,y≥0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos
3x+6y=80
4x+3y=100
x=0 y y=0
Región representada por 3x+6y≥80:
La línea 3x+6y=80 se encuentra con los ejes de coordenadas en A(80/3, 0) y B(0, 40/3) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 3x+6y≥80.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por 4x+3y≥100:
La línea 4x+3y=100 se encuentra con los ejes de coordenadas en C(25, 0) y D(0, 100/3) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 4x+3y≥100.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por x,y≥0:
Cada punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son D(0, 100/3), E(24, 4/3), A(80/3, 0).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina z=4x+6y D(0, 100/3) 200 E(24, 4/3) 104 A(80/3, 0) 320/3 El valor mínimo de z está en E(24, 4/3) y el valor es Rs 104 .
Pregunta 7. Kellogg es un nuevo cereal formado por una mezcla de salvado y arroz que contiene al menos 88 gramos de proteína y al menos 36 miligramos de hierro. Si se sabe que el salvado contiene 80 gramos de proteína y 40 miligramos de hierro por kg y que el arroz contiene 100 gramos de proteína y 30 miligramos de hierro por kg, encuentre el costo mínimo de producir este nuevo cereal si el salvado cuesta Rs 5 por kg y el arroz cuesta 4 rupias por kg.
Solución:
Que el cereal contenga x kg de salvado y y kg de arroz.
Por lo tanto x,y≥0
La información dada se puede tabular de la siguiente manera
Proteína (gms) Hierro (miligramos) Salvado 80 40 Arroz 100 30 Mínimo
requisito
88 36 Bran and Rice contiene al menos 88 gramos de proteína y al menos 36 miligramos de hierro.
Así las restricciones son
80x+100y≥88
40x+30y≥36
Se da que el salvado cuesta Rs 5 por kg y el arroz cuesta Rs 4 por kg. Por lo tanto, el costo de x kg de salvado y y kg de arroz es Rs 5x y Rs 4y respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia total es Rs(5x+4y).
Sea el costo total z
Por lo tanto, z=5x+4y
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z=5x+4y
sujeto a
80x+100y≥88
40x+30y≥36
x,y≥0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos
80x+100y=88
40x+30y=36
x=0 y y=0
Región representada por 80x+100y≥88:
La línea 80x+100y=88 se encuentra con los ejes de coordenadas en A(1.1, 0) y B(0, 0.88) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 80x+100y≥88.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por 40x+30y≥36:
La línea 40x+30y=36 se encuentra con los ejes de coordenadas en C(0.9, 0) y D(0, 1.2) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 40x+30y≥36.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por x,y≥0:
Cada punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son D(0, 1.2), E(0.6, 0.4), A(1.1, 0).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina z=5x+4y D(0, 1.2) 4.8 E(0.6, 0.4) 4.6 A(1.1, 0) 5.5 El valor mínimo de z es Rs 4.6 en E(0.6, 0.4)
Pregunta 8. Un distribuidor mayorista comercia con dos tipos A y B de la mezcla de nueces. Cada kg de mezcla A contiene 60 gramos de almendras, 30 gramos de anacardos y 30 gramos de avellanas. Cada kg de mezcla B contiene 30 gramos de almendras, 60 gramos de anacardos y 180 gramos de avellanas. El resto de ambas mezclas es por nueces. El comerciante está considerando usar las mezclas A y B para hacer una bolsa que contendrá al menos 240 gramos de almendras, 300 gramos de anacardos y 540 gramos de avellanas. La mezcla A cuesta Rs 8 por kg y la mezcla B cuesta Rs 12 por kg. Suponiendo que las mezclas A y B son uniformes, use el método gráfico para determinar la cantidad de kg de cada mezcla que debe usar para minimizar el costo de la bolsa.
Solución:
Sean utilizados x kg del tipo A e y kg del tipo B.
Dado que la cantidad no puede ser negativa.
Por lo tanto x,y≥0
La información dada se puede tabular de la siguiente manera
Nuez almendras (gramos) Anacardos (gramos) Hacha) 60 30 B(x) 30 60 Disponibilidad 240 300 Así las restricciones son
60x+30y≥240
30x+60y≥300
30x+180y≥540
La mezcla A cuesta Rs 8 por kg y la mezcla B cuesta Rs 12 por kg
Costo total= 8x+12y
Sea el costo total z
Por lo tanto, z=8x+12y
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z=8x+12y
sujeto a
2x+y≥8
x+2y≥10
x+6y≥18
x,y≥0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos
2x+y=8
x+2y=10
x+6y=18
x=0 y y=0
Región representada por 2x+y≥8:
La línea 2x+y=8 se encuentra con los ejes de coordenadas en A 1 (4, 0) y B 1 (0, 8) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación 2x+y≥8.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación
Región representada por x+2y≥10:
La línea x+2y=10 se encuentra con los ejes de coordenadas en C 1 (10, 0) y D 1 (0, 5) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación x+2y≥10.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación.
Región representada por x+6y≥18:
La línea x+6y=18 se encuentra con los ejes de coordenadas en E 1 (18, 0) y F 1 (0, 3) respectivamente.
Claramente (0, 0) no satisface la inecuación x+6y≥18.
Entonces, la región en el plano XY que no contiene el origen representa el conjunto solución de esta ecuación
Región representada por x,y≥0:
Dado que todo punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son B 1 (0, 8), G 1 (2, 4), H 1 (6, 2) y E 1 (18, 0).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina z=8x+12y B 1 96 G1 _ 64 H 1 72 mi 1 144 El valor mínimo de z está en G 1 (2, 4) y el valor es Rs 64.
Por lo tanto, el costo mínimo es de Rs 64 obtenidos cuando se usaron 2 unidades de tuercas tipo A y 4 unidades de tuercas tipo B.
Pregunta 9. Un tipo de pastel requiere 300 gramos de harina y 15 gramos de grasa, otro tipo de pastel requiere 150 gramos de harina y 30 gramos de grasa. Encuentre el número máximo de pasteles que se pueden hacer con 7,5 kg de harina y 600 g de grasa, suponiendo que no faltan otros ingredientes para hacer el pastel. Hágalo como un LPP y resuélvalo gráficamente.
Solución:
Sean x tortas de primer tipo e y tortas de segundo tipo.
Por lo tanto x,y≥0
La información dada se puede tabular de la siguiente manera
Harina (g) Grasa (g) Tortas de primera clase 300 15 Tortas de segundo tipo 150 30 Disponibilidad 7500 600 Así las restricciones son
300x+150y≤7500
15x+30y≤600
Número total de pasteles que se pueden hacer =x + y
Sea z el número total de pasteles.
Así z=x + y
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Maximizar z=x + y
sujeto a
300x+150y≤7500
15x+30y≤600
x,y≥0
Primero convertiremos las inecuaciones dadas en ecuaciones. obtenemos
300x+150y=7500
15x+30y=600
x=0 y y=0
Región representada por 300x+150y≤7500:
La línea 300x+150y=7500 se encuentra con los ejes de coordenadas en A(25, 0) y B(0, 50) respectivamente.
Claramente (0, 0) satisface la ecuación 300x+150y=7500.
Entonces, la región que contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por 15x+30y≤600:
La línea 15x+30y=600 se encuentra con los ejes de coordenadas en C(40, 0) y D(0, 20) respectivamente.
Claramente (0, 0) satisface la ecuación 15x+30y=600.
Entonces, la región en el plano XY que contiene el origen representa el conjunto solución de esta inecuación.
Región representada por x,y≥0:
Dado que todo punto en el primer cuadrante satisface estas inecuaciones. Entonces, el primer cuadrante es la región representada por estas inecuaciones.
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son O(0, 0), A(25, 0), D(0, 20) y E(20,10).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Puntos de esquina z=x+y O(0, 0) 0 A(25, 0) 25 E(20, 10) 30 D(0, 20) 20 Así, el número máximo de pasteles es de 30 y se pueden hacer a partir de 20 del primer tipo y 10 del otro tipo.
Pregunta 10. Reshma desea mezclar dos tipos de alimentos P y Q de tal manera que el contenido de vitaminas de la mezcla contenga al menos 8 unidades de vitamina A y 11 unidades de vitamina B. El alimento P cuesta 60 rupias por kg y el alimento Q Cuesta Rs 80 por kg. El alimento P contiene 3 unidades por kg de vitamina A y 5 unidades por kg de vitamina B mientras que el alimento Q contiene 4 unidades por kg de vitamina A y 2 unidades por kg de vitamina B. Determine el costo mínimo de la mezcla.
Solución:
Se mezclan x unidades de alimento P e y unidades de alimento Q para hacer la mezcla.
El costo del alimento P es de 60 rupias por kg y el del alimento Q es de 80 rupias por kg.
Entonces, x kg de alimento P e y kg de alimento Q costarán Rs(60x+80y).
Dado que un kg de alimento P contiene 3 unidades de vitamina A y un kg de alimento Q contiene 4 unidades de vitamina A, entonces x kg de alimento P e y kg de alimento Q contendrán (3x+4y) unidades de vitamina A. Pero la mezcla debe contener al menos 8 unidades de vitamina A.
Así, 3x+4y≥8
De manera similar, x kg de alimento P e y kg de alimento Q contendrán 5x+2y unidades de vitamina B. Pero la mezcla debe contener al menos 11 unidades de vitamina B.
Así, 5x+2y≥11
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar z=60x+80y
sujeto a
3x+4y≥8
5x+2y≥11
x,y≥0
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son A(8/3, 0), B(2, 1/2), C(0, 11/2).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
punto de esquina z=60x+80y A 160 (mínimo) B 160 (mínimo) C 440 El valor más pequeño de z es 160 en A(8/3, 0) y B(2, 1/2).
Se puede comprobar que el semiplano abierto representado por 60x+80y<160 no tiene puntos en común con la región factible.
Entonces, el costo mínimo de la mezcla es Rs 160 ya que el valor mínimo de z es 160.
Pregunta 11. Un tipo de pastel requiere 200 g de harina y 25 g de grasa y otro tipo de pastel requiere 100 g de harina y 50 g de grasa. Encuentre la cantidad máxima de pasteles que se pueden hacer con 5 kg de harina y 1 kg de grasa. Suponiendo que no hay almacenamiento de los otros ingredientes utilizados para hacer los pasteles.
Solución:
Sean x e y respectivamente el número de tortas de un tipo y de otro tipo.
Por lo tanto, el número total de tortas producidas es (x+y).
Un tipo de pastel requiere 200 g de harina y otro tipo de pastel requiere 100 g de harina.
Entonces, x pasteles de un tipo e y pasteles de otro tipo requieren (200x+100y) gramos de harina. Pero los pasteles deben contener como máximo 5 kg de harina.
Así, 200x+100y≤5000
⇒ 2x+y≤50
Un tipo de pastel requiere 25 g de grasa y otro tipo de pastel requiere 50 g de grasa.
Entonces, x pasteles de un tipo e y pasteles de otro tipo requieren (25x+50y) gramos de grasa. Pero los pasteles deben contener como máximo 1 kg de grasa.
Así, 25x+50y≤1000
⇒x+2y≤40
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar z=x + y
sujeto a
2x+y≤50
x+2y≤40
x,y≥0
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son O(0, 0), A(25, 0), B(20, 10), C(0, 20).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
punto de esquina z=x+y O 0+0=0 A 25+0=25 B 20+10=30(Máximo) C 0+20=20 Por tanto, el valor máximo de z es 30 en B(20,10).
Por lo tanto, el número máximo de pasteles que se pueden hacer es de 30 .
Pregunta 12. Un dietista tiene que desarrollar una dieta especial utilizando dos alimentos P y Q. Cada paquete (que contiene 30 gramos) de alimento P contiene 12 unidades de calcio, 4 unidades de hierro, 6 unidades de colesterol y 6 unidades de vitamina A. Cada paquete de la misma cantidad de alimento Q contiene 3 unidades de calcio, 20 unidades de hierro, 4 unidades de colesterol y 3 unidades de vitamina A. La dieta requiere al menos 240 unidades de calcio, al menos 460 unidades de hierro y como máximo 300 unidades de colesterol ¿Cuántos paquetes de cada alimento se deben usar para minimizar la cantidad de vitamina A en la dieta? ¿Cuál es el mínimo de vitamina A?
Solución:
Sean x paquetes de comida P e y paquetes de comida Q para hacer la dieta.
Cada paquete de alimento P contiene 6 unidades de vitamina A y cada paquete de alimento Q contiene 3 unidades de vitamina A.
Por lo tanto, x paquetes de alimento P e y paquetes de alimento Q contienen (6x+3y) unidades de vitamina A.
Ya que cada paquete de alimento P contiene 12 unidades de calcio y cada paquete de alimento Q contiene 3 unidades de calcio.
Por lo tanto, x paquetes de alimento P e y paquetes de alimento Q contendrán (12x+3y) unidades de calcio. Pero la dieta debe contener al menos 240 unidades de calcio.
Así 12x+3y≥240
⇒ 4x+y≥80
De manera similar, x paquetes de comida P y y paquetes de comida Q contienen (4x+20y) unidades de hierro.
Pero la dieta debe contener al menos 460 unidades de hierro.
Así 4x+20y≥460
⇒x+5y≥115
Además, x paquetes de comida P y y paquetes de comida Q contienen (6x+4y) unidades de colesterol.
Pero la dieta debe contener como máximo 300 unidades de colesterol.
Así 6x+4y≤300
⇒ 3x+2y≤150
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar z=6x+3y
sujeto a
4x+y≥80
x+5y≥115
3x+2y≤150
x,y≥0
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son A(2, 72), B(15, 20), C(40, 15).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina z=6x+3y A 6(2)+3(72)=228 B 6(15)+3(20)=150 C 6(40)+3(15)=285 El valor más pequeño de z es 150 que se obtiene en el punto B(15, 20).
Por lo tanto, se deben usar 15 paquetes de alimento P y 20 paquetes de alimento Q para minimizar la cantidad de vitamina A en la dieta.
Por lo tanto, la cantidad mínima de vitamina A es de 150 unidades.
Pregunta 13. Un granjero mezcla dos marcas de P y Q de alimento para ganado. La marca P, que cuesta Rs 250 por bolsa, contiene 3 unidades del elemento nutricional A, 2,5 unidades del elemento B y 2 unidades del elemento C. La marca Q, que cuesta Rs 200 por bolsa, contiene 1,5 unidades del elemento nutricional A, 11,25 unidades del elemento B y 3 unidades del elemento C. Los requerimientos mínimos de los nutrientes A, B y C son 18 unidades, 45 unidades y 24 unidades respectivamente. ¿Determine el número de bolsas de cada marca que se deben mezclar para producir una mezcla que tenga un costo por bolsa? ¿Cuál es el costo mínimo de mezcla por bolsa?
Solución:
Sean x bolsas de la marca P e y bolsas de la marca Q que deben mezclarse para producir la mezcla.
Cada bolsa de la marca P cuesta 250 rupias por bolsa y cada bolsa de la marca Q cuesta 200 rupias por bolsa.
Por lo tanto, x bolsas de la marca P y y bolsas de la marca Q cuestan Rs(250x+200y).
Ya que cada bolsa de la marca P contiene 3 unidades del elemento nutricional A y cada bolsa de la marca Q contiene 1.5 unidades del elemento nutricional A.
Por lo tanto, x bolsas de la marca P e y bolsas de la marca Q contendrán (3x+1.5y) unidades del elemento nutricional A.
Pero el requerimiento mínimo de nutrientes A es de 18 unidades.
Así, 3x+1.5y≥18
⇒ 2x+y≥12
De manera similar, x bolsas de la marca P e y bolsas de la marca Q contendrán (2.5x+11.25y) unidades del elemento nutricional B.
Pero el requerimiento mínimo de nutrientes B es de 45 unidades.
Así, 2.5x+11.25y≥45
⇒ 2x+9y≥36
Además, x bolsas de la marca P e y bolsas de la marca Q contendrán (2x+3y) unidades del elemento nutricional C.
Pero el requerimiento mínimo de nutrientes C es de 24 unidades.
Así, 2x+3y≥24
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar z=250x+200y
sujeto a
2x+y≥12
2x+9y≥36
2x+3y≥24
x,y≥0
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son A(18, 0), B(9, 2), C(3, 6), D(0, 12).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
punto de esquina z=250x+200y A 250(18)+200(0)=4500 B 250(9)+200(2)=2650 C 250(3)+200(6)=1950 D 250(0)+200(12)=2400 El valor más pequeño de z es 1950 obtenido en C(3, 6).
Entonces, se deben usar 3 bolsas de la marca P y 6 bolsas de la marca Q para minimizar el costo.
Por lo tanto, el costo mínimo de mezcla por bolsa es de Rs 1950.
Pregunta 14. Un dietista desea mezclar dos tipos de alimentos X e Y de tal manera que la mezcla contenga al menos 10 unidades de vitamina A, 12 unidades de vitamina B y 8 unidades de vitamina C. El contenido de vitaminas de uno kg de alimento se dan a continuación:
| Alimento |
Vitamina A |
Vitamina B |
Vitamina C |
| X | 1 | 2 | 3 |
| Y | 2 | 2 | 1 |
Un kg de comida X cuesta Rs 16 y un kg de comida Y cuesta Rs 20. ¿Encuentra el costo mínimo de la mezcla que producirá la dieta requerida?
Solución:
Se mezclan x kg de comida X e y kg de comida Y para hacer la mezcla.
El costo del alimento X es de 16 rupias por kg y el del alimento Y es de 20 rupias por kg.
Entonces, x kg de comida X e y kg de comida Y costarán Rs (16x+20y).
Dado que un kg de alimento X contiene 1 unidad de vitamina A y un kg de alimento Y contiene 2 unidades de vitamina A. Por lo tanto, x kg de alimento X e y kg de alimento Y contendrán (x+2y) unidades de vitamina A.
Pero la mezcla debe contener al menos 10 unidades de vitamina A.
Así, x+2y≥10
De manera similar, x kg de alimento X e y kg de alimento Y contendrán (2x+2y) unidades de vitamina B. Pero la mezcla debe contener al menos 12 unidades de vitamina B.
Así, 2x+2y≥12
⇒x+y≥6
Además, x kg de alimento X e y kg de alimento Y contendrán (3x+y) unidades de vitamina C. Pero la mezcla debe contener al menos 8 unidades de vitamina C.
Así, 3x+y≥8
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar z=16x+20y
sujeto a
x+2y≥10
x+y≥6
3x+y≥8
x,y≥0
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son A(10, 0), H(2, 4), G(1, 5), F(0,8).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina z=16x+20y A 16(10)+20(0)=160 H 16(2)+20(4)=112(Mínimo) GRAMO 16(1)+20(5)=116 F 16(10)+20(8)=160 El valor más pequeño de z es 112 obtenido en H(2, 4).
Por lo tanto, el costo mínimo de la mezcla que producirá la dieta requerida es de 112 rupias .
Pregunta 15. Un fruticultor puede usar dos tipos de fertilizante en su jardín, marca P y marca Q. Las cantidades de nitrógeno, ácido fosfórico, potasio y cloro en una bolsa de cada marca se dan en la tabla. Las pruebas indican que el jardín necesita al menos 240 kg de ácido fosfórico, al menos 270 kg de potasa y casi 310 kg de cloro.
| kg por bolsa | Marca P | Marca Q |
| Nitrógeno | 3 | 3.5 |
| Ácido fosfórico | 1 | 2 |
| Potasa | 3 | 1.5 |
| Cloro | 1.5 | 2 |
Si el agricultor quiere minimizar la cantidad de nitrógeno que se agrega al jardín, ¿cuántas bolsas de cada marca se deben usar? ¿Cuál es la cantidad mínima de nitrógeno que se agrega al jardín?
Solución:
Sean x bolsas de fertilizante de la marca P e y bolsas de fertilizante de la marca Q que se usan en el jardín.
Una bolsa de la marca P contiene 3 kg de nitrógeno y una bolsa de la marca Q contiene 3,5 kg de nitrógeno, por lo tanto, x bolsas de la marca P y y bolsas de la marca Q contendrán (3x+3,5y) kg de nitrógeno.
Dado que, una bolsa de la marca P contiene 1 kg de ácido fosfórico y una bolsa de la marca Q contiene 2 kg de ácido fosfórico, por lo tanto, x bolsas de la marca P e y bolsas de la marca Q contendrán (x+2y) kg de ácido fosfórico .
Pero el jardín necesita al menos 240 kg de ácido fosfórico.
Así, x+2y≥240
De manera similar, una bolsa de la marca P contiene 3 kg de potasa y una bolsa de la marca Q contiene 1,5 kg de potasa, por lo tanto, x bolsas de la marca P y y bolsas de la marca Q contendrán (3x+1,5y) kg de potasa.
Pero el jardín necesita al menos 270 kg de potasa.
Así, 3x+1.5y≥270
⇒ 2x+y≥180
Además, una bolsa de la marca P contiene 1,5 kg de cloro y una bolsa de la marca Q contiene 2 kg de cloro, por lo tanto, x bolsas de la marca P y y bolsas de la marca Q contendrán (1,5x+2y) kg de cloro.
Pero el jardín necesita al menos 310 kg de cloro.
Así, 1.5x+2y≤310
Ahora la formulación matemática del problema de programación lineal dado es
Minimizar z=3x+3.5y
sujeto a
x+2y≥240
2x+y≥180
1.5x+2y≤310
x,y≥0
La región factible determinada por las restricciones dadas se puede representar gráficamente como
Los puntos de esquina de una región factible son A(40, 100), B(140, 50), C(20, 140).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
punto de esquina z=3x+3.5y UN(40, 100) 3(40)+3.5(100)=470 B(140, 50) 3(140)+3.5(50)=595 C(20, 140) 3(20)+3.5(140)=550 El valor más pequeño de z es 470 obtenido en A(40, 100).
Por lo tanto, en el jardín se utilizan 40 bolsas de fertilizante de la marca P y 100 bolsas de fertilizante de la marca Q. La cantidad mínima de nitrógeno añadido en el jardín es de 470 kg .
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prasanthinidamarthy y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA