Calcule la desviación media de la mediana de la siguiente distribución de frecuencias:
Pregunta 1(i): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: 2 3 4
pi: 0,3 0,5 0,3
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 2 0.2 0.4 0.8 3 0.3 1.5 4.5 4 0.5 1.2 4.8 ∴ media = 0,4 + 1,5 + 1,2 = 3,1
Y varianza = 0,8 + 4,5 + 4,8 – (3,1) 2 = 0,49
∴ Desviación estándar = √ 0,49 = 0,7
Pregunta 1(ii): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: 1 3 4 5
pi: 0,4 0,1 0,2 0,3
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 1 0.4 0.4 0.4 3 0.1 0.3 0.9 4 0.2 0.8 3.2 5 0.3 1.5 7.5 ∴ media = 0,4 + 0,3+0,8+1,5= 3,0
Y varianza =0.4+0.9+3.2+7.5 – (3.0) 2 = 3
∴ Desviación estándar = √ 3= 1.732
Pregunta 1(iii): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: -5 -4 1 2
pi: 1/4 1/8 1/2 1/8
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi -5 1/4 -1.25 6.25 -4 1/8 -0.5 2 1 1/2 0.5 0.5 2 1/8 0.25 0.5 ∴ media = -1.25-0.5+0.5+0.25 = -1
Y varianza = 6,25+2+0,5+0,5 – (-1) 2 = 8,25
∴ Desviación estándar = √8.25= 2.9
Pregunta 1(iv): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: -1 0 1 2 3
pi: 0,3 0,1 0,1 0,3 0,2
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi -1 0.3 -0.3 0.3 0 0.1 0 0 1 0.1 0.1 0.1 2 0.3 0.6 1.2 3 0.2 0.6 1.8 ∴ media = -0,3 + 0 + 0,1 + 0,6 + 0,6 = 1,0
Y varianza =0.3 + 0 + 0.1 + 1.2 + 1.8 – (1) 2 = 2.4
∴ Desviación estándar = √2,4 = 1,5
Pregunta 1(v): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: 1 2 3 4
pi: 0,4 0,3 0,2 0,1
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 1 0.4 0.4 0.4 2 0.3 0.6 1.2 3 0.2 0.6 1.8 4 0.1 0.4 1.6 ∴ media = 0,4+0,6+0,6+0,4 = 2,0
Y varianza = 0,4 +1,2 + 1,8 + 1,6– (2) 2 = 1,0
∴ Desviación estándar = √1 = 1
Pregunta 1(vi): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: 0 1 3 5
pi: 0,2 0,5 0,2 0,1
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 0.2 0 0 1 0.5 0.5 0.5 3 0.2 0.6 1.8 5 0.1 0.5 2.5 ∴ media = 0+0,5+0,6+0,5 = 1,6
Y varianza = 0 +0.5 + 1.8 + 2.5– (1.6) 2 = 2.24
∴ Desviación estándar = √2,24 = 1,497
Pregunta 1(vii): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: -2 -1 0 1 2
pi: 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi -2 0.1 -0.2 0.4 -1 0.2 -0.2 0.2 0 0.4 0 0 1 0.2 0.2 0.2 2 0.1 0.2 0.4 ∴ media = -0.2-0.2+0+0.2+0.2 = 0
Y varianza = 0 +0.4+0.2+0.2+0.4– (0) 2 = 1.2
∴ Desviación estándar = √1,2 = 1,095
Pregunta 1(viii): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: -3 -1 0 1 3
pi: 0,05 0,45 0,20 0,25 0,05
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi -3 0.05 -0.15 0,45 -1 0,45 -0.45 0,45 0 0.20 0 0 1 0.25 0.25 0.25 3 0.05 0.15 0,45 ∴ media = -0,15-0,45+0+0,25+0,15 = -0,2
Y varianza = 0 +0,45+0,25+0,45+0,45– (-0,2) 2 = 1,56
∴ Desviación estándar = √1,56 = 1,248
Pregunta 1(ix): Encuentre la media y la desviación estándar de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad:
xi: 0 1 2 3 4 5
pi: 1/6 5/18 2/9 1/6 1/9 1/18
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/6 0 0 1 5/18 5/18 5/18 2 2/9 4/9 8/9 3 1/6 1/2 3/2 4 1/9 4/9 16/9 5 1/18 5/18 25/18 ∴ Media = 0+5/18+4/9+1/2+4/9+5/18 = 35/18
Varianza = 0+5/18+8/9+3/2+16/9+25/18 -{35/18) 2 = 665/324
∴ desviación estándar = √ (665/324) = √665/18
Pregunta 2: Una variable aleatoria discreta X tiene la distribución de probabilidad que se muestra a continuación:
X: 0,5 1 1,5 2
P(X): kk 2 2k 2 k
(i) Encuentre el valor de k. (ii) Determine la media de la distribución.
Solución:
Para encontrar el valor de k usaremos la idea básica de probabilidad.
Nota: sabemos que la suma de las probabilidades de todas las variables aleatorias tomadas de un espacio muestral dado es igual a 1.
∴ P(X=0,5) + P(X=1) + P(X=1,5) + P(X=2) = 1
∴ k + k 2 + 2k 2 + k = 1
⇒ 3k 2 + 2k – 1 = 0
⇒ 3k 2 + 3k – k – 1 = 0
⇒ 3k(k+1) – (k+1) = 0
⇒ (3k-1)(k+1) = 0
∴ k = 1/3 o k = -1
∵ k representa la probabilidad de un evento. Por lo tanto 0≤P(X)≤1
∴ k = 1/3
La media de cualquier distribución de probabilidad viene dada por: Media = ∑xipi
Ahora tenemos,
X: 0,5 1 1,5 2
P(X): 1/3 1/9 2/9 1/3
∴ primero necesitamos encontrar el producto, es decir, pixi y agregarlos para obtener significado.
∴ Media = 0,5 x (1/3) + 1 x (1/9) + 1,5 x (2/9) +2 x (1/3) = 23/18.
Pregunta 3: Encuentre la varianza media y la desviación estándar de la siguiente distribución de probabilidad
Xi: ab
Pi: pq
Donde p+q=1.
Solución:
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
∴ p 1 x 1 = ap y p 2 x 2 = bq Del mismo modo p 1 x 1 2 = a 2 p y p 2 x 2 2 = b 2 q
∴ Media = ap + bq
Varianza = a 2 p + b 2 q – (ap + bq) 2
=a 2 pq + b 2 pq + 2abpq [p + q=1]
=pq(ab) 2
∴ DE = √{pq(ab) 2 } = |ab|√pq
Pregunta 4: Encuentra la media y la varianza del número de cruces en tres lanzamientos de una moneda.
Solución:
Cuando lanzamos una moneda al aire tres veces tenemos las siguientes posibilidades:
{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
Sea X una variable aleatoria que representa el número de cruces en 3 lanzamientos de una moneda.
∵ probabilidad de obtener cara o probabilidad de obtener cruz son eventos independientes y P(SALGA CARA) = P(SALGA COLA) = 1/2
∴ P(cara en el primer lanzamiento) y P(cara en el segundo lanzamiento) y P(cara en el tercer lanzamiento) pueden estar dadas por sus productos individuales.
Nota: P(A�B) = P(A)P(B) donde A y B son eventos independientes.
De este modo,
P(X=0) = P(HHH) = P(H)P(H)P(H) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
P(X=1) = P(HHT o HTH o THH) = P(HHT)+P(HTH)+P(THH)
= P(H)P(H)P(T)+ P(H)P(T)P(H)+ P(T)P(H)P(H)
= 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2
= 3/8
P(X=2) = P(HTT o THT o TTH) = P(HTT)+P(THT)+P(TTH)
= P(H)P(T)P(T)+ P(T)P(H)P(T)+ P(T)P(T)P(H)
= 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2
= 3/8
P(X=3) = P(TTT) = P(T)P(T)P(T) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/8 0 0 1 3/8 3/8 3/8 2 3/8 3/4 3/2 3 1/8 3/8 9/8 ∴ Media = 0 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 3/2
Varianza = 0 + 3/8 + 3/4 + 3/8 – (3/2) 2 = 3/4
Pregunta 5: Se sacan dos cartas simultáneamente de un paquete de 52 cartas. Calcule la media y la desviación estándar del número de reyes.
Solución:
En una baraja de 52 cartas hay 4 reyes cada uno de un palo respectivamente.
Sea X la variable aleatoria que denota el número de reyes para un evento cuando se extraen dos cartas simultáneamente.
∴ X puede tomar los valores 0, 1 o 2.
P(X=0) = 48C 2 /52C 2 = 48×47/52×51 = 188/221
[Para seleccionar 0 reyes, eliminamos los 4 reyes del mazo y seleccionamos de 48]
P(X=1) = 4C 1 x 48C 1 /52C 2 = 48 x 4 x 2/52 x 51 = 32/221
[Para seleccionar 1 rey, debemos seleccionar 1 de 4 y ningún otro]
P(X=2) = 4C 2 /52C 2 = 4 x 3/52 x 51 = 1/221
[Para seleccionar 2 rey, necesitamos seleccionar y 2 de 4]
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la desviación estándar.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La Desviación Estándar viene dada por SD = √ Varianza donde la varianza viene dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 188/221 0 0 1 32/221 32/221 32/221 2 1/221 2/221 4/221 ∴ media = 0 + 32/221 + 2/221 = 34/221
Varianza = 0 + 32/221 + 4/221 – (34/221) = 400/2873
∴ Desviación estándar = √varianza = √(400/2873) = 20/√2873
Pregunta 6: Encuentra la media, la varianza y la desviación estándar del número de cruces en tres lanzamientos de una moneda.
Solución:
Cuando lanzamos una moneda al aire tres veces tenemos las siguientes posibilidades:
{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
Sea X una variable aleatoria que representa el número de cruces en 3 lanzamientos de una moneda.
∵ probabilidad de obtener cara o probabilidad de obtener cruz son eventos independientes y P(SALGA CARA) = P(SALGA COLA) = 1/2
∴ P(cara en el primer lanzamiento) y P(cara en el segundo lanzamiento) y P(cara en el tercer lanzamiento) pueden estar dadas por sus productos individuales.
Nota: P(A�B) = P(A)P(B) donde A y B son eventos independientes.
De este modo,
P(X=0) = P(HHH) = P(H)P(H)P(H) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
P(X=1) = P(HHT o HTH o THH) = P(HHT)+P(HTH)+P(THH)
= P(H)P(H)P(T)+ P(H)P(T)P(H)+ P(T)P(H)P(H)
= 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2
= 3/8
P(X=2) = P(HTT o THT o TTH) = P(HTT)+P(THT)+P(TTH)
= P(H)P(T)P(T)+ P(T)P(H)P(T)+ P(T)P(T)P(H)
= 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 x 1/2
= 3/8
P(X=3) = P(TTT) = P(T)P(T)P(T) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
La Desviación Estándar viene dada por SD = √Varianza
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/8 0 0 1 3/8 3/8 3/8 2 3/8 3/4 3/2 3 1/8 3/8 9/8 ∴ Media = 0 + 3/8 + 3/4 + 3/8 = 3/2
Varianza = 0 + 3/8 + 3/2 + 9/8 – (3/2) 2 = 3/4
Desviación Estándar = √(3/4) = 0.87
Pregunta 7: Dos huevos malos se mezclan accidentalmente con diez buenos. Se extraen tres huevos al azar con reemplazo de este lote. Calcule la media del número de huevos podridos extraídos.
Solución:
Como hay un total de dos huevos malos. Por lo tanto, al dibujar 3 huevos, podemos dibujar 1 huevo malo o 2 o 0 huevos malos.
Sea X la variable aleatoria que denota el número de huevos podridos que se pueden sacar en cada sorteo.
Claramente X puede tomar valores 0,1 o 2
P(X=0) = P(los 3 son buenos huevos) = 2C 0 x 10C 3 /12C 3 = 120/220 = 6/11
[Dado que hay 10 huevos buenos, para seleccionar todos los buenos tomamos los tres de 10 y 0 huevos de 2 malos. Los puntos de muestra totales no son formas de seleccionar 3 huevos de un total de 12 huevos]
Similarmente,
P(X=1) = P(1 huevos malos y 2 buenos) = 2C 1 x 10C 2 /12C 3 = 9/22
P(X=2) = P(2 huevos malos y 1 huevo bueno) =2C 2 x 10C 1 /12C 3 = 1/22
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y agregarlos para obtener significado.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
xi Pi xipi 0 6/11 0 1 9/22 9/22 2 1/22 1/11 ∴ media = 0 + 9/22 + 1/11 = 1/2
Pregunta 8: Se lanza un par de dados justos. Sea X la variable aleatoria que denota el mínimo de los dos números que aparecen. Encuentre la distribución de probabilidad, la media y la varianza de X.
Solución:
Cuando se lanza un par de dados justos, hay un total de 36 resultados posibles.
X denota el mínimo de dos números que aparecen
∴ X puede tomar valores 1,2,3,4,5 y 6
P(X=1) = 11/36
[Pares posibles: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1 ),(4,1),(5,1),(6,1)]
P(X=2) = 9/36
[Pares posibles: (2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,6),(2,5),(2,4 ),(2,3)]
P(X=3) = 7/36
[Pares posibles: (3,3),(3,4),(4,3),(5,3),(3,5),(3,6),(6,3)]
P(X=4) = 5/36
[Pares posibles: (4,4),(5,4),(4,5),(4,6),(6,4)]
P(X=5) = 3/36
[Pares posibles (5,5),(5,6),(6,5)]
P(X=6) = 1/36
[Pares posibles: (6,6)]
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
La Desviación Estándar viene dada por SD = √Varianza
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
Tabla de distribución de probabilidad requerida:
xi Pi xipi xi 2 pi 1 11/36 11/36 11/36 2 9/36 18/36 1 3 7/36 21/36 63/36 4 5/36 20/36 80/36 5 3/36 15/36 75/36 6 1/36 6/36 1 ∴ Media = 11/36 + 18/36 + 21/ 36 + 20/36 + 15/36 + 6/36 = 91/36
Varianza = 11/36 + 1 + 63/36 + 80/36 + 75/36 + 1 – (91/36) 2 =2555/1296
Desviación estándar = √varianza = 1.403
Pregunta 9: Se lanza una moneda normal cuatro veces. Sea X el número de cabezas que ocurren. Encuentre la distribución de probabilidad, la media y la varianza de X.
Solución:
Digamos, H representa el evento de obtener una cara y T representa obtener una cruz.
Cuando lanzamos una moneda 4 veces tenemos las siguientes posibilidades:
{HHHH,HHHT,HHTH,THHH,HTHH,THHT,TTHH,HHTT,THTH…………,TTTT}
Un total de 24 = 16 posibilidades.
Sea X una variable aleatoria que representa el número de caras que ocurren en 4 lanzamientos de una moneda.
∵ probabilidad de obtener cara o probabilidad de obtener cruz son eventos independientes y P(SALGA CARA) = P(SALGA COLA) = 1/2
∴ P(cara en el primer lanzamiento) y P(cara en el segundo lanzamiento) y P(cara en el tercer lanzamiento) y P(cruz en el 4to lanzamiento) pueden ser dadas por sus productos individuales.
Nota: P(A�B) = P(A)P(B) donde A y B son eventos independientes.
De este modo,
P(X=0) = P(TTTT) = P(T)P(T)P(T)P(T) = 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16
Seleccionar una moneda de 4 que mostrará el reposacabezas y todos mostrarán la cola
= 4C 1 x P(HHHT) = 4C 1 x(1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/4
similar ,
P(X=2) = 4C 2 x(1/2) 4 = 3/8
P(X=3) = 4C 3 x (1/2) 4 = 1/4
P(X=4) = P(HHHH) = 1/16
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/16 0 0 1 1/4 1/4 1/4 2 3/8 3/4 3/2 3 1/4 3/4 9/4 4 1/16 1/4 1 ∴ Media = 0+ 1/4 + 3/4 + 3/4 + 1/4 = 2
Varianza = 0 + 1/4 + 3/2 + 9/4 + 1 – (2) 2 = 1
Pregunta 10: Se lanza un dado justo. Sea X el doble del número que aparece. Encuentre la distribución de probabilidad, la media y la varianza de X.
Solución:
Cuando se lanza un dado justo, hay un total de 6 resultados posibles.
∵ X denota el doble del número que aparece en el dado
∴ X puede tomar valores 2,4,6,8,10 y 12
Como la aparición de un número en un dado justo es igualmente probable
es decir, P(aparece de 1) = P(aparece de 2) = P(aparece de 3) = P(aparece de 4) = P(aparece de 5) = P(aparece de 6) = 1/6
∴ la aparición del doble del número también es igualmente probable con una probabilidad de 1/6.
P(X=2)=P(X=4)=P(X=6)=P(X=8)=P(X=10)=P(X=12)=1/6
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
Tabla de distribución de probabilidad requerida:
xi Pi xipi xi 2 pi 2 1/6 2/6 4/6 4 1/6 4/6 16/6 6 1/6 1 36/6 8 1/6 4/3 64/6 10 1/6 5/3 100/6 12 1/6 2 144/6 ∴ Media = 2/6 + 4/6 + 1 + 4/3 + 5/3 + 2 = 7
Varianza = 4/6 + 16/6 + 36/6 + 64/6 + 100/6 + 144/6 – 7 2 = 70/6.
Pregunta 11: Se lanza un dado justo. Sea X 1 o 3 según aparezca un número par o impar. Encuentre la distribución de probabilidad, la media y la varianza de X.
Solución:
Cuando se lanza un dado justo, hay un total de 6 resultados posibles.
∵ X denota 1 o 3 según aparezca un número par o impar.
P(aparición de un número par en un dado) = 3/6 [resultados favorables {2,4,6}]
P(aparición de un número impar en un dado) = 3/6 [resultados favorables {1,4,3}]
P(X=1) = 3/6 = 1/2
P(X=3) = 3/6 = 1/2
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑ xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla da los productos requeridos:
Tabla de distribución de probabilidad requerida: –
xi Pi xipi xi 2 pi 1 1/2 1/2 1/2 3 1/2 3/2 9/2 ∴ Media = 1/2 + 3/2 = 2
Varianza = 1/2 + 9/2 – (2) 2 = 1.
Pregunta 12: Se lanza una moneda normal cuatro veces. Sea X la string más larga de cabezas que se presenta. Encuentre la distribución de probabilidad, la media y la varianza de X.
Solución:
Digamos, H representa el evento de obtener una cara y T representa obtener una cruz.
Cuando lanzamos una moneda 4 veces tenemos las siguientes posibilidades:
{HHHH,HHHT,HHTH,THHH,HTHH,THHT,TTHH,HHTT,THTH…………,TTTT}
Un total de 24 = 16 posibilidades.
∵ probabilidad de obtener cara o probabilidad de obtener cruz son eventos independientes y P(SALGA CARA) = P(SALGA COLA) = 1/2
∴ P(cara en el primer lanzamiento) y P(cara en el segundo lanzamiento) y P(cara en el tercer lanzamiento) y P(cruz en el 4to lanzamiento) pueden ser dadas por sus productos individuales.
Nota: P(A�B) = P(A)P(B) donde A y B son eventos independientes.
Como X es una variable aleatoria que representa la string más larga de cabezas que ocurren en 4 lanzamientos.
∴ X puede tomar los siguientes valores:
X = 0 [todas cruces (TTTT)]
X = 1 [La string más larga contiene solo 1 cabeza, por ejemplo (HTTT), (TTTH), (HTHT) ..]
X = 2 [La string más larga contiene solo 2 encabezados, por ejemplo (HHTT), (HHTH), (THHT)…]
X = 3 [La string más larga contiene solo 3 encabezados, por ejemplo (HHHT) y (THHH)]
X = 4 [La string más larga contiene 4 cabezas, es decir (HHHH)]
De este modo,
P(X=0) = 1/16
P(X=1) = 7/16 [contando el número de resultados favorables como se explica]
P(X=2) = 5/16
P(X=3) = 2/16
P(X=4) = 1/16
Ahora tenemos pi y xi.
Procedamos a encontrar la media y la varianza.
La media de cualquier distribución de probabilidad está dada por Media = ∑xipi
La varianza está dada por:
Varianza = ∑xi 2 pi – (∑xipi) 2
∴ primero necesitamos encontrar los productos, es decir, pixi y pixi 2 y sumarlos para obtener la media y aplicar la fórmula anterior para obtener la varianza.
La siguiente tabla que representa la distribución de probabilidad da los productos requeridos:
xi Pi xipi xi 2 pi 0 1/16 0 0 1 7/16 7/16 7/16 2 5/16 10/16 20/16 3 2/16 6/16 18/16 4 1/16 1/4 1 ∴ Media = 0 + 7/16 + 10/16 + 6/16 + 1/4 = 1,7
Varianza = 0 + 7/16 + 20/16 + 18/16 + 1 – (1,7) 2 = 0,935