Pregunta 18. Una empresa fabrica dos tipos de souvenirs novedosos hechos de madera contrachapada. Los souvenirs de tipo A requieren 5 minutos cada uno para cortar y 10 minutos cada uno para ensamblar. Los souvenirs de tipo B requieren 8 minutos cada uno para cortar y 8 minutos cada uno para ensamblar. Hay 3 horas 20 minutos disponibles para cortar y 4 horas disponibles para ensamblar. La ganancia es de 50 paise cada uno para los souvenirs tipo A y de 60 paise cada uno para los souvenirs tipo B. ¿Cuántos souvenirs de cada tipo debe fabricar la empresa para maximizar la utilidad?
Solución:
Suponga que la empresa fabrica x souvenirs de Tipo A y y souvenirs de Tipo B.
Por eso,
x, y ≥ 0
Dado: La información se puede mostrar en una tabla de la siguiente manera:
Escribe un Tipo B Disponibilidad Corte (mín.) 5 8 3 × 60 + 20 = 200 Montaje (mín.) 10 8 4 × 60 = 240 La ganancia en los souvenirs Tipo A es de 50 paisa y en los souvenirs Tipo B es de 60 paisa.
Por lo tanto, la ganancia obtenida en x souvenirs de Tipo A y y souvenirs de Tipo B es Rs 0.50x y Rs 0.60y respectivamente.
Beneficio total,
Z = 0,5x + 0,6y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx. = 0,5x + 0,6y
Sujeto a restricciones,
5x + 8y ≤ 200
10x + 8y ≤ 240
x ≥ 0, y ≥ 0
Área 5x + 8y ≤ 200: la línea 5x + 8y = 200 conecta ejes en A(40, 0), B(0, 25) respectivamente.
El área que tiene origen muestra la solución de la inecuación 5x + 8y ≤ 200 como (0, 0) asegura 5x + 8y ≤ 200.
Área 10x + 8y ≤ 240: la línea 10x + 8y = 240 conecta ejes en C(24, 0), D(0, 30) respectivamente.
El área que tiene origen muestra la solución de la inecuación 10x + 8y ≤ 240 ya que (0, 0) asegura 10x + 8y ≤ 240.
Área x,y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de esquina del área adecuada son O(0, 0), B(0, 25), E(8, 20), C(24, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 20x + 30y O 0 B 150 mi 160 C 120 El valor máximo de Z se obtiene en E(8, 20).
Por lo tanto, se deben producir 8 souvenirs de Tipo A y 20 souvenirs de Tipo B cada uno.
día para obtener la máxima ganancia de Rs 160.
Pregunta 19. Un fabricante fabrica dos productos A y B. El producto A se vende a Rs 200 cada uno y tarda media hora en fabricarse. El producto B se vende a 300 rupias cada uno y tarda 1 hora en fabricarse. Hay un pedido permanente de 14 del producto A y 16 del producto B. Una semana laboral consta de 40 horas de producción y el volumen de negocios semanal no debe ser inferior a 10 000 rupias. Si la ganancia de cada producto A es de 20 rupias y del producto B es Rs 30, entonces cuántos de cada uno se deben producir para que la ganancia sea máxima. Además, encuentre la ganancia máxima.
Solución:
Suponga que se fabrican x unidades del producto A e y unidades del producto B.
El número de unidades no puede ser negativo.
Asi que,
x, y ≥ 0 (siempre)
Según la pregunta, la información dada se puede mostrar como:
Precio de venta (USD) Tiempo de fabricación (horas) Producto A (x) 200 0.5 Producto por) 300 1 Aquí, la disponibilidad de tiempo es de 40 horas y los ingresos deben ser al menos Rs 10000.
Por lo tanto, además, dado que existe un pedido permanente de 14 unidades del Producto A y 16 unidades del Producto B.
De este modo,
Las restricciones son:
200x + 300y ≥ 10000,
0.5x + y ≤ 40
x ≥ 14
y ≥ 16.
Si la ganancia en cada producto A es de 20 rupias y en el producto B es de 30 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida en x unidades del producto A y y unidades del producto B es Rs 20x y Rs 30y respectivamente.
Beneficio total = 20x + 30y que se quiere maximizar.
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 20x + 30y
Sujeto a restricciones,
200x + 300y ≥ 10000,
0.5x + y ≤ 40
x ≥ 14
y ≥ 16
x, y ≥ 0.
Área 200x + 300y≥ 10000: la línea 200x + 300y = 10000 conecta los ejes en A(50,0), B(0, 100/3) respectivamente.
El área que no tiene origen muestra 200x + 300y ≥ 10000 ya que (0, 0) no asegura 200x + 300y ≥ 10000.
Área 0.5x + y ≤ 40: la línea 0.5x + y = 40 conecta los ejes en C(80, 0), D(0, 40) respectivamente.
El área que tiene origen muestra 0.5x + y ≤ 40 como (0, 0) asegura 0.5x + y ≤ 40.
El área mostrada por x ≥ 14, x = 14 es la línea que pasa por (14, 0) y es paralela al eje Y.
El área a la derecha de la línea x = 14 asegurará la inecuación.
El área mostrada por y ≥ 16, y = 14 es la línea que pasa por (16, 0) y es paralela al eje X.
El área a la derecha de la línea y = 14 asegurará la inecuación.
Área x,y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de esquina del área adecuada son E(26, 16), F(48, 16), G(14, 33), H(14, 24).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 20x + 30y mi 1000 F 1440 GRAMO 1270 H 1000 El valor máximo de Z es Rs 1440 que se obtiene en F(48,16).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 1440 rupias obtenidas cuando 48 unidades del producto A y
Se fabrican 16 unidades del producto B.
Pregunta 20. Un fabricante produce dos tipos de baúles de acero. Tiene dos máquinas A y B. Para completar, el primer tipo de baúl requiere 3 horas en la máquina A y 3 horas en la máquina B, mientras que el segundo tipo de baúl requiere 3 horas en la máquina A y 2 horas en la máquina B. Las máquinas A y B pueden trabajar como máximo 18 horas y 15 horas por día respectivamente. Obtiene una ganancia de 30 y 25 rupias por baúl del primer tipo y del segundo tipo, respectivamente. ¿Cuántos baúles de cada tipo debe fabricar cada día para obtener la máxima utilidad?
Solución:
Suponga que se fabricaron x baúles del primer tipo e y baúles del segundo tipo.
El número de troncales no puede ser negativo.
De este modo,
x, y ≥ 0 (siempre)
Dado: La información se puede mostrar como
Máquina A (horas) Máquina B (horas) Primer tipo (x) 3 3 Segundo tipo (y) 3 2 Disponibilidad 18 15 Por eso,
Las restricciones son,
3x + 3y ≤ 18
3x + 2y ≤ 15.
Obtiene una ganancia de 30 y 25 rupias por baúl del primer tipo y del segundo tipo, respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia obtenida por él de x troncales de primer tipo e y troncales de segundo tipo es Rs 30x y Rs 25y respectivamente.
Beneficio total Z = 30x + 25y que se quiere maximizar.
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 30x + 25y
Sujeto a
3x + 3y ≤ 18
3x + 2y ≤ 15
x, y ≥ 0
Área 3x + 3y ≤ 18: la línea 3x + 3y = 18 conecta ejes en A(6, 0), B(0, 6) respectivamente.
El área que tiene origen muestra la solución de la inecuación 3x + 3y ≤ 18 ya que (0, 0) asegura 3x + 3y ≤ 18.
Área 3x + 2y ≤ 15: la línea 3x + 2y = 15 conecta ejes en C(5, 0), D(0, 15/2) respectivamente.
El área que tiene origen muestra la solución de la inecuación 3x + 2y ≤ 15 ya que (0, 0) asegura 3x + 2y ≤ 15.
Área x, y ≥ 0: muestra primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 6), E(3, 3) y C(5, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 30x + 25y O 0 B 150 mi 165 C 150 El valor máximo de Z es 165 que se obtiene en E(3, 3).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de Rs 165 cuando se fabrican 3 unidades de cada tipo de baúl.
Pregunta 21. Un fabricante de medicamentos de patente está preparando un plan de producción de los medicamentos A y B. Hay suficientes materias primas disponibles para hacer 20000 frascos de A y 40000 frascos de B, pero solo hay 45000 frascos en los que se colocará cualquiera de los medicamentos. se puede poner Además, toma 3 horas preparar suficiente material para llenar 1000 botellas de A, toma 1 hora preparar suficiente material para llenar 1000 botellas de B y hay 66 horas disponibles para esta operación. La ganancia es de 8 rupias por botella para A y de 7 rupias por botella para B. ¿Cómo debe programar el fabricante su producción para maximizar su ganancia?
Solución:
Suponga que la fabricación de cada botella de A y B son x e y respectivamente.
Como ganancias en cada botella de A y B son Rs 8 y Rs 7 por botella respectivamente.
Por lo tanto, las ganancias de x botellas de A y y botellas de B son 8x y 7y respectivamente.
Suponga que Z es el beneficio total de las botellas
Asi que,
Z = 8x + 7y
Como toma 3 horas y 1 hora preparar suficiente material para llenar 1000 botellas de tipo A y tipo B respectivamente, por lo tanto, x botellas de A e y botellas de B se están preparando es 3x/1000 horas y y/1000 horas respectivamente, pero solo 66 horas están disponibles, entonces,
3x/1000 + y/1000 ≤ 66
3x + y ≤ 66000
Por lo tanto, las materias primas disponibles para hacer 2000 botellas de A y 4000 botellas de B, pero
hay 45000 frascos en los que se puede poner cualquiera de estos medicamentos.
Asi que,
x ≤ 20000
y ≤ 40000
x + y ≤ 45000
x, y ≥ 0. {Dado que la producción de botellas no puede ser negativa}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 8x + 7y
Sujeto a restricciones,
3x + y ≤ 66000
x ≤ 20000
y ≤ 40000
x + y ≤ 45000
x, y ≥ 0
Área 3x + y ≤ 66000: la línea 3x + y = 66000 conecta los ejes en A(22000, 0), B(0, 66000) respectivamente.
El área que contiene el origen muestra 3x + y ≤ 10000 ya que (0, 0) satisface 3x + y ≤ 66000
Área x + y ≤ 45000: la línea x + y = 45000 conecta los ejes en C(45000, 0), D(0, 45000) respectivamente.
El área hacia el origen asegurará la inecuación como (0, 0) asegura la inecuación
Área mostrada por x ≤ 20000,
x = 20000 es la línea que pasa por (20000, 0) y es paralela al eje Y.
El área hacia el origen asegurará la inecuación.
Área mostrada por y ≤ 40000,
y = 40000 es la línea que pasa por (0,40000) y es paralela al eje X.
El área hacia el origen asegurará la inecuación.
Área x,y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 40000), G(10500, 34500), H(20000, 6000), A(20000, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son,
Puntos de esquina Z = 8x + 7y O 0 B 280000 GRAMO 325500 H 188000 A 160000 El valor máximo de Z es 325500 que se obtiene en G(10500, 34500).
Por lo tanto, la ganancia máxima alcanzada es de 325500 rupias
cuando se fabrican 10500 botellas de A y 34500 botellas de B.
Pregunta 22. Un avión puede transportar un máximo de 200 pasajeros. Se obtiene una ganancia de 400 rupias por cada boleto de primera clase y una ganancia de 600 rupias por cada boleto de clase económica. La aerolínea reserva al menos 20 asientos de primera clase. Sin embargo, al menos 4 veces más pasajeros prefieren viajar en clase económica a primera clase. Determine cuántos boletos de cada tipo deben venderse para maximizar la utilidad de la aerolínea. ¿Cuál es la ganancia máxima?
Solución:
Suponga que el número necesario de boletos de primera clase y clase económica es x e y respectivamente.
Cada boleto de primera clase y clase económica generó ganancias de Rs 400 y Rs 600 respectivamente.
Por lo tanto, el boleto x de primera clase y los boletos y de clase económica obtienen ganancias de Rs 400x y Rs 600y respectivamente.
Suponga que la ganancia total es Z y se muestra por
Z = 400x + 600y
Dado, el avión puede transportar un mínimo de 200 pasajeros,
Asi que,
x + y ≤ 200
Dado que la aerolínea reserva al menos 20 asientos para primera clase,
Asi que,
x ≥ 20
Además, como mínimo 4 veces más pasajeros eligen viajar en clase económica a primera clase,
Asi que
y ≥ 4x
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 400x + 600y
Sujeto a restricciones
x + y ≤ 200
y ≥ 4x
x ≥ 20
x, y ≥ 0 {ya que los asientos en ambas clases no pueden ser cero}
Área mostrada por x + y ≤ 200: la línea x + y = 200 conecta los ejes en A(200, 0), B(0, 200).
El área que tiene origen muestra x + y ≤ 200 ya que (0, 0) asegura x + y ≤ 200.
Área mostrada por x ≥ 20: la línea x = 20 pasa por (20, 0) y es paralela al eje y.
El área a la derecha de la línea x = 20 asegurará la inecuación x ≥ 20
Área mostrada por y ≥ 4x: la línea y = 4x pasa por (0, 0).
El área sobre la recta y = 4x asegurará la inecuación y ≥ 4x
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son C(20, 80), D(40, 160), E(20, 180).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 400x + 600y O 0 C 56000 D 112000 mi 116000 El valor máximo de Z se alcanza en E(20, 180).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 116 000 rupias cuando se venden 20 boletos de primera clase y 180 boletos de clase económica.
Pregunta 23. Un jardinero tiene abasto de fertilizante tipo I que consta de 10% de nitrógeno y 6% de ácido fosfórico y fertilizante tipo II, que consta de 5% de nitrógeno y 10% de ácido fosfórico. Después de probar las condiciones del suelo, descubre que necesita al menos 14 kg de nitrógeno y 14 kg de ácido fosfórico para su cultivo. Si el fertilizante tipo I cuesta 60 paise por kg y el fertilizante tipo II cuesta 40 paise por kg, determine cuántos kilogramos de cada fertilizante se deben usar para que los requerimientos de nutrientes se cumplan a un costo mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?
Solución:
Suponga que se suministran x kg de fertilizante tipo I e y kg de fertilizante tipo II.
La cantidad de fertilizantes no puede ser negativa.
Asi que,
x, y ≥ 0 (siempre)
Un jardinero tiene un suministro de fertilizante de tipo I que contiene 10% de nitrógeno y
El tipo II contiene un 5% de nitrógeno, y requiere al menos 14 kg de nitrógeno para su cultivo.
De este modo,
(10 × 100) + (5 × 100) ≥ 14
O,
10x + 5y ≥ 1400
Un jardinero tiene un suministro de fertilizante de tipo I que contiene 6% de ácido fosfórico y
El tipo II contiene un 10% de ácido fosfórico, y requiere al menos 14 kg de ácido fosfórico para su cultivo.
De este modo,
(6 × 100) + (10 × 100) ≥ 14
O,
6x + 10y ≥ 1400
Por eso,
Están sujetos a restricciones,
10x + 5y ≥ 1400
6x + 10y ≥ 1400
Suponiendo que el fertilizante Tipo I cuesta 60 paise por kg y el fertilizante Tipo II cuesta 40 paise por kg.
Por lo tanto, el costo de x kg de fertilizante Tipo I e y kg de fertilizante Tipo II es Rs0.60x y Rs 0.40y respectivamente.
Suponga que el costo total es Z
Asi que,
Z = 0.6x + 0.4y debe minimizarse.
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z mín. = 0,6x + 0,4y
Sujeto a las restricciones,
10x + 5y ≥ 1400
6x + 10y ≥ 1400
x, y ≥ 0
El área mostrada por 6x + 10y ≥ 1400: la línea 6x + 10y = 1400 pasa por A(700/3, 0) y B(0, 140).
El área que no es el origen muestra la solución de la inecuación 6x + 10y ≥ 1400
Como (0,0) no asegura la in-ecuación 6x + 10y ≥ 1400
Área mostrada por 10x + 5y ≥ 1400: la línea 10x + 5y = 1400 pasa por C(140, 0) y D(0, 280).
El área que no constituye el origen muestra la solución de la inecuación 10x + 5y ≥ 1400
Como (0,0) no asegura la in-ecuación 10x + 5y ≥ 1400
El área, x,y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son D(0, 280), E(100, 80), A(700/3, 0)
Los valores de Z en estos puntos son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 0,6x + 0,4y O 0 D 112 mi 92 F 140 El valor mínimo de Z es Rs 92 que se obtiene en E(100, 80)
Por lo tanto, el costo mínimo es de Rs92 cuando se suministran 100 kg de fertilizante Tipo I y 80 kg de fertilizante Tipo II.
Pregunta 24. Anil quiere invertir como máximo 12000 rupias en certificados de ahorro y bonos de ahorro nacional. De acuerdo con las reglas, debe invertir al menos 2000 rupias en certificados de ahorro y al menos 4000 rupias en bonos de ahorro nacional. Si la tasa de interés del certificado de ahorro es del 8% anual y la tasa de interés del Bono Nacional de Ahorro es del 10% anual, ¿cuánto dinero debe invertir para obtener el máximo ingreso anual? Encuentre también su ingreso anual máximo.
Solución:
Deje que Anil invierta Rs x y Rs y en un certificado de ahorro (SC) y un bono de ahorro nacional (NSB), respectivamente.
Dado que la tasa de interés en SC es del 8% anual y en NSB es del 10% anual.
Entonces, el interés en Rs x de SC es 8x/100 y Rs y de NSB es 10y/100 por año.
Asegúrese de que Z sea el interés total ganado, por lo que,
Z = 8x/100 + 10y/100
Dado: Quiere invertir Rs 12000 es total
x + y ≤ 12000
De acuerdo con las reglas, tiene que invertir al menos 2000 rupias en SC y al menos 4000 rupias en NSB.
x ≥ 2000
y ≥ 4000
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx. = 8x/100+ 10y/100
Sujeto a restricciones
x ≥ 2000
y ≥ 4000
x + y ≤ 12000
x, y ≥ 0
El área mostrada por x ≥ 2000: la línea x = 2000 es paralela al eje y y pasa por (2000, 0).
El área que no tiene el origen muestra x ≥ 2000
Como (0, 0) no asegura la in-ecuación x ≥ 2000
El área mostrada por y ≥ 4000: la línea y = 4000 es paralela al eje x y pasa por (0, 4000).
La región que no contiene el origen representa y ≥ 4000
Como (0, 0) no asegura la inecuación y ≥ 4000
Área mostrada por x + y ≤ 12000: la línea x + y = 12000 conecta los ejes en A(12000, 0) y B(0, 12000) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra el conjunto solución de x + y ≤ 12000
Como (0, 0) asegura la desigualdad x + y ≤ 12000.
El área x, y ≥ 0 se muestra en el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son E(2000, 10000), C(2000, 4000), D(8000, 4000).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 8x/100+ 10y/100 O 0 mi 1160 D 1040 C 560 El valor máximo de Z es Rs 1160 que se obtiene en E(2000,10000).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 1160 rupias alcanzadas cuando se invirtieron 2000 rupias en SC y 10000 rupias en NSB.
Pregunta 25. Un hombre es dueño de un campo de 1000 metros cuadrados. Quiere plantar árboles frutales en él. Tiene una suma de 1400 rupias para comprar árboles jóvenes. Él tiene la opción de dos tipos de árboles. El tipo A requiere 10 m2 de terreno por árbol y cuesta 20 rupias por árbol y el tipo B requiere 20 m2 de terreno por árbol y cuesta 25 rupias por árbol. Cuando está completamente desarrollado, el tipo A produce un promedio de 20 kg de fruta que se puede vender con una ganancia de Rs 2,00 por kg y el tipo B produce un promedio de 40 kg de fruta que se puede vender con una ganancia de Rs. 1,50 por kg. ¿Cuántos de cada tipo se deben plantar para lograr la máxima ganancia cuando los árboles estén completamente desarrollados? ¿Cuál es la ganancia máxima?
Solución:
Suponga que el número necesario de árboles de Tipo A y B sea Rs x y Rs y respectivamente.
El número de árboles no puede ser negativo.
x, y ≥ 0. (siempre)
Para plantar árboles del Tipo A se requieren 10 m2 y del Tipo B se necesitan 20 m2 de terreno por árbol.
Y se da que un hombre es dueño de un terreno de 1000 m2 de área.
Por lo tanto,
10x + 20y ≤ 1000
x + 2y ≤ 100
El tipo A cuesta 20 rupias por árbol y el tipo B cuesta 25 rupias por árbol.
Por lo tanto, los árboles x del tipo A y los árboles y del tipo B cuestan Rs 20x y Rs 25y respectivamente.
Un hombre tiene una suma de 1400 rupias para comprar árboles jóvenes.
20x + 25y ≤ 1400
4x + 5y ≤ 280
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Z máx. = 40x – 20x + 60y – 25y = 20x + 35y
Sujeto a restricciones;
x + 2y ≤ 100
4x + 5y ≤ 280
x, y ≥ 0
Área 4x + 5y ≤ 280: la línea 4x + 5y ≤ 280 conecta ejes en A 1 (70, 0), B 1 (0, 56) respectivamente.
El área de origen muestra 4x + 5y ≤ 280 como (0, 0) asegura 4x + 5y ≤ 280.
Área x + 2y ≤ 100: la línea x + 2y = 100 conecta ejes en A 2 (100, 0), B 2 (0, 50) respectivamente.
El área que tiene origen muestra x + 2y ≤ 100 como (0, 0) asegura x + 2y ≤ 100
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son A 1 (70, 0), P (20, 40), B 2 (0, 50)
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 20x + 35y O 0 un 1 1750 PAGS 1800 B 2 1400 El valor máximo de Z es 1800 que se obtiene en P(20, 40).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 1800 rupias obtenidas cuando se obtuvieron 20 rupias.
involucrados en el Tipo A y Rs 40 estaban involucrados en el Tipo II.
Pregunta 26. Una industria artesanal fabrica lámparas de pedestal y pantallas de madera, cada una de las cuales requiere el uso de una máquina pulidora/cortadora y un rociador. Se necesitan 2 horas en la máquina de esmerilado/cortado y 3 horas en el rociador para fabricar una lámpara de pedestal, mientras que se necesitan 1 hora en la máquina de esmerilado/cortado y 2 horas en el rociador para fabricar una pantalla. Cualquier día, el pulverizador está disponible durante un máximo de 20 horas y la rectificadora/cortadora durante un máximo de 12 horas. La ganancia por la venta de una lámpara es de 5,00 y de una pantalla de 3,00. Suponiendo que el fabricante vende todas las lámparas y pantallas que produce, ¿cómo debe programar su producción diaria para maximizar su beneficio?
Solución:
Suponga que se fabrican x unidades de lámparas de pedestal e y unidades de pantallas de madera en un día para maximizar la ganancia.
Como una lámpara de pedestal necesita 2 horas en la máquina de corte/pulido y una pantalla de madera necesita 1 hora en la máquina de corte/pulido,
Por lo tanto, el total de horas necesarias para esmerilar/cortar x unidades de lámparas de pedestal y
Las unidades y de las pantallas de madera son (2x + y).
De este modo,
Se puede acceder a la máquina de pulir/cortar durante un máximo de 12 horas al día.
Por lo tanto,
2x + y ≤ 12
Tanto como,
Una lámpara de pedestal necesita 3 horas en el rociador y una pantalla de madera necesita 2 horas en el rociador.
Por lo tanto, el total de horas necesarias para rociar x unidades de lámparas de pedestal y
Las unidades y de las pantallas de madera son (3x + 2y).
Como, el rociador está accesible durante un máximo de 20 horas al día.
Por lo tanto,
3x + 2y ≤ 20
La ganancia por la venta de una lámpara de pedestal es de 5,00 y una pantalla de madera es de 3,00.
Por lo tanto, la ganancia total de la venta de x unidades de lámparas de pedestal e y unidades de pantallas de madera es (5x + 3y).
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Maximizar Z = 5x + 3y
Sujeto a las restricciones
2x + x ≤ 12
3x + 2y ≤ 20
x, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar esquemáticamente como,
Las coordenadas de los vértices de la región factible son O(0, 0), A(6, 0), B(4, 4) y C(0, 10).
El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 5x + 3y 0, 0 5 × 0 + 3 × 0 = 0 6, 0 5 × 6 + 3 × 0 = 30 4, 4 5 × 4 + 3 × 4 = 32 →
Máximo
0, 10 5 × 0 + 3 × 10 = 30 El valor máximo de Z es 32 en x = 4, y = 4.
Por lo tanto, el fabricante debe fabricar 4 lámparas de pie y 4 pantallas de madera para maximizar su beneficio.
La ganancia máxima del fabricante es de 32 en un día.
Pregunta 27. Un productor tiene 30 y 17 unidades de trabajo y capital, respectivamente, que puede utilizar para producir dos tipos de bienes x e y. Para producir una unidad de x, se requieren 2 unidades de trabajo y 3 unidades de capital. De manera similar, se requieren 3 unidades de trabajo y 1 unidad de capital para producir una unidad de y. Si x e y tienen un precio de 100 rupias y 120 rupias por unidad respectivamente, ¿cómo debería usar el productor sus recursos para maximizar el ingreso total? Resuelva el problema gráficamente.
Solución:
Sean x 1 e y 1 unidades de los bienes xey producidos respectivamente.
El número de unidades de bienes no puede ser negativo.
Por lo tanto, x 1 , y 1 ≥ 0
Para fabricar una unidad de x, se necesitan 2 unidades de trabajo y para una unidad de y, se necesitan 3 unidades de trabajo.
2x 1 + 3y 1 ≤ 30
Para fabricar una unidad de x se necesitan 3 unidades de capital y
Se necesita 1 unidad de capital para fabricar una unidad de y.
3x 1 + y 1 ≤ 17
Si x e y tienen un precio de 100 rupias y 120 rupias por unidad respectivamente,
Por lo tanto, el precio de x 1 y y 1 unidades de bienes x e y es Rs 100x 1 y Rs 120y 1 respectivamente.
Los ingresos totales
Z = 100x 1 + 120y 1 que se quiere maximizar.
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Maximizar Z = 100x 1 + 120y 1
Sujeto a
2x 1 + 3y 1 ≤ 303x 1 + y 1 ≤ 17
x, y ≥ 0
Al principio, convertiremos in-ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera:
2x 1 + 3y 1 = 30,
3×1 + y1 = 17,
x = 0 y
y = 0
Área mostrada por 2x 1 + 3y 1 ≤ 30:
La línea 2x 1 + 3y 1 = 30 se encuentra con los ejes de coordenadas en A(15, 0) y B(0, 10) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 2x 1 + 3y 1 = 30.
Así, (0, 0) asegura 2x 1 + 3y 1 = 30.
Por tanto, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 2x 1 + 3y 1 ≤ 30.
Área mostrada por 3x 1 + y 1 ≤ 17:
La línea 3x 1 + y 1 = 17 conecta los ejes de coordenadas en C ( 17/3 , 0) y D(0, 17) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea
3x 1 + y 1 = 17.
Aquí, (0, 0) asegura la inecuación 3x 1 + y1 ≤ 17.
Así, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación 3x 1 + y 1 ≤ 17.
Área mostrada por x 1 ≥ 0 y y1 ≥ 0:
Como todos los puntos en el primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Por lo tanto, el primer cuadrante es el área mostrada por las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada está determinada por el sistema de restricciones
2x 1 + 3y 1 ≤ 30,
3x 1 + y 1 ≤ 17,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son B(0, 10), E(3, 8) y C( 17/3 , 0 ) . Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
punto de esquina Z= 100x 1 + 120y 1 B 1200 mi 1260 C 1700/3 El valor máximo de Z es 1260 que se obtiene en E(3, 8).
Por lo tanto, el ingreso máximo es de 1260 rupias cuando se fabricaron 3 unidades de x y 8 unidades de y.
Pregunta 28. Una empresa fabrica dos tipos de productos A y B y los vende con una ganancia de 5 rupias por unidad del tipo A y 3 rupias por unidad del tipo B. Cada producto se procesa en dos máquinas M 1 y M 2 . Una unidad de tipo A requiere un minuto de tiempo de procesamiento en M 1 y dos minutos de tiempo de procesamiento en M 2 , mientras que una unidad de tipo B requiere un minuto de tiempo de procesamiento en M 1 y un minuto en M 2 Máquinas M 1 y M 2 están disponibles respectivamente durante un máximo de 5 horas y 6 horas en un día. Averigüe cuántas unidades de cada tipo de producto debe producir la empresa al día para maximizar la utilidad. Resuelva el problema gráficamente.
Solución:
Suponga que se produjeron x unidades del producto A y y unidades del producto B.
El número de productos no puede ser negativo.
De este modo,
x, y ≥ 0 (siempre)
Como en la pregunta, la información dada se puede mostrar como
Tiempo en M 1 (minutos) Tiempo en M 2 (minutos) Producto A(x) 1 2 Producto por) 1 1 Disponibilidad 300 360 Las restricciones son
x + y ≤ 300,
2x + y ≤ 360
La empresa produce dos tipos de productos A y B y los vende con una ganancia de 5 rupias por unidad del tipo A y
Rs 3 por unidad de tipo B.
Por lo tanto, x unidades del producto A e y unidades del producto B cuestan Rs 5x y Rs3y respectivamente.
El beneficio total es Z = 5x + 3y, que debe maximizarse
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Maximizar Z = 5x + 3y
Sujeto a
x + y ≤ 300,
2x + y ≤ 360
x, y ≥ 0
Al principio, convertiremos in-ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 300,
2x + y = 360,
x = 0 y
y = 0
El área mostrada por x + y ≤ 300:
La línea x + y = 300 conecta los ejes de coordenadas en A 1 (300, 0) y B 1 (10, 300) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea x + y = 30.
Como (0, 0) asegura x + y = 30.
Por tanto, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación
x + y ≤ 300.
El área mostrada por 2x + y ≤ 360:
La línea 2x + y = 360 conecta los ejes de coordenadas en C 1 (180, 0) y D 1 (10, 360) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea
2x + y = 360.
Como (0, 0) asegura la inecuación 2x + y ≤ 360.
Así, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 2x + y ≤ 360.
El área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Así, todos los puntos del primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Por lo tanto, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada mostrada por el sistema de restricciones x + y ≤ 300,
2x + y ≤ 360,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes;
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B 1 (0, 300), E 1 (60, 240) y C 1 (180, 0). Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
punto de esquina Z= 5x + 3y O 0 B 1 900 mi 1 1020 C 1 900 El valor máximo de Z es Rs 1020 que se obtiene en B 1 (60, 240).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 1020 rupias obtenidas cuando 60 unidades del producto A y
Se produjeron 240 unidades del producto B.
Pregunta 29. Una pequeña empresa fabrica los artículos A y B. El número total de artículos A y B que puede fabricar en un día es como máximo 24. El artículo A tarda una hora en fabricarse, mientras que el artículo B tarda solo media hora. El tiempo máximo disponible por día es de 16 horas. Si la ganancia de una unidad del artículo A es de 300 rupias y una unidad del artículo B es de 160 rupias, ¿cuántos artículos de cada tipo se producirán para maximizar la ganancia? Resuelva el problema gráficamente.
Solución:
Suponga que la empresa fabrica x artículos de A e y artículos de B por día.
El número de elementos no puede ser negativo.
De este modo,
x, y ≥0 (siempre)
Se da que el número total de artículos fabricados por día es como máximo 24.
Por lo tanto,
x + y ≤ 24
El artículo A requiere 1 hora para fabricarse y el artículo B requiere 0,5 horas para fabricarse.
El número máximo de horas disponibles por día es de 16 horas.
Por lo tanto,
x + 0.5y ≤ 16
Si la ganancia de una unidad del artículo A es de 300 rupias y una unidad del artículo B es de 160 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida en x artículos de A e y artículos de B es Rs 300x y Rs 160y respectivamente.
Por lo tanto,
La ganancia total es Z = 300x + 160y
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Maximizar Z = 300x + 160y
Sujeto a las restricciones
x+ y ≤ 24
x + 0.5y ≤ 16
x, y ≥0
Al principio, convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 24,
x + 0.5y = 16,
x = 0 y
y = 0
El área mostrada por x + y ≤ 24:
La línea x + y = 24 conecta los ejes de coordenadas en A 1 (24, 0) y B 1 (0, 24) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y = 24.
Como, (0, 0) asegura x + y = 24.
Así, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación
x + y ≤ 24.
El área mostrada por x + 0.5y ≤ 16:
La línea x + 0.5y = 16 conecta los ejes de coordenadas en C 1 (16, 0) y D 1 (0, 32) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea
x + 0.5y = 16.
Como (0, 0) asegura la inecuación x + 0.5y ≤ 16.
Así, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación
x + 0,5y ≤ 16.
El área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Como todos los puntos en el primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Por lo tanto, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
x + y ≤ 24,
x + 0.5y ≤ 16,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), C 1 (16, 0), E 1 (8, 16) y B 1 (0, 24).
El valor de Z en estos puntos de esquina es el siguiente:
Punto de esquina Z = 300x + 160y O(0, 0) 0 C(16, 0) 4800 mi 1 (8, 16) 4960 segundo 1 (0, 24) 3840 Por lo tanto, el valor máximo de Z es 4960 en E 1 (8, 16).
Por lo tanto, se deben fabricar 8 unidades del artículo A y 16 unidades del artículo B por día para maximizar las ganancias.
Pregunta 30. Una empresa fabrica dos tipos de juguetes A y B. El tipo A requiere 5 minutos cada uno para cortar y 10 minutos cada uno para ensamblar. El tipo B requiere 8 minutos cada uno para cortar y 8 minutos cada uno para ensamblar. Hay 3 horas disponibles para cortar y 4 horas disponibles para ensamblar en un día. La ganancia es de 50 rupias cada uno en el tipo A y 60 rupias cada uno en el tipo B. ¿Cuántos juguetes de cada tipo debe fabricar la empresa en un día para maximizar la ganancia?
Solución:
Suponga que se fabricaron x juguetes de tipo A e y juguetes de tipo B.
La información dada se puede mostrar en la tabla de la siguiente manera:
Tiempo de corte (minutos) Tiempo de montaje (minutos) Juguete A(x) 5 10 Juguete B(y) 8 8 Disponibilidad 180 240 Las restricciones son
5x + 8y ≤ 180
10x + 8y ≤ 240
La ganancia es de 50 rupias cada uno en el tipo A y 60 rupias cada uno en el tipo B.
Por lo tanto, la ganancia obtenida en x juguetes de tipo A y y juguetes de tipo B es Rs 50x y Rs 60 y respectivamente.
La ganancia total es Z = 50x + 60y
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Maximizar Z = 50x + 60y
Sujeto a
5x + 8y ≤ 180
10x + 8y ≤ 240
Al principio convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
5x + 8y = 180,
10x + 8y = 240,
x = 0 y
y = 0
El área mostrada por 5x + 8y ≤ 180:
La línea 5x + 8y = 180 conecta los ejes de coordenadas en A 1 (36, 0) y B 1 (0, 45/2) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 5x +8y = 180.
Como, (0, 0) asegura el 5x + 8y = 180.
Así, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 5x + 8y ≤ 180.
El área mostrada por 10x + 8y ≤ 240:
La línea 10x + 8y = 240 se encuentra con los ejes de coordenadas en C 1 (24, 0) y D 1 (0, 30) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 10x + 8y = 240.
Como (0, 0) asegura la inecuación 10x + 8y ≤ 240.
Así, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 10x + 8y ≤ 240.
El área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Como todos los puntos en el primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Por lo tanto, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
5x + 8y ≤ 180,
10x + 8y ≤ 240,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes.
El área adecuada se muestra en la figura.
Los puntos de esquina son B 1 (0, 45/2), E 1 (12, 15) y C 1 (24, 0).
Los valores de Z en los puntos de las esquinas son
Puntos de esquina Z = 50x + 60y O 0 B 1 1350 mi 1 1500 C 1 1200 El valor máximo de Z es 1500 que está en E 1 (12, 15).
Por lo tanto, para obtener la máxima utilidad, se deben fabricar 12 unidades del juguete A y 15 unidades del juguete B.
Pregunta 31. Una empresa fabrica dos artículos A y B. Hay dos departamentos a través de los cuales se procesan estos artículos: (i) ensamblaje y (ii) departamentos de acabado. La capacidad máxima del primer departamento es de 60 horas semanales y la del otro departamento es de 48 horas semanales. El producto de cada unidad del artículo A necesita 4 horas en montaje y 2 horas en acabado y el de cada unidad B necesita 2 horas en montaje y 4 horas en acabado. Si la ganancia es de 6 rupias por cada unidad de A y de 8 rupias por cada unidad de B, encuentre el número de unidades de A y B que se producirán por semana para obtener la máxima ganancia.
Solución:
Suponga que se producen x unidades e y unidades de los artículos A y B respectivamente.
El número de artículos no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x, y ≥ 0 (siempre)
El producto de cada unidad del artículo A necesita 4 horas en montaje y el del artículo B necesita 2 horas en montaje y la capacidad máxima del departamento de montaje es de 60 horas a la semana.
4x + 2y ≤ 60
El producto de cada unidad del artículo A necesita 2 horas en acabado y el del artículo B necesita
4 horas en montaje y la capacidad máxima del departamento de acabados es de 48 horas semanales.
2x + 4y ≤ 48
Si la ganancia es de 6 rupias por cada unidad de A y de 8 rupias por cada unidad de B.
Por lo tanto, la ganancia obtenida de x unidades e y unidades de los artículos A y
B respectivamente es Rs 6x y Rs 8y respectivamente.
Ingreso total Z = 6x + 8y que se quiere maximizar.
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Z máx = 6x + 8y
Sujeto a restricciones
2x + 4y ≤ 48
4x + 2y ≤ 60
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
2x + 4y = 48,
4x + 2y = 60,
x = 0 y y = 0
Área mostrada por 2x + 4y ≤ 48:
La línea 2x + 4y = 48 conecta los ejes de coordenadas en A(24, 0) y B(0, 12) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 2x + 4y = 48.
Entonces, (0, 0) asegura que 2x + 4y = 48.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 2x + 4y ≤ 48.
El área muestra por 4x + 2y ≤ 60:
La línea 4x + 2y = 60 conecta los ejes de coordenadas en C(15, 0) y D(0, 30) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 4x + 2y = 60.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación 4x + 2y ≤ 60.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 4x + 2y ≤ 60.
Área muestra por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
2x + 4y ≤ 48,
4x + 2y ≤ 60,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 12), E(12, 6) y C(15, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
Puntos de esquina Z = 6x + 8y O 0 B 96 mi 120 C 90 El valor máximo de Z es 120 que se obtiene en E(12, 6).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 120 rupias que se obtendrán cuando se vendan 12 unidades del artículo A y
Se fabricaron 6 unidades del artículo B
Pregunta 32. Una empresa fabrica los artículos A y B y el número total de artículos que puede fabricar en un día es 24. Se tarda una hora en fabricar un artículo A y media hora en fabricar un artículo B. El tiempo máximo disponible por día es de 16 horas. La ganancia en un artículo de A es de 300 rupias y en un artículo de B es de 160 rupias. ¿Cuántos artículos de cada tipo se deben producir para maximizar la ganancia? resolver el problema gráficamente.
Solución:
Suponga que x e y son el número de artículos de A y B que deben producirse cada día para maximizar la ganancia.
El número de elementos no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x, y ≥ 0
También se da que la empresa puede producir como máximo 24 artículos en un día.
Por lo tanto,
x+ y ≤ 24
Además, el tiempo necesario para hacer un artículo de A es una hora y el tiempo necesario para hacer un artículo de B es media hora.
Por lo tanto, el tiempo necesario para producir x artículos de A e y artículos de B es de horas.
Sin embargo, el tiempo máximo disponible en un día es de 16 horas.
Por lo tanto,
x + y/2 ≤ 16
Se da que la ganancia en un artículo de A es de 300 rupias y en un artículo de B es de 160 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida de x artículos de A e y artículos de B es Rs 300x y Rs 160y respectivamente.
Beneficio total Z = 300x + 160y
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Maximizar Z = 300x + 160y
Sujeto a restricciones:
x + y ≤ 24,
x ≥ 0,
y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 24,
x + y/2 ≤ 16
x = 0 y y = 0
Área muestra por x + y ≤ 24:
La línea x + y = 24 conecta los ejes de coordenadas en A(24, 0) y B(0, 24) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y = 24.
Entonces, (0, 0) asegura que x + y = 24.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación x + y ≤ 24.
Área muestra por x + y/2 ≤ 16
La línea x + y/2 ≤ 16 conecta los ejes de coordenadas en C(16, 0) y D(0, 32) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y/2 = 16
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación x + y/2 ≤ 16.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + y/2 ≤ 16.
Área muestra por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones x + y ≤ 24, x + y/2 ≤ 16, x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes.
El área adecuada se muestra en la figura.
En el gráfico anterior, el área sombreada es el área adecuada. Los puntos de las esquinas son O(0, 0), C(16, 0), E(8, 16) y B(0, 24).
Los valores de la función objetivo Z en los puntos de esquina del área adecuada se dan en la siguiente tabla:
Puntos de esquina Z = 300x + 160y O(0, 0) 0 C(16, 0) 4800 E(8, 16) 4960
Máximo
b(0, 24) 3840 Entonces, Z es máximo en x = 8 y y = 16 y el valor máximo de Z en este punto es 4960.
Por lo tanto, se deben producir 8 artículos de A y 16 artículos de B para maximizar la utilidad y
la ganancia máxima es Rs 4960.
Pregunta 33. Una empresa vende dos productos diferentes, A y B. Los dos productos se producen en un proceso de producción común, que tiene una capacidad total de 500 horas-hombre. Se necesitan 5 horas para producir una unidad de A y 3 horas para producir una unidad de B. Se ha estudiado el mercado y los funcionarios de la compañía creen que el número máximo de unidades de A que se puede vender es 70 y el de B es 125. Si la ganancia es de 20 rupias por unidad para el producto A y de 15 rupias por unidad para el producto B, ¿cuántas unidades de cada producto se deben vender para maximizar la ganancia?
Solución:
Suponga que se fabricaron x unidades del producto A y y unidades del producto B.
Entonces, x ≥ 0, y ≥ 0
Se necesitan 5 horas para producir una unidad de A y 3 horas para producir una unidad de B.
Los dos productos se producen en un proceso de producción común, que tiene una capacidad total de 500 horas-hombre.
5x + 3y ≤ 500
El número máximo de unidades de A que se pueden vender es 70 y el de B es 125.
x ≤ 70y ≤ 125
Si la ganancia es de 20 rupias por unidad para el producto A y 15 rupias por unidad para el producto B
Por lo tanto, la ganancia x unidades del producto A y y unidades del producto B es Rs 20x y Rs 15y respectivamente.
Beneficio total = Z = 20x + 15y
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Z máx = 20x + 15y
Sujeto a restricciones
5x + 3y ≤ 500,
x ≤ 70,
y ≤ 125,
x ≥ 0, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
5x + 3y = 500,
x = 70,
y = 125,
x = 0 y y = 0
El área muestra por 5x + 3y ≤ 500
La línea 5x + 3y = 500 conecta los ejes de coordenadas en A(100, 0) y B(0, 500/3) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 5x +3y = 500.
Entonces, (0, 0) asegura 5x + 3y = 500.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 5x + 3y ≤ 500.
Área muestra por x ≤ 70:
La recta x = 70 es la recta que pasa por C(70, 0) y es paralela al eje Y.
El área a la izquierda de la línea x = 70 asegurará la inecuación x ≤ 70.
El área muestra por y ≤ 125:
La recta y = 125 es la recta que pasa por D(0, 125) y es paralela al eje X.
El área debajo de la línea y = 125 asegurará la inecuación y ≤ 125.
Área muestra por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
5x + 3y ≤ 500,
x ≤ 70,
y ≤ 125,
x ≥ 0 y y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), D(0, 125), E(25, 125), F(70, 50) y C(70, 0).
Los valores de Z en los puntos de las esquinas son
Puntos de esquina Z = 20x + 15y O 0 D 1875 mi 2375 F 2150 C 1400 El valor máximo de Z es 2375 que está en E(25, 125).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de Rs 2375, se deben fabricar 25 unidades de A y 125 unidades de B.
Pregunta 34. Un fabricante de cajas hace cajas grandes y pequeñas a partir de un gran trozo de cartón. Las cajas grandes necesitan 4 metros cuadrados por caja, mientras que las cajas pequeñas necesitan 3 metros cuadrados por caja. Se necesita que el fabricante fabrique al menos tres cajas grandes y al menos el doble de cajas pequeñas que de cajas grandes. Si hay 60 metros cuadrados de cartón en stock, y si las ganancias de las cajas grandes y pequeñas son de 3 rupias y 2 rupias por caja, ¿cuántos de cada uno deben fabricarse para maximizar la ganancia total?
Solución:
Suponga que se fabrican x cajas grandes y y cajas pequeñas. El número de cajas no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x ≥ 0, y ≥ 0 (siempre)
Las cajas grandes necesitan 4 metros cuadrados por caja mientras que las cajas pequeñas necesitan 3 metros cuadrados por caja y
si hay 60 metros cuadrados de cartón en stock. 4x + 3y ≤ 60
El fabricante es necesario para hacer al menos tres cajas grandes y al menos dos veces
tantas cajas pequeñas tantas cajas grandes.
x ≥ 3y ≥ 2x
Si las ganancias de las cajas grandes y pequeñas son de 3 rupias y 2 rupias por caja.
Por lo tanto, la ganancia obtenida por él en x cajas grandes y y cajas pequeñas es Rs 3x y Rs 2y respectivamente.
Beneficio total = Z = 3x + 2y
Por lo tanto, la formulación matemática del LPP dado es
Z máx = 3x + 2y
Sujeto a restricciones
4x + 3y ≤ 60
X ≥ 3
y ≥ 2x
x ≥ 0, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
4x + 3y = 60,
x = 3,
y = 2x,
x = 0 y
y = 0
Área mostrada por 4x + 3y ≤ 60:
La línea 4x + 3y = 60 conecta los ejes de coordenadas en A(15, 0) y B(0, 20) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 4x + 3y = 60.
Entonces, (0, 0) asegura que 4x + 3y = 60.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 4x + 3y ≤ 60.
Área mostrada por x ≥ 3:
La recta x = 3 es la recta que pasa por 3,0 y es paralela al eje Y.
El área a la derecha de la línea x = 3 asegurará la inecuación x ≥ 3.
Área mostrada por y ≥ 2x:
La recta y = 2x es la recta que pasa por (0, 0).
El área sobre la línea y = 2x asegurará la inecuación y ≥ 2x.
Como si tomamos un ejemplo tomando un punto 5, 1 debajo de la línea y = 2x.
Aquí, 1 < 10 lo que no asegura la inecuación y ≥ 2x.
Por lo tanto, el área sobre la línea y = 2x asegurará la inecuación y ≥ 2x.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
4x + 3y ≤ 60,
x ≥ 3,
y ≥ 2x,
x ≥ 0 y y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son E(3, 16), D(6, 12) y C(3, 6).
Los valores de Z en los puntos de las esquinas son
Puntos de esquina Z = 3x + 2y mi 41 D 42 C 21 El valor máximo de Z es 42 que está en D(6, 12).
Por lo tanto, para el beneficio máximo es de 42 rupias, 6 unidades de cajas grandes y
Se deben fabricar 12 unidades de cajas más pequeñas.
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Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA