Pregunta 13: Se seleccionan dos cartas al azar de una caja que contiene cinco cartas numeradas 1,1,2,2 y 3. Sea X la suma e Y el máximo de los dos números extraídos. Encuentre la distribución de probabilidad, la media y la varianza de X e Y.
Solución:
Como caja contiene tarjetas numeradas como 1,1,2,2 y 3
∴ posibles sumas de números de cartas son 2,3,4 y 5
Por lo tanto, X puede tomar valores 2,3,4 y 5
X=2 [cuando las cartas extraídas son (1,1)]
X=3 [cuando las cartas extraídas son (1,2) o (2,1)]
X=4 [cuando las cartas extraídas son (2,2) o (3,1) o (1,3)]
X=5 [cuando las cartas extraídas son (2,3) o (3,2)]
Como Y es una variable aleatoria que representa el máximo de los dos números sorteados
∴ Y puede tomar valores 1,2 y 3.
Y=1 [cuando las cartas extraídas son 1 y 1]
Y=2 [cuando las cartas extraídas son (1,2) o (2,2) o (2,1)]
Y=3 [cuando las cartas extraídas son (1,3) o (3,1) o (2,3) o (3,2)]
Nota: P(1) representa la probabilidad de sacar una carta numerada como 1, similarmente P(2) y P(3)
∴ P(X=2) = P(1)P(1) = 2/5 x 1/4 = 0,1
[Para sacar la primera carta, tuvimos 2 resultados favorables como 1,1 de un total de 5, en la segunda vez que sacamos una carta numerada como 1, tenemos 1 resultado favorable del total restante de 4]
Similarmente,
P(X=3) = P(2)P(1) + P(1)P(2) = 2/5 x 2/4 + 2/5 x 2/4 = 0,4
P(X=4) = P(2)P(2)+P(3)P(1)+P(1)P(3) = 2/5 x 1/4 + 2/5 x 1/4 + 1/5 x 2/4 = 0,3
P(X=5) = P(2)P(3)+P(3)P(2) = 2/5 x 1/4 + 2/5 x 1/4 = 0,2
Similarmente,
P(Y=1) = P(1)P(1) = 2/5 x 1/4 = 0,1
P(Y=2) = P(1)P(2)+P(2)P(1)+P(2)P(2) = 2/5 x 2/4 + 2/5 x 2/4 + 2/5 x 1/4 = 0,5
P(Y=3) = P(2)P(3)+P(3)P(2)+ P(1)P(3)+P(3)P(1)
= 2/5 x 1/4 + 2/5 x 1/4 + 2/5 x 1/4 +2/5 x 1/5 + 1/5 x 2/4 = 0,4
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/16 0 0 1 7/16 7/16 7/16 2 5/16 10/16 20/16 3 2/16 6/16 18/16 ∴ Media para(X) = 0,2+1,2+1,2+1 = 3,6
Varianza para(X) = 0,4+3,6+4,8+5,0-3,6 2 = 13,8-3,6 2 = 0,84
De manera similar, la distribución de probabilidad para Y se da a continuación:
yo Pi yipi yi 2pi _ 1 0.1 0.1 0.1 2 0.5 1.0 2.0 3 0.4 1.2 3.6 ∴ Media para(Y) = 0,1+1,0+1,2 = 2,3
Varianza para(Y) = 0,1+2,0+3,6-2,3 2 = 5,7-2,3 2 = 0,41
Pregunta 14: Se lanza un dado dos veces. Un ‘éxito’ es obtener un número impar en un lanzamiento. Encuentre la varianza del número de éxitos.
Solución:
Como éxito se considera cuando al lanzar un dado obtenemos un número impar.
Como el dado se lanza dos veces, podemos obtener ningún éxito o un solo éxito o podemos obtener impares ambas veces un número impar.
Si X es la variable aleatoria que denota el éxito, entonces X puede tomar el valor 0, 1 o 2
∵ P(obtener un número impar en un solo lanzamiento del dado) = 3/6 = 1/2
Como tirar un dado es un evento independiente:
∴ P(obtener una cuota en la primera tirada y probabilidad de obtener una cuota en la segunda tirada)=P(obtener una cuota en la primera tirada) x P(obtener una cuota en la segunda tirada)
Nota: P(A�B) = P(A)P(B) donde A y B son eventos independientes.
∴ P(X=0) = P(número par en el primer lanzamiento) x P(par en el segundo lanzamiento) = 1/2 x 1/2 = 1/4
P(X=1) = P(número par en el primer lanzamiento) x P(impar en el segundo lanzamiento) +
P(número impar en el primer lanzamiento) x P(par en el segundo lanzamiento) = 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 = 1/2
P(X=2) = P(número impar en el primer lanzamiento) x P(impar en el segundo lanzamiento) = 1/2 x 1/2 = 1/4
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/4 0 0 1 1/2 1/2 1/2 2 1/4 1/2 1 ∵ Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ Varianza = 0 + 1/2 + 1 – (0 + 1/2 + 1/2) 2 = 0,5
Pregunta 15: Una caja contiene 14 bombillas, de las cuales 5 están defectuosas. Se extraen al azar 3 focos, uno por uno sin reemplazo, de la caja. Encuentre la distribución de probabilidad del número de bombillas defectuosas.
Solución:
Sea X la variable aleatoria que denota el número de bombillas defectuosas extraídas en cada sorteo. Dado que estamos sacando un máximo de 3 bombillas a la vez, podemos obtener un máximo de 3 bombillas defectuosas, ya que el total de bombillas defectuosas es de 5.
∴ X puede tomar valores 0,1,2 y 3
P(X=0) = P(dibujo sin bombillas defectuosas)
Como estamos encontrando la probabilidad de 0 bombillas defectuosas, seleccionaremos las 3 bombillas
de 9 buenas bombillas.
n(s) = total de formas posibles = 14C 3
∴ P(X=0) = 9C 3 /14C 3 = 3/13
P(X=1) = P(dibujo 1 bombilla defectuosa y 2 bombillas buenas)
Como estamos encontrando la probabilidad de 1 bombilla defectuosa, seleccionaremos 2 bombillas
de 9 bombillas buenas y 1 de 5 defectuosas
∴ P(X=1) = (9C 2 x 5C 1 )/ 14C 3 = 45/91
Similarmente,
P(X=2) = (9C 1 x 5C 2 )/14C 3 = 45/182
P(X=3) = 5C 3 /14C 3 = 5/182
Entonces, la distribución de probabilidad se da a continuación:
xi Pi 0 3/13 1 45/91 2 45/182 3 5/182
Pregunta 16: En la ruleta, Fig. 32.2, la rueda tiene 13 números 0,1,2,….,12 marcados en ranuras igualmente espaciadas. Un jugador pone ₹10 en un número dado. Recibe ₹ 100 del organizador del juego si la bola se detiene en esta ranura; de lo contrario, no obtiene nada. Si X denota la ganancia/pérdida neta del jugador, encuentre E (X).
Solución:
Cuando el jugador establece Rs 10 en un número, si gana, obtiene Rs 100
∴ su beneficio es de 90 rupias.
Si pierde, sufre una pérdida de Rs 10
Obtiene una ganancia cuando la bola se detiene en su ranura seleccionada.
Resultado total posible = 13
Resultados favorables = 1
∴ probabilidad de obtener ganancias = 1/13
Y probabilidad de pérdida = 12/13
Si X es la variable aleatoria que denota ganancia y pérdida de jugador
∴ X puede tomar valores 90 y -10
P(X=90) = 1/13
Y P(X=-10) = 12/13
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y agregarlos para obtener significado
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi 90 1/13 90/13 -10 12/13 -120/13 E(X) = Media = 90/13 + (-120/13) = 90/13 – 120/13 = -30/13
Pregunta 17: Se extraen tres cartas al azar (sin reemplazo) de un paquete bien barajado de 52 cartas. Encuentre la distribución de probabilidad del número de tarjetas rojas. Por lo tanto, encuentre la media de la distribución.
Solución:
Tenemos un total de 26 cartas rojas en una baraja de 52 cartas.
Como estamos sacando un máximo de 3 cartas a la vez, podemos obtener un máximo de 3 cartas rojas.
Si X denota el número de tarjetas rojas, entonces X puede tomar valores de 0,1,2 y 3
P(X=0) = probabilidad de sacar ninguna tarjeta roja
Necesitamos seleccionar las 3 cartas de las 26 cartas restantes
Total de formas posibles de seleccionar 3 cartas = 52C 3
∴ P(X=0) = 26C 3 / 52C 3 = 2/17
P(X=1) = P(seleccionando una roja y 2 negras) = (26C 1 x 26C 2 ) / 52C 3 = 13/34
P(X=2) = P(seleccionando 2 cartas rojas y 1 negra) = (26C 2 x 26C 1 ) / 52C 3 = 13/34
P(X=3) = 26C 3 /52C 3 = 2/17
Entonces, la distribución de probabilidad se da a continuación:
xi Pi xipi 0 2/17 0 1 13/34 13/34 2 13/34 26/34 3 2/17 6/17 Media = 0 + 13/34 + 26/34 + 6/17 = 1,5
Pregunta 18: Una urna contiene 5 bolas rojas y 2 negras. Se extraen dos bolas al azar, sin reemplazo. Sea X el número de bolas negras extraídas. ¿Cuáles son los posibles valores de X? ¿Es X una variable aleatoria? En caso afirmativo, encuentre la media y la varianza de X.
Solución:
X representa el número de bolas negras extraídas.
∴ X puede tomar valores 0,1 y 2
∵ hay un total de 7 bolas
n(S) = total de formas posibles de seleccionar 2 bolas = 7C 2
P(X=0) = P(sin seleccionar bolas negras) = 5C 2 /7C 2 = 10/21
P(X=1) = P(seleccionando 1 bola negra y 1 bola roja)
= (5C 1 x 2C 1 ) / 7C 2 = 10/21
P(X=2) = P(seleccionando 2 bolas negras y 0 bolas rojas) = (5C 0 x 2C 2 ) / 7C 2 = 1/21
Se dice que X es una variable aleatoria si alguna de las probabilidades asociadas con cada valor de X es 1
Aquí,
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 20/42 + 20/42 + 2/42 = 1
∴ X es una variable aleatoria.
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 21/10 0 0 1 21/10 21/10 21/10 2 1/21 21/02 4/21 ∴ Media = 10/21 + 2/21 = 4/7
∴ Varianza = 0 + 10/21 + 4/21 – (4/7) 2 = 50/147
Pregunta 19: Se seleccionan dos números al azar (sin reemplazo) de los enteros positivos 2,3,4,5,6 y 7. Sea X el mayor de los dos números obtenidos. Encuentre la media y la varianza de la distribución de probabilidad de X.
Solución:
∵ se seleccionan dos números al azar como {(2,3) o (5,4) o (4,5)..etc}
Formas totales de seleccionar dos números sin reemplazo = 6 x 5 = 30
Como X denota el mayor de dos números seleccionados
∴ X puede tomar valores 3,4,5,6 y 7
P(X=3) = P(el número mayor es 3) = (2/30)[{2,3},{3,2}]
P(X=4) = P(el número mayor es 4) = (4/30)[{2,4},{4,2},{3,4},{4,3}]
P(X=5) = P(el número mayor es 5) = (6/30)[{2,5},{3,5},{4,5} y su orden inverso]
P(X=6) = P(el número mayor es 6) = (8/30)[{2,6},{3,6},{4,6},{5,6} y su orden inverso]
P(X=7) = P(el número mayor es 7) = (10/30)[{2,7},{3,7},{4,7},{5,7},{6,7} y su orden inverso]
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 3 2/30 30/6 18/30 4 4/30 16/30 64/30 5 30/6 30/30 150/30 6 8/30 48/30 288/30 7 30/10 70/30 490/30 ∴ Media = 6/30 + 16/30 + 30/30 + 48/30 + 70/30 = 17/3
∴ Varianza = 18/30 + 64/30 + 150/30 + 288/30 + 490/30 – (17/3) 2 = 14/9
Pregunta 20: En un juego, un hombre gana ₹ 5 por obtener un número mayor que 4 y pierde ₹ 1 de lo contrario, cuando se lanza un dado justo. El hombre decidió lanzar un dado tres veces, pero lo abandona cuando obtiene un número inferior a 4. Halla el valor esperado de la cantidad que gana/pierde.
Solución:
Se nos pide encontrar la cantidad esperada que gana o pierde, es decir, tenemos que encontrar la media de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que denota la ganancia/pérdida.
Como decidió tirar los dados tres veces pero abandonar en el instante en que pierde
∴ si gana en todos los tiros puede ganar 15 rupias
Si gana en los dos primeros lanzamientos y pierde en el último, gana Rs (10-1) = Rs 9
Si gana en el primer tiro y luego pierde, gana = 4 rupias
Si pierde en el primer lanzamiento, gana Rs = -1
Así X puede tomar valores -1,4,9 y 15
P (obtener un número mayor que 4 en un tiro de dado) = 2/6 = 1/3
P(obtener un número no mayor a 4 en un tiro de dado) = 4/6 = 2/3
P(X=-1) = P(obteniendo un número menor o igual a 4) = 2/3
P(X=4) = P(obteniendo > 4) x P(obteniendo ≤ 4) = 1/3 x 2/3 = 2/9
P(X=9) = P(obteniendo > 4) x P(obteniendo > 4) x P(obteniendo ≤ 4) = 1/3 x 1/3 x 2/3 = 2/27
P(X=15) = P(obteniendo > 4) x P(obteniendo > 4) x P(obteniendo > 4) = 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/27
Entonces, la distribución de probabilidad se da a continuación:
xi Pi xipi -1 2/3 -2/3 4 2/9 8/9 9 27/2 18/27 15 1/27 15/27 ∵ Media = ∑xipi
Media = -2/3 + 8/9 + 18/27 + 15/27 = 39/27 = 1,44
Puede ganar alrededor de Rs 1.45