Pregunta 35. Un fabricante fabrica dos productos, A y B. El producto A se vende a 200 rupias cada uno y tarda media hora en fabricarse. El producto B se vende a 300 rupias cada uno y tarda 1 hora en fabricarse. Hay un pedido permanente de 14 unidades del producto A y 16 unidades del producto B. Una semana laboral consta de 40 horas de producción y la facturación semanal no debe ser inferior a 10 000 rupias. Si la ganancia de cada uno de los productos A es de 20 rupias y un producto B es de 30 rupias, entonces, ¿cuántos de cada uno se deben producir para que la ganancia sea máxima? Además, encuentre la ganancia máxima.
Solución:
Suponga que se fabricaron x unidades del producto A y y unidades del producto B.
El número de unidades no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x, y ≥ 0 (siempre)
Según la pregunta, la información dada se puede mostrar como
Precio de venta $ Horas de tiempo de fabricacion Producto A(x) 200 0.5 Producto por) 300 1 Además, la disponibilidad de tiempo es de 40 horas y los ingresos deben ser de al menos Rs 10000.
Entonces, además, se da que hay un pedido permanente de 14 unidades del producto A y 16 unidades del producto B.
Por lo tanto, las restricciones son
200x + 300y ≥ 100000,
5x + y ≤ 40
x ≥ 14
y ≥ 16
Si la ganancia en cada producto A es de 20 rupias y en el producto B es de 30 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida en x unidades del producto A y y unidades del producto B es Rs 20x y Rs 30y respectivamente.
Beneficio total = Z = 20x + 30y que se debe maximizar
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 20x + 30y
Sujeto a restricciones
2x + 3y ≥ 100
x + 2y ≤ 80
x ≥ 14
y ≥ 16
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
2x + 3y = 100,
x + 2y = 80,
X = 14,
y = 16,
x = 0 y
y = 0.
El área muestra por 2x + 3y ≥ 100
La línea 2x + 3y = 100 conecta los ejes de coordenadas en A(50, 0) y B(0, 100/3) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 2x + 3y = 100 .
Entonces, (0, 0) no asegura que 2x + 3y = 100.
Entonces, el área que no tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 2x + 3y ≥ 100.
Área muestra por x + 2y ≤ 80:
La línea x + 2y = 80 conecta los ejes de coordenadas en C(80, 0) y D(0, 40) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + 2y = 80.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación x + 2y ≤ 80.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación x + 2y ≤ 80.
Área mostrada por x ≥ 14
x = 14 es la recta que pasa por 14,0 y es paralela al eje Y.
El área a la derecha de la línea x = 14 asegurará la inecuación.
Área mostrada por y ≥ 16
y = 16 es la recta que pasa por 0, 16 y es paralela al eje X.
El área sobre la línea y = 16 asegurará la inecuación.
Área muestra por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
2x + 3y ≥ 100,
x + 2y ≤ 80,
x ≥ 14,
y ≥ 16,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas del área adecuada son E(26, 16), F(48, 16), G(14, 33) y H(14, 24)Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
punto de esquina Z= 20x + 30y mi 1000 F 1440 GRAMO 1270 H 1000 El valor máximo de Z es Rs 1440 que se obtiene en F(48, 16).
Por lo tanto,
La ganancia máxima es de Rs 1440 que obtendrá cuando se fabriquen 48 unidades del producto A y 16 unidades del producto B.
Pregunta 36. Si un joven conduce su vehículo a 25 km/h, tiene que gastar 2 por km en gasolina. Si lo conduce a una velocidad mayor de 40 km/h, el costo de la gasolina aumenta a 5 por km. Tiene 100 para gastar en gasolina y viajar en una hora. Exprese esto a un LPP y resuelva lo mismo.
Solución:
Suponga que el hombre viaja x km cuando la velocidad es de 25 km/hora e y km cuando la velocidad es de 40 km/hora.
Por lo tanto, la distancia total recorrida es (x + y) km.
Ahora, se da que el hombre tiene 100 rupias para gastar en gasolina.
Costo total de gasolina = 2x + 5y ≤ 100
Ahora, el tiempo que tarda en viajar x km = x/25 h
Tiempo necesario para viajar y km = y/40 h
Ahora bien, se da que el tiempo máximo es de 1 hora.
Asi que,
x/25 + y/40 ≤ 1
⇒ 8x + 5y ≤ 200
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = x + y
Sujeto a las restricciones
2x + 5y ≤ 100
8x + 5y ≤ 200
x ≥ 0, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como,
Las coordenadas de los puntos de las esquinas del área adecuada son O(0, 0), A(25, 0), B(50/3, 40/3) y C(0, 20).El valor de la función objetivo en estos puntos se dan en la siguiente tabla
Puntos de esquina Z = x + y 0, 0 0 + 0 = 0 25, 0 25 + 0 = 25 (50/3, 40/3) 50/3 + 40/3 = 30 0, 20 0 + 20 = 20 Entonces, el valor máximo de Z es 30 en x = 50/3, y = 40/3.
Por tanto, la distancia máxima que el hombre puede recorrer en una hora es de 30 km.
Por tanto, la distancia recorrida por el hombre a la velocidad de 25 km/hora es 50/3 km, y la distancia recorrida por él a la velocidad de 40 km/hora es 40/3 km.
Pregunta 37. Una empresa petrolera tiene dos depósitos, A y B, con capacidades de 7000 litros y 4000 litros respectivamente. La empresa debe suministrar aceite a tres surtidores de gasolina, D, E, F cuyos requerimientos son de 4500, 3000 y 3500 litros respectivamente. La distancia en km entre los depósitos y los surtidores de gasolina se indica en la siguiente tabla:
| Distancia en (km) | ||
| desde/hasta | A | B |
| D | 7 | 3 |
| mi | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
Suponiendo que el costo de transporte por km es de 1,00 rupias por litro, ¿cómo debe programarse la entrega para que el costo de transporte sea mínimo?
Solución:
Suponga que se suministran x e y litros de aceite desde A a las bombas de gasolina D y E.
Entonces, (7000 − x − y) L se suministrará desde A a la bomba de gasolina F.
El requerimiento en la bomba de gasolina D es de 4500 L.
Dado que x L se transportan desde el depósito A, los (4500 −x) L restantes se transportarán desde el surtidor de gasolina B
De manera similar, (3000 − y) L y [3500 − (7000 − x − y)] L, es decir, (x + y − 3500) L se transportará desde el depósito B hasta el surtidor de gasolina E y F, respectivamente.El problema dado se puede mostrar en forma de diagrama, por lo que sigue
Como la cantidad de aceite no es negativa, por lo tanto,
x ≥ 0, y ≥ 0 y (7000 – x – y) ≥ 0
x ≥ 0,
y ≥ 0 y
x + y ≤ 7000
4500 – x ≥ 0, 3000 – y ≥ 0 y x + y – 3500 ≥ 0
x ≤ 4500,
y ≤ 3000, y
x + y ≥ 3500
Costo de transportar 10 L de gasolina = Re 1
Costo de transportar 1 L de gasolina = Rs 1/10
Por lo tanto, el costo total de transporte está dado por,
z = 7/10 × x + 6/10y + 3/10(7000 – x – y) + 3/10(4500 – x) + 4/10(3000 – y) + 2/10(x + y – 3500 )
= 0,3x + 0,1y + 3950
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z = 0.3x + 0.1y + 3950
Sujeto a las restricciones,
x + y ≤ 7000
x ≤ 4500
y ≤ 3000
x + y ≥ 3500
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 7000,
x = 4500,
y = 3000,
x + y = 3500,
x = 0 y
y = 0
Área muestra por x + y ≤ 7000:
La línea x + y = 7000 conecta los ejes de coordenadas en A(7000, 0) y B(0, 7000) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y = 7000 .
Entonces, (0, 0) asegura que x + y = 7000.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + y ≤ 7000.
Área mostrada por x ≤ 4500:
La línea x = 4500 es la línea que pasa por C(4500, 0) y es paralela al eje Y.
El área a la izquierda de la línea x = 4500 asegurará la inecuación x ≤ 4500.
El área muestra por y ≤ 3000:
La recta y = 3000 es la recta que pasa por D(0, 3000) y es paralela al eje X.
El área debajo de la línea y = 3000 asegurará la inecuación y ≤ 3000.
Área muestra por x + y ≥ 3500:
La línea x + y = 7000 conecta los ejes de coordenadas en E13500, 0 y F 1 (0, 3500) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y = 3500 .
Entonces, (0, 0) asegura que x + y = 3500.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación
x + y ≥ 3500.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
x + y ≤ 7000,
x ≤ 4500,
y ≤ 3000,
x + y ≥ 3500,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes.
Los puntos de esquina del área adecuada son E(3500, 0), C(4500, 0), I(4500, 2500), H(4000, 3000) y G(500, 3000).Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes.
punto de esquina Z = 0,3x + 0,1y + 3950 mi (3500, 0) 5000 C (4500, 0) 5300 yo (4500, 2500) 5550 H (4000, 3000) 5450 G (500, 3000) 4400 El valor mínimo de Z es 4400 en G (500, 3000).
Por lo tanto, el aceite suministrado desde el depósito A es 500 L, 3000 L y 3500 L y desde el depósito B es 4000 L, 0 L y 0 L a las bombas de gasolina D, E y F respectivamente.
Entonces, el costo mínimo de transporte es de Rs 4400.
Pregunta 38. Una pequeña empresa fabrica anillos y strings de oro. El número total de anillos y strings fabricados por día es como máximo 24. Se tarda 1 hora en hacer un anillo y 30 minutos en hacer una string. La cantidad máxima de horas disponibles por día es 16. Si la ganancia en un anillo es de 300 rupias y la de una string es de 190 rupias, encuentre la cantidad de anillos y strings que se deben fabricar por día, de modo que se obtenga la ganancia máxima . Conviértelo en un LPP y resuélvelo gráficamente.
Solución:
Suponga que la empresa fabrica x anillos de oro y y strings por día.
El número de anillos y strings de oro no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x, y ≥0 (siempre)
Se da que el número total de anillos y strings de oro fabricados al día es como máximo de 24.
Por lo tanto,
x + y ≤ 24
El anillo de oro tarda 1 hora en fabricarse y la string tarda 30 min, es decir, 0,5 horas en fabricarse.
El número máximo de horas disponibles por día es de 16 horas.
Por lo tanto,
x + 0.5y ≤ 16
La ganancia en un anillo es de 300 rupias y en una string es de 190 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida de x anillos de oro y strings y es Rs 300x y Rs 190y respectivamente.
Por lo tanto,
Beneficio total, Z = 300x + 190y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 300x + 190y
Sujeto a las restricciones
x + y ≤ 24
x + 0.5y ≤ 16
x, y ≥0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 24,
x + 0.5y = 16,
x = 0 y y = 0
Área mostrada por x + y ≤ 24:
La línea x + y = 24 conecta los ejes de coordenadas en A(24, 0) y B(0, 24) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y = 24.
Entonces, (0, 0) asegura que x + y = 24. Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación
x + y ≤ 24.
Área mostrada por x + 0.5y ≤ 16:
La línea x + 0.5y = 16 conecta los ejes de coordenadas en C(16, 0) y D(0, 32) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + 0.5y = 16.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación x + 0.5y ≤ 16.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + 0.5y ≤ 16.
Área muestra por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
x + y ≤ 24,
x + 0.5y ≤ 16,
X ≥ 0
y y ≥ 0 son los siguientes.
El área adecuada determinada por las restricciones del sistema es la siguiente:
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), C(16, 0), E(8, 16) y B(0, 24).El valor de Z en estos puntos de esquina es el siguiente
Punto de esquina Z = 300x + 190y O(0, 0) 0 C(16, 0) 4800 E(8, 16) 5440 b(0, 24) 4560 Por lo tanto, el valor máximo de Z es 5440 en E(8, 16).
Por lo tanto, los 8 anillos de oro y las 16 strings deben fabricarse por día para maximizar las ganancias.
Pregunta 39. Una biblioteca tiene que acomodar dos tipos diferentes de libros en un estante. Los libros tienen 6 cm y 4 cm de grosor y pesan 1 kg y 12 kg cada uno respectivamente. El estante mide 96 cm de largo y casi puede soportar un peso de 21 kg. ¿Cómo se debe llenar el estante con los libros de dos tipos para incluir la mayor cantidad de libros? Conviértelo en un LPP y resuélvelo gráficamente.
Solución:
Suponga que se acomodaron x libros de primer tipo e y libros de segundo tipo. El número de libros no puede ser negativo.
Por lo tanto, x, y ≥ 0
Según la pregunta, la información dada se puede mostrar como:
Espesor cm Peso kg Primer tipo (x) 6 1 Segundo tipo (y) 4 1.5 Capacidad del estante 96 21 Por lo tanto, las restricciones son
6x + 4y ≤ 96
x + 1. 5y ≤ 21
Número de libros = Z = x + y que se quiere maximizar
Por lo tanto,
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = x + y
Sujeto a restricciones
6x + 4y ≤ 96
x + 1. 5y ≤ 21
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
6x + 4y = 96,
x + 1.5y = 21,
x = 0 y
y = 0
El área muestra por 6x + 4y ≤ 96:
La línea 6x + 4y = 96 conecta los ejes de coordenadas en A16, 0 y B(0, 24) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 6x + 4y = 96.
Entonces, (0, 0) asegura que 6x + 4y = 96.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 6x + 4y ≤ 96.
Área muestra por x + 1.5y ≤ 21:
La línea x + 1.5y = 21 conecta los ejes de coordenadas en C(21, 0) y D(0, 14) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + 1.5y = 21.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación x + 1.5y ≤ 21.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + 1.5y ≤ 21.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
6x + 4y ≤ 96,
x + 1.5y ≤ 21,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), D(0, 14), E(12, 6), A(16, 0) Los valores de Z en estos puntos de las esquinas son los siguientes
punto de esquina Z = x + y O 0 D 14 mi 18 A dieciséis El valor máximo de Z es 18 que se obtiene en E(12, 6).
Por lo tanto, el número máximo de libros que se pueden colocar en el estante es de 18, donde 12 libros son del primer tipo y 6 libros del otro tipo.
Pregunta 40. Una fábrica fabrica raquetas de tenis y bates de cricket. Una raqueta de tenis requiere 1,5 horas de tiempo de máquina y 3 horas de tiempo de artesano en su fabricación, mientras que un bate de cricket requiere 3 horas de tiempo de máquina y 1 hora de tiempo de artesano. En un día, la fábrica tiene la disponibilidad de no más de 42 horas de tiempo de máquina y 24 horas de tiempo de artesano. Si la ganancia de una raqueta y un bate es de Rs 20 y Rs 10 respectivamente, encuentre el número de raquetas de tenis y bates de cricket que la fábrica debe fabricar para obtener la máxima ganancia. Conviértelo en un LPP y resuélvelo gráficamente.
Solución:
Suponga que se vendieron x número de raquetas de tenis y y número de bates de cricket.
El número de raquetas de tenis y pelotas de cricket no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x, y ≥ 0 (siempre)
Se da que una raqueta de tenis requiere 1.5 horas de tiempo de maquina y 3 horas de artesano.
tiempo en su fabricación, mientras que un bate de cricket requiere 3 horas de tiempo de máquina y 1 hora de tiempo de artesano.
Además, la fábrica tiene la disponibilidad de no más de 42 horas de tiempo de máquina y 24 horas de tiempo de artesano.
Por lo tanto, 1. 5x + 3y ≤ 423x + y ≤ 24
Si la ganancia de una raqueta y un bate es de 20 rupias y 10 rupias respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia obtenida con x raquetas de tenis y y bates de cricket es Rs 20x y Rs 10y respectivamente.
Beneficio total = Z = 20x + 10y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 20x + 10y
Sujeto a restricciones:
1. 5x + 3y ≤ 423
x + y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones, así sigue
1.5x + 3y = 42, 3x + y = 24, x = 0 y y = 0
El área muestra por 1.5x + 3y ≤ 42:
La línea 1.5x + 3y = 42 conecta los ejes de coordenadas en A(28, 0) y B(0, 14) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 1.5x + 3y = 42. entonces, (0, 0) aseguramos 1.5x + 3y = 42.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 1.5x + 3y ≤ 42.
Área muestra por 3x + y ≤ 24:
La línea 3x + y = 24 conecta los ejes de coordenadas en C18, 0 y D 1 (0, 24) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 3x+y=24.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación 3x + y ≤ 24.
Entonces, el área que tiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 3x + y ≤ 24.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0 e y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
1.5x + 3y ≤ 42,
3x + y ≤ 24,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
En el gráfico anterior, el área sombreada es el área adecuada.Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 14), E(4, 12) y C(8, 0).
Los valores de la función objetivo Z en los puntos de esquina del área adecuada se dan en la siguiente tabla:
Puntos de esquina Z = 20x +10y O(0, 0) 0 b(0, 14) 140 E(4, 12) 200 Máximo
C(8, 0) 160 Entonces, Z es máximo en x = 4 y y = 12 y el valor máximo de Z en este punto es 200.
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 200 rupias que se obtendrán cuando se vendan 4 raquetas de tenis y 12 bates de cricket.
Pregunta 41. Un comerciante planea vender dos tipos de computadoras personales, un modelo de escritorio y un modelo portátil que costarán Rs 25 000 y Rs 40 000 respectivamente. Estima que la demanda mensual total de computadoras no superará las 250 unidades. Determine la cantidad de unidades de cada tipo de computadora que el comerciante debe almacenar para obtener la máxima ganancia si no quiere invertir más de 70 lakhs de rupias y su ganancia en el modelo de escritorio es de 4500 rupias y en el modelo portátil es de 5000 rupias. Haz un LPP y resuélvelo gráficamente.
Solución:
Suponga que x e y son el número de modelo de escritorio y modelo portátil respectivamente.
El número de modelo de escritorio y modelo portátil no puede ser negativo.
Por lo tanto,
Se da que no existirá la demanda mensual de 250 unidades.
Por lo tanto,
x + y ≤ 250
El costo del modelo de escritorio y portátil es de 25.000 rupias y 40.000 rupias respectivamente.
Por lo tanto, el costo del modelo de escritorio x y el modelo portátil y es de 25 000 rupias y 40 000 rupias respectivamente, y no quiere invertir más de 70 lakhs de rupias.
25000x + 40000y ≤ 7000000
La ganancia en el modelo de escritorio es de 4500 rupias y en el modelo portátil es de 5000 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida por el modelo de escritorio x y el modelo portátil y es Rs 4500x y Rs 5000y respectivamente.
Beneficio total = Z = 4500x + 5000y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 4500x + 5000y
Sujeto a restricciones:
x + y ≤ 250
25000x + 40000y ≤ 7000000
x, y
Primero transformaremos in-ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera
x + y = 250,
25000x + 40000y = 7000000,
x = 0 y
y = 0
Área mostrada por x + y ≤ 250:
La línea x + y = 250 conecta los ejes de coordenadas en A250, 0 y B(0, 250) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta x + y = 250.
Entonces, (0, 0) asegura x + y = 250.
Entonces, el Área que contiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + y ≤ 250.
Área mostrada por 25000x + 40000y ≤ 7000000:
La línea 25000x + 40000y = 7000000 conecta los ejes de coordenadas en C(280, 0) y D(0, 175) respectivamente.
Al conectar estos puntos obtendremos la línea 25000x + 40000y = 7000000.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación 25000x + 40000y ≤ 7000000.
Entonces, el Área que contiene el origen muestra el conjunto solución de la ecuación 25000x + 40000y ≤ 7000000.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el Área mostrada por las ecuaciones internas x ≥ 0, y y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones x + y ≤ 250, 25000x + 40000y ≤ 7000000, x ≥ 0 e y ≥ 0 son las siguientes Los puntos de las esquinas son O(0, 0), D(0,
175), E (200, 50) y A(250, 0).Los valores de la función objetivo Z en los puntos de esquina del Área adecuada se dan en la siguiente tabla
Puntos de esquina Z = 4500x + 5000y O(0, 0) 0 D(0, 175) 875000 E2(00, 50) 1150000 Máximo
A(250, 0) 1125000 Entonces, Z es máximo en x = 200 e y = 50 y el valor máximo de Z en este punto es 1150000.
Por lo tanto, se deben vender 200 modelos de escritorio y 50 unidades portátiles para maximizar la utilidad.
Pregunta 42. Una sociedad cooperativa de agricultores tiene 50 hectáreas de tierra para sembrar dos cultivos X e Y. Las ganancias de los cultivos X e Y por hectárea se estiman en 10.500 y 9.000 respectivamente. Para el control de malezas se debe utilizar un herbicida líquido para los cultivos X e Y a razón de 20 litros y 10 litros por hectárea, respectivamente. Además, no se deben usar más de 800 litros de herbicida para proteger a los peces y la vida silvestre usando un estanque que recolecte el drenaje de esta tierra. ¿Cuánta tierra debe asignarse a cada cultivo para maximizar la ganancia total de la sociedad?
Solución:
Suponga que la tierra asignada para el cultivo X es x hectáreas y el cultivo Y es y hectáreas.
La superficie máxima de la tierra disponible para dos cultivos es de 50 hectáreas.
Por lo tanto,
x + y ≤ 50
El herbicida líquido a utilizar para los cultivos X e Y son a razón de 20 litros y 10 litros por hectárea, respectivamente.
La cantidad máxima de herbicida a utilizar es de 800 litros.
Por lo tanto,
20x + 10 y ≤ 800
⇒ 2x + y ≤ 80
Las ganancias de los cultivos X e Y por hectárea son 10.500 y 9.000, respectivamente.
Por tanto, beneficio total = (10.500x + 9.000y)
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 10500x + 9000y
Sujeto a las restricciones
x + y ≤ 50
2x + y ≤ 80
x ≥ 0,
y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como,
Las coordenadas de los puntos de las esquinas del área adecuada son O(0, 0), A(40, 0), B(30, 20) y C(0, 50).El valor de la función objetivo en estos puntos se dan en la siguiente tabla
Puntos de esquina Z = 10500x + 9000y O(0, 0) 10500 × 0 + 9000 × 0 = 0 UN(40, 0) 10500 × 40 + 9000 × 0 = 420000
segundo(30, 20) 10500 × 30 + 9000 × 20 = 495000
C(0, 50) 10500 × 0 + 9000 × 50 = 450000
Entonces, el valor máximo de Z es 495000 en x = 30 y y = 20.
Por lo tanto, se deben destinar 30 hectáreas de tierra para el cultivo X y 20 hectáreas
de tierra debe asignarse para el cultivo Y.
Entonces, la ganancia máxima de la sociedad es 4,95,000.
Pregunta 43. Una empresa manufacturera fabrica dos modelos A y B de un producto. Cada pieza del modelo A requiere 9 horas de trabajo para la fabricación y 1 hora de trabajo para el acabado. Cada pieza del modelo B requiere 12 horas de trabajo para la fabricación y 3 horas de trabajo para el acabado. Para fabricación y acabado, las horas de mano de obra máximas disponibles son 180 y 30 respectivamente. La empresa obtiene una ganancia de 8000 por cada pieza del modelo A y 12000 por cada pieza del modelo B. ¿Cuántas piezas del modelo A y del modelo B deben fabricarse por semana para obtener la máxima ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima por semana?
Solución:
Supongamos que se fabrican x piezas del modelo A e y piezas del modelo B por semana.
Dado que cada pieza del modelo A requiere 9 horas de trabajo y cada pieza del modelo B requiere 12 horas de trabajo para su fabricación.
Por lo tanto, x piezas del modelo A e y piezas del modelo B requieren (9x + 12y) horas de mano de obra para su fabricación.
Pero, las horas de mano de obra máximas disponibles para la fabricación son 180.
Por lo tanto,
9x + 12y ≤ 180
⇒ 3x + 4y ≤ 60
De manera similar, cada pieza del modelo A requiere 1 hora de mano de obra y cada pieza del modelo B
requiere 3 horas de mano de obra para el acabado,
Por lo tanto, x piezas del modelo A e y piezas del modelo B requieren (x + 3y) horas de mano de obra para su acabado.
Pero, las horas máximas de mano de obra disponibles para el acabado son 30.
Por lo tanto,
x + 3y ≤ 30
La ganancia de cada pieza del modelo A es de 8.000 y de cada pieza del modelo B es de 12.000.
Por lo tanto, la ganancia total de x piezas del modelo A e y piezas del modelo B es (8,000x + 12,000y).
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 8000x + 12000y
Sujeto a las restricciones
3x + 4y ≤ 60
x + 3y ≤ 30
x, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como
Las coordenadas de los puntos de las esquinas del área adecuada son O(0, 0), A(20, 0), B(12, 6) y C(0, 10) ).El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 8000x + 12000y O(0, 0) 8000 × 0 + 12000 × 0 = 0 A(20, 0) 8000 × 20 + 12000 × 0 = 160000 B(12, 6) 8000 × 12 + 12000 × 6 = 168000 → Máximo
C(0, 10) 8000 × 0 + 12000 × 10 = 120000 El valor máximo de Z es 168000 en x = 12, y = 6.
Por lo tanto, la empresa fabricante debe producir 12 piezas del modelo A y
6 piezas del modelo B para obtener el máximo beneficio.
Entonces, la ganancia máxima es 1,68,000.
Pregunta 44. Una fábrica fabrica raquetas de tenis y bates de cricket. Una raqueta de tenis requiere 1,5 horas de tiempo de máquina y 3 horas de tiempo de artesano en su fabricación, mientras que un bate de cricket requiere 3 horas de tiempo de máquina y 1 hora de tiempo de artesano. En un día, la fábrica tiene la disponibilidad de no más de 42 horas de tiempo de máquina y 24 horas de tiempo de artesano.
(i) ¿Qué número de raquetas y bates se deben fabricar para que la fábrica funcione a plena capacidad?
(ii) Si la ganancia de una raqueta y un bate es de 20 rupias y 10 rupias respectivamente, encuentre la ganancia máxima de la fábrica cuando funciona a plena capacidad.
Solución:
Suponga que se vendieron x número de raquetas de tenis y y número de bates de cricket.
El número de raquetas de tenis y pelotas de cricket no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x ≥ 0, y ≥ 0
Se da que una raqueta de tenis requiere 1,5 horas de tiempo de máquina y 3 horas de tiempo de artesano.
en su fabricación, mientras que un bate de cricket requiere 3 horas de tiempo de máquina y 1 hora de tiempo de artesano.
Además, la fábrica tiene la disponibilidad de no más de 42 horas de tiempo de máquina y 24 horas de tiempo de artesano.
Por tanto, 1 · 5x + 3y ≤ 423x + y ≤ 24
Si la ganancia de una raqueta y un bate es de 20 rupias y 10 rupias respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia obtenida con x raquetas de tenis y y bates de cricket es Rs 20x y Rs 10y respectivamente.
Beneficio total = Z = 20x + 10y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 20x + 10y
Sujeto a restricciones:
1 · 5x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
Primero transformaremos in-ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera:
1.5x + 3y = 42,
3x + y = 24,
x = 0 y
y = 0
Área mostrada por 1.5x + 3y ≤ 42:
La línea 1.5x + 3y = 42 conecta los ejes de coordenadas en A(28, 0) y B(0, 14) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la recta 1.5x + 3y = 42.
Entonces, (0, 0) asegura 1.5x + 3y = 42.
Entonces, el Área que contiene el origen muestra el conjunto solución de la ecuación 1.5x + 3y ≤ 42.
Área mostrada por 3x + y ≤ 24:
La línea 3x + y = 24 conecta los ejes de coordenadas en C(8, 0) y D(0, 24) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la línea 3x + y = 24. Entonces, 0, 0 asegura la inecuación 3x + y ≤ 24.
Entonces, el Área que contiene el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 3x + y ≤ 24.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el Área mostrada por las ecuaciones internas x ≥ 0, y y ≥ 0.
El Área adecuada determinada por el sistema de restricciones
1.5x + 3y ≤ 42,
3x + y ≤ 24,
x ≥ 0 y
y ≥ 0 son los siguientes
En el gráfico anterior, el Área sombreada es el Área adecuada.Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 14), E(4, 12) y C(8, 0).
Los valores de la función objetivo Z en los puntos de esquina del Área adecuada se dan en la siguiente tabla
Puntos de esquina Z = 20x +10y O(0, 0) 0 B (0, 14) 140 E (4, 12) 200 Máximo
C(8, 0) 160 Entonces, Z es máximo en x = 4 y y = 12 y el valor máximo de Z en este punto es 200.
(i) Se deben fabricar 4 raquetas de tenis y 12 bates de cricket para que la fábrica funcione a plena capacidad.
(ii) La ganancia máxima de la fábrica cuando funciona a plena capacidad es de 200 rupias.
Pregunta 45. Un comerciante planea vender dos tipos de computadoras personales, un modelo de escritorio y un modelo portátil que costarán Rs 25 000 y Rs 40 000 respectivamente. Estima que la demanda mensual total de computadoras no superará las 250 unidades. Determine la cantidad de unidades de cada tipo de computadora que el comerciante debe almacenar para obtener la máxima ganancia si no quiere invertir más de 70 lakhs de rupias y su ganancia en el modelo de escritorio es de 4500 rupias y en el modelo portátil es de 5000 rupias.
Solución:
Suponga que x e y son el número de modelo de escritorio y modelo portátil respectivamente.
El número de modelo de escritorio y modelo portátil no puede ser negativo.
Por lo tanto,
x, y
Se da que no existirá la demanda mensual de 250 unidades.
Por lo tanto, x + y ≤ 250
El costo del modelo de escritorio y portátil es de 25.000 rupias y 40.000 rupias respectivamente.
Por lo tanto, el costo del modelo de escritorio x y el modelo portátil y es de 25 000 rupias y 40 000 rupias respectivamente y
no quiere invertir más de 70 lakhs de rupias.
25000x + 40000y ≤ 7000000
La ganancia en el modelo de escritorio es de 4500 rupias y en el modelo portátil es de 5000 rupias.
Por lo tanto, la ganancia obtenida por el modelo de escritorio x y el modelo portátil y es Rs 4500x y Rs 5000y respectivamente.
Beneficio total = Z = 4500x + 5000y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 4500x + 5000y
Sujeto a restricciones:
x + y ≤ 250
25000x + 40000y ≤ 7000000
x, y
Primero transformaremos in-ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 250,
25000x + 40000y = 7000000,
x = 0 y
y = 0
Área mostrada por x + y ≤ 250:
La línea x + y = 250 conecta los ejes de coordenadas en A(250, 0) y B(0, 250) respectivamente.
Conectando estos puntos obtendremos la lineax + y = 250.
Entonces, 0, 0 asegura x + y = 250.
Entonces, el Área que contiene el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + y ≤ 250.
Área mostrada por 25000x + 40000y ≤ 7000000:
La línea 25000x + 40000y = 7000000 conecta los ejes de coordenadas en C(280, 0) y D(0, 175) respectivamente.
Al conectar estos puntos obtendremos la línea 25000x + 40000y = 7000000.
Entonces, (0, 0) asegura la inecuación 25000x + 40000y ≤ 7000000.
Entonces, el Área que contiene el origen muestra el conjunto solución de la ecuación 25000x + 40000y ≤ 7000000.
Área mostrada por x ≥ 0 y y ≥ 0:
Ya que, cada punto en el primer cuadrante asegura estas inecuaciones.
Entonces, el primer cuadrante es el Área mostrada por las ecuaciones internas x ≥ 0, y y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones x + y ≤ 250, 25000x + 40000y ≤ 7000000, x ≥ 0 e y ≥ 0 son las siguientes Los puntos de las esquinas son O(0, 0), D(0,
175), E (200, 50) y A(250, 0).Los valores de la función objetivo Z en los puntos de esquina del Área adecuada se dan en la siguiente tabla:
Puntos de esquina Z = 4500x + 5000y O(0, 0) 0 D(0, 175) 875000 E(200, 50) 1150000 Máximo
A(250, 0) 1125000 Entonces, Z es máximo en x = 200 e y = 50 y el valor máximo de Z en este punto es 1150000.
Por lo tanto, se deben vender 200 modelos de escritorio y 50 unidades portátiles para maximizar la utilidad.
Pregunta 46. Una empresa de juguetes fabrica dos tipos de muñecas, A y B. Las pruebas de mercado y los recursos disponibles han indicado que el nivel de producción combinado no debe exceder las 1200 muñecas por semana y la demanda de muñecas del tipo B es como máximo la mitad de la de muñecos de tipo A. Además, el nivel de producción de muñecos de tipo A puede exceder tres veces la producción de muñecos de otro tipo en un máximo de 600 unidades. Si la empresa obtiene una ganancia de 12 y 16 por muñeca respectivamente en las muñecas A y B, ¿cuántas de cada una se deben producir semanalmente para maximizar la ganancia?
Solución:
Suponga que se fabrican x unidades de la muñeca A e y unidades de la muñeca B para obtener la máxima ganancia.
La formulación matemática del problema anterior es la siguiente:
Maximizar Z = 12x + 16y Sujeto a
x + y ≤ 1200y ≤ x/12,
x – 3y ≤ 600,
x, y ≥ 0
El área sombreada muestra el conjunto de soluciones adecuadas.Las coordenadas de los puntos de esquina del Área adecuada son O(0, 0), A(800, 400), B(1050, 150) y C(600, 0).
El valor de Z en O0, 0 = 12(0) + 16(0) = 0
El valor de Z en A800, 400 = 12(800) + 16(400) = 16000 Máximo
El valor de Z en B1050, 150 = 12(1050) + 16(150) = 15000
El valor de Z en C600, 0 = 12(600) + 16(0) = 7200
Por lo tanto, 800 unidades de la muñeca A y 400 unidades de la muñeca B deben ser
producido semanalmente para obtener la máxima ganancia de Rs 16000.
Pregunta 47. Hay dos tipos de fertilizantes F 1 y F 2 . F1 consta de 10 % de nitrógeno y 6 % de ácido fosfórico y F 2 consta de 5 % de nitrógeno y 10 % de ácido fosfórico. Después de probar las condiciones del suelo, una agricultora descubre que necesita al menos 14 kg de nitrógeno y 14 kg de ácido fosfórico para su cultivo. Si F 1 cuesta 6/kg y F 2 cuesta 5/kg, determine qué cantidad de cada tipo de fertilizante debe usarse para que los requerimientos de nutrientes se cumplan al mínimo costo. ¿Cuál es el costo mínimo?
Solución:
Sea x kg de fertilizante F 1 ey kg de fertilizante F 2 se use para cumplir con los requisitos de nutrientes.
F 1 consta de 10 % de nitrógeno y F 2 consta de 5 % de nitrógeno.
Pero, el agricultor necesita al menos 14 kg de nitrógeno para los cultivos.
Por lo tanto,
10% de x kg + 5% de y kg ≥ 14 kg
=> x/10 + y/20 ≥ 14
=> 2x + y ≥ 280
De manera similar, F 1 consta de 6 % de ácido fosfórico y F 2 consta de 10 % de ácido fosfórico.
Pero, el agricultor necesita al menos 14 kg de ácido fosfórico para los cultivos.
Por lo tanto,
6% de x kg + 10% de y kg ≥ 14 kg
=> 6x/100 + 10y/200 ≤ 14
=> 3x + 5y ≤ 700
El costo del fertilizante F 1 es 6/kg y el fertilizante F 2 es 5/kg,
Por lo tanto, el costo total de x kg de fertilizante F 1 ey kg de fertilizante F 2 es (6x + 5y).
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z = 6x + 5y
Sujeto a las restricciones:
2x + y ≥ 280
3x + 5y ≥ 700
x, y ≥ 0
El Área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como
Las coordenadas de los puntos de esquina del Área adecuada son A(700/3, 0), B(100, 80) y C(0, 280).El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 6x + 5y 700/3, 0 6 × 700/3 + 5 × 0 = 1400 100, 80 6 × 100 + 5 × 80 = 1000 → Mínimo 0, 280 6 × 0 + 5 × 280 = 1400 El valor más pequeño de Z es 1000 que se adquiere en x = 100, y = 80.
Se puede ver que el semiplano abierto representado por 6x + 5y < 1000 no tiene puntos en común con el Área adecuada.
Entonces, el valor mínimo de Z es 1000.
Por lo tanto, se deben usar 100 kg de fertilizante F 1 y 80 kg de fertilizante F 2 para que los requerimientos de nutrientes se cumplan al mínimo costo.
Entonces, el costo mínimo es 1,000.
Pregunta 48. Un fabricante tiene tres máquinas I, II, III instaladas en su fábrica. Las máquinas I y II pueden funcionar durante un máximo de 12 horas, mientras que la máquina III debe funcionar durante al menos 5 horas al día. Ella produce solo dos artículos M y N, cada uno de los cuales requiere el uso de las tres máquinas. El número de horas requeridas para producir 1 unidad de cada uno de M y N en las tres máquinas se dan en la siguiente tabla:
| Elementos | Número de horas requeridas en las máquinas | ||
| yo | Yo | tercero | |
| METRO | 1 | 2 | 1 |
| norte | 2 | 1 | 1.25 |
Obtiene una ganancia de 600 y 400 en los artículos M y N respectivamente. ¿Cuántos de cada artículo debería producir para maximizar su beneficio suponiendo que puede vender todos los artículos que produjo? ¿Cuál será la ganancia máxima?
Solución:
Se producen x unidades del artículo M y y unidades del artículo N para maximizar la ganancia.
Dado que cada unidad del artículo M requiere 1 hora en la máquina I y cada unidad del artículo N requiere 2 horas en la máquina I, por lo tanto, el total de horas requeridas para producir
x unidades del artículo M y y unidades del artículo N en la máquina I son (2x + y).
Pero, las máquinas I pueden funcionar durante un máximo de 12 horas.
Por lo tanto,
2x + y ≤ 12
De manera similar, cada unidad del artículo M requiere 2 horas en la máquina II y cada unidad
del artículo N requieren 1 hora en la máquina II, por lo tanto, el total de horas requeridas para
producir x unidades del artículo M e y unidades del artículo N en la máquina II son (x + 2y).
Sin embargo, las máquinas II pueden funcionar durante un máximo de 12 horas.
Por lo tanto,
x + 2y ≤ 12
Además, cada unidad del artículo M requiere 1 hora en la máquina III y cada unidad del artículo N
requieren 1.25 horas en la máquina III, por lo tanto, el total de horas requeridas para producir
x unidades del artículo M y y unidades del artículo N en la máquina III son (x + 1.25y).
Pero, las máquinas III deben operarse durante al menos 5 horas.
Por lo tanto,
x + 1.25y ≥ 5
La ganancia de cada unidad del artículo M es 600 y cada unidad del artículo N es 400.
Por lo tanto, la ganancia total de x unidades del artículo M y y unidades del artículo N es (600x + 400y).
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 600x + 400y
Sujeto a las restricciones:
2x + y ≤ 12
x + 2y ≤ 12
x + 1.25y ≥ 5
x, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como,
Las coordenadas de los puntos de las esquinas del área adecuada son A(5, 0), B(6, 0), C(4, 4), D(0, 6) y E(0, 4).El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 600x + 400y 5, 0 600 × 5 + 400 × 0 = 3000
6, 0 600 × 6 + 400 × 0 = 3600
4, 4 600 × 4 + 400 × 4 = 4000 → Máximo
0, 6 600 × 0 + 400 × 6 = 2400
0, 4 600 × 0 + 400 × 4 = 1600
El valor máximo de Z es 4000 en x = 4, y = 4.
Por lo tanto, se deben producir 4 unidades del artículo M y 4 unidades del artículo N para maximizar la ganancia.
Entonces, la ganancia máxima del fabricante es 4,000.
Pregunta 49. Hay dos fábricas ubicadas una en el lugar P y la otra en el lugar Q. Desde estas ubicaciones, se debe entregar una determinada mercancía a cada uno de los tres depósitos ubicados en A, B y C. Los requisitos semanales de los depósitos son respectivamente 5, 5 y 4 unidades de la mercancía mientras que la capacidad de producción de las fábricas en P y Q son respectivamente 8 y 6 unidades. El costo de transporte por unidad es el siguiente:
| Desde \ Hasta | Costo en | ||
| A | B | C | |
| PAGS | 160 | 100 | 150 |
| q | 100 | 120 | 100 |
¿Cuántas unidades se deben transportar de cada fábrica a cada depósito para que el costo de transporte sea mínimo? ¿Cuál será el costo mínimo de transporte?
Solución:
Here, demand of the commodity 5 + 5 + 4 = 14units is equal the supply of the commodity 8 + 6 = 14units.
So, no commodity would be left at the two factories.
Assume x units and y units of the commodity be transported from the factory P to the depots at A and B, respectively
Then, (8 − x − y) units of the commodity will be transported from the factory P to the depot C.Now, the weekly requirement of depot A is 5 units of the commodity.
Now, x units of the commodity are transported from factory P, so
the remaining (5 − x) units of the commodity are transported from
the factory Q to the depot A.
The weekly requirement of depot B is 5 units of the commodity.
Now, y units of the commodity are transported from factory P,
so the remaining (5 − y) units of the commodity are transported
from the factory Q to the depot B.
Similarly, 6 − (5 − x) − (5 − y) = (x + y − 4) units of the commodity will
be transported from the factory Q to the depot C.
Dado que el número de unidades de mercancías transportadas son de la
fábricas a los depósitos no son negativos. Por lo tanto,
x ≥ 0, y ≥ 0, 8 − x − y ≥ 0, 5 − x ≥ 0, 5 − y ≥ 0, x + y − 4 ≥ 0
O
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x ≤ 5, y ≤ 5, x + y ≥ 4
Costo total de transporte = 160x + 100y + 150(8 − x − y) + 100(5 − x) +
120(5 − y) + 100(x + y − 4) = 10x − 70y + 1900
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Minimizar Z = 10x − 70y + 1900
Sujeto a las restricciones:
x + y ≤ 8
X ≤ 5
y ≤ 5
x + y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como,
Las coordenadas de los puntos de las esquinas del área adecuada son A(4, 0), B(5, 0), C(5, 3), D(3, 5), E(0, 5) y F(0, 4).El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 10x − 70y + 1900 4, 0 10 × 4 − 70 × 0 + 1900 = 1940 5, 0 10 × 5 − 70 × 0 + 1900 = 1950 5, 3 10 × 5 − 70 × 3 + 1900 = 1740 3, 5 10 × 3 − 70 × 5 + 1900 = 1580 0, 5 10 × 0 − 70 × 5 + 1900 = 1550 → Mínimo 0, 4 10 × 0 − 70 × 4 + 1900 = 1620 El valor mínimo de Z es 1550 en x = 0, y = 5.
Por lo tanto, el costo mínimo de transporte, la fábrica P debe suministrar 0, 5, 3 unidades de mercancía
a los depósitos A, B, C respectivamente y la fábrica Q debe suministrar 5, 0, 1 unidades de mercancía a los depósitos
A, B, C respectivamente.
Entonces, el costo mínimo de transporte es de 1.550.
Pregunta 50. Un fabricante fabrica dos tipos de juguetes A y B. Se necesitan tres máquinas para este propósito y el tiempo en minutos requerido para cada juguete en las máquinas se da a continuación:
| tipos de juguetes | Máquinas | ||
| yo | Yo | tercero | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
Cada máquina está disponible durante un máximo de 6 horas al día. Si la ganancia de cada juguete del tipo A es 7,50 y la de cada juguete del tipo B es 5, demuestre que se deben fabricar 15 juguetes del tipo A y 30 juguetes del tipo B en un día para obtener la máxima ganancia.
Solución:
Supongamos que el fabricante fabrica x juguetes del tipo A e y juguetes del tipo B.
Dado que cada juguete del tipo A requiere 12 minutos en la máquina I y
cada juguete del tipo B requiere 6 minutos en la máquina I, por lo tanto, x juguetes del tipo
Los juguetes A e y del tipo B requieren (12x + 6y) minutos en la máquina I.
Pero, las máquinas I están disponibles durante un máximo de 6 horas.
Por lo tanto,
12x + 6y ≤ 360
⇒ 2x + y ≤ 60
De manera similar, cada juguete del tipo A requiere 18 minutos en la máquina II y
cada juguete del tipo B requiere 0 minutos en la máquina II, por lo tanto,
Los juguetes x de tipo A y los juguetes y de tipo B requieren (18x + 0y) minutos en la máquina II.
Sin embargo, las máquinas II están disponibles durante un máximo de 6 horas.
Por lo tanto,
18x + 0y ≤ 360
⇒ x ≤ 20
Además, cada juguete del tipo A requiere 6 minutos en la máquina III y
cada juguete del tipo B requiere 9 minutos en la máquina III,
por lo tanto, x juguetes de tipo A e y juguetes de tipo B requieren (6x + 9y) minutos
en la máquina III. Sin embargo, las máquinas III están disponibles durante un máximo de 6 horas.
Por lo tanto,
6x + 9y ≤ 360
⇒ 2x + 3y ≤ 120
La ganancia de cada juguete del tipo A es 7,50 y cada juguete del tipo B es 5. Por lo tanto, la ganancia total de x juguetes del tipo A e y juguetes del tipo B es (7,50x + 5y).
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 7.5x + 5y
Sujeto a las restricciones:
2x + y ≤ 60
x ≤ 20
2x + 3y ≤ 120
x, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como
Las coordenadas de los puntos de las esquinas del área adecuada son O(0, 0), A(20, 0), B(20, 20), C(15, 30) ) y D(0, 40).El valor de la función objetivo en estos puntos se da en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 7,5x + 5y 0, 0 7,5 × 0 + 5 × 0 = 0 20, 0 7,5 × 20 + 5 × 0 = 150 20, 20 7,5 × 20 + 5 × 20 = 250 15, 30 7,5 × 15 + 5 × 30 = 262,5 → Máximo 0, 40 7,5 × 0 + 5 × 40 = 200 El valor máximo de Z es 262,5 en x = 15, y = 30.
Por lo tanto, se deben fabricar 15 juguetes del tipo A y 30 juguetes del tipo B en un día para obtener la máxima ganancia.
Entonces, la ganancia máxima es 262.50
Pregunta 51. Un avión puede transportar un máximo de 200 pasajeros. Se obtiene una ganancia de 1000 en cada boleto de clase ejecutiva y una ganancia de 600 en cada boleto de clase económica. La aerolínea reserva al menos 20 asientos para la clase ejecutiva. Sin embargo, al menos 4 veces más pasajeros prefieren viajar en clase económica que en clase ejecutiva. Determine cuántos boletos de cada tipo deben venderse para maximizar la utilidad de la aerolínea. ¿Cuál es la ganancia máxima?
Solución:
Suponga que la aerolínea vende x boletos de clase ejecutiva e y boletos de clase económica.
La ganancia en cada boleto de clase ejecutiva es de 1000 y en cada boleto de clase económica es de 600.
Por lo tanto, la ganancia total de x boletos de clase ejecutiva e y boletos de clase económica es (1000x + 600y).
Ahora aquí, el avión puede transportar un máximo de 200 pasajeros.
Por lo tanto,
x + y ≤ 200
La aerolínea reserva al menos 20 asientos para clase ejecutiva.
Por lo tanto,
x ≥ 20
Además, como mínimo 4 veces más pasajeros prefieren viajar en clase económica que en clase ejecutiva.
Por lo tanto,
y ≥ 4x
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 1000x + 600y
Sujeto a las restricciones:
x + y ≤ 200
x ≥ 20
y ≥ 4x
x, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como
Las coordenadas de los puntos de esquina de la región factible son A(20, 80), B(40, 160) y C(20, 180).El valor de la función objetivo en estos puntos se dan en la siguiente tabla
Punto de esquina Z = 1000x + 600y 20, 80 1000 × 20 + 600 × 80 = 68000 40, 160 1000 × 40 + 600 × 160 = 136000 → Máximo
20, 180 1000 × 20 + 600 × 180 = 128000 El valor máximo de Z es 136000 en x = 40, y = 160.
Por lo tanto, se deben vender 40 boletos de clase ejecutiva y 160 boletos de clase económica para maximizar la ganancia.
Entonces, la ganancia máxima de la aerolínea es 1,36,000.
Pregunta 52. Un fabricante considera que los trabajadores y las trabajadoras son igualmente eficientes, por lo que les paga la misma tarifa. Tiene 30 y 17 unidades de trabajadores y trabajadoras y capital respectivamente, que utiliza para producir dos tipos de bienes A y B. Para producir una unidad de A, se requieren 2 trabajadores y 3 unidades de capital mientras que 3 trabajadores y 1 unidad de capital se requiere para producir una unidad de B. Si A y B tienen un precio de 100 y 120 por unidad respectivamente, ¿cómo debería usar sus recursos para maximizar el ingreso total? Forme lo anterior como un LPP y resuelva gráficamente. ¿Está de acuerdo con esta opinión del fabricante de que los trabajadores masculinos y femeninos son igualmente eficientes y, por lo tanto, deben recibir el mismo salario?
Solución:
Suponga que el fabricante produce x unidades de A e y unidades de B.
El precio de una unidad de A es 100 y el precio de una unidad de B es 120.
Por lo tanto, el precio total de x unidades de A y y unidades de B o el ingreso total es (100x + 120y).
Una unidad de A necesita 2 trabajadores y una unidad de B necesita 3 trabajadores.
Por lo tanto, x unidades de A e y unidades de B necesitan (2x + 3y) trabajadores.
Pero, el fabricante tiene 30 trabajadores.
Por lo tanto,
2x + 3y ≤ 30
De manera similar, una unidad de A necesita 3 unidades de capital y una unidad de B necesita 1 unidad de capital.
Así, x unidades de A e y unidades de B necesitan (3x + y) unidades de capital.
Pero, el fabricante tiene 17 unidades de capital.
Por lo tanto,
3x + y ≤ 17
Por lo tanto, el problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 100x + 120y
Sujeto a las restricciones:
2x + 3y ≤ 30
3x + y ≤ 17
x, y ≥ 0
El área adecuada determinada por las restricciones dadas se puede mostrar en forma de diagrama como
Las coordenadas de los puntos de las esquinas de la región factible son O(0, 0), A(0, 10), B (17/3, 0) y C(3 , 8).El valor de la función objetivo en estos puntos se muestra en la siguiente tabla.
Punto de esquina Z = 100x + 120y 0, 0 100 × 0 + 120 × 0 = 0 0, 10 100 × 0 + 120 × 10 = 1200 (17/3, 0) 100 × 17/3 + 120 × 0 = 1700/3 3, 8 100 × 3 + 120 × 8 = 1260 → Máximo El valor máximo de Z es 1260 en x = 3, y = 8.
Por lo tanto, el ingreso total máximo es de 1260 cuando se producen 3 unidades de A y 8 unidades de B.
Sí, porque la eficiencia de un trabajador no depende de si el trabajador es hombre o mujer.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA