Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 31 Probabilidad – Ejercicio 31.4 | Serie 1

Pregunta 1(i). Se lanza una moneda tres veces y los ocho resultados son igualmente probables. Indique si los eventos A y B son independientes si, A = El primer lanzamiento resulta cara, B = El último lanzamiento resulta cruz

Solución: 

Según pregunta:

Se lanza una moneda tres veces 

Entonces, espacio muestral = {HTT, HHT, HTH, HHH, THT, THH, TTH, TTT}

Ahora, 

A = El resultado del primer tiro en la cabeza 

A = {HHT, HTH, HHH, HTT}

Ahora, B = El resultado del último lanzamiento en cola

B = {HHT, HTT, THT, TTT}

A ∩ B = {HHT, HTT}

PA(A) = 4 / 8 = 1/2

Similarmente,

P(B) = 1/2

Ahora,

PAG(A ∩ B) = 2/ 8 = 1/ 4

P(A), P(B) = 1/ 2, 1/ 2 

P(A) × P(B) = 1/4

Como sabemos que P(A ∩ B) = P(A)×P(B)

Entonces, A y B son eventos independientes.

Pregunta 1(ii). Se lanza una moneda tres veces y los ocho resultados son igualmente probables. Indique si los eventos A y B son independientes si, A = El número de caras es impar, B = El número de cruces es impar

Solución:

Según pregunta:

Se lanza una moneda tres veces

Entonces, espacio muestral = {HTT, HHT, HTH, HHH, THT, THH, TTH, TTT}

A = el número de caras es impar, B = el número de cruces es impar

Entonces, A = {HTT, THT, TTH, HHH}

B = {THH, HTH, HHT, TTT}

Aquí, A ∩ B = {} = ∅ 

P(A) = 4/8 = 1/2

P(B) = 4/8 = 1/2

Y, P(A ∩ B) = 0/8 = 0

Ahora, P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4

Entonces, podemos ver que 

P(A) × P(B) ≠ P(A ∩ B)

Por lo tanto, A y B no son eventos independientes.

Pregunta 1(iii). Se lanza una moneda tres veces y los ocho resultados son igualmente probables. Indique si los eventos A y B son independientes si, A = El número de cara dos, B = El último lanzamiento resulta en cara

Solución:

Según pregunta:

Se lanza una moneda tres veces

Entonces, espacio muestral = {HTT, HHT, HTH, HHH, THT, THH, TTH, TTT}

Ahora,

A = El número de cabeza dos

A = {HHT, HTH, THH}

Ahora, B = El último tiro resulta en cabeza

B = {HHH, HTH, THH, TTH}

UN ∩ B = {THH, HTH}

PA(A) = 3/8 

P(B) = 4/8 = 1/2

Y, P(A ∩ B) = 2/8 = 1/4

Ahora, P(A) × P(B) = 3/8 ×1/2 = 3/16

Entonces, P(A) × P(B) ≠ P(A ∩ B)

Por lo tanto, A y B no son eventos independientes.

Pregunta 2. Demuestre que al lanzar un par de dados, la aparición del número 4 en el primer dado es independiente de la aparición del 5 en el segundo dado.

Solución:

Según pregunta:

Se lanzan un par de dados. Entonces, tiene 36 elementos en su espacio muestral.

A = Ocurrencia del número 4 en el primer dado.

P(A) = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}

B = Ocurrencia de 5 en el segundo dado.

P(B) = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

UN ∩ segundo = {(4, 5)}

Ahora, P(A) = 6/36 = 1/6, P(B) = 6/36 = 1/6 y P(A ∩ B) = 1/36

P(A) × P(B) = 1/6 × 1/6 = 1/36, que es igual a P(A ∩ B).

Por lo tanto, A y B son eventos independientes.

Pregunta 3(i). Se extrae una carta de un paquete de 52 cartas, de modo que cada carta tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Indique si los eventos A y B son independientes si, 

A = La carta que se extrae es un rey o una reina. 

B = La carta extraída es una reina o una jota.

Solución: 

Según pregunta:

Se extrae una carta de 52 cartas. Sabemos que tiene 4 reyes, 4 reinas, 4 jotas.

Ahora, A = La carta extraída es un rey o una reina.

Entonces, P(A) = (4 + 4)/52 = 8/52 = 2/13

B = La carta extraída es una reina o una jota.

Entonces, P(B) = (4 + 4)/52 = 8/52 = 2/13

Ahora, A ∩ B = La carta extraída es la reina (la reina es común en ambos)

PAG(A ∩ B) = 4/52 = 1/ 13

Ahora, P(A) × P(B) = 2/13 × 2/13 = 4/169

Podemos ver que la expresión anterior no es igual a P(A ∩ B). 

Entonces, A y B no son eventos independientes.

Pregunta 3(ii). Se extrae una carta de un paquete de 52 cartas, de modo que cada carta tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Indique si los eventos A y B son independientes si, 

A = La carta extraída es negra.

B = La carta extraída es un rey.

Solución:

Según pregunta:

Se extrae una carta de 52 cartas. Sabemos que hay 26 cartas negras. 

en el que 2 reyes son negros.

Ahora, A = La carta extraída es negra.

Entonces, P(A) = 26/52 = 1/2

B = La carta extraída es un rey.

Entonces, P(B) = 4/52 = 1/13

Ahora, A ∩ B = La carta robada es un rey negro

PAG(A ∩ B) = 2/52 = 1/ 26

Ahora, P(A) × P(B) = 1/2 × 1/13 = 1/26

P(A) × P(B) = P(A ∩ B) 

Entonces, A y B son eventos independientes.

Pregunta 3(iii). Se extrae una carta de un paquete de 52 cartas, de modo que cada carta tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Indique si los eventos A y B son independientes si, 

A = La carta que se saca es una pica.

B = La carta extraída es un as.

Solución:

Según pregunta:

Se extrae una carta de 52 cartas. Sabemos que hay 13 picas y 

4 As en el que 1 carta es as de picas.

Ahora, A = La carta extraída es una pica.

Entonces, P(A) = 13/52 = 1/4

B = La carta extraída es un as.

Entonces, P(B) = 4/52 = 1/13

Ahora, A ∩ B = La carta robada es un as de picas.

PAG(A ∩ B) = 1/52 = 1/ 52

Ahora, P(A) × P(B) = 1/4 × 1/13 = 1/52

P(A) × P(B) = P(A ∩ B)

Entonces, A y B son eventos independientes.

Pregunta 4: Se lanza una moneda tres veces. Sean definidos los eventos A, B y C como sigue:

A = el primer lanzamiento es cara, B = el segundo lanzamiento es cara, C = se lanzan exactamente dos caras seguidas.

Comprobar la independencia de (i) A y B (ii) B y C (iii) C y A

Solución:

Según pregunta:

Se lanza una moneda tres veces

Entonces, espacio muestral = {HTT, HHT, HTH, HHH, THT, THH, TTH, TTT}

A = primer lanzamiento es cara

A = {HHH, HHT, HTH, HTT} 

Entonces, P(A) = 4/8 = 1/2

B = segundo lanzamiento es cara

B = {HHH, HHT, THH, THT}

Entonces, P(B) = 4/8 = 1/2

C = exactamente dos cabezas seguidas, es decir, P(C) = {THH, HHT}

Entonces, P(C) = 2/8 = 1/4

Ahora, A ∩ B = {HHH, HHT}, es decir, P(A ∩ B) = 2/8 = 1/4

Ahora, B ∩ C = {HHT, THH}, es decir, P(B ∩ C) = 2/8 = 1/4

Y, A ∩ C = {HHT}, es decir, P(A ∩ C) = 1/8

(i) P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4 

Entonces, P(A) × P(B) = P(A ∩ B)

Por lo tanto, A y B son eventos independientes.

(ii) P(B) × P(C) = 1/2 × 1/4 = 1/8

Entonces, P(B)×P(C) ≠ P(B ∩ C)

Por lo tanto, B y C no son eventos independientes.

(iii) P(A) × P(C) = 1/2 × 1/4 = 1/8

Entonces, P(A) × P(C) = P(A ∩ C)

Por lo tanto, A y C son eventos independientes.

Pregunta 5. Si A y B son dos eventos tales que P(A) = 1/4, P(B) = 1/3 y P(A ∪ B) = 1/2, Demuestre que A y B son eventos independientes .

Solución:

Según pregunta:

se da que 

P(A) = 1/4, P(B) = 1/3 y P(A ∪ B) = 1/2

Como sabemos que,

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)

= 1/4 + 1/3 – 1/2

= 1/12

Ahora, P(A) × P(B) = 1/4 × 1/3 = 1/12

Entonces, P(A) × P(B) = P(A ∩ B)

Por lo tanto, A y B son eventos independientes.

Pregunta 6. Dados dos eventos independientes A y B tales que P(A) = 0.3 y P(B) = 0.6, Encuentra

(i) P(A ∩ B) (ii) P(A ∩ B’) (iii) P(A’ ∩ B)  

(iv) P(A’ ∩ B’) (v) P(A ∪ B) 

(vi) P(A ⁄ B) (vii) P(B ⁄ A) 

Solución:

Según pregunta:

Se da que A y B son eventos independientes y P(A) = 0.3, P(B) = 0.6

(i) Dado que A y B son eventos independientes, entonces,

 P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

= 0,3 × 0,6 = 0,18

(ii) P(A ∩ B ‘ )= P(A) – P(A ∩ B)

= 0,3 – 0,18 = 0,12

(iii) P(A ‘ ∩ B)= P(B) – P(A ∩ B)

= 0,6 – 0,18 = 0,42

(iv) P(A ‘ ∩ B ‘ ) = P(A ‘ ) × P(B ‘ )

= [1 – P(A)] × [1 – P(B)]

= [1 – 0,3] × [1- 0,6]

= 0,7 × 0,4 = 0,28

(v) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 0,3 + 0,6 – 0,18 = 0,72

(vi) P(A ⁄ B) = P(A ∩ B) / P(B)

= 0,18/ 0,6 = 0,3

(vii) P(B ⁄ A) = P(A ∩ B) / P(A)

= 0,18/ 0,3 = 0,6

Pregunta 7: Si P(no B) = 0.65, P(A ∪ B) = 0.85, y A y B son eventos independientes, entonces encuentre P(A).

Solución:

Según pregunta:

Se da que P(no B) = 0.65, P(A ∪ B) = 0.85

Sabemos que, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Como A y B son independientes

Entonces, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Además, P(no B) = 0,65,  

Entonces, P(B) = 0.35 -(Ya que P(no B) = 1 – P(B))

Por lo tanto, tenemos

⇒ 0,85 = P(A) + 0,35 – P(A) × (0,35)

⇒ 0,5 = P(A)[1-0,35]

⇒ 0,5/ 0,65 = P(A)

Entonces, P(A) = 0.77

Pregunta 8. Si A y B son dos eventos independientes tales que P(A’ ∩ B) = 2/15 y P(A ∩ B’) = 1/6, entonces encuentra P(B).

Solución:

Según pregunta:

Se da que P(A ‘ ∩ B) = 2/15 y P(A ∩ B ‘ ) = 1/6

Como A y B son independientes,

Entonces, P(A ‘ ) × P(B) = 2/15 ⇒ [1 – P(A)] P(B) = 2/15 -(1)

y P(A) × P(B ‘ ) = 1/6 ⇒ P(A) [1 – P(B)] = 1/6 -(2)

De la ecuación (1), obtenemos 

P(B) = 2/15 × 1/(1 – P(A))

Al sustituir el valor anterior de eq(1) en eq(2) obtenemos,

P(A)[1 – 2/(15(1-P(A)))] = 1/6

  ⇒ P(A)[15(1 – P(A)) – 2] / [15(1 – P(A))] = 1/6

 ⇒ 6P(A)(13 – 15P(A)) = 15(1 – P(A))

 ⇒ 2P(A)(13 – 15P(A)) = 5 – 5P(A)

 ⇒ 26P(A) – 30 [P(A)] ² + 5P(A) – 5 = 0

 ⇒ -30 [P(A)] ² + 31 P(A) – 5 = 0 -(3)

Esta es la forma de ecuación cuadrática reemplazar P(A) por x en eq(3)

-30x ² + 31x – 5 = 0

30x ² – 31x + 5 = 0

Entonces, x = -b ± √b ² – 4ac / 2a 

Donde, a = 30, b= -31 y c = 5

⇒ x = 31 ± √(-31) ² – 4(30)(5) / 60

= 31 ± √961 – 960 / 60

= 30 ± 19 / 60

= 50/60, 12/60 = 5/6, 1/5 

Entonces, P(A) = 5/6 o 1/5

Ahora, P(A) [1-P(B)] = 1/6

Al poner, P(A) = 5/6, obtenemos

5/6[1 – P(B)] = 1/6

⇒ 1 – P(G) = 1/5

⇒ P(B) = 1 – 1/5 = 4/5

Ahora, poniendo, P(A) = 1/5, obtenemos

1/5[1 – P(B)] = 1/6

⇒ 1 – P(G) = 5/6

⇒ P(B) = 1 – 5/6 = 1/6

Por lo tanto, P(B) = 4/5 o 1/6      

Pregunta 9. A y B son dos eventos independientes. La probabilidad de que ocurran A y B es 1/6 y la probabilidad de que ninguno ocurra es 1/3. Encuentre la probabilidad de ocurrencia de dos eventos.

Solución:

Según pregunta:

Se da que P(A ∩ B) = 1/6, P(A ‘ ∩ B ‘ ) = 1/ 3

Lo sabemos

PAG(A ‘ ∩ B ‘ ) = PAG(A ‘ ) × PAG(B ‘ )

1/3 = (1 – P(A))(1 – P(B))

1/3 = 1 – P(B) – P(A) + P(A) P(B)

1/3 = 1 – P(B) – P(A) + P(A ∩ B)

1/3 = 1 – P(B) – P(A) + 1/6

Ahora, P(A) + P(B) = 1+ 1/6 – 1/3 = 5/6

Entonces, P(A) = 5/6 – P(B) -(1)

Ahora, dado que, P(A ∩ B) = 1/6

⇒ P(A) P(B) = 1/6

⇒ [5/6 – P(B)]P(B) = 1/6 -(De la ecuación (1)) 

⇒ 5/6 P(G) – {P(G)} ² = 1/6

⇒ {P(G)} ² – 5/6 P(G) + 1/6 = 0

⇒ 6 {P(B)} ² – 5 P(B) + 1 = 0

Después de resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos,

⇒ [2P(G) – 1][3P(G) – 1] = 0

⇒ 2 P(B) -1 = 0 o 3P(B) -1 = 0 

⇒ P(B) = 1/2 o P(B) = 1/3

Ahora,

Usando la ecuación (1), 

Poniendo P(B) = 1/2, ⇒ P(A) = 5/6 – 1/2 = 1/3

Poniendo P(B) = 1/3, ⇒ P(A) = 5/6 – 1/3 = 1/2

Por lo tanto, P(A) = 1/3, P(B) = 1/2 o P(A) = 1/2, P(B) = 1/3.

Pregunta 10. Si A y B son dos eventos independientes tales que P(A ∪ B) = 0.60 y P(A) = 0.2, Halla P(B).

Solución:

Según pregunta:

Se da que, A y B son eventos independientes y P(A ∪ B) = 0.60, P(A) = 0.2, 

donde A y B son eventos independientes. 

Entonces, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Ahora sabemos que, P(A∪ B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)

⇒ 0,6 = 0,2 + P(B) – P(A) × P(B)

⇒ 0.6 – 0.2 = P(B) – 0.2×P(B) -(Ya que, P(A) = 0.2)

⇒ 0,4 = 0,8 P(B)

⇒ P(B) = 0,4/0,8 = 0,5

Pregunta 11. Se lanza un dado dos veces. Encuentre la probabilidad de obtener un número mayor a 3 en cada lanzamiento.

Solución: 

segun pregunta

Se lanza un dado dos veces 

Consideremos los eventos:

A = Obtener un número mayor que 3 en el primer lanzamiento

B = Obtener un número mayor que 3 en el segundo lanzamiento

Dado que, el número mayor que 3 en el dado es 4, 5, 6

Ahora, P(A) = 3/6 = 1/2

Y, P(B) = 3/6 = 1/2

Ahora, P(Obtener un número mayor a 3 en cada lanzamiento)

= PAG(A ∩ B) 

= P(A) P(B)

= 1/2 × 1/2 = 1/4

Por lo tanto, la probabilidad requerida = 1/4

Pregunta 12. Dado que la probabilidad de que A pueda resolver un problema es 2/3 y la probabilidad de que B pueda resolver el mismo problema es 3/5. Encuentre la probabilidad de que ninguno de los dos pueda resolver el problema.

Solución:

Según pregunta,

Se da que, Probabilidad de que A pueda resolver un problema = 2/3

⇒ P(A) = 2/3

⇒ P(A ‘ ) = 1 – 2/3 = 1/3

Ahora, la probabilidad de que B pueda resolver el mismo problema = 3/5

 ⇒ P(G) = 3/5

⇒ P(B ‘ ) = 1 – 3/5 = 2/5

Ahora tenemos que encontrar la probabilidad de que ninguno de ellos resuelva el problema.

Ahora, P (Ninguno de ellos resuelve el problema)

= PAG(A ‘ ∩ B ‘ ) = PAG(A ‘ ) × PAG(B ‘ )

⇒ 1/3 × 2/5 = 2/15

Por lo tanto, la probabilidad requerida = 2/15