Pregunta 24. X está tomando materias: Matemáticas, Física y Química en el examen. Sus probabilidades de sacar A en estas materias son 0,2, 0,3 y 0,5 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que obtenga.
(i) Calificación A en todas las materias (ii) Calificación A en ninguna materia (iii) Calificación A en dos materias.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
P(Obtener una nota A en matemáticas), P(A) = 0,2 y, P(A ‘ ) = 0,8
P(Obteniendo la calificación A en física), P(B) = 0.3 y, P(B ‘ ) = 0.7
P(Obteniendo una calificación A en química), P(C) = 0.5 y, P(C ‘ ) = 0.5
Ahora,
(i) P (Calificación A en todas las materias)
= P(A) × P(B) × P(C)
= 0,2 × 0,3 × 0,5
= 0,03
Por lo tanto, probabilidad requerida = 0.03
(ii) P (Grado A en ninguna materia)
= P(A ‘ ) × P(B ‘ ) × P(C ‘ )
= 0,8 × 0,7 × 0,5
= 0,28
Probabilidad requerida = 0.28
(iii) P (Grado A en dos materias)
= P(No grado A en matemáticas) + P(No grado A en física) + P(No grado A en química)
= P(A ‘ ) × P(B) × P(C) + P(A) × P(B ‘ ) × P(C) + P(A) × P(B) × P(C ‘ )
= 0,8 × 0,3 × 0,5 + 0,2 × 0,7 × 0,5 + 0,2 × 0,3 × 0,5
= 0,12 + 0,07 + 0,03
= 0,22
Por lo tanto, La probabilidad requerida = 0.22.
Pregunta 25. A y B lanzan por turnos dos dados, siendo premiado el primero que tire 9. Muestre que sus posibilidades de ganar están en la proporción 9: 8.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
A y B se turnan para lanzar dos dados.
Ahora, la suma de 9 se puede obtener por
mi = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
P(E) = 4/36 = 1/9 y P(E ‘ ) = 8/9
Ahora, P(A) = 1/9 y, P(A ‘ ) = 8/9
P(B) = 1/9 y P(B ‘ ) = 8/9
Ahora, deja que A comience el juego.
P(A gana el juego)
= P(obtener 9 en el primer lanzamiento) + P(obtener 9 en el tercer lanzamiento) + P(obtener 9 en el quinto lanzamiento) + ….
= 1/9 + 8/9 × 8/9 × 1/9 + 8/9 × 8/9 × 8/9 × 8/9 × 1/9 + …..
= 1/9 ×[1+ (8/9) 2 + (8/9) 4 + …]
= 1/9 ×[1/ (1 – (8/9) 2 )] [puesto que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 9/17
P(B gana el juego) = 1 – P(A gana el juego) = 1 – 9/17 = 8/17
Las posibilidades de ganar A:B son
= 9/17 : 8/17
= 9 : 8
Por lo tanto, las posibilidades de ganar de A: B son 9: 8.
Pregunta 26. A, B y C para lanzar una moneda. El que tire una cabeza gana. ¿Cuáles son sus respectivas posibilidades de ganar asumiendo que el juego puede continuar indefinidamente?
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
P(obteniendo cabeza) = 1/2
P(No obtener cabeza) = 1/2
P(A gana el juego)
= P(obtener cara en el primer lanzamiento) + P(obtener cara en el cuarto lanzamiento) + P(obtener cara en el 7º lanzamiento) + ….
= 1/2 + 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 + … ..
= 1/2 ×[1 + (1/2) 3 + (1/2) 6 + …]
= 1/2 ×[1/ (1 – (1/2) 3 )] [puesto que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 4/7
Ahora,
P(B gana el juego)
= P(obtener cara en el segundo lanzamiento) + P(obtener cara en el quinto lanzamiento) + P(obtener cara en el 8º lanzamiento) + ….
= 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1 /2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 + …..
= 1/4 ×[1+ (1/2) 3 + (1/2) 6 + …]
= 1/4 × [1/ (1 – (1/2) 3 )] [puesto que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 2/7
Ahora,
P(C gana el juego) = 1 – P(A gana) – P(B gana)
= 1 – 4/7 – 2/7
= 1/7
Por lo tanto, la probabilidad requerida de ganar de A, B y C es 4/7, 2/7 y 1/7.
Pregunta 27. Tres personas A, B, C lanzan un dado en sucesión hasta que una obtiene un ‘seis’ y gana el juego. Encuentre sus respectivas probabilidades de ganar.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
P(Obtener seis) = 1/6
P(No obtener seis) = 5/6
P(A gana el juego)
= P(obtener 6 en el primer lanzamiento) + P(obtener 6 en el cuarto lanzamiento) + P(obtener 6 en el 7º lanzamiento) + ….
= 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + … ..
= 1/6 ×[1 + (5/6) 3 + (5/6) 6 + …]
= 1/6 × [1/ (1 – (5/6) 3 )] [puesto que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 36/91
Ahora,
P(B gana el juego)
= P(obtener 6 en el segundo lanzamiento) + P(obtener 6 en el quinto lanzamiento) + P(obtener 6 en el 8º lanzamiento) + ….
= 5/6 × 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5 /6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + …..
= 5/36 × [1 + (5/6) 3 + (5/6) 6 + …]
= 5/36 × [1/ (1 – (5/6) 3 )] [Ya que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 30/91
Ahora,
P(C gana el juego) = 1 – P(A gana) – P(B gana)
= 1 – 36/91 – 30/91
= 25/91
Por lo tanto, la probabilidad requerida de ganar de A, B y C es 36/91, 30/91 y 25/91.
Pregunta 28. A y B se turnan para lanzar dos dados, el primero en lanzar 10 recibe el premio, muestra que si A tiene el primer lanzamiento, sus posibilidades de ganar están en la proporción 12:11.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
A y B se turnan para lanzar dos dados.
Ahora, la suma de 10 se puede obtener por
mi = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
P(E) = 3/36 = 1/12 y P(E ‘ ) = 11/12
Ahora, P(A) = 1/12 y, P(A ‘ ) = 11/12
P(B) = 1/12 y P(B ‘ ) = 11/12
Ahora, deja que A comience el juego.
P(A gana el juego)
= P(obtener 10 en el primer lanzamiento) + P(obtener 10 en el tercer lanzamiento) + P(obtener 10 en el quinto lanzamiento) + ….
= 1/12 + 11/12 × 11/12 × 1/12 + 11/12 × 11/12 × 11/12 × 11/12 × 1/12 + …..
= 1/12 × [1 + (11/12) 2 + (11/12) 4 + …]
= 1/12 × [1/ (1 – (11/12) 2 )] [ya que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 12/23
P(B gana el juego) = 1 – P(A gana el juego) = 1 – 12/23 = 11/23
Las posibilidades de ganar A:B son
= 23/12 : 23/11
= 12 : 11
Por lo tanto, las posibilidades de ganar de A : B son 12 : 11.
Pregunta 29. Hay 3 bolas rojas y 5 negras en la bolsa ‘A’ y 2 bolas rojas y 3 negras en la bolsa ‘B’. Se extrae una bola de la bolsa ‘A’ y dos de la bolsa ‘B’. Calcula la probabilidad de que de las 3 bolas extraídas una sea roja y 2 negras.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
Hay 3 bolas rojas y 5 negras en la bolsa ‘A’ y 2 rojas y 3 negras
bolas en la bolsa ‘B’. Y se extrae una bola de la bolsa ‘A’ y dos de la bolsa ‘B’.
Ahora,
P(una bola roja de la bolsa A y 2 bolas negras de la bolsa B) + P(una bola negra de la bolsa A y
una bola roja de la bolsa A y
una bola negra de la bolsa B)
= P(R1 ∩ (2B2)) + P(B1 ∩ R2 ∩ B2)
= 3/8 × 3/5 × 2/4 + 5/8 × 2/5 × 3/4 × 2
= 18/160 + 30/160 = 48/160
Probabilidad requerida = 3/10.
Pregunta 30. Fatima y John aparecen en una entrevista para dos vacantes en el mismo puesto. La probabilidad de la selección de Fátima es 1/7 y la de la selección de John es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que
(i) ambos serán seleccionados?
(ii) ¿solo uno de ellos será seleccionado?
(iii) ¿ninguno de ellos será seleccionado?
Solución:
Según la pregunta,
Se da que,
P(F) = 1/7 y, P(F ‘ ) = 6/7
P(J) = 1/5 y, P(J ‘ ) = 4/5
(i) P(Ambos serán seleccionados)
= P(F ∩ J)
= P(F) × P(J)
= 1/7 × 1/5 = 1/35
Por lo tanto, La probabilidad requerida = 1/35.
(ii) P (solo se seleccionará uno de ellos)
= P[(F ∩ J ‘ ) ∪ (F ‘ ∩ J)]
= P(F ∩ J ‘ ) + P(F ‘ ∩ J)
= P(F) × P(J ‘ ) + P(F ‘ ) × P(J)
= 1/7 × 4/5 + 6/7 × 1/5
= 4/35 + 6/35 = 10/35 = 2/7
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 2/7
(iii) P (ninguno de ellos será seleccionado)
= P(F ‘ ∩J ‘ )
= P(F ‘ ) × P(J ‘ )
= 6/7 × 4/5 = 24/35
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 24/35
Pregunta 31. Una bolsa contiene 8 canicas de las cuales 3 son azules y 5 rojas. Se extrae una canica al azar, se anota su color y se vuelve a colocar la canica en la bolsa. Se vuelve a sacar una canica de la bolsa y se anota su color. Encuentre la probabilidad de que la canica sea
(i) azul seguido de rojo.
(ii) azul y rojo en cualquier orden.
(iii) del mismo color.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
Una bolsa contiene 8 canicas de las cuales 3 son azules y 5 rojas. Y se extrae una canica al azar, se anota su color y se vuelve a colocar la canica en la bolsa.
Ahora,
(i) P(Obtener azul seguido de rojo)
= P(B) × P(R)
= 3/8 × 5/8 = 15/64
Probabilidad requerida = 15/64
(ii) P (Obtener azul y rojo en cualquier orden)
= P(B) × P(R) + P(R) × P(B)
= 3/8 × 5/8 + 5/8 × 3/8
= 30/64 = 15/32
Probabilidad requerida = 15/32.
(iii) P (del mismo color)
= P(R1) × P(R2) + P(B1) × P(B2)
= 5/8 × 5/8 + 3/8 × 3/8
= 25/64 + 9/64 = 34/64 = 17/32
Probabilidad requerida = 17/32
Pregunta 32. Una urna contiene 7 bolas rojas y 4 azules. Se extraen dos bolas al azar con reemplazo. Encuentre la probabilidad de obtener
(i) 2 bolas rojas
(ii) 2 bolas azules
(iii) Una bola roja y una azul.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
Una urna contiene 7 bolas rojas y 4 azules. Y, Se extraen dos bolas al azar con reposición.
Ahora,
(i) P(Obtener 2 bolas rojas)
= P(R1) × P(R2)
= 7/11 × 7/11 = 49/121
Probabilidad requerida = 49/121
(ii) P(Obtener 2 bolas azules)
= P(B1) × P(B2)
= 4/11 × 4/11 = 16/121
Probabilidad requerida = 16/121
(iii) P (Obtener una bola roja y otra azul)
= P(R) × P(B) + P(B) × P(R)
= 7/11 × 4/11 + 4/11 × 7/11
= 28/121 + 28/121 = 56/121
Probabilidad requerida = 56/121
Pregunta 33. Se saca una carta de una baraja bien barajada de 52 cartas. Se anota el resultado, se reemplaza la carta y se vuelve a barajar la baraja. Luego se extrae otra carta de la baraja.
(i) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean del mismo palo?
(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un as y la segunda una reina roja?
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
Se extrae una carta de un mazo bien barajado de 52 cartas. Se anota el resultado, se reemplaza la carta y se vuelve a barajar la baraja.
Ahora,
(i) Sabemos que hay cuatro palos: trébol, espada, diamante y corazón.
P(ambas cartas son del mismo palo)
= P(Ambas cartas son diamantes) + P(Ambas cartas son picas) +
P(Ambas cartas son tréboles) + P(Ambas cartas son corazones)
= 13/52 × 13/52 + 13/52 × 13/52 + 13/52 × 13/52 + 13/52 × 13/52
= 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 4/16 = 1/4
Probabilidad requerida = 1/4
(ii) Sabemos que hay cuatro ases y 2 reinas rojas.
= P(Obtener una carta as) × P(Obtener una reina roja)
= 4/52 × 2/52 = 1/338
Probabilidad requerida = 1/338.
Pregunta 34. De 100 alumnos se forman dos secciones de 40 y 60. Si usted y su amigo se encuentran entre 100 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que: (i) ambos ingresen a la misma sección? (ii) ambos ingresan a las diferentes secciones?
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
De 100 alumnos se forman dos secciones de 40 y 60.
Ahora,
(i) P(Ambos entran en la misma sección)
= P(Ambos ingresan a la misma sección A) + P(Ambos ingresan a la misma sección B)
= 40/100 × 40/100 + 60/100 × 60/100
= 4/25 + 9/25 = 13/25.
Por lo tanto, La probabilidad requerida = 13/25.
(ii) P(Ambos entran en diferente sección)
= 1 – P(Ambos entran en la misma sección)
= 1 – 13/25
= 12/25
Por lo tanto, la probabilidad requerida = 12/25
Pregunta 35. En un partido de hockey, los dos equipos A y B marcaron el mismo número de goles hasta el final del partido, por lo que para decidir el ganador, el árbitro pidió a ambos capitanes que lanzaran un dado alternativamente y decidieran que el equipo, cuyo capitán obtenga los primeros seis, será declarado ganador. Si se le pidió al capitán del equipo A que comenzara, encuentre sus respectivas probabilidades de ganar el partido y diga si la decisión del árbitro fue justa o no.
Solución:
Según pregunta,
Se da que,
P(Obtener seis) = 1/6
P(No obtener seis) = 5/6
P(A gana el juego)
= P(obtener 6 en el primer lanzamiento) + P(obtener 6 en el tercer lanzamiento) + P(obtener 6 en el 5º lanzamiento) + ….
= 1/6 + 5/6 × 5/6 × 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + …..
= 1/6 × [1 + (5/6) 2 + (5/6) 4 + …]
= 1/6 × [1/ (1 – (5/6) 2 )] [Ya que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 6/11
Ahora,
P(B gana el juego)
= P(obtener 6 en el segundo lanzamiento) + P(obtener 6 en el cuarto lanzamiento) + P(obtener 6 en el 6º lanzamiento) + ….
= 5/6 × 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 + … ..
= 5/36 × [1 + (5/6) 2 + (5/6) 4 + …]
= 5/36 × [1/ (1 – (5/6) 2 )] [puesto que, suma de términos infinitos de GP = a/1-r]
= 5/11
Aquí podemos ver que las probabilidades no son iguales. Entonces, la decisión del árbitro no fue justa.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por iamsuryakant y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA