Pregunta 13. Un dado imparcial se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de obtener 4, 5 o 6 en el primer lanzamiento y 1, 2, 3 o 4 en el segundo lanzamiento.
Solución:
Según pregunta:
Dado un dado imparcial se lanza dos veces.
Consideremos los acontecimientos,
A = Obtener 4, 5 o 6 en el primer lanzamiento
B = 1, 2, 3 o 4 en el segundo lanzamiento
⇒ P(A) = 3 / 6 = 1/2
Y, P(B) = 4/6 = 2/3
Ahora, tenemos que encontrar que
P(Obtener 4, 5 o 6 en el primer lanzamiento y 1, 2, 3 o 4 en el segundo lanzamiento)
= P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= 1/2 × 2/3 = 2/6 = 1/3
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 1/3
Pregunta 14. Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 2 negras. Se extrae una bola al azar. Se anota su color y luego se vuelve a poner en la bolsa. Se hace un segundo sorteo y se repite el mismo procedimiento. Encuentre la probabilidad de sacar (i) dos bolas rojas
(ii) dos bolas negras, (iii) la primera bola roja y la segunda negra.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 2 negras.
Consideremos los siguientes eventos,
A = Subirse a la bola roja.
B = Conseguir una bola negra.
Ahora, P(A) = 3/5 y, P(B) = 2/5
Ahora, tenemos que encontrar eso,
(i) P(Obtener dos bolas rojas)
= P(A) P(A)
= 3/5 × 3/5 = 9/25
Entonces, P(Obtener dos bolas rojas) = 9/25
(ii) P (Obtener dos bolas negras)
= P(B) P(B)
= 2/5 × 2/5 = 4/ 25
Entonces, P(Obtener dos bolas negras) = 4/25
(iii) P (Obtener la primera bola roja y la segunda bola negra)
= P(A) P(B)
= 3/5 × 2/5 = 6/ 25
Entonces, P(Obtener la primera bola roja y la segunda bola negra) = 6/25
Pregunta 15. Se sacan tres cartas con reemplazo de un paquete de cartas bien barajado. Encuentre la probabilidad de que las cartas extraídas sean rey, reina y jota.
Solución:
Según pregunta:
Se extraen tres cartas con reposición. sabemos que hay
son 52 cartas en las que 4 reyes, 4 reinas y 4 jotas.
Consideremos los siguientes eventos
A = dibujar un rey
B = Dibujar una reina
C = Dibujar un gato
Ahora, P(A) = 4/ 52 = 1/13
⇒ P(G) = 4/52 = 1/13
⇒ P(C) = 4/52 = 1/13
Ahora tenemos que encontrar eso,
P(Las cartas extraídas son el rey, la reina y la jota)
Dado que el orden de dibujo es diferente,
= P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ C ∩ B) + P(B ∩ A ∩ C) +
P(B ∩ C ∩ A) + P(C ∩ A ∩ B) + P(C ∩ B ∩ A)
= P(A) P(B) P(C) + P(A) P(C) P(B) + P(B) P(A) P(C) +
P(B) P(C) P(A) + P(C) P(A) P(B) +P(C) P(B) P(A)
Ahora, poniendo los valores de P(A), P(B) y P(C) en la expresión anterior, obtenemos
= 1/13 × 1/13 × 1/13 + 1/13 × 1/13 × 1/13 + 1/13 × 1/13 × 1/13 +
1/13 × 1/13 × 1/13 + 1/13 × 1/13 × 1/13 + 1/13 × 1/13 × 1/13
= (1/13 × 1/13 × 1/13) × 6
= 6/2197
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 6/2197
Pregunta 16: Un artículo fabricado por una empresa consta de dos partes X e Y. En el proceso de fabricación de la parte X, 9 de cada 100 partes pueden estar defectuosas. De manera similar, es probable que 5 de 100 sean defectuosos en la fabricación de la parte Y. Calcule la probabilidad de que el producto ensamblado no sea defectuoso.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
La pieza X tiene 9 de 100 defectuosos
Entonces, está claro que la Parte X tiene 91 de 100 no defectuosos
Ahora, la Parte Y tiene 5 de 100 defectuosos
Aquí, la Parte Y tiene 95 de 100 no defectuosos
Ahora consideremos los eventos,
X = Una pieza no defectuosa X
Y = Una pieza no defectuosa Y
Entonces, P(X) = 91/100 y P(Y) = 95/100
Tenemos que encontrar la probabilidad de que el producto ensamblado no sea defectuoso.
Ahora, P (el producto ensamblado no será defectuoso)
= P(Ni X defectuoso ni Y defectuoso)
= P(X ∩ Y) = P(X) P(Y)
= 91/100 × 95/100
= 0.8645
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 0.8645
Pregunta 17. La probabilidad de que A le dé al blanco es 1/3 y la probabilidad de que B le dé al blanco es 2/5. ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado si cada uno de A y B dispara al blanco?
Solución:
Según pregunta,
Dado que,
Probabilidad de que A dé en el blanco = 1/3
P(A) = 1/3
Y, la probabilidad de que B dé en el blanco = 2/5
P(B) = 2/5
Tenemos que encontrar eso,
P (se alcanzará el objetivo)
= 1 – P(no se alcanzará el objetivo)
= 1 – P(Ni A ni B dan en el blanco)
= 1 – PAG(A ‘ ∩ B ‘ )
= 1 – P(A ‘ ) P(B ‘ ) = 1 – [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= 1 – [1 – 1/3 ] [1 – 2/5]
= 1 – 2/3 × 3/5 = 1 – 2/5
= 3/5
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 3/5
Pregunta 18. Un cañón antiaéreo puede realizar un máximo de 4 disparos a un avión enemigo que se aleja de él. Las probabilidades de golpear el avión en el primer, segundo, tercer y cuarto disparo son 0,4, 0,3, 0,2 y 0,1 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que el arma golpee al avión?
Solución:
Según pregunta:
Dado que,
Un cañón antiaéreo puede realizar un máximo de 4 disparos a un avión enemigo.
Consideremos los siguientes eventos,
A = Golpear el avión en el primer disparo
B = Golpear el avión en el segundo disparo
C = Golpear el avión en el tercer disparo
D = Golpear el avión en el cuarto disparo
⇒ P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(C) = 0,2, P(D) = 0,1
Tenemos que encontrar eso
P (Pistola golpea el avión)
= 1 – P(Ninguno de los cuatro disparos dio en el avión)
= 1 – PAG(A ‘ ∩ B ‘ ∩ C ‘ ∩ D ‘ )
= 1 – P(A ‘ ) P(B ‘ ) P(C ‘ ) P(D ‘ )
= 1 – [1 – P(A)] [1 – P(B)] [1 – P(C)] [1 – P(D)]
Ahora, poniendo el valor de P(A), P(B), P(C) y P(D) en la expresión anterior,
= 1 – (0,6) (0,7) (0,8) (0,9)
= 1 – 0,3024
= 0,6976
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 0.6976
Pregunta 19. Las probabilidades en contra de cierto evento son de 5 a 2 y las probabilidades a favor de otro evento, independiente del primero, son de 6 a 5. Encuentre la probabilidad de que (a) ocurra al menos uno de los eventos, y (b ) ninguno de los eventos ocurrirá.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
Consideremos los siguientes eventos, A y B
Las probabilidades contra cierto evento (Digamos A) son 5 a 2
⇒ P(A ‘ ) = 5/(5 + 2) = 5/7
Y, Las probabilidades a favor de otro evento (Di B) son 6 a 5
⇒ P(B) = 6/(5 + 6) = 6/11
⇒ P(B ‘ ) =1 – 6/11 = 5/11
Ahora,
(a) P(Al menos uno de los eventos ocurrirá)
= 1 – P(Ninguno de los eventos ocurre)
= 1 – PAG(A ‘ ∩B ‘ ) = 1 – PAG(A ‘ ) PAG (B ‘ )
= 1 – 5/7 × 5/11 = 1 – 25/77
= 52/77
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 52/77
(b) P(Ninguno de los eventos ocurrirá)
= PAG(A ‘ ∩ B ‘ ) = PAG(A ‘ ) PAG(B ‘ )
= 5/7 × 5/11 = 25/77
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 25/77
Pregunta 20. Se lanza un dado tres veces. Encuentre la probabilidad de obtener un número impar al menos una vez.
Solución:
Según pregunta:
Dado que se lanza un dado tres veces
Consideremos los siguientes eventos,
A = Obtener un número impar en un lanzamiento de dado
Dado que 1, 3, 5 son números impares en el dado Entonces,
P(A) = 3/6 = 1/2
P(A ‘ ) = 1/2
Tenemos que encontrar eso,
P(Obtener un número impar al menos una vez)
= 1 – P(No obtener ningún número impar)
= 1 – P(A ‘ ) P(A ‘ ) P(A ‘ )
= 1 – 1/2×1/2×1/2 = 1 – 1/8
= 7/8
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 7/8
Pregunta 21. Se extraen dos bolas al azar con reemplazo de una caja que contiene 10 bolas negras y 8 rojas. Encuentre la probabilidad de que
(i) Ambas bolas son rojas
(ii) La primera bola es negra y la segunda es roja.
(iii) Uno de ellos es negro y el otro es rojo.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
La caja contiene 10 bolas negras y 8 bolas rojas.
Entonces, P(bola negra) = 10/18
P(bola roja) = 8/18
(i) P(Ambas bolas son rojas) = 8/18 × 8/18
= 4/9 × 4/9 = 16/81
(ii) P (La primera bola es negra y la segunda es roja).
= 10/18 × 8/18 = 20/81
(iii) P(Uno de ellos es negro y el otro es rojo)
= 10/18 × 8/18 + 8/18 × 10/18
= 2 × (20/81) = 40/81
Pregunta 22. Una urna contiene 4 bolas rojas y 7 azules. Se extraen dos bolas al azar con reemplazo. Encuentre la probabilidad de obtener (i) 2 bolas rojas (ii) 2 bolas azules (iii) una bola roja y una azul.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
La urna contiene 4 bolas rojas y 7 azules. Se extraen dos bolas al azar con reemplazo.
Consideremos los acontecimientos,
A = Sacar una bola roja de la urna.
P(A) = 4/11
B = Sacar una bola azul de la urna.
P (B) = 7/11
Ahora, tenemos que encontrar eso,
(i) P(Obtener 2 bolas rojas)
= P(A).P(A)
= 4/11×4/11 = 16/121
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 16/121
(ii) P(Obtener 2 bolas azules)
= P(B).P(B)
= 7/11 × 7/11 = 49/121
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 49/121
(iii) P (Obtener una bola roja y una azul)
= P(A).P(B) + P(B).P(A)
= 4/11 × 7/11 + 7/11 × 4/11
= 28/121 + 28/121 = 56/121
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 56/121
Pregunta 23. Las probabilidades de que dos alumnos A y B lleguen a tiempo a la escuela son 3/7 y 5/7 respectivamente. Suponiendo que los eventos «A llega a tiempo» y «B llega a tiempo» son independientes, encuentre la probabilidad de que solo uno de ellos llegue a tiempo a la escuela. Escribe al menos una ventaja de llegar a tiempo a la escuela.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
Los eventos, «A llegando en el tiempo» y «B llegando en el tiempo» son independientes.
Consideremos los acontecimientos,
A = A viniendo en el tiempo
B = B llegando a tiempo
Ahora, P(A) = 3/7, y P(A ‘ ) = 1- 3/7 = 4/7
P(B) = 5/7, y P(B ‘ ) = 1- 5/7 = 2/7
Ahora, tenemos que encontrar eso,
P (Solo uno llega a tiempo)
⇒ P(A ∩ B ‘ ) + P(A ‘ ∩ B) = P(A) × P(B ‘ ) + P(A ‘ ) × P(B) -(Ya que, A y B son eventos independientes)
⇒ 3/7 × 2/7 + 4/7 × 5/7 = 6/49 + 20/49 = 26/49
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 26/49
Las ventajas de llegar a la escuela a tiempo es que no tienes que
dale la multa tarde, no te perderás ninguna parte de la conferencia y muchas más.
Pregunta 24: Se lanzan dos dados juntos y se anota la puntuación total. Los eventos E, F y G son «un total de 4», «un total de 9 o más» y «un total divisible por 5», respectivamente. Calcule P(E), P(F) y P(G) y decida qué pares de eventos, si los hay, son independientes.
Solución:
Según pregunta:
Se da que,
Se lanzan dos dados juntos, por lo tanto, el espacio muestral total será 36.
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Entonces, n(S) = 36
Ahora, consideremos los eventos,
E ser el evento de obtener un total de 4
mi = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}
n(E) = 3
Ahora, P(E) = n(E)/n(S) = 3/36 = 1/12
Ahora, F sea el evento de obtener un total de 9 o más.
F = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6) , (6, 5), (6, 6)}
n(F) = 10
P(F) = n(F)/n(S) = 10/36 = 5/18
Ahora, sea G el evento de obtener un total divisible por 5.
G = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 6), (6, 4), (5, 5)}
n(G) = 7
P(G) = n(G) / n(S) = 7/36
Por lo tanto, podemos ver que ningún par es independiente.
Pregunta 25. Sean A y B dos eventos independientes tales que P(A) = p1 y P(B) = p2. Describa con palabras los eventos cuyas probabilidades son:
(i) p1p2 (ii) (1 – p1)p2 (iii) 1 – (1 – p1)(1 – p2) (iv) p1 + p2 = 2p1p2
Solución:
Según pregunta:
Se dice que los eventos son independientes, si la ocurrencia o no de uno
no afecta la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.
Ahora,
(i) p1p2 = P(A).P(B)
⇒ Ocurren tanto A como B.
(ii) (1 – p1)p2 = (1 – P(A)) P(B) = P(A ‘ ) P(B)
⇒ El evento A no ocurre pero B ocurre.
(iii) 1 – (1 – p1)(1 – p2) = [1 – (1 – P(A))(1 – P(B))] = (1 – P(A ‘ ) P(B ‘ ) )
⇒ Ocurre al menos uno de los eventos A o B.
(iv) p1 + p2 = 2p1p2
⇒ P(A) + P(B) = 2 P(A) P(B)
⇒ P(A) + P(B) – 2 P(A) P(B) = 0
⇒ P(A) – P(A) P(B) + P(B) – P(A) P(B) = 0
⇒ P(A) – P(A) P(B) + P(B) – P(A) P(B) = 0
⇒ P(A) – P(A) P(B) + P(B) – P(A) P(B) = 0
⇒ P(A) (1- P(B)) + P(B) (1 – P(A)) = 0
⇒ P(A) P(B ‘ ) + P(B) P(A ‘ ) = 0
⇒ P(A) P(B ‘ ) + P(B) P(A ‘ ) = 0,
⇒ P(A) P(B ‘ ) = – P(B) P(A ‘ )
⇒ Ocurre exactamente uno de A y B.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por iamsuryakant y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA