Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 5 Álgebra de Arrays – Ejercicio 5.2 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 11: Encuentre la array A, si \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 4 & 9 \end{bmatrix} + A = \begin{bmatrix} 9 & -1 & 4\\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix} .

Solución:

Dado, \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 4 & 9 \end{bmatrix} + A = \begin{bmatrix} 9 & -1 & 4\\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix} .

=> Un =\begin{bmatrix} 9 & -1 & 4\\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 4 & 9 \end{bmatrix}

=> Un =\begin{bmatrix} 9-1 & -1-2 & 1-4\\ 4+1 & -2-0 & 3-9 \end{bmatrix}

=> Un =\begin{bmatrix} 8 & -3 & -3\\ 5 & -2 & -6 \end{bmatrix}

Pregunta 12: Si A = \begin{bmatrix} 9 & 1\\ 7 & 8 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 1 & 5\\ 7 & 12 \end{bmatrix} , encuentre C tal que 5A + 3B + 2C sea una array nula.

Solución:

Dado 5A + 3B + 2C =O, donde O es la array nula.

=> 2C = O – 5A – 3B.

=> 5A =5\begin{bmatrix} 9 & 1\\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 & 5\\ 35 & 40 \end{bmatrix}

=> 3B =3\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 7 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 15\\ 21 & 36 \end{bmatrix}

=> 2C =\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 45 & 5\\ 35 & 40 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 27 & 3\\ 21 & 24 \end{bmatrix}

=> 2C =\begin{bmatrix} 0-45-3 & 0-5-15\\ 0-35-21 & 0-40-36 \end{bmatrix}

=> 2C =\begin{bmatrix} -48 & -20\\ -56 & -76 \end{bmatrix}

=> C =\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} -48 & -20\\ -56 & -76 \end{bmatrix}

=> C =\begin{bmatrix} -24 & -10\\ -28 & -38 \end{bmatrix}

Pregunta 13: Si A = \begin{bmatrix} 2 & -2\\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 8 & 0\\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} , encuentre la array X tal que 2A + 3X = 5B.

Solución:

Dado 2A + 3X = 5B.

=> 3X = 5B – 2A.

=> 5B =5\begin{bmatrix} 8 & 0\\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 & 0\\ 20 & -10 \\ 15 & 30 \end{bmatrix}

=> 2A =2\begin{bmatrix} 2 & -2\\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -4\\ 8 & 4 \\ -10 & 2 \end{bmatrix}

=> 3X =\begin{bmatrix} 40 & 0\\ 20 & -10 \\ 15 & 30 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -4\\ 8 & 4 \\ -10 & 2 \end{bmatrix}

=> 3X =\begin{bmatrix} 40-4 & 0+4\\ 20-8 & -10-4 \\ 15+10 & 30-2 \end{bmatrix}

=> 3X =\begin{bmatrix} 36 & 4\\ 12 & -14 \\ 25 & 28 \end{bmatrix}

=> X =\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 36 & 4\\ 12 & -14 \\ 25 & 28 \end{bmatrix}

=> X =\begin{bmatrix} 12 & \dfrac{4}{3}\\\\ 4 & \dfrac{-14}{3} \\\\ \dfrac{25}{3} & \dfrac{28}{3} \end{bmatrix}

Pregunta 14: Si A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2\\ 2 & 0 & 2\\ \end{bmatrix} y B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ \end{bmatrix} , encuentre la array C tal que A + B + C sea una array cero.

Solución:

Dado que A + B + C = O, donde O es una array nula.

=> C = O – A – B.

=> C =\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2\\ 2 & 0 & 2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ \end{bmatrix}

=> C =\begin{bmatrix} 0-1-2 & 0+3+1 & 0-2+1\\ 0-2-1 & 0-0-0 & 0-2+1\\ \end{bmatrix}

=> C =\begin{bmatrix} -3 & 4 & -1\\ -3 & 0 & -1\\ \end{bmatrix}

Pregunta 15(i): Encuentre x, y que satisfagan la ecuación matricial\begin{bmatrix} x-y & 2 & -2\\ 4 & x & 6\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -2 & 2\\ 1 & 0 & -1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0\\ 5 & 2x+y & 5\\ \end{bmatrix}

Solución:

Dado que,

\begin{bmatrix} x-y & 2 & -2\\ 4 & x & 6\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -2 & 2\\ 1 & 0 & -1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0\\ 5 & 2x+y & 5\\ \end{bmatrix}

Podemos llegar a 2 ecuaciones de la ecuación matricial anterior.

=> x – y + 3 = 6

=> x – y = 3 ……(ecuación 1)

=> x + 0 = 2x + y

=> -x = y ……….(ecuación 2)

Resolviendo (eq.1) y (eq.2) para x e y.

=> 2x = 3

=> x = 3/2

Sustituir x en (ecuación 2)

=> y = -3/2

Pregunta 15(ii): Encuentre x, y y z que satisfagan la ecuación matricial\begin{bmatrix} x & y+2 & z-3\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 4 & 5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 9 & 12\\ \end{bmatrix}

Solución:

Dado que,

\begin{bmatrix} x & y+2 & z-3\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 4 & 5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 9 & 12\\ \end{bmatrix}

=>\begin{bmatrix} x+y & y+2+4 & z-3+5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 9 & 12\\ \end{bmatrix}

=>\begin{bmatrix} x+y & y+6 & z+2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 9 & 12\\ \end{bmatrix}

Podemos llegar a 3 ecuaciones de la ecuación matricial anterior.

=> x + y = 4 ……(ecuación 1)

=> y + 6 = 9 ……(ecuación 2)

=> z + 2 = 12 ….(ecuación 3)

De (ecuación 2),

=> y = 9 – 6

=> y = 3

De (ecuación 3),

=> z = 12 – 2

=> z = 10

Sustituir el valor de y en (eq.1),

=> x + 3 = 4

=> x = 4 – 3

=> x = 1

Pregunta 15(iii): Encuentre x e y que satisfagan la ecuación matricial  x\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ -11 \end{bmatrix} = O.

Solución:

Dado que,

x\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ -11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Podemos llegar a 2 ecuaciones de la ecuación matricial anterior.

=> 2x + 3y – 8 = 0

=> 2x + 3y = 8 …….(ecuación 1)

=> x + 5y -11 = 0

=> x + 5y = 11 …….(ecuación 2)

Resolviendo para x e y , (eq.1) – 2.(eq.2),

=> 2x -2x + 3y – 10y = 8 – 22

=> -7 años = -14

=> y = 2

Sustituir y en (ecuación 2),

=> x + 5(2) = 11

=> x = 11 – 10

=> x = 1

Pregunta 16: Si 2\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 10 & 5 \end{bmatrix} , encuentra x e y.

Solución:

Dado que,

2\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 10 & 5 \end{bmatrix}

Podemos llegar a 2 ecuaciones de la ecuación matricial anterior.

=> 2x + 1 = 5…….(ecuación 1)

=> 8 + y = 0……..(ecuación 2)

Resolviendo para x,

=> 2x = 5 – 1

=> 2x = 4

=> x = 2

Resolviendo para y,

=> y = -8

Pregunta 17: Encuentra el valor de \lambda , un escalar distinto de cero, si\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 10\\ 4 & 2 & 14 \end{bmatrix}

Solución:

Dado que,

\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 10\\ 4 & 2 & 14 \end{bmatrix}

=> Podemos llegar a varias ecuaciones para resolver, \lambda sin embargo, tomemos una.

=>\lambda + 2 = 4

=>\lambda = 2

Si sustituimos \lambda = 2 , en la array vemos que la ecuación se mantiene constante.

Por lo tanto, \lambda = 2 .

Pregunta 18(i): Encuentre una array X tal que 2A + B + X = O, donde A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} .

Solución:

Dado que, 2A + B + X = O.

=> 2A =2\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}

=> X = O-2A-B

=> X =\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}

=> X =\begin{bmatrix} 0+2-3 & 0-4+2 \\ 0-6-1 & 0-8-5 \end{bmatrix}

=> X =\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -7 & -13 \end{bmatrix}

Pregunta 18(ii): Si A = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} y B = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} , entonces encuentre la array X de orden 3×2 tal que 2A + 3X = 5B.

Solución:

Dado que 2A + 3X = 5B.

=> 3X = 5B – 2A.

=> 5B =5\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix}

=> 2A =2\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 8 & -4 \\ 6 & 12 \end{bmatrix}

=> 3X =\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 8 & -4 \\ 6 & 12 \end{bmatrix}

=> 3X =\begin{bmatrix} 10-16 & -10-0 \\ 20-8 & 10+4 \\ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}

=> 3X =\begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}

=> X =\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}

=> X =\begin{bmatrix} -2 & \dfrac{-10}{3} \\\\ 4 & \dfrac{14}{3} \\\\ \dfrac{-31}{3} & \dfrac{-7}{3} \end{bmatrix}

Pregunta 19(i): Encuentre x, y, z y t, si  3\begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+t & 3 \end{bmatrix} .

Solución:

Dado que,

3\begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+t & 3 \end{bmatrix}

Podemos llegar a 4 ecuaciones diferentes a partir de la ecuación matricial anterior,

=> 3x = x + 4 …………(ecuación 1)

=> 3y = 6 + x + y ….(ecuación 2)

=> 3z = -1 + z + t …(ecuación 3)

=> 3t = 2t + 3 ………..(ecuación 4)

De (ecuación 1),

=> 2x = 4

=> x = 2

Sustituir x=2 en (ecuación 2),

=> 3y = 6 + 2 + y

=> 2 años = 8

=> y = 4

De (ecuación 4),

=> t = 3

Sustituir t=3 en (ecuación 3),

=> 3z = -1 + z + 3

=> 2z = 2

=> z = 1

Pregunta 19(ii): Encuentre x, y, z y t, si  2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 14 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} .

Solución:

Dado que,

2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 14 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}

Podemos llegar a 2 ecuaciones de la ecuación matricial anterior,

=> 2x + 3 = 7 ………………..(ecuación 1)

=> 2 (y – 3) + 2 = 14 ….(ecuación 2)

De (ecuación 1),

=> 2x = 7 – 3

=> 2x = 4

=> x = 2

De (ecuación 2),

=> 2 años – 6 + 2 = 14

=> 2 años = 14 + 4

=> 2 años = 18

=> y = 9

Pregunta 20: Si X e Y son arrays de 2×2, entonces resuelva las siguientes ecuaciones matriciales para X e Y, 2X + 3Y = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} , 3X + 2Y = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} .

Solución:

Sea 2X + 3Y = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} ser (ecuación 1) y sea 3X + 2Y = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} , ser (ecuación 2) .

=> 2(2X + 3Y) – 3(3X + 2Y) = 4X + 6Y – 9X – 6Y = -5X.

=> -5X =2\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -5 \end{bmatrix}

=> -5X =\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ 3 & -15 \end{bmatrix}

=> -5X =\begin{bmatrix} 4+6 & 6-6 \\ 8-3 & 0+15 \end{bmatrix}

=> -5X =\begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 5 & 15 \end{bmatrix}

=> 5X =\begin{bmatrix} -10 & 0 \\ -5 & -15 \end{bmatrix}

=> X =\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix} -10 & 0 \\ -5 & -15 \end{bmatrix}

=> X =\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}

Sustituir la array X en (eq.1),

=> 3 años =\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}

=> 3 años =\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ -2 & -6 \end{bmatrix}

=> 3 años =\begin{bmatrix} 2+4 & 3-0 \\ 4+2 & 0+6 \end{bmatrix}

=> 3 años =\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 6 \end{bmatrix}

=> Y =\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 6 \end{bmatrix}

=> Y =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}

Pregunta 21: En cierta ciudad hay 30 colegios. Cada colegio tiene 15 peones, 6 empleados, 1 mecanógrafo y 1 oficial de sección. Exprese la información dada como una array de columna. Usando la multiplicación escalar, encuentre el número total de puestos de cada tipo en todas las universidades.

Solución:

Deje que los diferentes puestos en cada colegio se representen como:\begin{bmatrix} 15 \\ 6\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}

Ahora el total de publicaciones se calculará de la siguiente manera:30\begin{bmatrix} 15 \\ 6\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 450 \\ 180\\ 30\\ 30 \end{bmatrix}

Pregunta 22: Los ingresos mensuales de Aryan y Babban están en una proporción de 3 : 4 y sus gastos mensuales están en una proporción de 5 : 7. Si cada uno ahorra 15000 por mes, encuentre sus ingresos mensuales utilizando el método matricial.

Solución:

El problema se puede resolver considerando dos arrays, una para gastos y otra para ingresos.

=> La array de ingresos es:  \begin{bmatrix} 3x \\ 4x\\ \end{bmatrix} donde x es una constante.

=> La array de gastos es: \begin{bmatrix} 5y \\ 7y \end{bmatrix} donde y es una constante.

=>\begin{bmatrix} 3x \\ 4x\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 5y \\ 7y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15000\\15000 \end{bmatrix}

Llegamos a 2 ecuaciones de la ecuación matricial anterior.

=> 3x – 5y = 15000……..(ecuación 1)

=> 4x – 7y = 15000……..(ecuación 2)

Resolviendo para y por 4(eq.1) – 3(eq.2),

=> 12x – 20y – 12x + 21y = 4(15000) – 3(15000)

=> y = 15000

Sustituir el valor de y en (eq.1),

=> 3x = 15000 + 5(15000)

=> 3x = 15000 + 75000

=> 3x = 90000

=> x = 30000

=> Sus ingresos y gastos son,

=> 3x = 3(30000) = 90000 y 5y = 5(15000) = 75000

=> 4x = 4(30000) = 120000 y 7y = 7(15000) = 105000

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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