Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 7 Adjuntas e inversas de una array – Ejercicio 7.1 | conjunto 3

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Pregunta 25. Muestre que la array A =  \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}  satisface la ecuación A 3 – A 2 – 3A – I 3 = 0. Por lo tanto, encuentre A -1 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-5&-8&-4\\6&9&4\\-2&0&3\end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix}-5&-8&-4\\6&9&4\\-2&0&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1&-8&-10\\0&7&10\\7&12&7\end{bmatrix}

Ahora A 3 – A 2 – 3A – I 3 = \begin{bmatrix}-1&-8&-10\\0&7&10\\7&12&7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-5&-8&-4\\6&9&4\\-2&0&3\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}-1+5-3-1&-8+8&-10+4+6\\-6+6&7-9+3-1&10-4-6\\7+2-9&12-12&7-3-3-1\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=O

Entonces, A 3 – A 2 – 3A – I 3 = 0

⇒ A -1 (AAA) – A -1 (AA) – 3A -1 A – A -1 I = 0

⇒ A 2 – A – 3I – A -1 = 0

⇒ A -1 = A 2 – A – 3I

= \begin{bmatrix}-5&-8&-4\\6&9&4\\-2&0&3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}

Por lo tanto, A – 1 =\begin{bmatrix}-9&-8&-2\\8&7&2\\-5&-4&-1\end{bmatrix}

Pregunta 26. Si A =  \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix} . Verifique que A 3 – 6A 2 + 9A – 4I = O y, por lo tanto, encuentre A -1 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}4+1+1&-2-2-1&2+1+2\\-2-2-1&1+4+1&-1-2-2\\2+1+2&-1-2-2&1+1+4\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}6&-5&5\\-5&6&-5\\5&-5&6\end{bmatrix}

UN 3 = UN 2 UN = \begin{bmatrix}6&-5&5\\-5&6&-5\\5&-5&6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}12+5+5&-6-10-5&6+5+10\\-10-6-5&5+12+5&-5-6-10\\10+5+6&-5-10-6&5+5+12\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}22&-21&21\\-21&22&-21\\21&-21&22\end{bmatrix}

Ahora, A 3 – 6A 2 + 9A – 4I

= \begin{bmatrix}22&-21&21\\-21&22&-21\\21&-21&22\end{bmatrix}-6 \begin{bmatrix}6&-5&5\\-5&6&-5\\5&-5&6\end{bmatrix}+9 \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}-4 \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}22&-21&21\\-21&22&-21\\21&-21&22\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}36&-30&30\\-30&30&-30\\30&-30&36\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}18&-9&9\\-9&18&-9\\9&-9&18\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}40&-30&30\\-30&40&-30\\30&-30&40\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}40&-30&30\\-30&40&-30\\30&-30&40\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=O

Entonces, A 3 – 6A 2 + 9A – 4I = O

Multiplicando ambos lados por A -1

⇒ A -1 (AAA) – 6A -1 (AA) 9A -1 A – 4A -1 I = O

⇒ IAA – 6AI + 9I = 4A -1

⇒ 4A -1 = A 2 I – 6AI + 9I

=\begin{bmatrix}6&-5&5\\-5&6&-5\\5&-5&6\end{bmatrix}-6 \begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}+9 \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}6&-5&5\\-5&6&-5\\5&-5&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}12&-6&6\\-6&12&-6\\6&-6&12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}9&0&0\\0&9&0\\0&0&9\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}3&1&-1\\1&3&1\\-1&1&3\end{bmatrix}

⇒ A -1 = \frac{1}{4}\begin{bmatrix}3&1&-1\\1&3&1\\-1&1&3\end{bmatrix}

Pregunta 27. Si A = \frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8&1&4\\4&4&7\\1&-8&4\end{bmatrix} , demuestre que A -1 = A T .

Solución:

Aquí, A = \frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8&1&4\\4&4&7\\1&-8&4\end{bmatrix}

UN T = \frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8&4&1\\1&4&-8\\4&7&4\end{bmatrix}

Ahora, encontrando A -1

|A| = 1/9[-8(16 + 56) – 1(16 – 7) + 4(-32 – 4)]

= -81

 Por lo tanto, existe el inverso de A

Los cofactores de A son:

C 11 = 72 C 12 = -9 C 13 = -36

C 21 = -36 C 22 = -36 C 23 = -63

C 31 = -9 C 32 = 72 C 33 = -36

adj A = \begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{34}\end{bmatrix}^T  

=\begin{bmatrix}72&-9&-36\\-36&-36&-63\\-9&72&-36\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}72&-36&-9\\-9&-36&72\\-36&-63&-36\end{bmatrix}

A – 1 = 1/|A|. adj.

Por lo tanto, A – 1 = \frac{1}{-81}\begin{bmatrix}72&-36&-9\\-9&-36&72\\-36&-63&-36\end{bmatrix}

= \frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8&4&1\\1&4&-8\\4&7&4\end{bmatrix}    

= UNA T 

Por lo tanto probado   

Pregunta 28. Si A =  \begin{bmatrix}3&-3&4\\2&3&4\\0&-1&1\end{bmatrix} , demuestre que A -1 = A 3 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}3&-3&4\\2&3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}

|A| = 3(-3 + 4) + 3(2 – 0) + 4(-2 – 0)

= 3 + 6 – 8

= 1 

Por lo tanto, existe el inverso de A

Los cofactores de A son:

C 11 = 1 C 12 = -2 C 13 = -2

C 21 = -1 C 22 = 3 C 23 = 3

C 31 = 0 C 32 = -4 C 33 = -3

adj A =\begin{bmatrix}1&-1&0\\-2&3&-4\\-2&3&-3\end{bmatrix}

A – 1 = 1/|A|. adj.

= \frac{1}{1}\begin{bmatrix}1&-1&0\\-2&3&-4\\-2&3&-3\end{bmatrix}

Ahora, A 2 = \begin{bmatrix}3&-3&4\\2&3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-3&4\\2&3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}3&-4&4\\0&-1&0\\-2&2&-3\end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix}3&-4&4\\0&-1&0\\-2&2&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-3&4\\2&3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}1&-1&0\\-2&3&-4\\-2&3&-3\end{bmatrix}

= A- 1 

Por lo tanto probado

Pregunta 29. Si A = \begin{bmatrix}-1&2&0\\-1&1&1\\0&1&0\end{bmatrix} , demuestre que A 2 = A -1 .

Solución: 

Aquí, A = \begin{bmatrix}-1&2&0\\-1&1&1\\0&1&0\end{bmatrix}

IZQ = A 2

= \begin{bmatrix}-1&2&0\\-1&1&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&2&0\\-1&1&1\\0&1&0\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}-1&0&2\\0&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}

|A| = -1(1 – 0) – 2(-1 – 0) + 0

= 1

Por lo tanto, existe el inverso de A

Los cofactores de A son:

C 11 = -1 C 12 = 0 C 13 = -1

C 21 = 0 C 22 = 0 C 23 = 1

C 31 = 21 C 32 = 1 C 33 = 1

adj A = \begin{bmatrix}-1&0&-1\\0&0&1\\2&1&1\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}-1&0&2\\0&0&1\\-1&1&1\end{bmatrix}

A – 1 = 1/|A|. adj.

Por lo tanto, A – 1 = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}-1&0&2\\0&0&1\\-1&1&1\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}-1&0&2\\0&0&1\\-1&1&1\end{bmatrix}

= un 2 

Por lo tanto probado

Pregunta 30. Resuelve la ecuación matricial \begin{bmatrix}5&4\\1&1\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}1&-2\\1&3\end{bmatrix} , donde X es una array de 2×2.

Solución:

Tenemos, \begin{bmatrix}5&4\\1&1\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}1&-2\\1&3\end{bmatrix}

Sean A =  \begin{bmatrix}5&4\\1&1\end{bmatrix}  y B = \begin{bmatrix}1&-2\\1&3\end{bmatrix}

Asi que. AX = B

⇒ X = A -1 B

Ahora, |A| = 5 – 4 = 1 

Los cofactores de A son:

C 11 = 1 C 12 = -1

C 21 = -4 C 22 = 5

adj A = \begin{bmatrix}1&-1\\-4&5\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}1&-4\\1&5\end{bmatrix}

A – 1 = \begin{bmatrix}1&-4\\1&5\end{bmatrix}

Por lo tanto, X = \begin{bmatrix}1&-4\\1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-2\\1&3\end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix}-3&-14\\4&17\end{bmatrix}

Pregunta 31. Encuentra la array X que satisface la ecuación matricial: X \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&7\\7&7\end{bmatrix} .

Solución:

Tenemos, \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&7\\7&7\end{bmatrix}

Sean A = \begin{bmatrix}5&3\\-1&-2\end{bmatrix} y B = \begin{bmatrix}14&7\\7&7\end{bmatrix}

Entonces, XA = B

XAA – 1 = BA- 1

XI = BA- 1 ………..(i)  

Ahora, |A| = -7

Los cofactores de A son:

C 11 = -2 C 12 = 1

C 21 = -3 C 22 = 5

adj A = \begin{bmatrix}-2&1\\-3&5\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}-2&-3\\1&5\end{bmatrix}

A -1 = 1/|A|.adj (A)

=\frac{1}{(-7)}\begin{bmatrix}-2&-3\\1&5\end{bmatrix}=\frac{-1}{7} \begin{bmatrix}2&3\\-1&-5\end{bmatrix}

Por lo tanto, X = \begin{bmatrix}14&7\\7&7\end{bmatrix} .1/7.\begin{bmatrix}2&3\\-1&-5\end{bmatrix}

=\frac{7}{7}\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&3\\-1&-5\end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix}3&1\\1&-2\end{bmatrix}

Pregunta 32. Encuentra la array X para la cual:  \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix} X\begin{bmatrix}-1&1\\-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1\\0&4\end{bmatrix}

Solución:

Sea, A = \begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix}-1&1\\-2&1\end{bmatrix}

C = \begin{bmatrix}2&-1\\0&4\end{bmatrix}

 Entonces la ecuación dada se convierte en

 UN × B = C

⇒ X = A -1 CB -1

Ahora |A| = 35 -14 = 21

|B| = -1 + 2 = 1

A -1 = ajuste (A)/|A| = \frac{1}{21}\begin{bmatrix}5&-2\\-7&3\end{bmatrix}

B -1 = ajuste (B)/|A| = \begin{bmatrix}1&-1\\2&-1\end{bmatrix}

X = A -1 CB -1 = \frac{1}{21}\begin{bmatrix}5&-2\\-7&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&-1\\0&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&-1\\2&-1\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}-16&3\\24&-5\end{bmatrix}

Pregunta 33. Encuentra la array X que satisface la ecuación:\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}X\begin{bmatrix}5&3\\3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

Solución:

Sea A = \begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}   B = \begin{bmatrix}5&3\\3&2\end{bmatrix}

AXB = yo

X = A -1 B -1

|A| = 6 – 5 = 1

|B| = 10 – 9 = 1

A -1 = adj A /|A| = \begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}

B -1 = adj B/|B| = \begin{bmatrix}2&-3\\-3&5\end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-3\\-3&5\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}9&-14\\-16&25\end{bmatrix}  

Pregunta 34. Si A =  \begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix} , Halla A -1 y prueba que A 2 – 4A – 5I = O.

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}9&8&8\\8&9&8\\8&8&9\end{bmatrix}

Ahora, A 2 + 4A – 5I

= \begin{bmatrix}9&8&8\\8&9&8\\8&8&9\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}= 0

Ahora, A 2 – 4A – 5I = O

⇒ A -1 AA – 4A -1 A – 5A -1 I = O 

⇒ 5A -1 = [A – 4I]

= \begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}-3&2&2\\2&-3&2\\2&2&-3\end{bmatrix}

 A – 1 = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}-3&2&2\\2&-3&2\\2&2&-3\end{bmatrix}

Pregunta 35. Si A es una array cuadrada de orden n, demuestre que |A adj A| = |A| norte _

Solución:

Dado, |A adj A| = |A| norte

Tomando LHS = |A Adj A|

= |A| |Adj A| 

= |A| |A| n-1

= |A| n-1+1

= |A| n = lado derecho 

Por lo tanto probado

Pregunta 36. Si A -1 =  \begin{bmatrix}3&-1&1\\-15&6&-5\\5&-2&2\end{bmatrix}  y B =  \begin{bmatrix}1&2&-2\\-1&3&0\\0&-2&1\end{bmatrix} , encuentra (AB) -1 .

Solución:

Aquí, B = \begin{bmatrix}1&2&-2\\-1&3&0\\0&-2&1\end{bmatrix}

|B| = 1(3 – 0) – 2(-1 – 0) – 2(2 – 0)

= 3 + 2 – 4 = 1

Por lo tanto, existe el inverso de B

Los cofactores de B son:

C 11 = 3 C 12 = 1 C 13 = 2

C 21 = 2 C 22 = 1 C 23 = 2

C 31 = 6 C 32 = 2 C 33 = 5

adj A = \begin{bmatrix}3&1&2\\2&1&2\\6&2&5\end{bmatrix}^T   

= \begin{bmatrix}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix}

Por lo tanto,

B – 1 = \begin{bmatrix}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix}

Por lo tanto, (AB) -1 = B -1 A -1

= \begin{bmatrix}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1&1\\-15&6&-5\\5&-2&2\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}9&-3&5\\-2&1&0\\61&-24&22\end{bmatrix}       

Pregunta 37. Si A =  \begin{bmatrix}1&-2&3\\0&-1&4\\-2&2&1\end{bmatrix} , encuentre (A T ) -1 .

Solución:

Suponiendo que B = A T = \begin{bmatrix}1&0&-2\\-2&-1&2\\3&4&1\end{bmatrix}

|B| = 1(-1 – 8) – 0 – 2(-8 + 3)

= -9 + 10 = 1

Por lo tanto, existe el inverso de B

Los cofactores de B son:

C 11 = -9 C 12 = 8 C 13 = -5

C 21 = -8 C 22 = 7 C 23 = -4

C 31 = -2 C 32 = 2 C 33 = -1

adj B = \begin{bmatrix}-9&8&-5\\-8&7&-4\\-2&2&-1\end{bmatrix}^T

=\begin{bmatrix}-9&-8&-2\\8&7&2\\-5&-4&-1\end{bmatrix}

B – 1 = \frac{1}{1}\begin{bmatrix}-9&-8&-2\\8&7&2\\-5&-4&-1\end{bmatrix}

o (A T ) -1 = \begin{bmatrix}-9&-8&-2\\8&7&2\\-5&-4&-1\end{bmatrix}

Pregunta 38. Encuentre el adjunto de la array A =  \begin{bmatrix}-1&-2&-2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{bmatrix} y, por lo tanto, demuestre que A (adj A) = |A|I 3 .

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}-1&-2&-2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{bmatrix}

|A| = -1(1 – 4) – 2(2 + 4) – 2(-4 – 2)

= 3 + 12 + 12 = 27

Por lo tanto, existe el inverso de A

Los cofactores de A son:

C 11 = -3 C 12 = -6 C 13 = -6

C 21 = 6 C 22 = 3 C 23 = -6

C 31 = 6 C 32 = -6 C 33 = 3

adj A = \begin{bmatrix}-3&-6&-6\\6&3&-6\\6&-6&3\end{bmatrix}^T

= \begin{bmatrix}-3&6&6\\-6&3&-6\\-6&-6&3\end{bmatrix}

A (adj. A) = \begin{bmatrix}-1&-2&-2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3&6&6\\-6&3&-6\\-6&-6&3\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}27&0&0\\0&27&0\\0&0&27\end{bmatrix}

o A (adj. A) = 27\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

Por lo tanto, A (adj A) = |A|I 3 

Por lo tanto probado

Pregunta 39. Si A =  \begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix} , A -1 y demuestra que A -1 = 1/2(A 2 – 3I).

Solución:

Aquí, A = \begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}

|A| = 0 – 1(0 – 1) + 1(1 – 0)

= 1 + 1 = 2

Por lo tanto, existe el inverso de A

Los cofactores de A son:

C 11 = -1 C 12 = 1 C 13 = 1

C 21 = 1 C 22 = -1 C 23 = 1

C 31 = 1 C 32 = 1 C 33 = -1

adj A = \begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}^T

= \begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}

A – 1 = 1/|A|. adj.

Por lo tanto, A – 1 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}   

Ahora, A 2 – 3I = \begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}              

=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}

Por lo tanto, A -1 = 1/2(A 2 – 3I) 

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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