Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 31 Probabilidad – Ejercicio 31.3 | conjunto 2

Pregunta 15. Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener 7 como suma si se sabe que el segundo dado siempre exhibe un número primo.

Solución:

A = La suma de dos dados es igual a 7 = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}

B = El segundo dado siempre exhibe un número primo = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),

                                                                                      (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3),

                                                                                      (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

(A ∩ B) = {(6, 1), (2, 5), (4, 3)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 3/18 

= 1/6

Pregunta 16. Se lanza un dado. Si el resultado es un número impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo?

Solución:

Se lanza un dado

A = Un número primo en el dado = {2, 3, 5}

B = Un número impar en el dado = {1, 3, 5}

(A ∩ B) = {3, 5}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 2/3

Pregunta 17. Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener la suma de 8 o más, si sale 4 en el primer dado.

Se lanza un par de dados

A = Obtener la suma de 8 o más = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (3, 6), (6, 3) )

                                                       (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}

B = 4 en el primer dado = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}

(A ∩ B) = {(4, 4), (4, 5), (4, 6)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)

= 1/2

Pregunta 18. Encuentra la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en los dos dados sea 8, dado que al menos un dado no muestra cinco.

Solución:

Se lanza un par de dados

A = Obtener la suma de 8 o más = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}

B = Al menos un dado no muestra 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), 

                                                                    (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), 

                                                                    (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), 

                                                                    (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), 

                                                                    (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6)}

(A ∩ B) = {(2, 6), (4, 6), (6, 2)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 3/25 

Pregunta 19. Se seleccionan dos números al azar de los números enteros del 1 al 9. Si la suma es par, encuentre la probabilidad de que ambos números sean impares.

Solución:

A = Ambos números son impares = {(3, 1), (5, 1), (7, 1), (9, 1), (3, 7), (5, 7), (9, 7)

                                                  (3, 9), (5, 9), (7, 9), (7, 3), (7, 5), (7, 9), (5, 3)

                                                  (9, 3), (1, 3), (1, 5), (1, 7)}

B = La suma de ambos números es par = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (1, 9) ), 

                                                              (2, 8), (3, 7), (4, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3), (8, 6), 

                                                              (9, 5), (9, 7)}

(A ∩ B) = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (1, 9), (3, 7), (7, 5), ( 9, 3), (9, 5), (9, 7)

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 10/16 = 5/8

Pregunta 20. Se lanza un dado dos veces y se observa que la suma de los números que aparecen es 8. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que el número 5 haya aparecido al menos una vez?

Se lanza un dado dos veces

A = El número 5 ha aparecido al menos una vez

A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2) , (5, 3), (5, 4), (5, 6)}

B = La suma de los números es 8 = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}

(A ∩ B) = {(3, 5), (5, 3)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 2/5

Pregunta 21. Se lanzan dos dados y se sabe que el primer dado muestra un 6. Calcula la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en dos dados sea 7.

Solución:

Se lanzan dos dados

A = La suma de los números es 7 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

B = El primer dado muestra un 6 = {(6, 1), ((6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

(A ∩ B) = {(6, 1)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 1/6

Pregunta 22. Se lanza un par de dados. Sea A el evento de que la suma sea mayor o igual a 10 y F el evento “en el primer dado sale 5”. Encuentre P(A/B). Si B es el evento “aparece 5 en al menos un dado”, multa P(A/B).

Solución:

Se lanza un par de dados

A = La suma es mayor o igual a 10 = {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}

Caso 1: B = 5 aparece en el primer dado = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

(A ∩ B) = {(5, 5), (5, 6)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 2/6 = 1/3

Caso 2: B = 5 aparece en al menos un dado = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5),

                                                                            (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

(A ∩ B) = {(5, 5), (5, 6), (6, 5)}

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)

= 3/11

Pregunta 23. La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de una clase apruebe Matemáticas es 4/5, y la probabilidad de que apruebe Matemáticas e Informática es 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe Informática si se sabe que ha aprobado Matemáticas?

Solución:

Probabilidad de aprobar matemáticas: P(M) = 4/5

Probabilidad de aprobar Matemáticas (M) e Informática (C) = P(M ∩ C) = 1/2

Sabemos que, P(C/M) = P(M ∩ C) /P(M) 

= (1/2) ÷ (5/4) = 5/8

Pregunta 24. La probabilidad de que cierta persona compre una camisa es 0,2, la probabilidad de que compre un pantalón es 0,3 y la probabilidad de que compre una camisa dado que compra un pantalón es 0,4. Encuentre la probabilidad de que compre tanto una camisa como un pantalón. Encuentre también la probabilidad de que compre un pantalón dado que compra una camisa.

Solución:

Probabilidad de que una persona compre una camisa(S) = P(S) = 0.2

Probabilidad de que compre un pantalón(T) = P(T) = 0.3

P(S/T) = 0,4

Lo sabemos,

P(S/T) = P(S ∩ T)/P(T) 

P(S ∩ T) = 0,4 × 0,3 = 0,12

P(T/S) = P(S ∩ T)/P(S) 

= 0,12/0,2 = 0,6

Pregunta 25. En una escuela hay 1000 alumnos, de los cuales 430 son niñas. Se sabe que de 430, el 10% de las niñas estudian en la clase XII. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar estudie en la clase XII dado que el estudiante elegido es una niña?

Solución:

Estudiantes totales = 1000

Número de niñas = 430

Sea A = Estudios elegidos por el estudiante en la clase XII

B = El estudiante elegido es una niña

Entonces P(B) = 430/1000

P(A ∩ B) = 43/1000

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

= 43/430 = 1/10

Pregunta 26. Se colocan diez cartas numeradas del 1 al 10 en una caja, se mezclan bien y luego se extrae una carta al azar. Si se sabe que el número de la carta extraída es mayor que 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea un número par?

Solución:

Número total de tarjetas = 10

Sea A = el número sorteado es mayor que 3

B = el número sorteado es par

P(B/A) = P(B ∩ A)/P(A) 

P(A) = 7/10

PAG(A ∩ B) = 4/10

P(B/A) = 4/7

Pregunta 27. Suponga que cada niño nacido tiene la misma probabilidad de ser niño o niña. Si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad condicional de que ambos sean niñas? Dado que

(i) la menor es una niña

(ii) al menos uno es niña.

Solución:

(i) Sea ‘A’ el evento de que ambos hijos nacidos sean niñas.

Sea ‘B’ el evento de que la menor sea niña.

Tenemos que encontrar la probabilidad condicional P(A/B).

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

 PAG(A ∩ B) = PAG(A) = PAG(GG) 

= 1/2 × 1/2 = 1/4

P(B) = P(BG) + P(GG) 

= 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 = 1/2

Por lo tanto, P(A/B) = (1/4) ÷ (1/2) = 1/2

(ii) Sea ‘A’ el evento de que ambos hijos nacidos sean niñas.

Sea ‘B’ el evento de que al menos uno sea niña.

Tenemos que encontrar la probabilidad condicional P(A/B).

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) 

PAG(A ∩ B) = PAG(A) = PAG(GG) 

= 1/2 × 1/2 = 1/4

P(B) = 1 – P(BB) 

= 1 – 1/2 × 1/2 = 1 – 1/4 = 3/4

Por lo tanto, P(A/B) = (1/4) ÷ (3/4) = 1/3