Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 31 Probabilidad – Ejercicio 31.1

Pregunta 1: Se colocan diez cartas numeradas del 1 al 10 en una caja, se mezclan bien y luego se extrae una carta al azar. Si se sabe que el número de la carta extraída es mayor que 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea un número par?

Solución:

Aquí,
Espacio muestral (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Sea, A = el número en la carta extraída es par
Entonces, A = {2, 4, 6, 8, 10}
n(A) = 5
y B = el número de la carta extraída es mayor que 3
Entonces, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
n(B) = 7
Ahora, A ∩ B = {4, 6, 8, 10}
n(A ∩ B) = 4
Por lo tanto, la probabilidad requerida es –
P(A/B) = n(A ∩ B)/ n(B) = 4 /7

Pregunta 2: Suponga que cada niño nacido tiene la misma probabilidad de ser niño o niña. Si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad condicional de que ambos sean niñas dado que: 

(i) la menor es una niña.

(ii) al menos uno es una niña.

Solución:

Sean b y g las niñas y los niños respectivamente. Si una familia tiene dos hijos, el espacio muestral será –
S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}
n(S) = 4
Sea A el caso de que ambos niños sean niñas.
Entonces, A = {(g, g)}
n(A) = 1

(i) Sea B el evento de que el hijo menor sea una niña.
Entonces, B = {(b, g), (g, g)}
n(B) = 2
Ahora, A ∩ B = {(g, g)}
n(A ∩ B) = 1
Entonces, P(B) = n(B)/ n(S) = 2/4 = 1/2
y P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/ n(S) = 1/4

Ahora, la probabilidad condicional de que ambos sean niñas, dado que el hijo menor es una niña, es –
P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B) = (1/4)/ (1/2 ) = 1/2
Por lo tanto, la probabilidad requerida es 1/2.

(ii) Sea C el evento de que al menos un hijo sea niña.
Entonces, C = {(b, g), (g, b), (g, g)}
n(C) = 3
Ahora, A ∩ C = {(g, g)}
n(A ∩ C) = 1
Entonces, P(C) = n(C)/ n(S) = 3/4
y P(A ∩ C) = n(A ∩ C)/ n(S) = 1/4

Ahora, la probabilidad condicional de que ambos sean niñas, dado que el hijo menor es una niña, es –
P(A/C) = P(A ∩ C)/ P(C) = (1/4)/ (3/4 ) = 1/3
Por lo tanto, la probabilidad requerida es 1/3.

Pregunta 3: Dado que los dos números que aparecen al lanzar dos dados son diferentes. Encuentre la probabilidad del evento ‘la suma de los números en los dados es 4’.

Solución:

Sea A el evento de tener dos números diferentes en los dados.
Entonces, A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1) , (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), ( 5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
n(A) = 30
y siendo B el evento que obtiene una suma de 4 en los dados.
Entonces, B = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(B) = 3
Ahora, A ∩ B = {(1, 3), (3, 1)}
n( A ∩ B) = 2
Por lo tanto, la probabilidad condicional requerida es –
P(B/A) = n(A ∩ B)/ n(A) = 2/30 = 1/15

Pregunta 4: Se lanza una moneda tres veces, si sale cara en los dos primeros lanzamientos, calcule la probabilidad de que salga cara en el tercer lanzamiento.

Solución:

Sea A el evento de que salga cara en los dos primeros lanzamientos.
Entonces, A = {HHT, HHH}
n(A) = 2
y B sea el evento de obtener una cara en el tercer lanzamiento.
Entonces, B = {HHH, HTH, THH, TTH}
n(B) = 4
Ahora, A ∩ B = {HHH}
n(A ∩ B) = 1
Por lo tanto, la probabilidad condicional requerida es –
P(B/A) = n(A ∩ B)/ n(A) = 1/2

Pregunta 5: Se lanza un dado tres veces, encuentre la probabilidad de que salga 4 en el tercer lanzamiento si se sabe que en los dos primeros lanzamientos salen 6 y 5 respectivamente.

Solución:

Sea A el evento de que aparezca 4 en el tercer lanzamiento, si se lanza un dado tres veces.
Entonces, A = {(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (1, 5, 4), (1, 6, 4),
(2, 1, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 4), (2, 4, 4), (2, 5, 4), (2, 6, 4)
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (3, 5, 4), (3, 6, 4)
(4, 1, 4), (4, 2, 4), (4, 3, 4), (4, 4, 4), (4, 5, 4), (4, 6, 4)
(5, 1, 4 ) ), (5, 2, 4), (5, 3, 4), (5, 4, 4), (5, 5, 4), (5, 6, 4)
(6, 1, 4), ( 6, 2, 4), (6, 3, 4), (6, 4, 4), (6, 5, 4), (6, 6, 4)}
n(A) = 36
y B sea el evento de 6 y 5 que aparecen respectivamente en los dos primeros lanzamientos, si el dado se lanza tres veces.
Entonces, B = {(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)}
n(B) = 6
Ahora, A ∩ B = {(6, 5, 4)}
n(A ∩ B) = 1
Por lo tanto, la probabilidad requerida es –
P(A/B) = n(A ∩ B)/ n(B) = 1/6

Pregunta 6: Calcular P(A/B), si P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,32

Solución:

Dado, P(B) = 0.5 y P(A ∩ B) = 0.32
Sabemos que, P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B) = 0.32/ 0.5 = 16/25
Entonces, P (A/B) = 16/25

Pregunta 7: Si P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 y P(B/A) = 0,5, encuentre P(A ∩ B) y P(A/B).

Solución:

Dado, P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 y P(B/A) = 0.5
Sabemos que, 
P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A)
0.5 = P( A ∩ B)/ 0,4
P(A ∩ B) = 0,5 × 0,4 
Por tanto, P(A ∩ B) = 0,2

Ahora, P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B)= 0.2/ 0.3
Por lo tanto, P(A/B) = 2/3

Pregunta 8: Si A y B son dos eventos tales que P(A) = 1/3, P(B) = 1/5 y P(A ∪ B) = 11/30, encuentra P(A/B) y P (LICENCIADO EN LETRAS).

Solución: 

Dado, P(A) = 1/3, P(B) = 1/5 y P(A ∪ B) = 11/30
Sabemos que,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
11/30 = 1/3 + 1/5 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 1/3 + 1/5 – 11/30
P(A ∩ B) = (10 + 6 – 11)/ 30
P(A ∩ B) = 5/30 = 1/6
Ahora,
P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B)
P(A/B) = (1/6)/ (1/5)
P(A/B)= 5/6

y P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A)
P(B/A) = (1/6)/ (1/3)
P(B/A) = 3/6 = 1/ 2

Así, P(A/B) = 5/6 y P(B/A) = 1/2.

Pregunta 9: Una pareja tiene dos hijos. Encuentre la probabilidad de que ambos niños sean: 

(i) varones, si se sabe que al menos uno de los hijos es varón.

(ii) mujeres, si se sabe que el hijo mayor es una mujer.

Solución: 

Sean m y f las niñas y los niños respectivamente.

(i) Sea A el evento de que ambos sean varones. 
Entonces, A = {(m, m)}
n(A) = 1
y B sea el evento de que al menos uno sea hombre. 
Entonces, B = {(m, m), (m, f), (f, m)}
n(B) = 3
Ahora, A ∩ B = {(m, m)}
n(A ∩ B) = 1
Por lo tanto, la probabilidad requerida es –
P(A/B) = n(A ∩ B) / n(B) = 1/3

(ii) Sea C el evento de que ambas sean mujeres. 
Entonces, C = {(f, f)}
n(C) = 1
y D el evento de que el hijo mayor sea mujer. 
Entonces, D = {(f, m), (f, f)}
n(D) = 2
Ahora, C ∩ D = {(f, f)}
n(C ∩ D) = 1
Por lo tanto, la probabilidad requerida es –
P(C/D) = n(C ∩ D) / n(D) = 1/2