Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 7 Adjuntas e inversas de una array – Ejercicio 7.1 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 10. Para las siguientes partes de arrays verificar que (AB) -1 = B -1 A -1 .

(i) A =  \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix} y B = \begin{bmatrix}4&6\\3&2\end{bmatrix}

Solución:

Demostrar (AB) -1 = B -1 A -1

Tomamos LHS

AB = \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&6\\3&2\end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}18&22\\43&52\end{bmatrix}

|AB| = 18 × 52 – 22 × 43

= 936 – 946 = -10

adj(AB) = \begin{bmatrix}52&-22\\-43&18\end{bmatrix}

AB – 1 = adj(AB)/|AB| = \frac{1}{(-10)}\begin{bmatrix}52&-22\\-43&18\end{bmatrix}

= \frac{1}{10}\begin{bmatrix}-52&22\\43&-18\end{bmatrix}

Ahora,

un = \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}        

|A| = 15 – 14 = 1

adj A = \begin{bmatrix}5&-2\\-7&3\end{bmatrix}

Por lo tanto, A -1 = adj A/|A| = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}5&-2\\-7&3\end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix}4&6\\3&2\end{bmatrix}        

|B| = 8 – 18 = -10

adj B = \begin{bmatrix}2&-6\\-3&4\end{bmatrix}

Por lo tanto, B -1 = adj B/|B| = \frac{1}{-10}\begin{bmatrix}2&-6\\-3&4\end{bmatrix}

Ahora, tomamos RHS

B – 1 A – 1 = \frac{-1}{10}\begin{bmatrix}2&-6\\-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&-2\\-7&3\end{bmatrix}

= \frac{-1}{10}\begin{bmatrix}52&-22\\-43&18\end{bmatrix}

= \frac{1}{10}\begin{bmatrix}-52&22\\43&-18\end{bmatrix}

LHS = RHS 

Por lo tanto, demostrado 

(ii) A =  \begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix} y B = \begin{bmatrix}4&5\\3&4\end{bmatrix}

Solución:

Demostrar (AB) -1 = B -1 A -1

Tomamos LHS

AB = \begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&5\\3&4\end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}11&14\\29&27\end{bmatrix}

|AB| = 11 × 27 – 29 × 14

= 407 – 406 = 1

adj(AB) = \begin{bmatrix}37&-14\\-29&11\end{bmatrix}  

AB – 1 = adj(AB)/|AB| = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}37&-14\\-29&11\end{bmatrix}   

=\begin{bmatrix}37&-14\\-29&11\end{bmatrix}

Ahora,

un = \begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}         

|A| = 6 – 5 = 1

adj A= \begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}   

Por lo tanto, A -1 = adj A/|A| = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}   

B = \begin{bmatrix}4&5\\3&4\end{bmatrix}         

|B| = 16 – 15 = 1

adj B = \begin{bmatrix}4&-5\\-3&4\end{bmatrix}  

Por lo tanto, B -1 = adj B/|B| = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}4&-5\\-3&4\end{bmatrix}   

Ahora, tomamos RHS

B – 1 A – 1 = \begin{bmatrix}4&-5\\-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}   

= \begin{bmatrix}37&-14\\-29&11\end{bmatrix}

LHS = RHS 

Por lo tanto, demostrado 

Pregunta 11. Sean A =  \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix} y B =  \begin{bmatrix}6&7\\8&9\end{bmatrix} . Encuentre (AB) -1 .

Solución:

AB = \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&6\\3&2\end{bmatrix}  

=\begin{bmatrix}34&39\\82&94\end{bmatrix}  

|AB| = 34 × 94 – 39 × 82 = -2

adj(AB) = \begin{bmatrix}94&-39\\-82&34\end{bmatrix}

AB – 1 = adj(AB)/|AB| = \frac{-1}{2}\begin{bmatrix}94&-39\\-82&34\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}-47&39/2\\41&-17\end{bmatrix}

Pregunta 12. Dado A =  \begin{bmatrix}2&-3\\-4&7\end{bmatrix}, Calcule A -1 y demuestre que 2A -1 = 9I – A. 

Solución:

un = \begin{bmatrix}2&-3\\-4&7\end{bmatrix}               

|A| = 14 – 12 = 2

adj A = \begin{bmatrix}7&3\\4&2\end{bmatrix}

Por lo tanto, A -1 = adj A/|A| = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}7&3\\4&2\end{bmatrix}

 Para mostrar 2A -1 = 9I – A.                   

IZQ = 2 × (1/2) \begin{bmatrix}7&3\\4&2\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}7&3\\4&2\end{bmatrix}

Ahora tomamos RHS 

= 9I – A

=  \begin{bmatrix}9&0\\0&9\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}2&-3\\-4&7\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}7&3\\4&2\end{bmatrix}

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 13. Si A =  \begin{bmatrix}4&5\\2&1\end{bmatrix}, entonces demuestre que A – 3I = 2(I + 3A -1 ).

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}4&5\\2&1\end{bmatrix}

|A| = 4 – 10 = -6

adj A = \begin{bmatrix}1&-5\\-2&4\end{bmatrix}

Por lo tanto, A -1 = adj A/|A| = \frac{1}{(-6)}\begin{bmatrix}1&-2\\-5&4\end{bmatrix}   

Para mostrar, A – 3I = 2(I + 3A -1 )

Ahora tomamos LHS 

= A – 3I

= \begin{bmatrix}4&5\\2&1\end{bmatrix}  – 3\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}1&5\\2&-2\end{bmatrix}

Ahora tomamos RHS 

= 2I + 6A -1

= 2 \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}  + 6 × (1/6)\begin{bmatrix}-1&5\\2&-4\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}1&5\\2&-2\end{bmatrix}

LHS = RHS 

Por lo tanto probado        

Pregunta 14. Encuentre la inversa de la array A =  \begin{bmatrix}a&b\\c&(1+bc)/a\end{bmatrix} y demuestre que aA -1 = (a 2 + bc + 1)I – aA.

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}a&b\\c&(1+bc)/a\end{bmatrix}

|A| = (a + abc)/a – bc = 1

Por lo tanto, existe el inverso de A 

Cofactor de A son,

C 11 = (1 + bc)/a C 12 = -c

C 21 = -b C 22 = un

adj A = \begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}\\C_{21}&C_{22}\end{bmatrix}^T

= \begin{bmatrix}(1+bc)/a &-c\\-b&a\end{bmatrix}^T

= \begin{bmatrix}(1+bc)/a &-b\\-c&a\end{bmatrix}

A – 1 = 1/|A|. adj.

= 1/1 \begin{bmatrix}(1+bc)/a &-b\\-c&a\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}(1+bc)/a &-b\\-c&a\end{bmatrix}

Para mostrar que 

aA -1 = (a 2 + bc + 1)I – aA.

LHS = aA -1

= un\begin{bmatrix}(1+bc)/a &-b\\-c&a\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}1+bc &-ab\\-ac&a^2\end{bmatrix}

RHS = (a 2 + bc + 1)I – aA

=  \begin{bmatrix}a^2+bc+1&0\\0&a^2+bc+1\end{bmatrix}  – un\begin{bmatrix}a&b\\c&(1+bc)/a\end{bmatrix}

=  \begin{bmatrix}a^2+bc+1&0\\0&a^2+bc+1\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}a^2&ab\\ac&1+bc\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}1+bc&-ab\\-ac&a^2\end{bmatrix}

LHS = RHS 

Por lo tanto probado         

Pregunta 15. Dado A =  \begin{bmatrix}5&0&4\\2&3&2\\1&2&1\end{bmatrix}, B -1 =  \begin{bmatrix}1&3&3\\1&4&3\\1&3&4\end{bmatrix} , Calcular (AB) -1 .

Solución:

Sabemos (AB) -1 = B -1 A -1

Aquí, A = \begin{bmatrix}5&0&4\\2&3&2\\1&2&1\end{bmatrix}

|A| = 5(3 – 4) + 4(4 – 3) = -5 + 4 = -1 

Los cofactores de A son:

C 11 = -1 C 12 = 0 C 13 = 1

C 21 = 8 C 22 = 1 C 23 = -10

C 31 = -12 C 32 = -2 C 33 = 15

adj A = \begin{bmatrix}-1&8&-12\\0&1&-2\\1&-10&15\end{bmatrix}

A – 1 = 1/|A|. adj.

Por lo tanto, A – 1 = \frac{1}{(-1)}\begin{bmatrix}-1&8&-12\\0&1&-2\\1&-10&15\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}1&-8&12\\0&-1&2\\-1&10&-15\end{bmatrix}

 (AB) -1 = B -1 A -1

= \begin{bmatrix}1&3&3\\1&4&3\\1&3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-8&12\\0&-1&2\\-1&10&-15\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}-2&19&-27\\-2&18&-25\\-3&29&-42\end{bmatrix}  

Pregunta 16. Sean F(α) =  \begin{bmatrix}cosα&-sinα&0\\sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix} y G(β) =  \begin{bmatrix}cosβ&0&sinβ\\0&1&0\\-sinβ&0&cosβ\end{bmatrix} , Demuestra que

(i) [F(α)] -1 = F(-α) 

Solución:

Tenemos F(a) = \begin{bmatrix}cosα&-sinα&0\\sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix}

|F(a)| = cos 2 α + sen 2 α = 1

Por lo tanto, existe el inverso de F(α)

Los cofactores de F(α) son:  

C 11 = cosα C 12 = -sinα C 13 = 0

C 21 = senα C 22 = cosα C 23 = 0

C 31 = 0 C 32 = 0 C 33 = 1

Ajuste F(α) = \begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{34}\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}cosα&-sinα&0\\sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}cosα&sinα&0\\-sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix}

[F(α)] -1 = 1/|F(α)|. adj F(α)

Por tanto, [F(α)] -1 = 1/1\begin{bmatrix}cosα&sinα&0\\-sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}cosα&sinα&0\\-sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix}        

Ahora, F(-α) = \begin{bmatrix}cos(-α)&-sin(-α)&0\\sin(-α)&cos(-α)&0\\0&0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}cosα&sinα&0\\-sinα&cosα&0\\0&0&1\end{bmatrix}

Entonces, [F(α)] -1 = F(-α)

Por lo tanto, demostrado

(ii) [G(β)] -1 = G(-β) 

Solución:

Tenemos G(β) = \begin{bmatrix}cosβ&0&sinβ\\0&1&0\\-sinβ&0&cosβ\end{bmatrix}

|G(β)| = cos 2 β + sen 2 β = 1

Por lo tanto, existe el inverso de G(β)

Los cofactores de G(β) son:  

C 11 = cosβ C 12 = 0 C 13 = senβ

C 21 = 0 C 22 = 1 C 23 = 0

C 31 = -senβ C 32 = 0 C 33 = senβ

Adj G(β) = \begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{34}\end{bmatrix}^T  

=\begin{bmatrix}cosβ&0&sinβ\\0&1&0\\-sinβ&0&cosβ\end{bmatrix}^T   

=\begin{bmatrix}cosβ&0&-sinβ\\0&1&0\\sinβ&0&cosβ\end{bmatrix}

[G(β)] -1 = 1/|G(β)|. adj G(β)

Por lo tanto, [G(β)] -1 = 1/1\begin{bmatrix}cosβ&0&-sinβ\\0&1&0\\sinβ&0&cosβ\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}cosβ&0&-sinβ\\0&1&0\\sinβ&0&cosβ\end{bmatrix}

Ahora, G(-β) =\begin{bmatrix}cos(-β)&0&sin(-β)\\0&1&0\\-sin(-β)&0&cos(-β)\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}cosβ&0&-sinβ\\0&1&0\\sinβ&0&cosβ\end{bmatrix}

Entonces, [G(β)] -1 = G(-β)

Por lo tanto, demostrado

(iii) [F(α)G(β)] -1 = F(-α)G(-β)

Solución:

Ya sabemos que S[G(β)] -1 = G(-β) 

 [F(α)] -1 = F(-α) 

Tomando LHS = [F(α)G(β)] -1

= [F(α)] -1 [G(β)] -1

= F(-α)G(-β) = lado derecho 

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 17. Si A =  \begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix} , Verifique que A 2 – 4A + I = O, donde I =  \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}  y O =  \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} , Por lo tanto, encuentre A -1 . 

Solución: 

Aquí, A = \begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}7&12\\4&7\end{bmatrix}

4A = 4\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}8&12\\4&8\end{bmatrix}

A 2 – 4A + I = O

=  \begin{bmatrix}7&12\\4&7\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}8&12\\4&8\end{bmatrix}  + \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}7-8+1&12-2+0\\4-4+0&7-8+1\end{bmatrix}

Por lo tanto, = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

Ahora, A 2 – 4A + I = O

 A 2 – 4A = -I

Multiplicando ambos lados por A -1 ambos lados obtenemos 

AA(A -1 ) – 4AA -1 = -IA -1

IA – 4I = -A -1

A -1 = 4I – IA    

=  \begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}

Pregunta 18. Muestre que A =  \begin{bmatrix}-8&5\\2&4\end{bmatrix}  satisface la ecuación A 2 + 4A – 42I = O. Por lo tanto, encuentre A -1 . 

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}-8&5\\2&4\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}-8&5\\2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-8&5\\2&4\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}64+10&-40+20\\-16+8&10+16\end{bmatrix}      

=\begin{bmatrix}74&-20\\-8&26\end{bmatrix}

4A = 4\begin{bmatrix}-8&5\\2&4\end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}-32&20\\8&16\end{bmatrix}

A 2 + 4A – 42I =  \begin{bmatrix}74&-20\\-8&26\end{bmatrix}  +  \begin{bmatrix}-32&20\\8&16\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}42&0\\0&42\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}74-74&-20+20\\-8+8&42-42\end{bmatrix}

Por eso, \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

Ahora, A 2 + 4A – 42I = 0

⇒ A -1 A.A + 4A -1 .A – 42A -1 I = 0

⇒ IA + 4I – 42A -1 = 0

⇒ A -1 = 1/42 [A + 4I]

⇒ A -1 = \frac{1}{42}\begin{bmatrix}-4&5\\2&8\end{bmatrix}

Pregunta 19. Si A =  \begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix} , demuestre que A 2 – 5A + 7I = O. Por lo tanto, encuentre A -1 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}8&5\\-5&3\end{bmatrix}

Ahora, A 2 – 5A + 7I =  \begin{bmatrix}8&5\\-5&3\end{bmatrix}  + 5 \begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}  + 7\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}8-15+7&5-5+0\\-5+5+0&3-10+7\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

Ahora, A 2 – 5A + 7I = O

Multiplicando por A -1 en ambos lados

⇒ A -1 AA + 5AA – 1 + 7IA -1 = 0

⇒ A -1 = 1/7[5I – A]

⇒ A -1 = \frac{1}{7}\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}

⇒ A -1 = \frac{1}{7}\begin{bmatrix}2&-1\\1&3\end{bmatrix}

Pregunta 20. Si A =  \begin{bmatrix}4&3\\2&5\end{bmatrix} , encuentre x e y tales que A 2 – xA + yI = O. Por lo tanto, evalúe A -1 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}4&3\\2&5\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}4&3\\2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&3\\2&5\end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}22&27\\18&31\end{bmatrix}

Ahora, A 2 – xA + yI = O

⇒  \begin{bmatrix}22&27\\18&31\end{bmatrix}  –  \begin{bmatrix}4x&3x\\2x&5x\end{bmatrix}   + \begin{bmatrix}y&0\\0&y\end{bmatrix}  

= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

⇒ 22 – 4x + y = 0

⇒ 4x – y = 22 ………(yo)

o 

18 – 2x = 0

⇒ x = 9

Poniendo x = 9 en la ecuación (i)

⇒ y = 14

A 2 – 9A + 14I = 0

⇒ 9A = A 2 + 14I

⇒ 9A -1 A = A -1AA + 14A -1

⇒ 9I = IA + 14A -1

⇒ A -1 = 1/14[9I – A] = 1/14( \begin{bmatrix}9&0\\0&9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4&3\\2&4\end{bmatrix} )

⇒ A -1 = \frac{1}{14}\begin{bmatrix}5&-3\\-2&4\end{bmatrix}   

Pregunta 21. Si A =  \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix} , encuentra el valor de λ tal que A 2 = λA – 2I. Por lo tanto, encuentre A -1 . 

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}1&-2\\4&-4\end{bmatrix}

Si A 2 = λA – 2I 

λA = A2 + 2I

⇒ λ  \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}  = \begin{bmatrix}1&-2\\4&-4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}

⇒ λ  \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}  = \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}

⇒ λ = 1

Ahora, A 2 = λA – 2I

Multiplicando ambos lados A -1

⇒ A -1 AA = A -1 A – 2A -1 I

⇒ A = Yo – 2A -1

⇒ 2A -1 = I – A = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}3&-2\\4&-2\end{bmatrix}

A – 1 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-2&2\\-4&3\end{bmatrix}

Pregunta 22. Muestre que A =  \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix}  satisface la ecuación x 2 – 3x – 7 = 0. Por lo tanto, encuentre A -1 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}22&9\\-3&-1\end{bmatrix}

Ahora, A 2 – 3A – 7= \begin{bmatrix}22&9\\-3&-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}15&9\\-3&-6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}7&0\\0&7\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

Tenemos, A 2 – 3A – 7 = 0

⇒ A -1 AA – 3A -1 A – 7A -1 = 0

⇒ A-3I – 7A -1 = 0

⇒ 7A -1 = A – 3I

⇒ 7A -1 =  \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}

A – 1 = \begin{bmatrix}2/7&3/7\\-1/7&-5/7\end{bmatrix}

Pregunta 23. Muestre que A =  \begin{bmatrix}6&5\\7&6\end{bmatrix}  satisface la ecuación x 2 – 12x + 1 = 0. Por lo tanto, encuentre A -1 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}6&5\\7&6\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}6&5\\7&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6&5\\7&6\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}71&60\\84&71\end{bmatrix}

Ahora, A 2 – 12A + I = \begin{bmatrix}71&60\\84&71\end{bmatrix}  – \begin{bmatrix}6&5\\7&6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

Tenemos, A 2 – 12A + I = 0

⇒ A – 12I + A -1 = 0 

⇒ A -1 = 12I – A

⇒ A -1 = \begin{bmatrix}12&0\\0&12\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&5\\7&6\end{bmatrix}

⇒ A -1 = \begin{bmatrix}6&-5\\-7&6\end{bmatrix}

Pregunta 24. Para la array A = \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix}  muestre que A 3 – 6A 2 + 5A + 11I 3 = O. Por lo tanto, encuentre A -1 . 

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}4&2&1\\-3&8&-14\\7&-3&14\end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix}4&2&1\\-3&8&-14\\7&-3&14\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}8&7&1\\-23&27&-69\\32&-13&58\end{bmatrix}

A 3 – 6A 2 + 5A + 11I

=  \begin{bmatrix}8&7&1\\-23&27&-69\\32&-13&58\end{bmatrix}  – 6  \begin{bmatrix}4&2&1\\-3&8&-14\\7&-3&14\end{bmatrix}+ 5 \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix}+11 \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}8&7&1\\-23&27&-69\\32&-13&58\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}24&12&6\\-18&48&-84\\42&-18&84\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}5&5&5\\5&10&-15\\10&-5&15\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11&0&0\\0&11&0\\0&0&11\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}24-24&12-12&6-6\\-18+18&48-48&-84+84\\42-42&-18+18&84-84\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=O

Tenemos, A 3 – 6A 2 + 5A + 11I = O.

⇒ A -1 (AAA) – 6A -1 (AA) + 5A -1 A + 11IA -1 = 0

⇒ A 2 – 6A + 5I = -11A -1

⇒ -11A -1 = (A 2 – 6A + 5I)

=\begin{bmatrix}4&2&1\\-3&8&-14\\7&-3&14\end{bmatrix}-6 \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&-3\\2&-1&3\end{bmatrix}+5 \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}4&2&1\\-3&8&-14\\7&-3&14\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&6&6\\6&12&-18\\22&-6&18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}4-6+5&2-6&1-6\\-3-6&8-12+5&-14+18\\7-12&-3+6&14-18+5\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}3&-4&-5\\-9&1&4\\-5&3&1\end{bmatrix}

Por lo tanto, A – 1 = \frac{1}{11}\begin{bmatrix}-3&4&5\\9&-1&-4\\5&-3&-1\end{bmatrix}

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *