Pregunta 1. Si un joven conduce su vehículo a 25 km/h, tiene que gastar 2 rupias por km en gasolina. Si lo conduce a una velocidad mayor de 40 km/h, el costo de la gasolina aumenta a 5 rupias por km. Tiene 100 rupias para gastar en gasolina y viajar en una hora. Exprese esto como un LPP y resuelva lo mismo.
Solución:
Suponga que el joven conduce x km a una velocidad de 25 km/h e y km a una velocidad de 40 km/h.
Así, x, y ≥ 0
Dado: Si gasta Rs 2/km si conduce a una velocidad de 25 km/h
Rs 5/km si conduce a una velocidad de 40 km/h.
Por eso,
El dinero gastado por él cuando viajó x km e y km será Rs 2x y Rs 5y respectivamente.
Por lo tanto, aquí se da que puede gastar un máximo de Rs100.
Por lo tanto,
2x + 5y ≤ 100
Entonces, para viajar con una velocidad de 25 km/h, el tiempo que tardará = x/25 h
Entonces, para viajar con una velocidad de 40 km/h, el tiempo que tardará = y/40 h
Y también,
El tiempo que tiene es de 1 hora.
x/25 + y/40 ≤ 1
40x + 25y ≤ 1000
La distancia recorrida Z = x + y
Eso es para maximizar.
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = x + y
Sujeto a restricciones
2x + 5y ≤ 100
40x + 25y ≤ 1000
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas de la siguiente manera:
2x + 5y = 100
40x + 25y = 1000
x = 0 y y = 0.
El área mostrada por 2x + 5y ≤ 100
La línea 2x + 5y = 100 conecta los ejes de coordenadas en A(50, 0) y B(0, 20) respectivamente.
Después de conectar estos puntos, obtendremos la línea 2x + 5y = 100.
Así, (0, 0) asegura 2x + 5y = 100.
Como el área que constituye el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 2x + 5y ≤ 100
El área mostrada por 40x + 25y ≤ 1000
La línea 40x + 25y = 1000 conecta los ejes de coordenadas en C(25, 0) y D(0, 40) respectivamente.
Después de conectar estos puntos, obtendremos la línea 2x + y = 12.
Así, (0, 0) asegura 40x + 25y = 1000.
Como, el área que consta del origen muestra el conjunto solución de la inecuación 40x + 25y ≤ 1000
El área mostrada por x ≥ 0,
y ≥ 0 :
Ya que todos los puntos del primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Como, el primer cuadrante es el área mostrada por las in-ecuaciones x ≥ 0
y
y ≥ 0.
El área adecuada está determinada por el sistema de restricciones
2x + 5y ≤ 100,
40x + 25y ≤ 1000,
X ≥ 0
y
y ≥ 0 son los siguientes
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 20), E(50/3, 40/3) y C(25, 0). El valor de Z en estos puntos de esquina es el siguiente:
Puntos de esquina Z = x + y (0, 0) 0 (0, 20) 20 50/3, 40/3 30 (25, 0) 25 El valor máximo de Z es 30 que se adquiere en E.
Por lo tanto,
La distancia máxima recorrida por el joven es de 30 kms, si conduce 50/3 km a una velocidad de 25 km/h y 40/3 km a una velocidad de 40 km/h.
Pregunta 2. Un fabricante tiene tres máquinas instaladas en su fábrica. Las máquinas I y II pueden funcionar durante un máximo de 12 horas, mientras que la máquina III debe funcionar al menos durante 5 horas al día. Produce solo dos artículos, cada uno de los cuales requiere el uso de tres máquinas. El número de horas requeridas para producir una unidad de cada uno de los artículos en las tres máquinas se da en la siguiente tabla:
| Artículo | Número de horas requeridas por la máquina | ||
| yo | II | tercero | |
| A | 1 | 2 | 1 |
| B | 2 | 1 | |
Obtiene una ganancia de Rs 6,00 en el artículo A y Rs 4,00 en el artículo B. Suponiendo que puede vender todo lo que produce, ¿cuántos de cada artículo debe producir para maximizar su ganancia? Determine su beneficio máximo. Formule este LPP matemáticamente y luego resuélvalo.
Solución:
Suponga que se producen x unidades del artículo A e y unidades del artículo B.
Por lo tanto, x, y ≥ 0.
Dado:
Artículo Número de horas requeridas por la máquina yo II tercero A 1 2 1 B 2 1 Las máquinas I y II son eficientes si funcionan durante un máximo de 12 horas, mientras que la máquina III debe funcionar al menos durante 5 horas al día.
Según en la pregunta,
Las restricciones son
x + 2y ≤ 12
2x + y ≤ 12
x + 5/4
y ≥ 5
Obtiene una ganancia de Rs 6.00 en el artículo A y Rs. 4,00 en el artículo B. La ganancia que obtuvo al fabricar x artículos de A e y artículos de B es 6x + 4y.
La ganancia total es Z
Z = 6x + 4y que se quiere maximizar
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 6x + 4y,
Sujeto a restricciones
x + 2y ≤ 12
2x + y ≤ 12
x + 5/4
y ≥ 5x,
y ≥ 0
Primero, tenemos que convertir las ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera:
x + 2y = 12,
2x + y = 12,
x + 5/4
y = 5,
x = 0 y
y = 0.
El área mostrada por x + 2y ≤ 12
La línea x + 2y = 12 conecta los ejes de coordenadas en A(12, 0) y B(0, 6) respectivamente.
Después de conectar estos puntos, obtendremos la línea x + y = 12.
Como (0, 0) aseguramos x + 2y = 12.
Como el área que constituye el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + 2y ≤ 12
El área mostrada por 2x + y ≤ 12
La línea 2x + y = 12 conecta los ejes de coordenadas en C(6, 0) y D(0, 12) respectivamente.
Después de conectar estos puntos, conectaremos la línea 2x + y = 12.
Como (0, 0) aseguramos 2x + y = 12.
As, el área que consiste el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación 2x + y ≤ 12
El área mostrada por x + 5/4y ≥ 5
La línea x + 5/4y ≥ 5 conecta los ejes de coordenadas en E(5, 0) y F(0, 4) respectivamente.
Después de conectar estos puntos,
Obtendremos la recta x + 5/4y = 5.
Como (0, 0) asegura que x + 5/4y ≥ 5.
Como, el área que no consiste en el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + 5/4y ≥ 5
El área mostrada por x ≥ 0,
y ≥ 0 :
Como todos los puntos del primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Así, el primer cuadrante es el área que muestran las ecuaciones internas x ≥ 0
y
y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones.
x + 2y ≤ 12,
2x + y ≤ 12,
x + 5/4y ≥ 5, x,
y ≥ 0 son los siguientes.
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 40 rupias obtenidas cuando se fabrican 4 unidades de cada uno de los artículos A y B.
Los puntos de las esquinas son D(0, 6), I(4, 4), C(6, 0), G(5, 0) y H(0, 4).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 6x + 4y D 24 yo 40 C 36 GRAMO 30 H dieciséis Por tanto, el valor máximo de Z es 40, que se adquiere en I(4, 4).
Pregunta 3. Dos sastres, A y B ganan Rs 15 y Rs 20 por día respectivamente. A puede coser 6 camisas y 4 pantalones mientras que B puede coser 10 camisas y 4 pantalones por día. ¿Cuántos días deberá trabajar cada uno si se desea producir al menos 60 camisas y 32 pantalones con un costo mínimo de mano de obra?
Solución:
Suponga que el sastre A trabaja durante x días y el sastre B trabaja durante y días.
En un día; A puede coser 6 camisas y 4 pantalones mientras que B puede coser 10 camisas y 4 pantalones.
Por lo tanto, en x días; A puede coser camisas 6x y pantalones 4x mientras que en días y B puede coser camisas 10y y pantalones 4y.
Dado: La necesidad mínima de la camisa y el pantalón son respectivamente 60 y 32.
Por lo tanto,
6x + 10y ≥ 60
4x + 4y ≥ 32
Además, se da que A y B ganan Rs 15 y Rs 20 por día, respectivamente.
Por lo tanto, A gana Rs 15x y B gana Rs 20y.
Suponga que el costo total es Z
Z = 15x + 20y
Como los días no pueden ser negativos.
x, y ≥ 0 (siempre)
Z mín. = 15x + 20y
Sujeto a restricciones
6x + 10y ≥ 60
4x + 4y ≥ 32
x, y ≥ 0
Primero convertiremos las ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
6x + 10y = 60,
4x + 4y = 32,
x = 0,
y = 0
El área mostrada por 6x + 10y ≥ 60
La línea 6x + 10y = 60 conecta los ejes de coordenadas en A(10,0) y B(0,6) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 6x + 10y = 60.
Como, (0, 0) aseguramos que 6x + 10y ≥ 60.
Ya que, el área que no consta del origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación 6x + 10y ≥ 60
Área mostrada por 4x + 4y ≥ 32
La línea 4x + 4y = 32 conecta los ejes de coordenadas en C(8,0) y D(0,8) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 4x + 4y = 32.
Como, (0, 0) aseguramos que 4x + 4y ≥ 32.
Como, el área que no constituye el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación 4x + 4y ≥ 32.
El área mostrada por x ≥ 0,
y ≥ 0 :
Ya que todos los puntos del primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Como, el primer cuadrante es el área mostrada por las in-ecuaciones x ≥ 0
y
y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones 6x + 10y ≥ 60,
4x + 4y ≥ 32
x, y ≥ 0 son los siguientes.
Los puntos de las esquinas son D(0, 8), E(5, 3), A(10, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 15x + 20y D 160 mi 135 A 150 El valor mínimo de Z es 135 que se adquiere en E(5, 3).
Por lo tanto, para el costo laboral mínimo, A debe trabajar durante 5 días y B debe trabajar durante 3 días.
Pregunta 4. Una fábrica fabrica dos tipos de tornillos, A y B, y cada tipo requiere el uso de dos máquinas: una automática y otra manual. Se necesitan 4 minutos en la máquina automática y 6 minutos en la máquina manual para fabricar un paquete de tornillos ‘A’, mientras que se necesitan 6 minutos en la máquina automática y 3 minutos en la máquina manual para fabricar un paquete de tornillos ‘ B’. Cada máquina está disponible durante un máximo de 4 horas en cualquier día. El fabricante puede vender un paquete de tornillos ‘A’ con una ganancia de 70 P y tornillos ‘B’ con una ganancia de Rs 1. Suponiendo que puede vender todos los tornillos que puede fabricar, ¿cuántos paquetes de cada tipo debe comprar la fábrica? propietario produce en un día para maximizar su beneficio? Determinar la ganancia máxima.
Solución:
Suponga que la fábrica fabrica x tornillos de tipo A e y tornillos de tipo B cada día,
De este modo,
x, y ≥ 0.
Dada la información en una tabla como;
Puntuación A Puntuación B Puntuación C Máquina Automática (min) 4 6 4 × 60 = 240 Máquina manual (min) 6 3 4 × 60 = 240 4x + 6y ≤ 240
6x + 3y ≤ 240
El fabricante puede vender un paquete de tornillos ‘A’ con una ganancia de Rs 0,7 y tornillos ‘B’ con una ganancia de Re 1.
Suponga que la ganancia total es Z,
Z = 0,7x + 1y
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Maximizar Z = 0.7x + 1y
Sujeto a las restricciones,
4x + 6y ≤ 240
6x + 3y ≤ 240
x, y ≥ 0
Primero, convertiremos las ecuaciones en ecuaciones de la siguiente manera:
4x + 6y = 240, 6x + 3y = 240, x = 0, y = 0.
Área mostrada por 4x + 6y ≥ 240
La línea 4x + 6y = 240 conecta los ejes de coordenadas en A(60, 0) y B(0, 40) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 4x + 6y = 240.
Como, (0, 0) aseguramos que 4x + 6y ≥ 240.
Como el área que constituye el origen muestra el conjunto solución de la inecuación 4x + 6y ≥ 240.
El área mostrada por 6x + 3y ≥ 240
La línea 6x + 3y = 240 conecta los ejes de coordenadas en C(40, 0) y d(0, 80) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 6x + 3y = 240.
Como, (0, 0) aseguramos que 6x + 3y ≥ 240.
Ya que, el área que constituye el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación 6x + 3y ≥ 240.
El área mostrada por
x ≥ 0,
y ≥ 0 :
Como todos los puntos del primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Dado que, el primer cuadrante es el área mostrada por las in-ecuaciones
X ≥ 0
y
y ≥ 0.
Los adecuados están determinados por el sistema de restricciones.
4x + 6y ≤ 240,
6x + 3y ≤ 240,
x ≥ 0,
y ≥ 0 son los siguientes.
Los puntos de las esquinas son C(40, 0), E(30, 20), B(0, 40). Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
Punto de esquina Z = 7x + 10y C(40, 0) 280 E(30, 20) 410 b(0, 40) 400 El valor máximo de Z es 410 en (30, 20).
Por lo tanto, la fábrica debe fabricar 30 paquetes de tornillos A y 20 paquetes
de tornillos b para obtener la máxima ganancia de Rs 410.
Pregunta 5. Una empresa produce dos tipos de cinturones de cuero, digamos tipo A y B. El cinturón A es de calidad superior y el cinturón B es de calidad inferior. Las ganancias en cada tipo de cinturón son Rs 2 y Rs 1,50 por cinturón, respectivamente. Cada correa del tipo A requiere el doble de tiempo que una correa del tipo B. Si todas las correas fueran del tipo B, la empresa podría producir 1000 correas por día. Pero el suministro de cuero es suficiente solo para 800 cinturones por día (tanto A como B combinados). El cinturón A requiere una hebilla elegante y solo hay disponibles 400 hebillas elegantes por día. Para el cinturón de tipo B, solo hay disponibles 700 hebillas por día. ¿Cómo debe la empresa fabricar los dos tipos de correas para tener una utilidad general máxima?
Solución:
Suponga que la empresa fabrica x correas de tipo A e y correas de tipo B.
El número de correas no puede ser negativo.
De este modo,
x, y ≥ 0 (siempre)
Se da que el cuero es suficiente solo para 800 cinturones por día (tanto A como B combinados).
De este modo,
x + y ≤ 800
Se da que la tasa de fabricación de correas del tipo B es de 1000 por día.
Por lo tanto, el tiempo necesario para producir y correas de tipo B es y/1000.
Y,
Como cada correa del tipo A necesita el doble de tiempo que una correa del tipo B, la tasa de producción de correas del tipo A es 500 por día y, por lo tanto, el tiempo total necesario para producir x correas del tipo A es x/500
Por lo tanto,
Tenemos,
x/500 + y/1000 ≤ 1
O,
2x + y ≤ 1000
El cinturón A necesita una hebilla elegante y solo se puede acceder a 400 hebillas elegantes por día.
x ≤ 400
Para el cinturón de tipo B solo se puede acceder a 700 hebillas por día.
y ≤ 700
Las ganancias en cada tipo de cinturón son Rs 2 y Rs 1,50 por cinturón, respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia obtenida en x cinturones de tipo A e y cinturones de tipo B es Rs 2x y Rs 1.50y respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia total sería Rs(2x + 1,50y).
Suponga que Z denota el beneficio total
Z = 2x + 1,50y
Por lo tanto, la formulación matemática del problema de programación lineal dado es;
Max Z = 2x + 1.50y sujeto a
x + y ≤ 800
2x + y ≤ 1000
x ≤ 400
y ≤ 700
Primero convertiremos estas ecuaciones internas en ecuaciones de la siguiente manera:
x + y = 800
2x + y = 1000
x = 400
y = 700
El área mostrada por x + y = 800
La línea x + y = 800 se encuentra con los ejes de coordenadas en A(800, 0) y B(0, 800) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtenemos la línea x + y = 800.
Como (0, 0) aseguramos x + y ≥ 800.
Como el área que constituye el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación x + y ≥ 800.
El área mostrada por 2x + y ≥ 1000
La línea 2x + y = 1000 conecta los ejes de coordenadas en C(500, 0) y D(0, 1000) respectivamente.
Después de conectar estos puntos obtendremos la línea 2x + y = 1000.
Como, (0, 0) aseguramos el 2x + y ≥ 1000.
Como el área que constituye el origen muestra el conjunto solución de la in-ecuación 2x + y ≥ 1000.
El área mostrada por x ≤ 400
La recta x = 400 pasará por (400, 0).
El área a la izquierda de la línea x = 400 asegurará la inecuación x ≤ 400
El área mostrada por y ≤ 700
La línea y = 700 pasará por (0, 700).
El área a la izquierda de la línea y = 700 asegurará la inecuación y ≤ 700.
El área mostrada por x ≥ 0,
y ≥ 0 :
Como todos los puntos del primer cuadrante aseguran estas inecuaciones.
Como, el primer cuadrante es el área mostrada por las in-ecuaciones x ≥ 0
y y ≥ 0.
El área adecuada determinada por el sistema de restricciones x + y ≤ 800,
2x + y ≤ 1000,
x ≤ 400,
y ≤ 700
Los puntos de las esquinas son F(0, 700), G(200, 600), H(400, 200), E(400, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
Puntos de esquina Z = 2x + 1,5y F(0, 700) 1050 G(200, 600) 1300 H(400, 200) 1100 E(400, 0) 800 El valor máximo de Z es 1300 que se alcanza en G(200, 600).
Por lo tanto, la ganancia máxima que se adquiere es de 1300 rupias cuando se producen 200 cinturones de tipo A y 600 cinturones de tipo B.
Pregunta 6. Un pequeño fabricante ha empleado a 5 hombres calificados y 10 hombres semicalificados y fabrica un artículo en dos calidades, modelo de lujo y modelo ordinario. La fabricación de un modelo de lujo requiere 2 horas. trabajo por un hombre calificado y 2 hrs. trabajo de un hombre semicualificado. El modelo ordinario requiere 1 hora por un experto y 3 horas. por un hombre semicualificado. Según las reglas del sindicato, ningún hombre puede trabajar más de 8 horas por día. La ganancia clara del fabricante en el modelo de lujo es de 15 rupias y en un modelo normal es de 10 rupias. ¿Cuántos de cada tipo deben fabricarse para maximizar su ganancia diaria total?
Solución:
Suponga que se fabrican x artículos del modelo de lujo e y artículos del modelo ordinario.
Los números no pueden ser negativos.
Por lo tanto,
x, y ≥ 0 (siempre)
Según la pregunta,
La ganancia en cada modelo de lujo y tipo ordinario es de 15 rupias y 10 rupias.
Por lo tanto, las ganancias en x modelo de lujo y y modelos ordinarios son 15x y 10y.
Suponga que Z es la ganancia total,
Asi que,
Z = 15x + 10y
Como, la fabricación de un modelo de lujo y ordinario necesita 2 horas. y 1 hora de trabajo por hombres calificados,
por lo tanto, x modelos de lujo e y ordinarios necesitan 2x e y horas de hombres calificados, pero se necesita tiempo
por hombres hábiles es 5 × 8 = 40 horas.
De este modo,
2x + y ≤ 40 {Primera restricción}
Como, la fabricación de un modelo de lujo y ordinario necesita 2 horas. y 3 horas de trabajo de hombres semicualificados,
Dado que los modelos x deluxe e y ordinarios necesitan 2x y 3y horas de hombres calificados, pero el tiempo
la necesidad de hombres calificados es 10 × 8 = 80 horas.
Como,
2x + 3y ≤ 80 {Segunda restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 15x + 10y
Sujeto a restricciones,
2x + y ≤ 40
2x + 3y ≤ 80
x, y ≥ 0
Área 2x + y ≤ 40:
La línea 2x + 4y = 40 conecta ejes en
A 1 (20, 0), B 1 (0, 40) respectivamente.
El área de origen muestra 2x + 3y ≤ 40 como (0, 0) asegura 2x + y ≤ 40
Área 2x + 3y ≤ 80:
La línea 2x + 3y = 80 conecta ejes en
A 2 (40, 0), B 2 (0, 80/3) respectivamente.
El área de origen muestra 2x + 3y ≤ 80.
Los puntos de las esquinas son A 1 (20, 0), P (10, 20), B 2 (0, 80/3).
El valor de Z = 15x + 10y en estos puntos de esquina son
Puntos de esquina Z = 15x + 10y un 1 300 PAGS 350 B 2 800/3 El valor máximo de Z es 350 que se adquiere en P(10, 20).
Por lo tanto, la ganancia máxima se obtiene cuando se producen 10 unidades del modelo de lujo y 20 unidades del modelo ordinario.
Pregunta 7. Un fabricante fabrica dos tipos A y B de tazas de té. Se necesitan tres máquinas para la fabricación y el tiempo en minutos requerido para cada taza en las máquinas se da a continuación:
| Máquinas | |||
| yo | II | tercero | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
Cada máquina está disponible durante un máximo de 6 horas al día. Si la ganancia de cada taza A es de 75 paise y la de cada taza B es de 50 paise, demuestre que se deben fabricar 15 tazas de té del tipo A y 30 del tipo B en un día para obtener la máxima ganancia.
Solución:
Suponga que el número necesario de tazas de té de tipo A y B es x e y respectivamente.
Como, la ganancia de cada vaso A es de 75 paise y la de cada vaso B es de 50 paise.
Entonces, la ganancia en x taza de té de tipo A y y taza de té de tipo B son 75x y 50y respectivamente.
Suponga que el beneficio total de las tazas de té sea Z, por lo que
Z = 75x + 50y
Dado que cada taza de té de tipo A y B necesita trabajar en la máquina I durante 12 y 6 minutos respectivamente.
Por lo tanto, x tazas de té de tipo A e y tazas de té de tipo B necesitan trabajar en la máquina I durante 12x y 6y minutos.
El tiempo total disponible en la máquina I es 6 × 60 = 360 minutos.
Como
12x + 6y ≤ 360 {Primera restricción}
Por lo tanto, cada taza de té de tipo A y B necesita trabajar en la máquina II durante 18 y 0 minutos respectivamente.
Entonces, x tazas de té de tipo A e y tazas de té de tipo B deben funcionar en la máquina IIII para
18x y 0y minutos respectivamente.
El tiempo total disponible en la máquina I es 6 × 60 = 360 minutos.
Asi que,
18x + 0y ≥ 360
x ≤ 20 {Segunda restricción}
Como, cada taza de té de tipo A y B necesita trabajar en la máquina III durante 6 y 9 minutos respectivamente
Entonces, x tazas de té de tipo A e y tazas de té de tipo B deben funcionar en la máquina I
durante 6x y 9y minutos respectivamente.
El tiempo total disponible en la máquina I es 6 × 60 = 360 minutos.
Asi que,
6x + 9y ≤ 360 {Tercera Restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 75x + 50y
Sujeto a restricciones,
12x + 6y ≤ 360
x ≤ 20
6x + 9y ≤ 360
x, y ≥ 0 {Dado que la producción de tazas de té no puede ser inferior a cero}
Área 12x + 6y ≤ 360: línea 12x + 6y = 360 conecta ejes en A(30, 0), B(0, 60)
El área de origen muestra 12x + 6y ≤ 360 como (0, 0) asegura 12x + 6y ≤ 360
Área x ≤ 20: la línea x = 20 es paralela al eje y y conecta los ejes x en C(20, 0).
El área que tiene origen muestra x ≤ 20
Como (0, 0) asegurar x ≤ 20.
Área 6x + 9y ≤ 360: la línea 6x + 9y = 360 conecta ejes en E(60, 0), F(0, 40) respectivamente.
El área de origen muestra 6x + 9y ≤ 360 como (0, 0) asegura 6x + 9y ≤ 360.
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
El área sombreada es el área adecuada determinada por las restricciones,
12x + 6y ≤ 360
x ≤ 20
6x + 9y ≤ 360
x, y ≥ 0
Los puntos de las esquinas son F(0, 40), G(15, 30), H(20, 20), C(20, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
Puntos de esquina Z = 75x + 50y F 2000 GRAMO 2624 H 2500 C 1500 Aquí Z es máximo en G(15, 30).
Por lo tanto, se requieren 15 tazas de té del tipo A y 30 tazas de té del tipo B para maximizar la ganancia.
Pregunta 8. El propietario de una fábrica compra dos tipos de máquinas, A y B, para su fábrica. Los requisitos y limitaciones para las máquinas son los siguientes:
| Área ocupada por la máquina | Mano de obra para cada máquina | Salida diaria en unidades | |
| Máquina A | 1000 metros cuadrados | 12 hombres | 60 |
| Máquina B | 1200 metros cuadrados | 8 hombres | 40 |
Tiene un área de 7600 m2 disponibles y 72 hombres calificados que pueden operar las máquinas. ¿Cuántas máquinas de cada tipo debe comprar para maximizar la producción diaria?
Solución:
Suponga que el número necesario de máquinas A y B son x e y respectivamente.
Así, los productos de cada máquina A y B son 60 y 40 unidades diarias respectivamente.
Como, la producción por x número de máquinas A e y número de máquinas B son 60x y 40y respectivamente.
Suponga que Z es la producción total diaria,
Asi que,
Z = 60x + 40y
Como, cada máquina de tipo A y B necesita 1000sq. m y 1200 s. m área entonces,
La máquina x del tipo A y la máquina y del tipo B requieren un área de 1000x y 1200y m2 pero,
El área total disponible para la máquina es de 7600 m2.
Asi que,
1000x + 1200y ≤ 7600
o,
5x + 6y ≤ 38. {Primera Restricción}
Como toda máquina de tipo A y B necesita 12 hombres y 8 hombres para trabajar respectivamente.
Entonces, la máquina x del tipo A y la máquina y del tipo B necesitan 12x y 8y hombres para trabajar respectivamente.
Pero el total de hombres disponibles para trabajar es 72.
Asi que,
12x + 8y ≤ 72
3x + 2y ≤ 18 {Segunda restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 50x + 40y
Sujeto a restricciones,
5x + 6y ≤ 38
3x + 2y ≤ 18
x, y ≥ 0 {Dado que el número de máquinas no puede ser menor que cero}
Área 5x + 6y ≤ 38: la línea 5x + 6y = 38 conecta los ejes en A(38/5, 0), B(0, 19/3) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 5x + 6y ≤ 38 ya que el origen satisface 5x + 6y ≤ 38
Área 3x + 2y ≤ 18: la línea 3x + 2y = 18 conecta los ejes en C(6, 0), D(0, 9) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 3x + 2y ≤ 18 como origen asegura 3x + 2y ≤ 18.
Área x, y ≥ 0: representa el primer cuadrante.
La región sombreada muestra el área adecuada.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 19/3), E(4, 3), C(6, 0).
Por lo tanto, los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 60x + 40y O 0 B 253.3 mi 360 C 360 El valor máximo de Z es 360 que se adquiere en E(4, 3), C(6, 0).
Por lo tanto, la salida máxima es un archivo de Rs 360 cuando 4 unidades de tipo A y
Se fabrican 3 unidades de tipo B o 6 unidades de tipo A y 0 unidades de tipo B.
Pregunta 9. Una empresa produce dos tipos de bienes, A y B, que requieren oro y plata. Cada unidad del tipo A requiere 3 g de plata y 1 g de oro, mientras que la del tipo B requiere 1 g de plata y 2 g de oro. La empresa puede producir 9 g de plata y 8 g de oro. Si cada unidad del tipo A genera una utilidad de 40 rupias y la del tipo B 50 rupias, encuentre el número de unidades de cada tipo que la empresa debe producir para maximizar la utilidad. ¿Cuál es la ganancia máxima?
Solución:
Suponga que el número necesario de bienes A y B son x e y respectivamente.
Como, las ganancias de cada A y B son Rs. 40 y Rs. 50 respectivamente.
Por lo tanto, las ganancias en x número de tipo A y y número de tipo B son 40x y 50y respectivamente.
Suponga que Z es la producción total diaria,
Asi que,
Z = 40x + 50y
Entonces, cada A y B necesita 3 gramos y 1 gramo de plata respectivamente.
Así, x de tipo A e y de tipo B necesitan 3x e y de plata respectivamente.
Pero,
La plata total disponible es de 9 gramos. Asi que,
3x + y
9 {Primera restricción}
Entonces, cada A y B necesita 1 gramo y 2 gramos de oro respectivamente.
Así, x de tipo A e y de tipo B requieren x y 2y respectivamente.
Pero el oro total disponible es de 8 gramos.
De este modo,
x + 2y ≤ 8 {Segunda restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 40x + 50y
Sujeto a restricciones,
3x + y ≤ 9
x + 2y ≤ 8
x, y ≥ 0 {Ya que la producción de A y B no puede ser menor que cero}
Área 3x + y ≤ 9: la línea 3x + y = 9 conecta los ejes en A(3, 0), B(0, 9) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 3x + y ≤ 9
As, origen asegura 3x + y ≤ 9.
Área x + 2y ≤ 8: la línea x + 2y = 8 conecta los ejes en C(8, 0), D(0, 4) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra x + 2y ≤ 8 como origen y asegura que x + 2y ≤ 8.
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), D(0, 4), E(2, 3), A(3, 0)
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes
Puntos de esquina Z = 40x + 50y O 0 D 200 mi 230 A 120 El valor máximo de Z es 230 que se obtiene en E(2, 3).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 230 rupias cuando se producen 2 unidades del tipo A y 3 unidades del tipo B.
Pregunta 10. Un fabricante de muebles fabrica dos productos: sillas y mesas. El procesamiento de estos productos se realiza en dos máquinas A y B. Una silla requiere 2 horas en la máquina A y 6 horas en la máquina B. Una mesa requiere 4 horas en la máquina A y 2 horas en la máquina B. Hay 16 horas de tiempo por día disponible en la máquina A y 30 horas en la máquina B. La ganancia obtenida por el fabricante de una silla y una mesa es de 3 rupias y 5 rupias respectivamente. Encuentre con la ayuda del gráfico cuál debería ser la producción diaria de cada uno de los dos productos para maximizar su beneficio.
Solución:
Suponga que la producción diaria de sillas y mesas es x e y respectivamente.
Entonces, las ganancias de cada silla y mesa son Rs. 3 y Rs. 5 respectivamente.
Por lo tanto, las ganancias en x número de tipo A y y número de tipo B son 3x y 5y respectivamente.
Suponga que Z es la producción total diaria,
Asi que,
Z = 3x + 5y
Como, cada silla y mesa necesita 2 horas y 3 horas en la máquina A respectivamente.
Entonces, x número de sillas e y número de mesas necesitan 2x y 4y horas en la máquina A respectivamente.
Pero,
El tiempo total disponible en la Máquina A es de 16 horas.
Asi que,
2x + 3y ≤ 16
x + 2y ≤ 8 {Primera restricción}
Entonces, cada silla y mesa necesita 6 horas y 2 horas en la máquina B respectivamente.
Dado que x número de sillas e y número de mesas necesitan 6x y 2y horas en la máquina B respectivamente.
Pero,
El tiempo total necesario en la máquina B es de 30 horas. Asi que,
6x + 2y ≤ 30
3x + y ≤ 15 {Segunda restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 3x + 5y
Sujeto a restricciones,
x + 2y ≤ 8
3x + y ≤ 15
x, y ≥ 0 {Ya que la producción de sillas y mesas no puede ser menor que cero}
Área x + 2y ≤ 8: la línea x + 2y = 8 conecta los ejes en A(8, 0), B(0, 4) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra x + 2y ≤ 8
As, el origen asegura x + 2y ≤ 8.
Área 3x + y ≤ 15: la línea 3x + y = 15 conecta los ejes en C(5, 0), D(0, 15) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 3x + y ≤ 15 como origen asegura 3x + y ≤ 15
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 4), E(22/5, 9/5) y C(5, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes,
Puntos de esquina Z = 3x + 5y O 0 B 20 mi 22.2 C 15 El valor máximo de Z es 22,2 que se obtiene en E(22/5, 9/5).
Por lo tanto, la ganancia máxima de Rs 22,2 cuando se producen 22/5 unidades de silla y 9/5 unidades de mesa.
Pregunta 11. Una empresa de fabricación de muebles planea fabricar dos productos: sillas y mesas. De sus recursos disponibles que consta de 400 pies cuadrados de madera de teca y 450 horas-hombre. Se sabe que para hacer una silla se requieren 5 pies cuadrados de madera y 10 horas-hombre y rinde una ganancia de 45 rupias, mientras que cada mesa usa 20 pies cuadrados de madera y 25 horas-hombre y rinde una ganancia de 80 rupias. ¿Cuántos artículos de cada producto debe producir la empresa para que la ganancia sea máxima?
Solución:
Suponga que la producción necesaria de sillas y mesas sea x e y respectivamente.
Como, las ganancias de cada silla y mesa son Rs. 45 y Rs. 80 respectivamente.
Por lo tanto, las ganancias en x número de tipo A y y número de tipo B son 45x y 80y respectivamente.
Suponga que Z es la producción total diaria,
Entonces, Z = 45x + 80y
Como, cada silla y mesa necesita 5 pies cuadrados y 80 pies cuadrados de madera respectivamente.
Como, x número de sillas e y número de mesas necesitan 5x y 80y pies cuadrados de madera respectivamente.
Pero se puede acceder a 400 pies cuadrados de madera.
Entonces, 5x + 80y ≤ 400
x + 4y ≤ 80 {Primera restricción}
Como, cada silla y mesa necesita 10 y 25 hombres – horas respectivamente.
Como, x número de sillas e y número de mesas necesitan 10x y 25y hombres – horas respectivamente.
Pero,
Sólo 450 horas están disponibles.
Asi que,
10x + 25y ≤ 450
2x + 5y ≤ 90 {Segunda Restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 45x + 80y
Sujeto a restricciones,
x + 4y ≤ 80
2x + 5y ≤ 90
x, y ≥ 0 {Ya que la producción de sillas y mesas no puede ser menor que cero}
Área x + 4y ≤ 80: la línea x + 4y = 80 conecta los ejes en A(80, 0), B(0, 20) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra x + 4y ≤ 80 como origen asegura que x + 4y ≤ 80
Área 2x + 5y ≤ 90: la línea 2x + 5y = 90 conecta los ejes en C(45, 0), D(0, 20) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 2x + 5y ≤ 90
Como origen asegurar 2x + 5y ≤ 90
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), D(0, 18), C(45, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 45x + 80y O 0 D 1440 C 2025 El valor máximo de Z es 2025 que se obtiene en C(45, 0).
Por lo tanto, la ganancia máxima de Rs 2025 se alcanza cuando se producen 45 unidades de sillas y ninguna unidad de mesas.
Pregunta 12. Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada producto se procesa en dos máquinas M 1 y M 2 . El producto A requiere 4 minutos de tiempo de procesamiento en M 1 y 8 min. en M2 ; el producto B requiere 4 minutos en M 1 y 4 min. en M 2 . La máquina M 1 está disponible por no más de 8 h 20 min. mientras que la máquina M 2 está disponible por 10 hrs. durante cualquier jornada laboral. Los productos A y B se venden con una ganancia de Rs 3 y Rs 4 respectivamente. Formule el problema como un problema de programación lineal y encuentre cuántos productos de cada tipo debe producir la empresa cada día para obtener la máxima ganancia y resuélvalo gráficamente.
Solución:
Suponga que la producción necesaria del producto A y B sea x e y respectivamente.
Como, las ganancias de cada producto A y B son Rs. 3 y Rs. 4 respectivamente.
Por lo tanto, las ganancias en x número de tipo A y y número de tipo B son 3x y 4y respectivamente.
Suponga que Z es la producción total diaria,
Asi que,
Z = 3x + 4y
Por lo tanto, cada A y B necesita 4 minutos cada uno en la máquina M 1 .
Como x de tipo A e y de tipo B necesitan 4x y 4y minutos respectivamente.
Pero,
El tiempo total accesible en la máquina M 1 es de 8 horas 20 minutos = 500 minutos.
De este modo,
4x + 4y ≤ 500
x + y ≤ 125 {Primera restricción}
Entonces, cada A y B necesita 8 minutos y 4 minutos en la máquina M 2 respectivamente.
Así, x de tipo A e y de tipo B necesitan 8x y 4y minutos respectivamente.
Pero,
El tiempo total accesible en la máquina M 1 es de 10 horas = 600 minutos.
De este modo,
8x + 4y ≤ 600
2x + y ≤ 150 {Segunda restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 3x + 4y
Sujeto a restricciones,
x + y ≤ 125
2x + y ≤ 150
x, y ≥ 0 {Ya que la producción de A y B no puede ser menor que cero}
Área x + y ≤ 125: la línea x + y = 125 conecta los ejes en A(125, 0), B(0, 125) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra x + y ≤ 125 como origen y asegura que x + y ≤ 125.
Área 2x + y ≤ 150: la línea 2x + y = 150 conecta los ejes en C(75, 0), D(0, 150) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 2x + y ≤ 150 como origen asegura 2x + y ≤ 150.
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 125), E(25, 100) y C(75, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 3x + 4y O 0 B 500 mi 475 C 225 El valor máximo de Z es 500 que se obtiene en B(0, 125).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 500 rupias cuando no hay unidades del producto A y
Se fabrican 125 unidades del producto B.
Pregunta 13. Una empresa que fabrica dos tipos de artículos eléctricos, A y B, puede obtener una ganancia de 20 rupias por unidad de A y 30 rupias por unidad de B. Cada unidad de A requiere 3 motores y 4 transformadores y cada unidad de B requiere 2 motores y 4 transformadores. El suministro total de estos por mes está restringido a 210 motores y 300 transformadores. El tipo B es un modelo de exportación que requiere un estabilizador de voltaje que tiene un suministro restringido a 65 unidades por mes. Formule el problema de programación lineal para obtener el máximo beneficio y resuélvalo gráficamente.
Solución:
Suponga que se fabricaron x unidades del artículo A e y unidades del artículo B.
Los números de elementos no pueden ser negativos.
Por lo tanto,
x, y ≥ 0 (siempre)
Dado: La información se puede tabular de la siguiente manera:
Productos Motores Transformadores Hacha) 3 4 Por) 2 4 Disponibilidad 210 300 Así, tras esto se da que el tipo B es un modelo de exportación, cuya oferta está restringida a 65 unidades mensuales.
Asi que,
Las restricciones son
3x + 2y ≤ 210
4x + 4y ≤ 300
y ≤ 65
A y B pueden obtener una ganancia de 20 y 30 rupias por unidad, respectivamente.
Por lo tanto, la ganancia obtenida de x unidades del artículo A y y unidades del artículo B es Rs 20x y 30y respectivamente.
Suponga que el beneficio total es Z,
Asi que,
Beneficio total = Z = 20x + 30y según la pregunta se maximizará.
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 20x + 30y
Sujeto a restricciones
3x + 2y ≤ 210
4x + 4y ≤ 300
y ≤ 65
x, y ≥ 0
Área mostrada por 3x + 2y ≤ 210: La línea 3x + 2y = 210 conecta los ejes en A(70, 0), B(0, 105) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 3x + 2y ≤ 210 como origen asegura 3x + 2y ≤ 210.
Área mostrada por 4x + 4y ≤ 300: La línea 4x + 4y = 300 conecta los ejes en C(75, 0), D(0, 75) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra 4x + 4y ≤ 300 como origen asegura 4x + 4y ≤ 300
y = 65 es la línea que pasa por el punto E(0, 65) y es paralela al eje x.
Área x,y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de esquina son O(0, 0), E(0, 65), G(10, 65), F(60, 15) y A(70, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 20x + 30y O 0 mi 1950 GRAMO 2150 F 1650 A 1400 El valor máximo de Z es 2150 que se obtiene en G(10, 65).
Por lo tanto, la ganancia máxima es Rs. 2150 alcanzado cuando 10 unidades del artículo A y
Se fabrican 65 unidades del artículo B.
Pregunta 14. Una fábrica utiliza tres recursos diferentes para la fabricación de dos productos diferentes, estando disponibles 20 unidades de recursos A, 12 unidades de B y 16 unidades de C. 1 unidad del primer producto requiere 2, 2 y 4 unidades de los respectivos recursos y 1 unidad del segundo producto requiere 4, 2 y 0 unidades de los respectivos recursos. Se sabe que el primer producto da una ganancia de 2 unidades monetarias por unidad y el segundo 3. Formule el problema de programación lineal. ¿Cuántas unidades de cada producto se deben fabricar para maximizar la utilidad? Resuélvelo gráficamente.
Solución:
Suponga que el número del producto I y el producto II son x e y respectivamente.
Como, las ganancias de cada producto I y II son 2 y 3 unidades monetarias.
Como, las ganancias en x número de Producto I y y número de Producto II son 2x y 3y respectivamente.
Suponga que Z es la producción total diaria,
Asi que,
Z = 2x + 3y
Aquí, cada I y II necesita 2 y 4 unidades de recursos A.
Entonces, x unidades del producto I e y unidades del producto II necesitan 2x y 4y minutos respectivamente.
Pero, la cantidad máxima disponible de recursos A es de 20 unidades.
Asi que,
2x + 4y ≤ 20
x + 2y ≤ 10 {Primera restricción}
Entonces, cada I y II necesita 2 y 2 unidades de recursos B.
Entonces, x unidades del producto I e y unidades del producto II necesitan 2x y 2y minutos respectivamente.
Pero, la cantidad máxima disponible de recursos A es de 12 unidades.
Asi que,
2x + 2y ≤ 12
x + y ≤ 6 {Segunda restricción}
Aquí, cada unidad de producto I requiere 4 unidades de recursos C.
No es necesario para el producto II. Así, x unidades del producto I requieren 4x unidades del recurso C.
Pero, la cantidad máxima disponible de recursos C es de 16 unidades.
De este modo,
4x ≤ 16
x ≤ 4 {Tercera Restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = 2x + 3y
Sujeto a restricciones,
x + 2y ≤ 10
x + y ≤ 6
X ≤ 4
x, y ≥ 0 {Ya que la producción para I y II no puede ser menor que cero}
Área mostrada por x + 2y ≤ 10: La línea x + 2y = 10 conecta los ejes en A(10, 0), B(0, 5) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra x + 2y ≤ 10 como origen y asegura que x + 2y ≤ 10.
Área mostrada por x + y ≤ 6: La línea x + y = 6 conecta los ejes en C(6, 0), D(0, 6) respectivamente.
El área que tiene el origen muestra x + y ≤ 6 como origen asegura que x + y ≤ 6
Área x, y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B(0, 5), G(2, 4), F(4, 2) y E(4, 0).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 2x + 3y O 0 B 15 GRAMO dieciséis F 14 mi 8 El valor máximo de Z es 16 que se obtiene en G (12, 4).
Por lo tanto, la ganancia máxima es de 16 unidades monetarias cuando se obtienen 2 unidades del primer producto y
Se fabricaron 4 unidades de segundo producto.
Pregunta 15. Un editor vende una edición de tapa dura de un libro de texto por Rs 72,00 y una edición en rústica de la misma extensión por Rs 40,00. Los costos para el editor son Rs 56,00 y Rs 28,00 por libro, respectivamente, además de los costos semanales de Rs 9600,00. Ambos tipos requieren 5 minutos de tiempo de impresión, aunque la tapa dura requiere 10 minutos de tiempo de encuadernación y el libro de bolsillo requiere solo 2 minutos. Tanto la operación de impresión como la de encuadernación tienen 4.800 minutos disponibles cada semana. ¿Cuántos libros de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad?
Solución:
Suponga que la venta de la edición de portada manual sea ‘h’ y la de las ediciones de bolsillo sea ‘t’.
SP de una edición de tapa dura del libro de texto = Rs 72
SP de una edición de bolsillo del libro de texto = Rs 40
Costo para el editor de la edición de tapa dura = Rs 56
Costo para el editor de una edición de bolsillo = Rs 28
Costo semanal para el editor = Rs 9600
Beneficio a maximizar, Z = (72 – 56)h + (40 – 28)t – 9600
Z = 16h + 12t – 9600
5(h + t) ≤ 4800
10h + 2t ≤ 4800.
Los puntos de las esquinas son O(0, 0), B1(0, 960), E 1 (360, 600) y F 1 (480, 00).
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = 16h + 12t – 9600 O -9600 B 1920 mi 3360 F -1920 El valor máximo de Z es 3360 que se obtiene en E 1 (360, 600).
Por lo tanto, la ganancia máxima es 3360, que se obtiene vendiendo 360 copias de la edición de tapa dura y
Edición en rústica de 600 ejemplares.
Pregunta 16. Una empresa fabrica pastillas para el dolor de cabeza en dos tamaños A y B. El tamaño A contiene 2 granos de aspirina, 5 granos de bicarbonato y 1 grano de codeína; el tamaño B contiene 1 grano de aspirina, 8 granos de bicarbonato y 66 granos de codeína. Los usuarios han descubierto que requiere al menos 12 granos de aspirina, 7,4 granos de bicarbonato y 24 granos de codeína para proporcionar efectos inmediatos. Determine gráficamente el número mínimo de pastillas que un paciente debe tener para obtener un alivio inmediato. Determinar también la cantidad de codeína consumida por paciente.
Solución:
Aquí, el LPP anterior se puede mostrar como una tabla a continuación,
Pastilla tamaño A Pastilla tamaño B X Y Aspirina 2x 1 año ≥ 12 Bicarbonato 5x 8 años ≥ 7,4 Codeína 1x 66 años ≥ 24 Alivio X Y Minimizar Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z máx = x + y
Sujeto a restricciones,
2x + y ≥ 12
5x + 8y ≥ 7,4
x + 66y ≥ 24
x, y ≥ 0 {Ya que la producción no puede ser menor que cero}
Los puntos de las esquinas son B(0, 12), P(5.86, 0.27), E(24, 0)
Los valores de Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Puntos de esquina Z = x + y (0, 12) 12 (24, 0) 24 (5.86, 0.27) 6.13 El valor mínimo de Z es 6,13.
Pero,
El área es ilimitada, por lo tanto, verifique si x + y < 6.13
Así, podemos ver que no tiene ninguna zona común.
Entonces, x = 5.86, y = 0.27
Esta es la menor cantidad de pastilla A y B.
Cantidad de codeína = x + 66y = 5,86 + (66 × 0,27) = 24 (aprox.).
Pregunta 17. Una empresa química produce dos compuestos, A y B. La siguiente tabla proporciona las unidades de ingredientes, C y D por kg de compuestos A y B, así como los requisitos mínimos de C y D y los costos por kg de A y B Encuentre las cantidades de A y B que darían un suministro de C y D a un costo mínimo.
| Compuesto | Requerimiento mínimo | ||
| A | B | ||
| Ingrediente C | 1 | 2 | 80 |
| ingrediente D | 3 | 1 | 75 |
| Costo en Rs por kg | 4 | 6 | |
Solución:
Suponga que la cantidad necesaria de compuestos A y B son x e y kg.
Como, el costo de un kg de compuesto A y B es Rs 4 y Rs 6 por kg. Asi que,
El costo de x kg del compuesto A y y kg del compuesto B son Rs 4x y Rs 6y
Respectivamente.
Suponga que Z es el costo total de los compuestos,
Asi que,
Z = 4x + 6y
Como los compuestos A y B contienen 1 y 2 unidades del ingrediente C por kg respectivamente,
Así, x kg del compuesto A e y kg del compuesto B contienen x y 2y unidades de
ingrediente C respectivamente, pero el requisito mínimo del ingrediente C es de 80 unidades,
Asi que,
x + 2y ≥ 80 {primera restricción}
Por lo tanto, el compuesto A y B tienen 3 y 1 unidades del ingrediente D por kg respectivamente,
Por lo tanto, x kg del compuesto A e y kg del compuesto B tienen 3x e y unidades de
ingrediente D respectivamente, pero la necesidad mínima del ingrediente C es de 75 unidades, entonces,
3x + y ≥ 75 {segunda restricción}
Por lo tanto, la fórmula del problema de programación lineal dado es
Z mín. = 4x + 6y
Sujeto a restricciones,
x + 2y ≥ 80
3x + y ≥ 75
x, y ≥ 0 {Ya que la producción no puede ser menor que cero}
Área x + 2y ≥ 80: la línea x + 2y = 80 conecta ejes en A(80, 0), B(0, 40) respectivamente.
El área que no tiene origen muestra x + 2y ≥ 80 ya que (0, 0) no asegura x + 2y ≥ 80.
Área 3x + y ≥ 75: la línea 3x + y = 75 conecta ejes en C(25, 0), D(0, 75) respectivamente.
El área que no tiene origen muestra 3x + y ≥ 75 ya que (0, 0) no asegura 3x + y ≥ 75.
Área x,y ≥ 0: muestra el primer cuadrante.
Los puntos de las esquinas son D(0, 75), E(14, 33), A(80, 0).
Los valores en Z en estos puntos de esquina son los siguientes:
Punto de esquina Z = 4x + 6y D 450 mi 254 A 320 El valor mínimo de Z es 254 que se obtiene en E(14, 33).
Por lo tanto, el costo mínimo es de Rs 254 alcanzado cuando 14 unidades del compuesto A y
Se producen 33 unidades del compuesto B.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA