Pregunta 1. ¿Cuáles de las siguientes distribuciones de probabilidades de variables aleatorias son sus distribuciones de probabilidad?
i.
Solución:
Sabemos que la suma de la distribución de probabilidad es siempre 1.
Suma de probabilidades (P(X))=P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)+P(X=-1)
=0,3+0,2+0,4+0,1+0,05=1,05>1
La suma de la distribución de probabilidad no es igual a 1. Por lo tanto, no es la distribución de probabilidad de las variables aleatorias dadas.
ii.
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(X) | 0.6 | 0.4 | 0.2 |
Solución:
Suma de probabilidades (P(X))=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0,6+0,4+0,2=1,2>1
La suma de la distribución de probabilidad no es igual a 1. Por lo tanto, no es la distribución de probabilidad de las variables aleatorias dadas.
iii.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X) | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
Solución:
Suma de probabilidades (P(X))=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
=0.1+0.5+0.2+0.1+0.1=1
La suma de la distribución de probabilidad es igual a 1. Por lo tanto, es la distribución de probabilidad de las variables aleatorias dadas.
IV.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X) | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
Solución:
Suma de probabilidades (P(X))=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=0.3+0.2+0.4+0.1=1
La suma de la distribución de probabilidad es igual a 1. Por lo tanto, es la distribución de probabilidad de las variables aleatorias dadas.
Pregunta 2. Una variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de probabilidad:
| X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X) | 0.1 | k | 0.2 | 2k | 0.3 | k |
Encuentre el valor de k.
Solución:
Sabemos que la suma de la distribución de probabilidad es siempre 1.
Suma de distribución de probabilidad (P(X))=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P( X=3)=1
=>0,1+k+0,2+2k+0,3+k=1
=>0.6+4k=1
=>4k=1-0.6
=>k=0.1
Pregunta 3. Una variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de probabilidad:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P(X) | a | 3a | 5a | 7a | 9a | 11a | 13a | 15a | 17a |
i. Encuentre el valor de a.
Solución:
Sabemos que la suma de la distribución de probabilidad es siempre 1.
Suma de distribución de probabilidad (P(X))=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X= 5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=1
=>a+3a+5a+7a+9a+11a+13a+15a+17a=1
=>81a=1
=>a=1/81
ii. Encuentre P(X<3).
Solución:
P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=1/81+3/81+5/81
=9/81=1/9
iii. Encuentre P(X>=3).
Solución:
P(X>=3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)
=7/81+9/81+11/81+13/81+15/81+17/81
=72/81=8/9
IV. Encuentre P(0<X<5).
P(0<X<5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
=3/81+5/81+7/81+9/81
=24/81=8/27=0,296
Pregunta 4.1. La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(X) | 3c 3 | 4c-10c 2 | 5c-1 |
donde c>0. Encuentra c.
Solución:
Sabemos que la suma de las distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria siempre es 1.
=>3c 3 +4c-10c 2 +5c-1=1
=>3c 3 -10c 2 +9c-2=0
Sea c=1
3(1)-10(1)+9(1)-2=12-12=0
Por lo tanto c=1.
Por el método de Horn:
Obtenemos una ecuación cuadrática: 3c 2 -7c+2=0
De esta ecuación cuadrática obtenemos,
=>3c 2 -6c-c+2=0
=>3c(c-2)-1(c-2)=0
=>(3c-1)(c-2)=0
=>3c-1=0; c-2=0
=>3c=1; c=2
=>c=1/3; c=2; c=1
Sabemos que una sola distribución de probabilidad no puede ser 1 o más de uno. Entonces tomamos c=1/3.
Por lo tanto, c=1/3.
Pregunta 4.2. Encuentre P(X<2).
Solución:
P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)
=3(1/3) 3 +4(1/3)-10(1/3) 2
=1/9+4/3-10/9
=1/3=0,33
Pregunta 4.3. Encuentre P(1<X<=2).
Solución:
P(1<X<=2)=P(X=2)
=5(1/3)-1
=5/3-1
=2/3=0,66
Pregunta 5. Sea X una variable aleatoria que asume valores x 1 , x 2 ,x 3 ,x 4 tales que 2P(X=x 1 )=3P(X=x 2 )=P(X=x 3 )=5P (X=x4 ) . Encuentre la distribución de probabilidad de X.
Solución:
Suma de distribuciones de probabilidad= P(X=x 1 )+P(X=x 2 )+P(X=x 3 )+P(X=x 4 )=1
Dado,
2P(X=x1)=3P(X=x2)=P(X=x3)=5P(X=x4)
=>P(X=x 2 )=2/3P(X=x 1 ) ; P(X=x 3 )=2/1(P(X=x 1 ) ; P(X=x 4 )=2/5(P(X=x 1 )
=>P(X=x 1 )+2/3(P(X=x 1 )+2/1(P(X=x 1 )+2/5(P(X=x 1 )=1
=>61/15(P(X=x 1 )=1
=>P(X=x 1 )=15/61=0.24
=>P(X=x 2 )=2/3(P(X=x 1 )
=2/3(15/61)
=10/61=0,16
=>P(X=x 3 )=2/1(P(X=x 1 )
=2(15/61)
=30/61=0,49
=>P(X=x 4 )=2/5(P(X=x 1 ))
=2/5(15/61)
=6/61=0.09
Pregunta 6. Una variable aleatoria X toma los valores 0,1,2 y 3 tales que: P(X=0)=P(X>0)=P(X<0) ; P(X=-3)=P(X=-2)=P(X=-1) ; P(X=1)=P(X=2)=P(X=3). Obtenga la distribución de probabilidad de X.
Solución:
Sabemos que la suma de las distribuciones de probabilidad es igual a 1.
=>P(X=0)+P(X>0)+P(X<0)=1
Dado,
P(X=0)=P(X>0)=P(X<0)
=>P(X=0)+P(X=0)+P(X=0)=1
=>3P(X=0)=1
=>P(X=0)=1/3
=>P(X>0)=1/3
=>P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/3
Dado,
P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)
=>3P(X=1)=1/3
=>P(X=1)=1/9 ; P(X=2)=1/9 ; P(X=3)=1/9
=>P(X<0)=1/3
=>P(X=-1)+P(X=-2)+P(X=-3)=1/3
Dado,
P(X=-3)=P(X=-2)=P(X=-1)
=>3P(X=-1)=1/3
=>P(X=-1)=1/9 ; P(X=-2)=1/9 ; P(X=-3)=1/9
Pregunta 7. Se sacan dos cartas de una baraja bien barajada de 52 cartas. Encuentra la distribución de probabilidad del número de ases.
Solución:
Dado que se extraen dos cartas de un mazo bien barajado de 52 cartas.
Entonces las variables aleatorias para la distribución de probabilidad del número de ases podrían ser
i. No se extrae ningún as
ii. se saca un as
iii. se extraen dos ases
i. No sale ningún as:
P(X=0)= 52-4 C 2 / 52 C 2
= 48 C 2 / 52 C 2
=48!/2!x46!/52!/2!x50!
=48×47/52×51
=188/221
=0.85
ii. Se saca un as:
P(X=1)= 4 C 1 x 48 C 1 / 52 C 2
=4x48x2/52×51
=32/221
=0.14
iii. Se sacan dos ases:
P(X=2)= 4 C 2 / 52 C 2
=6×2/52×51
=1/221
=0.004
Pregunta 8. Encuentra la distribución de probabilidad del número de caras, cuando se lanzan tres monedas.
Solución:
Dado que se lanzan tres monedas simultáneamente.
Entonces las variables aleatorias para la distribución de probabilidad del número de caras podrían ser,
i. sin cabezas
ii. Una cabeza
iii. Dos cabezas
IV. Tres cabezas
i. Sin cabezas:
P(X=0)= 1 C 1 x 1 C 1 x 1 C 1 / 2 C 1 x 2 C 1 x 2 C 1
=1x1x1/2x2x2
=1/8
=0.125
ii. Una cabeza:
P(X=1) = 1 C 1 + 1 C 1 + 1 C 1/8
=1+1+1/8
=3/8
=0.37
iii. Dos cabezas:
P(X=2) = 1 C 1 + 1 C 1 + 1 C 1/8
=3/8
=0.37
IV. Tres cabezas:
P(X=3)=1/8
=0.125
Pregunta 9. Se sacan cuatro cartas simultáneamente de un paquete bien barajado de 52 cartas. Encuentra la distribución de probabilidad del número de ases.
Solución:
Dado que se sacan cuatro cartas simultáneamente de un paquete bien barajado de 52 cartas.
Entonces las variables aleatorias para la distribución de probabilidad del número de ases extraídos podrían ser,
i. sin ases
ii. un as
iii. dos ases
IV. tres ases
v. Cuatro ases
i. sin ases
P(X=0)= 48 C 4 / 52 C 4
=48x47x46x45/49x50x51x52
=0.71
ii. un as
P(X=1)= 4 C 1 x 48 C 3 / 52 C 4
=4x48x47x46x4/49x50x51x52
=0.25
iii. dos ases
P(X=2)= 4 C 2 x 48 C 2 / 52 C 4
=6x48x47x12/49x50x51x52
=0.024
IV. tres ases
P(X=3)= 4 C 3 x 48 C 1 / 52 C 4
= 4x48x24/49x50x51x52
= 0,0007
v. Cuatro ases
P(X=4)= 4 C 4 / 52 C 4
=1/ 270725
=0.000003694
Pregunta 10. Una bolsa contiene 4 bolas rojas y 6 negras. Se extraen tres bolas al azar. Encuentre la distribución de probabilidad del número de bolas rojas.
Solución:
Dado que se extraen tres bolas al azar de una bolsa.
Entonces el valor de la variable aleatoria para la distribución de probabilidad del número de bolas rojas podría ser,
i. sin bola roja
ii. una bola roja
iii. dos bolas rojas
IV. Tres bolas rojas
i. Sin bolas rojas:
P(X=0)= 6 C 3 / 10 C 3
=6x5x4/10x9x8
=1/6=0,16
ii. Una bola roja:
P(X=1)= 6 C 2 x 4 C 1 / 10 C 3
=6x5x4x3/10x9x8
=1/2=0.5
iii. Dos bolas rojas:
P(X=2)= 6 C 1 x 4 C 2 / 10 C 3
=6x4x3x3/10x9x8
=3/10=0.3
IV. Tres bolas rojas:
P(X=3)= 4 C 3 / 10 C 3
=4x3x2/10x9x8
=1/30=0.03
Pregunta 11. Accidentalmente se mezclan cinco mangos defectuosos con 15 buenos. De este lote se extraen cuatro mangos al azar. Encuentre la distribución de probabilidad del número de mangos defectuosos.
Solución:
Dado que se mezclan cinco mangos defectuosos con 15 buenos.
Entonces los valores de la variable aleatoria para la distribución de probabilidad podrían ser,
i. sin defectos
ii. uno defectuoso
iii. dos defectuosos
IV. tres defectuosos
v. Cuatro defectuosos
i. Ningún defectuoso:
P(X=0)= 15 C 4 / 20 C 4
=15x14x13x12/20x19x18x17
=91/323=0,28
ii. Uno defectuoso:
P(X=1)= 15 C 3 x 5 C 1 / 20 C 4
=15x14x13x5x4/20x19x18x17
=455/969=0,469
iii. Dos defectuosos:
P(X=2)= 15 C 2 x 5 C 2 / 20 C 4
=15x14x5x4x6/20x19x18x17
=70/323=0,21
IV. Tres defectuosos:
P(X=3)= 15 C 1 x 5 C 3 / 20 C 4
=15x5x4x3x4/20x19x18x17
=10/323=0,03
v. Cuatro defectuosos:
P(X=4)= 5 C 4 / 20 C 4
=5x4x3x2/20x19x18x17
=1/969=0,001
Pregunta 12. Se lanzan dos dados juntos y se anota el número que aparece en ellos. X denota la suma de los dos números. Suponiendo que los 36 resultados son igualmente probables, ¿cuál es la distribución de probabilidad de X?
Solución:
Dado que se lanzan dos dados simultáneamente.
Entonces los resultados serían los siguientes:
(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ;
(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6) ;
(3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6) ;
(4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6) ;
(5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6) ;
(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)
Los valores de la variable aleatoria podrían ser: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
P(X=2)=1/36=0.02
P(X=3)=2/36=1/18=0,05
P(X=4)=3/36=1/12=0,08
P(X=5)=4/36=1/9=0,11
P(X=6)=5/36=0,13
P(X=7)=6/36=1/6=0,16
P(X=8)=5/36=0,13
P(X=9)=4/36=1/9=0,11
P(X=10)=3/36=1/12=0,08
P(X=11)=2/36=1/18=0,05
P(X=12)=1/36=0.02
Pregunta 13. Una clase tiene 15 alumnos cuyas edades son 14,17,15,14,21,19,20,16,18,17,20,17,16,19 y 20 años respectivamente. Se selecciona un estudiante de tal manera que cada uno tenga la misma oportunidad de ser seleccionado y se registra la edad X del estudiante seleccionado. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X?
Solución:
Dado que los estudiantes son seleccionados sin ningún sesgo.
Entonces los valores de la variable aleatoria X podrían ser: 14,15,16,17,18,19,20,21
P(X=14)=2/15=0,13
P(X=15)=1/15=0,06
P(X=16)=2/15=0,13
P(X=17)=3/15=0,2
P(X=18)=1/15=0.06
P(X=19)=2/15=0,13
P(X=20)=3/15=0,2
P(X=21)=1/15=0.06
Pregunta 14. Cinco pernos defectuosos se mezclan accidentalmente con veinte buenos. Si se extraen al azar cuatro pernos de este lote, encuentre la distribución de probabilidad del número de pernos defectuosos.
Solución:
Dado que se mezclan cinco tornillos defectuosos con 20 buenos.
Entonces los valores de la variable aleatoria para la distribución de probabilidad serían,
i. sin defectos
ii. uno defectuoso
iii. dos defectuosos
IV. tres defectuosos
v. Cuatro defectuosos
i. Ningún defectuoso:
P(X=0)= 20 C 4 / 25 C 4
=20x19x18x17/25x24x23x22
=969/2530=0,38
ii. Uno defectuoso:
P(X=1)= 20 C 3 x 5 C 1 / 25 C 4
=20x19x18x5x4/25x24x23x22
=114/253=0,45
iii. Dos defectuosos:
P(X=2)= 20 C 2 x 5 C 2 / 25 C 4
=20x19x5x4x6/25x24x23x22
=38/253=0,15
IV. Tres defectuosos:
P(x=3)= 20 C 1 x 5 C 2 / 25 C 4
=20x5x4x4x3/25x24x23x22
=4/253=0.015
v. Cuatro defectuosos:
P(X=4)= 5 C 4 / 25 C 4
=5x4x3x2/25x24x23x22
=1/2530=0.0004
Pregunta 15. Se sacan dos cartas sucesivamente con reemplazo de un paquete bien barajado de 52 cartas. Encuentre la distribución de probabilidad del número de ases.
Solución:
Dado que se extraen dos cartas con reposición de un paquete bien barajado de 52 cartas.
Entonces los valores de la variable aleatoria para la distribución de probabilidad podrían ser,
i. sin as
ii. un as
iii. dos ases
i. sin as:
P(X=0)=(48/52 )x(48/52)
=144/169=0,85
ii. un as:
P(X=1)=(48/52)x(4/52)+(4/52)x(48/52)
=24/169=0,14
iii. dos ases:
P(X=2)=(4/52)x(4/52)
=1/169=0.005
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por thanmaig142 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA