Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Determinantes – Ejercicio 6.2

Pregunta 1. Evalúa el siguiente determinante:

(i) $\begin{vmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 31 & 11 & 38 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 31 & 11 & 38 \end{vmatrix} \\ \triangle = 2\begin{vmatrix} 1 & 3 &5 \\ 1 & 3 & 5 \\ 31 & 11 & 38 \end{vmatrix}$

Como R1 y R2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(ii) $\begin{vmatrix} 67 & 19 &21 \\ 39 & 13 & 14 \\ 81 & 24 & 26 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 67 & 19 &21 \\ 39 & 13 & 14 \\ 81 & 24 & 26 \end{vmatrix}$

C1⇢C1 – 3C3

$\triangle = \begin{vmatrix} 4 & 19 &21 \\ -3 & 13 & 14 \\ 3 & 24 & 26 \end{vmatrix}$

R3⇢R3 + R2 y R1⇢R1 + R2

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 32 &35 \\ -3 & 13 & 14 \\ 0 & 37 & 40 \end{vmatrix}$

R2⇢R2 + 3R1

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 32 &35 \\ 0 & 109 & 119 \\ 0 & 37 & 40 \end{vmatrix}$

△ = 1(109 × 40 – 119 × 37)

Por lo tanto, △ = -43

(iii) $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix}\\ \triangle = a\begin{vmatrix} b & f \\ f & c \end{vmatrix}-h\begin{vmatrix} h & f \\ g & c \end{vmatrix}+g\begin{vmatrix} h & b \\ g & f \end{vmatrix}$

△ = a(bc – f ² ) – h(hc – fg) + g(hf – gb)

△ = abc – af ² – h ² c + fgh + fgh – gramo ^{2 segundo}

Por lo tanto, △ = abc + 2fgh – af ² – ch ² – bg ²

(iv) $\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

$\triangle = 1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}-(-3)\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$

△ = 1(-2 – 10) + 3(8 – 6) + 2(20 + 3)

△ = 1(-12) + 3(2) + 2(23)

△ = -12 + 6 + 46

Por lo tanto, △ = 40

(v) $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 9 &16 \\ 9 & 16 & 25 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 9 &16 \\ 9 & 16 & 25 \end{vmatrix}\\ \triangle = 1\begin{vmatrix} 9 & 16 \\ 16 & 25 \end{vmatrix}-4\begin{vmatrix} 4 & 16 \\ 9 & 25 \end{vmatrix}+9\begin{vmatrix} 4 & 9 \\ 9 & 16 \end{vmatrix}$

△ = 1(225-256) + 4(100-144) + 9(64-81)

△ = 1(-31) – 4(-44) + 9(-17)

△ = -31 + 176 – 153

Por lo tanto, △ = -8

(vi) $\begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Tomando -2 común de C1, C2 y C3

$\triangle = -2\begin{vmatrix} -3 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Como C1 y C2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(vii) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 27 \\ 3 & 9 & 27 & 1 \\ 9 & 27 & 1 & 3 \\ 27 & 1 & 3 & 9 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 27 \\ 3 & 9 & 27 & 1 \\ 9 & 27 & 1 & 3 \\ 27 & 1 & 3 & 9 \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3^2 & 3^3 \\ 3 & 3^2 & 3^3 & 1 \\ 3^2 & 3^3 & 1 & 3 \\ 3^3 & 1 & 3 & 3^2 \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C2 + C3

$\triangle = \begin{vmatrix} 1+3 + 3^2 + 3^3 & 3 & 3^2 & 3^3 \\ 1+3 + 3^2 + 3^3 & 3^2 & 3^3 & 1 \\ 1+3 + 3^2 + 3^3 & 3^3 & 1 & 3 \\ 1+3 + 3^2 + 3^3 & 1 & 3 & 3^2 \end{vmatrix}\\ \triangle = 1+3 + 3^2 + 3^3\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3^2 & 3^3 \\ 1 & 3^2 & 3^3 & 1 \\ 1& 3^3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3^2 \end{vmatrix}\\$

C2⇢C2 – C1

C3⇢C3 – C1

C4⇢C4 – C1

$\triangle = 1+3 + 3^2 + 3^3\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3^2 & 3^3 \\ 0 & 3^2-3 & 3^3-3^2 & 1-3^3 \\ 0 & 3^3-3 & 1-3^2 & 3-3^3 \\ 0 & 1-3 & 3-3^2 & 3^2-3^3 \end{vmatrix}\\ \triangle = (1+3 + 3^2 + 3^3)1\begin{vmatrix} 3^2-3 & 3^3-3^2 & 1-3^3 \\ 3^3-3 & 1-3^2 & 3-3^3 \\ 1-3 & 3-3^2 & 3^2-3^3 \end{vmatrix}\\ \triangle = 1+3 + 3^2 + 3^3\begin{vmatrix} 6 & 18 & -26 \\ 24 & -8 & -24 \\ -2 & -6 & -18 \end{vmatrix}\\$

Tomando 2, -2 y -2 comunes de C1, C2 y C3

$\triangle = (1+3 + 3^2 + 3^3)(2^3)\begin{vmatrix} 3 & -9 & 13\\ 12 & 4 & 12\\ -1 & 3 & 9\end{vmatrix}\\$

Tomando 4 comunes de R2 y R1⇢R1+3R3

$\triangle = (1+3 + 3^2 + 3^3)(2^2)(2^3)\begin{vmatrix} 0 & 0 & 40\\ 3 & 1 & 3\\ -1 & 3 & 9\end{vmatrix}\\$

△ = (1 + 3 + 32 + 33)(4)(8)[40(9 – (-1))]

△ = (40)(4)(8)[40(9 + 1)]

△ = 40 × 4 × 8 × 40 × 10

Por lo tanto, △ = 512000

(viii) $\begin{vmatrix} 102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \end{vmatrix}$

Tomando 6 comunes de R1, obtenemos

$\triangle = 6\begin{vmatrix} 17 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \end{vmatrix}$

Como R1 y R3 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

Pregunta 2. Sin desarrollar, muestra que los valores de cada uno de los siguientes determinantes son cero:

(i) $\begin{vmatrix} 8 & 2 & 7 \\ 12 & 3 & 5 \\ 16 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 8 & 2 & 7 \\ 12 & 3 & 5 \\ 16 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Tomando 4 comunes de C1, obtenemos

$\triangle = 4\begin{vmatrix} 2 & 2 & 7 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Como C1 y C2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(ii) $\begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Tomando -2 común de C1, obtenemos

$\triangle = (-2)\begin{vmatrix} -3 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Como C1 y C2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(iii) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 13 & 17 & 5 \\ 15 & 20 & 12 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 13 & 17 & 5 \\ 15 & 20 & 12 \end{vmatrix}$

R3⇢R3 – R2

$\triangle = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 13 & 17 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \end{vmatrix}$

Como R1 y R3 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(iv) $\begin{vmatrix} \frac{1}{a} & a^2 & bc \\ \frac{1}{b} & b^2 & ac \\ \frac{1}{c} & c^2 & ab \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} \frac{1}{a} & a^2 & bc \\ \frac{1}{b} & b^2 & ac \\ \frac{1}{c} & c^2 & ab \end{vmatrix}$

Multiplicando y dividiendo △ por abc, obtenemos

$\triangle = \frac{abc}{abc}\begin{vmatrix} \frac{1}{a} & a^2 & bc \\ \frac{1}{b} & b^2 & ac \\ \frac{1}{c} & c^2 & ab \end{vmatrix}\\$

Multiplicando R1, R2 y R3 por a, b y c respectivamente

$\triangle = \frac{1}{abc}\begin{vmatrix} 1 & a^3 & abc \\ 1 & b^3 & abc \\ 1 & c^3 & abc \end{vmatrix}$

Tomando abc común de C3, obtenemos

$\triangle = \frac{abc}{abc}\begin{vmatrix} 1 & a^3 & 1 \\ 1 & b^3 & 1 \\ 1 & c^3 & 1 \end{vmatrix}$

Como C2 y C3 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(v) $\begin{vmatrix} a+b & 2a+b & 3a+b \\ 2a+b & 3a+b & 4a+b \\ 4a+b & 5a+b & 6a+b \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} a+b & 2a+b & 3a+b \\ 2a+b & 3a+b & 4a+b \\ 4a+b & 5a+b & 6a+b \end{vmatrix}$

C3⇢C3 – C2 y C2⇢C2 – C1

$\triangle = \begin{vmatrix} a+b & a & a \\ 2a+b & a & a \\ 4a+b & a & a \end{vmatrix}$

Como C2 y C3 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(vi) $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 1 & b & b^2-ac \\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 1 & b & b^2-ac \\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}$

Dividiendo el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ac \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$

R2⇢R2-R1 y R3⇢R3-R1

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & ac-bc \\ 0 & c-a & ab-bc \end{vmatrix} \\ \triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & (b-a)(b+a) \\ 0 & c-a & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & -(b-a)c \\ 0 & c-a & -(c-a)b \end{vmatrix}$

Tomando (ba) y (ca) comunes de R2 y R3, tenemos

$\triangle = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 1 & c+a \end{vmatrix}-(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 1 & -b \end{vmatrix}$

△ = (b – a)(c – a)(c + a – (b + a)) – (b – a)(c – a)(-b – (-c))

△ = (b – a)(c – a)(c + a – b – a) – (b – a)(c – a)(-b + c)

△ = (b – a)(c – a)(c – b) – (b – a)(c – a)(c – b)

Por lo tanto, △ = 0

(vii) $\begin{vmatrix} 49 & 1 & 6 \\ 39 & 7 & 4 \\ 26 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 49 & 1 & 6 \\ 39 & 7 & 4 \\ 26 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

C1⇢C1 – 8C3

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 7 & 7 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

Como C1 y C2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(viii) $\begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{vmatrix}$

Multiplicando y dividiendo por xyz, tenemos

$\triangle = \frac{xyz}{xyz}\begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{vmatrix}$

Multiplicando C1, C2 y C3 por z, y y x respectivamente

$\triangle = \frac{1}{xyz}\begin{vmatrix} 0 & xy & yx \\ -xz & 0 & zx \\ -yz & -zy & 0 \end{vmatrix}$

Tomando y, x y z comunes en R1, R2 y R3 respectivamente

$\triangle = \frac{xyz}{xyz}\begin{vmatrix} 0 & x & x \\ -z & 0 & z \\ -y & -y & 0 \end{vmatrix}$

C2⇢C2 – C3

$\triangle = \frac{xyz}{xyz}\begin{vmatrix} 0 & 0 & x \\ -z & -z & z \\ -y & -y & 0 \end{vmatrix}$

Como C1 y C2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(ix) $\begin{vmatrix} 1 & 43 & 6 \\ 7 & 35 & 4 \\ 3 & 17 & 2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 43 & 6 \\ 7 & 35 & 4 \\ 3 & 17 & 2 \end{vmatrix}$

C2⇢C2 – 7C3

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 7 & 7 & 4 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

Como C1 y C2 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(X) $\begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^5 \\ 3^3 & 4^4 & 5^2 & 6^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2 &7^2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^5 \\ 3^3 & 4^4 & 5^2 & 6^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2 &7^2 \end{vmatrix}$

C3⇢C3 – C2 y C4⇢C4 – C1

$\triangle = \begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 3^2-2^2 & 4^2-1^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2-3^2 & 5^2-2^2 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2-4^2 & 6^2-3^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2-5^2 &7^2-4^2 \end{vmatrix} \\ \triangle = \begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 5 & 15 \\ 2^2 & 3^2 & 7 & 21 \\ 3^2 & 4^2 & 9 & 27 \\ 4^2 & 5^2 & 11 &33 \end{vmatrix}$

Tomando 3 comunes de C3, obtenemos

$\triangle = 3\begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 5 & 5 \\ 2^2 & 3^2 & 7 & 7 \\ 3^2 & 4^2 & 9 & 9 \\ 4^2 & 5^2 & 11 &11 \end{vmatrix}$

Como C3 y C4 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

(xi) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

R3⇢R3 + R1 y R2⇢R2 + R1

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a+a+2x & b+b+2y & c+c+2z \\ a+x & b+y & c+z \end{vmatrix} \\ \triangle = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a+2x & 2b+2y & 2c+2z \\ a+x & b+y & c+z \end{vmatrix}$

Tomando 2 comunes de R2, obtenemos

$\triangle = 2\begin{vmatrix} a & b & c \\ a+x & b+y & c+z \\ a+x & b+y & c+z \end{vmatrix}$

Como R2 y R3 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

Pregunta 3. $\begin{vmatrix} a & b+c & a^2 \\ b & c+a & b^2 \\ c & a+b & c^2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b+c & a^2 \\ b & c+a & b^2 \\ c & a+b & c^2 \end{vmatrix}$

C2⇢C2+C1

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b+c+a & a^2 \\ b & c+a+b & b^2 \\ c & a+b+c & c^2 \end{vmatrix}$

Tomando (a+b+c) común de C2, obtenemos

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ b & 1 & b^2 \\ c & 1 & c^2 \end{vmatrix}$

R3⇢R3-R1 y R2⇢R2-R1

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ b-a & 0 & b^2-a^2 \\ c-a & 0 & c^2-a^2 \end{vmatrix} \\ \triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ b-a & 0 & (b-a)(b+a) \\ c-a & 0 & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}$

Tomando (b – a) y (c – a) de R2 y R3, tenemos

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ b-a & 0 & b^2-a^2 \\ c-a & 0 & c^2-a^2 \end{vmatrix} \\ \triangle = (a+b+c)(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} a & 1 & a^2 \\ 1 & 0 & b+a \\ 1 & 0 & c+a \end{vmatrix}$

△ = (a + b + c)(b – a)(c – a)[1(b + a – (c + a))]

△ = (a + b + c)(b – a)(c – a)(b + a – c – a)

Por lo tanto, △ = (a + b + c)(b – a)(c – a)(b – c)

Pregunta 4. $\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$

R3⇢R3-R1 y R2⇢R2-R1

$\triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & ca-bc \\ 0 & c-a & ab-bc \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & -c(b-a) \\ 0 & c-a & -b(c-a) \end{vmatrix}\\$

Tomando (ba) y (ca) de R2 y R3, tenemos

$\triangle = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 1 & -b \end{vmatrix}\\$

△ = (b – a)(c – a)[1((1)(-b) – (1)(-c))]

△ = (b – a)(c – a)[-b – (-c)]

△ = (b – a)(c – a)[-b + c]

Por lo tanto, △ = (a – b)(b – c)(c – a)

Pregunta 5. $\begin{vmatrix} x+\lambda & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} x+\lambda & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda \end{vmatrix}$

C1⇢C1+C2+C3

$\triangle = \begin{vmatrix} 3x+\lambda & x & x \\ 3x+\lambda & x+\lambda & x \\ 3x+\lambda & x & x+\lambda \end{vmatrix}$

Tomando (3x+λ) común de C1, obtenemos

$\triangle = (3x+\lambda)\begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 1 & x+\lambda & x \\ 1 & x & x+\lambda \end{vmatrix}$

R3⇢R3-R1 y R2⇢R2-R1

$\triangle = (3x+\lambda)\begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 0 & x+\lambda-x & x-x \\ 0 & x-x & x+\lambda-x \end{vmatrix} \\ \triangle = (3x+\lambda)\begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix}$

△ = (3x + λ)[λ(λ(1) – 0)]

△ = (3x + λ)[λ(λ)]

Por lo tanto, △ = λ ² (3x + λ)

Pregunta 6. $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C2 + C3

$\triangle = \begin{vmatrix} a+b+c & b & c \\ c+a+b & a & b \\ b+c+a & c & a \end{vmatrix}$

Tomando (a + b + c) común de C1, obtenemos

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & a & b \\ 1 & c & a \end{vmatrix}$

R3⇢R3 – R1 y R2⇢R2 – R1

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 0 & a-b & b-c \\ 0 & c-b & a-c \end{vmatrix}$

△ = (a + b + c)[1((a – b)(a – c) – (c – b)(b – c))]

△ = (a + b + c)[(a ² – ac – ab + bc) – (cb – c ² – b ² + bc)]

△ = (a + b + c)[a ² – ac – ab + bc + c ² + b ² – 2bc]

Por lo tanto, △ = (a + b + c)[a ² + b ² + c ² – ac – ab – bc]

Pregunta 7. $\begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha & cos\hspace{0.1cm}\alpha & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta & cos\hspace{0.1cm}\beta & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma & cos\hspace{0.1cm}\gamma & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha & cos\hspace{0.1cm}\alpha & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta & cos\hspace{0.1cm}\beta & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma & cos\hspace{0.1cm}\gamma & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

$\triangle = \begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha sin\hspace{0.1cm}\delta & cos\hspace{0.1cm}\alpha cos\hspace{0.1cm}\delta & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta sin\hspace{0.1cm}\delta & cos\hspace{0.1cm}\beta cos\hspace{0.1cm}\delta & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma sin\hspace{0.1cm}\delta & cos\hspace{0.1cm}\gamma cos\hspace{0.1cm}\delta & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

C2⇢C2 – C1

$\triangle = \begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha sin\hspace{0.1cm}\delta & cos\hspace{0.1cm}\alpha cos\hspace{0.1cm}\delta - sin\hspace{0.1cm}\alpha sin\hspace{0.1cm}\delta & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta sin\hspace{0.1cm}\delta & cos\hspace{0.1cm}\beta cos\hspace{0.1cm}\delta - sin\hspace{0.1cm}\beta sin\hspace{0.1cm}\delta & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma sin\hspace{0.1cm}\delta & cos\hspace{0.1cm}\gamma cos\hspace{0.1cm}\delta - sin\hspace{0.1cm}\gamma sin\hspace{0.1cm}\delta & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

Usando la identidad trigonométrica,

cos a cos b – sen a sen b = cos (a + b)

$\triangle = \begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha sin\hspace{0.1cm}\delta & cos(\alpha+\delta) & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta sin\hspace{0.1cm}\delta & cos(\beta+\delta) & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma sin\hspace{0.1cm}\delta & cos(\gamma+\delta) & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

Como C2 y C3 son idénticos

Por lo tanto, △ = 0

Acreditar las siguientes identidades:

Pregunta 8. $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$ = a ³ + b ² + c ³ – 3abc

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$

R3⇢R3 + R1 y R2⇢R2 + R1

$\triangle = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c+a & c+a+b & a+b+c \end{vmatrix}$

Tomando (a + b + c) común de R3, obtenemos

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

R2⇢R2 – R1

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b-a & b-c-b & c-a-c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\\ \triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Tomando (-1) común de R2, obtenemos

$\triangle = (a+b+c)(-1)\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

C1⇢C1 – C2 y C2⇢C2 – C3

$\triangle = (a+b+c)(-1)\begin{vmatrix} a-b & b-c & c \\ b-c & c-a & a \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

△ = (-1)(a + b + c)[1((a – b)(c – a) – (b – c)(b – c))]

△ = (-1)(a + b + c)[(a – b)(c – a) – (b – c) ² ]

△ = (-1)(a + b + c)[(ac – a ² – bc + ab) – (b ² – 2cb + c ² )]

△ = (-1)(a + b + c)(ac – a ² – bc + ab – b ² + 2cb – c ² )

△ = (a + b + c)(-ac + a ² – bc – ab + b ² + c ² )

△ = (a + b + c)(a ² + b ² + c ² – ac – ab – cb)

△ = un ³ + segundo ³ + do ³ – 3abc

Por lo tanto probado

Pregunta 9. $\begin{vmatrix}b+c & a-b & a \\ c+a & b-c & b \\ a+b & c-a & c \end{vmatrix}$ = 3abc – a ³ – b ² – c ³

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}b+c & a-b & a \\ c+a & b-c & b \\ a+b & c-a & c \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C3

$\triangle = \begin{vmatrix}b+c+a & a-b & a \\ c+a+b & b-c & b \\ a+b+c & c-a & c \end{vmatrix}$

Tomando (a + b + c) común de C1, obtenemos

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix}1 & a-b & a \\ 1 & b-c & b \\ 1 & c-a & c \end{vmatrix}$

△ = (a + b + c)[1((b – c)c – b(c – a)) – 1((a – b)c – a(c – a)) + 1(b(a – b) – a(b – c))]

△ = (a + b + c)[(b – c)c – b(c – a) – (a – b)c + a(c – a) + b(a – b) – a(b – c )]

△ = (a + b + c)[(bc – c ² -bc + ab) – (ac – bc) + ac – a ² + ab – b ² – (ab – ac)]

△ = (a + b + c)[bc – c ² – bc + ab – ac + bc + ac – a ² + ab – b ² – ab + ac]

△ = (a + b + c)[bc – c ² + ab + ac – a ² – b ² ]

△ = (a + b + c)[bc + ab + ac – a ² – b ² – c ² ]

△ = 3abc – a ³ – b ³ – c ³

Por lo tanto probado

Pregunta 10. $\begin{vmatrix}a+b & b+c & c+a \\ b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b& b+c \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a& b \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}a+b & b+c & c+a \\ b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b& b+c \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C2 + C3

$\triangle = \begin{vmatrix}a+b+b+c+c+a & b+c & c+a \\ b+c+c+a+a+b & c+a & a+b \\ c+a+a+b+b+c & a+b& b+c \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix}2(a+b+c) & b+c & c+a \\ 2(a+b+c) & c+a & a+b \\ 2(a+b+c) & a+b& b+c \end{vmatrix}$

Tomando 2 comunes de C1, obtenemos

$\triangle = 2\begin{vmatrix}a+b+c & b+c & c+a \\ a+b+c & c+a & a+b \\ a+b+c & a+b& b+c \end{vmatrix}$

C2⇢C2 – C1 y C3⇢C3 – C1

$\triangle = 2\begin{vmatrix}a+b+c & b+c-(a+b+c) & c+a-(a+b+c) \\ a+b+c & c+a-(a+b+c) & a+b-(a+b+c) \\ a+b+c & a+b-(a+b+c) & b+c-(a+b+c) \end{vmatrix}\\ \triangle = 2\begin{vmatrix}a+b+c & -a & -b \\ a+b+c & -b & -c \\ a+b+c & -c & -a \end{vmatrix}\\$

Tomando (-1) y (-1) comunes de C2 y C3,

$\triangle = 2(-1)(-1)\begin{vmatrix}a+b+c & a & b \\ a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \end{vmatrix}\\ \triangle = 2\begin{vmatrix}a+b+c & a & b \\ a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \end{vmatrix}\\$

Al dividir el determinante, obtenemos

$\triangle = 2\begin{vmatrix}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}a & a & b \\ b & b & c \\ c & c & a \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}b & a & b \\ c & b & c \\ a & c & a \end{vmatrix}\\ \triangle = 2\begin{vmatrix}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{vmatrix}+2(0)+2(0)\\ \triangle = 2\begin{vmatrix}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{vmatrix}+0+0\\ \triangle = 2\begin{vmatrix}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{vmatrix}$

Por lo tanto probado

Pregunta 11. $\begin{vmatrix}a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix}$ = 2(a + b + c) ³

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C2 + C3

$\triangle = \begin{vmatrix}2a+2b+2c & a & b \\ 2b+2c+2a & b+c+2a & b \\ 2a+2b+2c & a & c+a+2b \end{vmatrix}$

Tomando (2a + 2b + 2c) común de C1, obtenemos

$\triangle = (2a+2b+2c)\begin{vmatrix}1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{vmatrix}\\ \triangle = 2(a+b+c)\begin{vmatrix}1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{vmatrix}$

R2⇢R2 – R1 y R3⇢R3 – R1

$\triangle = 2(a+b+c)\begin{vmatrix}1 & a & b \\ 0 & b+c+2a-a & b-b \\ 0 & a-a & c+a+2b-b \end{vmatrix}\\ \triangle = 2(a+b+c)\begin{vmatrix}1 & a & b \\ 0 & b+c+a & 0 \\ 0 & 0 & c+a+b \end{vmatrix}$

△ = 2(a + b + c)[1((a + b + b)(a + b + c) – 0)]

△ = 2(a + b + c)[(a + b + b) ² ]

△ = 2(a + b + c) ³

Por lo tanto probado

Pregunta 12. $\begin{vmatrix}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}$ = (a + b + c) ³

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}$

R1⇢R1 + R2 + R3

$\triangle = \begin{vmatrix}a-b-c+2b+2c & 2a+b-c-a+2c & 2a+2b+c-a-b \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}$

Tomando (a + b + c) común de R1, obtenemos

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}$

C2⇢C2 – C1 y C3⇢C3 – C1

$\triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2b & b-c-a-2b & 2b-2b \\ 2c & 2c-2c & c-a-b-2c \end{vmatrix}\\ \triangle = (a+b+c)\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2b & -c-a-b & 0 \\ 2c & 0 & -a-b-c \end{vmatrix}$

△ = (a + b + c)[1((-b – c – a)(-b – c – a) – 0)]

△ = (a + b + c)[(b + c + a)(b + c + a)]

△ = (a + b + c)[(b + c + a) ² ]

△ = (a + b + c) ³

Por lo tanto probado

Pregunta 13. $\begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 1 & c+a & c^2+a^2 \\ 1 & a+b & a^2+b^2 \end{vmatrix}$ = (a – b)(b – c)(c – a)

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 1 & c+a & c^2+a^2 \\ 1 & a+b & a^2+b^2 \end{vmatrix}$

R2⇢R2 – R1 y R3⇢R3 – R1

$\triangle = \begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 0 & a-b & a^2-b^2 \\ 0 & a-c & a^2-c^2 \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & a-c & (a-c)(a+c) \end{vmatrix}$

Tomando (a – b) y (a – c) comunes de R2 y R3 respectivamente, obtenemos

$\triangle =(a-b)(a-c) \begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & a+c \end{vmatrix}$

△ = (a – b)(a – c)[1(1(a + c) – 1(a + b))]

△ = (a – b)(a – c)[(a + c) – (a + b)]

△ = (a – b)(a – c)[a + c – a – b]

△ = (a – b)(a – c)

△ = (a – b)(a – c)(c – b)

△ = (a – b)(b – c)(c – a)

Por lo tanto probado

Pregunta 14. $\begin{vmatrix}a & a+b & a+2b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{vmatrix}$ = 9(a + b)b ²

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}a & a+b & a+2b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C2 + C3

$\triangle = \begin{vmatrix}3a+3b & 3a+3b & 3a+3b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{vmatrix}$

Tomando (3a + 3b) común de R1, obtenemos

$\triangle = (3a+3b)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{vmatrix}$

C2⇢C2 – C1 y C3⇢C3 – C2

$\triangle = (3a+3b)\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ a+2b & a-(a+2b) & a+b-a \\ a+b & a+2b-(a+b) & a-(a+2b) \end{vmatrix}\\ \triangle = (3a+3b)\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ a+2b & -2b & b \\ a+b & b & -2b \end{vmatrix}$

△ = 3(a + b)[1((-2b)(-2b) – b(b))]

△ = 3(a + b)[4b ² – b ² ]

△ = 3(a + b)[3b ² ]

△ = 9(a + b)b ²

Por lo tanto probado

Pregunta 15. $\begin{vmatrix}1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$

R1⇢aR1, R2⇢bR2 y R3⇢cR3

$\triangle = \frac{1}{abc}\begin{vmatrix}a & a^2 & abc \\ b & b^2 & bca \\ c & c^2 & cab \end{vmatrix}$

Tomando (abc) común de C3, obtenemos

$\triangle = \frac{abc}{abc}\begin{vmatrix}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}\\ \triangle = -\begin{vmatrix}a & 1 & a^2 \\ b & 1 & b^2 \\ c & 1 & c^2 \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$

Por lo tanto probado

Pregunta 16. $\begin{vmatrix}z & x & y \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ z^4 & x^4 & y^4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z^2 & x^2 & y^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \\x & y & z \end{vmatrix}$ = xyz(x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z)

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

C1↔C2 y luego

$\triangle = \begin{vmatrix}z & x & y \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ z^4 & x^4 & y^4 \end{vmatrix}\\ \triangle = - \begin{vmatrix}x & z & y \\ x^2 & z^2 & y^2 \\ x^4 & z^4 & y^4 \end{vmatrix}$

C2↔C3

$\triangle = \begin{vmatrix}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}$

R1↔R2

$\triangle = -\begin{vmatrix}x^2 & y^2 & z^2 \\ x & y & z \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}$

R2↔R3

$\triangle = \begin{vmatrix}x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \\ x & y & z \end{vmatrix}$

Tomando,

$\triangle = \begin{vmatrix}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}$

Tomando x, y y z comunes de C1, C2 y C3 respectivamente

$\triangle = (xyz)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{vmatrix}$

C1⇢C1 – C2 y C3⇢C3 – C2

$\triangle = (xyz)\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 \\ x-y & y & z-y \\ x^3-y^3 & y^3 & z^3-y^3 \end{vmatrix}\\ \triangle = (xyz)\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 \\ x-y & y & z-y \\ (x-y)(x^2+xy+y^2) & y^3 & (z-y)(z^2+zy+y^2) \end{vmatrix}$

Tomando (x – y) y (z – y) comunes de C1 y C3 respectivamente, obtenemos

$\triangle = (xyz)(x-y)(z-y)\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & y & 1 \\ x^2+xy+y^2 & y^3 & z^2+zy+y^2 \end{vmatrix}$

△ = (xyz)(x – y)(z – y)[1(1(z ² + zy + y ² ) – 1(x ² + xy + y ² ))]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)[z ² + zy + y ² – (x ² + xy + y ² )]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)[z ² + zy + y ² – x ² – xy – y ² ]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)[z ² + zy – x ² – xy]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)[z ² – x ² + zy – xy]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)[(z – x)(z + x) + y(z – x)]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)(z – x)[z + x + y]

△ = (xyz)(x – y)(z – y)(z – x)(x + y + z)

$\triangle=\begin{vmatrix}z & x & y \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ z^4 & x^4 & y^4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z^2 & x^2 & y^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \\x & y & z \end{vmatrix}=xyz(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

Por lo tanto probado

Pregunta 17. $\begin{vmatrix}(b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$ = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)(a ² + b ² + c ² )

Solución:

Teniendo en cuenta el determinante, tenemos

$\triangle = \begin{vmatrix}(b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

C1⇢C1 + C2 – 2C3

$\triangle = \begin{vmatrix}(b+c)^2+a^2-2bc & a^2 & bc \\ (c+a)^2+b^2-2ca & b^2 & ca \\ (a+b)^2+c^2-2ab & c^2 & ab \end{vmatrix}\\ \triangle = \begin{vmatrix}a^2+b^2+c^2 & a^2 & bc \\ a^2+b^2+c^2 & b^2 & ca \\ a^2+b^2+c^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

Tomando (a ² + b ² + c ² ) común de C1, obtenemos

$\triangle = (a^2+b^2+c^2)\begin{vmatrix}1 & a^2 & bc \\ 1 & b^2 & ca \\ 1 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

C2⇢C2-C1 y C3⇢C3-C1

$\triangle = (a^2+b^2+c^2)\begin{vmatrix}1 & a^2 & bc \\ 0 & b^2-a^2 & ca-bc \\ 0 & c^2-a^2 & ab-bc \end{vmatrix}\\ \triangle = (a^2+b^2+c^2)\begin{vmatrix}1 & a^2 & bc \\ 0 & (b-a)(b+a) & -c(b-a) \\ 0 & (c-a)(c+a) & -b(c-a) \end{vmatrix}$

Tomando (b – a) y (c – a) comunes de R2 y R3, obtenemos

$\triangle = (a^2+b^2+c^2)(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1 & a^2 & bc \\ 0 & b+a & -c \\ 0 & c+a & -b \end{vmatrix}$

△ = (a ² + b ² + c ² )(b – a)(c – a)[1((b + a)(-b) – (c + a)(-c))]

△ = (a ² + b ² + c ² )(b – a)(c – a)[(b + a)(-b) + (c + a)c]

△ = (a ² + b ² + c ² )(b – a)(c – a)[(-b ² – ab) + (c ² + ac)]

△ = (a ² + b ² + c ² )(b – a)(c – a)

△ = (a ² + b ² + c ² )(b – a)(c – a)[(c – b)(c + b) + a(c – b)]

△ = (a ² + b ² + c ² )(b – a)(c – a)(c – b)

△ = (a ² + b ² + c ² )(a + b + c)(a – b)(b – c)(c – a)

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Determinantes – Ejercicio 6.2 | Serie 1

Pregunta 1. Evalúa el siguiente determinante:

(i) $\begin{vmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 31 & 11 & 38 \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} 67 & 19 &21 \\ 39 & 13 & 14 \\ 81 & 24 & 26 \end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix}$

(iv) $\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

(v) $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 9 &16 \\ 9 & 16 & 25 \end{vmatrix}$

(vi) $\begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

(vii) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 27 \\ 3 & 9 & 27 & 1 \\ 9 & 27 & 1 & 3 \\ 27 & 1 & 3 & 9 \end{vmatrix}$

(viii) $\begin{vmatrix} 102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \end{vmatrix}$

Pregunta 2. Sin desarrollar, muestra que los valores de cada uno de los siguientes determinantes son cero:

(i) $\begin{vmatrix} 8 & 2 & 7 \\ 12 & 3 & 5 \\ 16 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 13 & 17 & 5 \\ 15 & 20 & 12 \end{vmatrix}$

(iv) $\begin{vmatrix} \frac{1}{a} & a^2 & bc \\ \frac{1}{b} & b^2 & ac \\ \frac{1}{c} & c^2 & ab \end{vmatrix}$

(v) $\begin{vmatrix} a+b & 2a+b & 3a+b \\ 2a+b & 3a+b & 4a+b \\ 4a+b & 5a+b & 6a+b \end{vmatrix}$

(vi) $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 1 & b & b^2-ac \\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}$

(vii) $\begin{vmatrix} 49 & 1 & 6 \\ 39 & 7 & 4 \\ 26 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

(viii) $\begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{vmatrix}$

(ix) $\begin{vmatrix} 1 & 43 & 6 \\ 7 & 35 & 4 \\ 3 & 17 & 2 \end{vmatrix}$

(X) $\begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^5 \\ 3^3 & 4^4 & 5^2 & 6^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2 &7^2 \end{vmatrix}$

(xi) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

Pregunta 3. $\begin{vmatrix} a & b+c & a^2 \\ b & c+a & b^2 \\ c & a+b & c^2 \end{vmatrix}$

Pregunta 4. $\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$

Pregunta 5. $\begin{vmatrix} x+\lambda & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda \end{vmatrix}$

Pregunta 6. $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$

Pregunta 7. $\begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha & cos\hspace{0.1cm}\alpha & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta & cos\hspace{0.1cm}\beta & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma & cos\hspace{0.1cm}\gamma & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

Acreditar las siguientes identidades:

Pregunta 8. $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$ = a ³ + b ² + c ³ – 3abc

Pregunta 9. $\begin{vmatrix}b+c & a-b & a \\ c+a & b-c & b \\ a+b & c-a & c \end{vmatrix}$ = 3abc – a ³ – b ² – c ³

Pregunta 10. $\begin{vmatrix}a+b & b+c & c+a \\ b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b& b+c \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a& b \end{vmatrix}$

Pregunta 11. $\begin{vmatrix}a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix}$ = 2(a + b + c) ³

Pregunta 12. $\begin{vmatrix}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}$ = (a + b + c) ³

Pregunta 13. $\begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 1 & c+a & c^2+a^2 \\ 1 & a+b & a^2+b^2 \end{vmatrix}$ = (a – b)(b – c)(c – a)

Pregunta 14. $\begin{vmatrix}a & a+b & a+2b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{vmatrix}$ = 9(a + b)b ²

Pregunta 15. $\begin{vmatrix}1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$

Pregunta 16. $\begin{vmatrix}z & x & y \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ z^4 & x^4 & y^4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z^2 & x^2 & y^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \\x & y & z \end{vmatrix}$ = xyz(x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z)

Pregunta 17. $\begin{vmatrix}(b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$ = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)(a ² + b ² + c ² )

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Pregunta 1. Evalúa el siguiente determinante:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

Pregunta 2. Sin desarrollar, muestra que los valores de cada uno de los siguientes determinantes son cero:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(X)

(xi)

Pregunta 3.

Pregunta 4.

Pregunta 5.

Pregunta 6.

Pregunta 7.

Acreditar las siguientes identidades:

Pregunta 8. = a 3 + b 2 + c 3 – 3abc

Pregunta 9. = 3abc – a 3 – b 2 – c 3

Pregunta 10.

Pregunta 11. = 2(a + b + c) 3

Pregunta 12. = (a + b + c) 3

Pregunta 13. = (a – b)(b – c)(c – a)

Pregunta 14. = 9(a + b)b 2

Pregunta 15.

Pregunta 16. = xyz(x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z)

Pregunta 17. = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )

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(i) $\begin{vmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 31 & 11 & 38 \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} 67 & 19 &21 \\ 39 & 13 & 14 \\ 81 & 24 & 26 \end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix}$

(iv) $\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

(v) $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 9 &16 \\ 9 & 16 & 25 \end{vmatrix}$

(vi) $\begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

(vii) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 27 \\ 3 & 9 & 27 & 1 \\ 9 & 27 & 1 & 3 \\ 27 & 1 & 3 & 9 \end{vmatrix}$

(viii) $\begin{vmatrix} 102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \end{vmatrix}$

(i) $\begin{vmatrix} 8 & 2 & 7 \\ 12 & 3 & 5 \\ 16 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -10 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 13 & 17 & 5 \\ 15 & 20 & 12 \end{vmatrix}$

(iv) $\begin{vmatrix} \frac{1}{a} & a^2 & bc \\ \frac{1}{b} & b^2 & ac \\ \frac{1}{c} & c^2 & ab \end{vmatrix}$

(v) $\begin{vmatrix} a+b & 2a+b & 3a+b \\ 2a+b & 3a+b & 4a+b \\ 4a+b & 5a+b & 6a+b \end{vmatrix}$

(vi) $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 1 & b & b^2-ac \\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}$

(vii) $\begin{vmatrix} 49 & 1 & 6 \\ 39 & 7 & 4 \\ 26 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

(viii) $\begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{vmatrix}$

(ix) $\begin{vmatrix} 1 & 43 & 6 \\ 7 & 35 & 4 \\ 3 & 17 & 2 \end{vmatrix}$

(X) $\begin{vmatrix} 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^5 \\ 3^3 & 4^4 & 5^2 & 6^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2 &7^2 \end{vmatrix}$

(xi) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

Pregunta 3. $\begin{vmatrix} a & b+c & a^2 \\ b & c+a & b^2 \\ c & a+b & c^2 \end{vmatrix}$

Pregunta 4. $\begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$

Pregunta 5. $\begin{vmatrix} x+\lambda & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda \end{vmatrix}$

Pregunta 6. $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$

Pregunta 7. $\begin{vmatrix} sin\hspace{0.1cm}\alpha & cos\hspace{0.1cm}\alpha & cos(\alpha+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\beta & cos\hspace{0.1cm}\beta & cos(\beta+\delta) \\ sin\hspace{0.1cm}\gamma & cos\hspace{0.1cm}\gamma & cos(\gamma+\delta) \end{vmatrix}$

Pregunta 8. $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$ = a ³ + b ² + c ³ – 3abc

Pregunta 9. $\begin{vmatrix}b+c & a-b & a \\ c+a & b-c & b \\ a+b & c-a & c \end{vmatrix}$ = 3abc – a ³ – b ² – c ³

Pregunta 10. $\begin{vmatrix}a+b & b+c & c+a \\ b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b& b+c \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a& b \end{vmatrix}$

Pregunta 11. $\begin{vmatrix}a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{vmatrix}$ = 2(a + b + c) ³

Pregunta 12. $\begin{vmatrix}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}$ = (a + b + c) ³

Pregunta 13. $\begin{vmatrix}1 & b+c & b^2+c^2 \\ 1 & c+a & c^2+a^2 \\ 1 & a+b & a^2+b^2 \end{vmatrix}$ = (a – b)(b – c)(c – a)

Pregunta 14. $\begin{vmatrix}a & a+b & a+2b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{vmatrix}$ = 9(a + b)b ²

Pregunta 15. $\begin{vmatrix}1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$

Pregunta 16. $\begin{vmatrix}z & x & y \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ z^4 & x^4 & y^4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} z^2 & x^2 & y^2 \\ x^4 & y^4 & z^4 \\x & y & z \end{vmatrix}$ = xyz(x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z)

Pregunta 17. $\begin{vmatrix}(b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$ = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)(a ² + b ² + c ² )