Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Continuidad – Ejercicio 9.2

Pregunta 1. Demuestra que la función $f(x)=\begin{cases}\frac{sinx}{x} \ \ \ \ ,x\le0\\x+1\ \ \ ,x\le0\end{cases}$ es continua en todas partes.

Solución:

Sabemos que sen x/x es continuo en todas partes ya que es la función compuesta de las funciones sen x y x que son continuas.

Cuando x > 0, tenemos f(x) = x + 1.

Dado que $f(x)=\binom{\frac{sinx}{x}, x < 0}{x + 1, x \geq 0}$

Ahora, (LHL en x = 0) = lim _{{x ⇢ 0 ^– }} f(x)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(0 – h)

= lím _{{h ⇢ 0}} f(-h)

= lím{h ⇢ 0} (sen (-h)/(-h))

= lím _{{h ⇢ 0}} (sen h/ h)

= 1

(RHL en x = 0) = lím _{{x ⇢ 0+}} f(x)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(0 + h)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(h)

= límite _{{h ⇢ 0}} (h + 1)

= 1

y f(0) = 0 + 1 = 1.

Observamos que: lim _{{x ⇢ 0 ^– }} f(x) = lim _{{x ⇢ 0 ⁺ }} f(x) = f(0).

Por lo tanto, f(x) es continua en todas partes.

Pregunta 2. Discuta la continuidad de la función $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\left| x \right|}, & x \neq 0 \\ 0 , & x = 0\end{cases}$ .

Solución:

Tenemos,

$f(x)=\begin{cases}1 \ \ \ \ \ \ \ , x > 0 \\ - 1 \ \ \ \ , x < 0 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ , x = 0\end{cases}$

Ahora: (LHL en x = 0) = lim _{{x ⇢ 0 ^– }} f(x)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(0 – h)

= lím _{{h ⇢ 0}} f(–h)

= _{límite {h⇢ 0}} (–1)

= –1

(RHL en x = 0) = lím _{{x ⇢ 0 ⁺ }} f(x)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(0 + h)

= límite _{{h ⇢ 0}} (1)

= 1

Observamos que, lim _{{x ⇢ 0 ^– }} f(x) ≠ lim _{{x ⇢ 0 ⁺ }} f(x).

Por lo tanto, f(x) es discontinua en x = 0.

Pregunta 3. Encuentra los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:

(i) $f(x)=\begin{cases}x^3 - x^2 + 2x - 2, & \text{ if }x \neq 1 \\ 4 , & \text{ if } x = 1\end{cases}$

Solución:

Dado que una función polinomial es continua en todas partes.

En x = 1, tenemos

(LHL en x = 1) = lím _{{x ⇢ 1 ^– }} f(x)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(1 – h)

= límite _{{h ⇢ 0}} ((1 – h) ³ – (1 – h ) ² + 2(1 – h) – 2)

= 1 – 1 + 2 – 2

= 0

(RHL en x = 1) = lím _{{x ⇢ 1 ⁺ }} f(x)

= límite _{{h ⇢ 0}} f(1 + h)

= lím{h ⇢ 0} ((1 + h) ³ – (1 + h ) ² + 2(1 + h) – 2)

= 1 – 1 + 2 – 2

= 0

Además, f(1) = 4.

Observamos que, lim _{{x ⇢ 0 ^– }} f(x) = lim _{{x ⇢ 0 ⁺ }} f(x) ≠ f(1).

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 1.

(ii) $f( x ) =\begin{cases}\frac{x^4 - 16}{x - 2}, & \text{ if } x \neq 2 \\ 16 , & \text{ if } x = 2\end{cases}$

Solución:

Cuando x ≠ 2 entonces

f(x) = $\frac{x^4 - 16}{x - 2}$

= $\frac{x^4 - 2^4}{x - 2}$

= $\frac{\left( x^2 + 4 \right)\left( x - 2 \right)\left( x + 2 \right)}{x - 2}$

= (x ² + 4)(x + 2)

Dado que una función polinomial es continua en todas partes, (x ² + 4) y (x + 2) son continuas en todas partes.

Entonces, la función producto (x ² + 4)(x + 2) es continua.

Por tanto, f(x) es continua en todo x ≠ 2 .

Observamos que lim _{x->2-} f(x) = lim _{x->2+} f(x) = f(2)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 2.

(iii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ if } x < 0 \\ 2x + 3, & x \geq 0\end{cases}$

Solución:

Cuando x < 0, entonces f(x) = sen x/ x.

Como sen x y la función identidad x son continuas en todas partes, la función cociente sen x/x es continua en cada x < 0.

Para x > 0, f(x) se convierte en una función polinomial. Por lo tanto, f(x) es continua en cada x > 0.

Tenemos: (LHL en x = 0) = lim _{x->0-} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 – h)

= lím _{{h -> 0}} f (-h)

= lím _{{h -> 0}} (sen(-h)/(-h))

= lim _{{h -> 0}} (sen h/h)

= 1

(RHL en x = 0) = lim _{_{x -> 0+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 + h)

= lím _{{h -> 0}} f(h)

= límite _{{h -> 0}} (2h + 3)

= 3

Observamos que lim _{{x -> 0-}} f(x) ≠ lim _{{x -> 0+}} f(x)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 0.

(iv) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin 3x}{x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 4 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

Solución:

En x ≠ 0, entonces f(x) = sen 3x/ x.

Dado que las funciones sen 3x y x son continuas en todas partes. Entonces, la función cociente sen 3x/x es continua en cada x ≠ 0.

Tenemos: (LHL en x = 0) = lim _{{x -> 0+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 + h)

= lím _{{h -> 0}} f(h)

= lím _{{h -> 0}} (sen 3h/h)

= lím _{{h -> 0}} 3 (sen h/h) = 3

(RHL en x = 0) = lím _{{x -> 0+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 + h)

= lím _{{h -> 0}} f(h)

= lím _{{h -> 0}} (sen 3h/h)

= lim _{{h -> 0}} 3 (sen 3h/h)

= 3

Además, f(0) = 4.

Observamos que lim _{{x -> 0-}} f(x) = lim _{{x -> 0+}} f(x) = f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 0.

(v) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} + \cos x, & \text{ if } x \neq 0 \\ 5 , & \text { if } x = 0\end{cases}$

Solución:

Cuando x ≠ 0, entonces f(x) = sen x/ x + cos x.

Sabemos que tanto sen x como cos x son continuos en todas partes. Por lo tanto, la función dada es continua en cada x ≠ 0.

Consideremos el punto x = 0.

Dado: $f\left( x \right) = \binom{\frac{\text{ sin } x}{x} + \ \text{ cos } x, \text{ if } x \neq 0}{5, \text{ if } x = 0 }$

Tenemos: (LHL en x = 0) = lim _{{x -> 0-}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 – h)

= lím _{{h -> 0}} f(-h)

= lím _{{h -> 0}} [(sen (-h)/(-h)) + cos (-h)]

= lím _{{h -> 0}} sin(-h)/(-h) + lím _{{h -> 0}} cos(-h)

= 1 + 1

= 2

(RHL en x = 0) = lím _{{x -> 0+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 + h)

= lím _{{h -> 0}} f(h)

= lím _{{h -> 0}} [(sen h/h) + cos (-h)]

= lím _{{h -> 0}} sen h/h + lím _{{h -> 0}} cos(-h)

= 1 + 1

= 2

Además, f(0) = 5.

Observamos que lim _{{x -> 0-}} f(x) = lim _{{x -> 0^+}} f(x) ≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 0.

(vi) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{x^4 + x^3 + 2 x^2}{\tan^{- 1} x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 10 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

Solución:

Cuando x ≠ 0, entonces $f( x) = \frac{x^4 + x^3 + 2 x^2}{tan^{- 1} x}$

x ⁴ + x ³ + 2x ² siendo una función polinomial es continua en todas partes.

Además, tan ^-1 x es continuo en todas partes.

Consideremos el punto x = 0.

Tenemos:

(LHL en x = 0) = lim _{{x -> 0-}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 – h)

= lím _{{h -> 0}} f(-h)

= $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( - h \right)^4 + \left( - h \right)^3 + 2 \left( - h \right)^2}{\tan^{- 1} \left( - h \right)} \right)$

= $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( h \right)^3 - \left( h \right)^2 + 2\left( h \right)}{- \frac{\tan^{- 1} \left( h \right)}{h}} \right)$

= 0

(RHL en x = 0) = lím _{{x -> 0+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(0 + h)

= lím _{{h -> 0}} f(h)

= $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( h \right)^4 + \left( h \right)^3 + 2 \left( h \right)^2}{\tan^{- 1} \left( h \right)} \right)$

= $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( h \right)^3 + \left( h \right)^2 + 2\left( h \right)}{\frac{\tan^{- 1} \left( h \right)}{h}} \right)$

= 0

Además, f(0) = 10.

Observamos que lim _{{x -> 0-}} f(x) = lim _{{x -> 0 ⁺ }} f(x) ≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 0.

(vii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{e^x - 1}{\log_e (1 + 2x)}, & \text{ if }x \neq 0 \\ 7 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

Solución:

Tenemos,

$\lim_{x \to 0} f\left( x \right) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log_e \left( 1 + 2x \right)}$

= $\lim_{x\to0}\frac{\left( \frac{e^x - 1}{x} \right)}{\left( \frac{2 \log_e \left( 1 + 2x \right)}{2x} \right)}$

= $\frac{1}{2} \times \frac{\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \right)}{\lim_{x \to 0} \left( \frac{\log_e \left( 1 + 2x \right)}{2x} \right)}$

= 1/2

Se da que f(0) = 7.

Observamos que lim _{{x -> 0}} f(x) ≠ f(0)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 0.

(viii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\left| x - 3 \right|, & \text{ if } x \geq 1 \\ \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}, & \text{ if } x < 1\end{cases}$

Solución:

En x > 1, siendo f(x) una función de módulo, es continua para cada x > 1.

Cuando x < 1, entonces f( x ) siendo un compuesto de funciones polinómicas y continuas sería continua.

En x = 1, tenemos

(LHL en x = 1) = lim _{{x -> 1-}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(1 – h)

= $\lim_{h\to0} \left[ \frac{\left( 1 - h \right)^2}{4} - \frac{3\left( 1 - h \right)}{2} + \frac{13}{4} \right]$

= 1/4 – 3/2 + 13/4

= 2

(LH en x = 1) = lím _{{x -> 1+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(1 + h)

= lím _{{h -> 0}} |1 + h – 3|

= |-2|

= 2

También f(1) = |1 – 3| = |- 2| = 2

Observamos que, lim _{{x -> 1-}} f(x) = lim _{{x -> 1+}} f(x) = f(1)

Por lo tanto, la función dada es continua en todas partes.

(ix) $f\left( x \right) = \begin{cases}\left| x \right| + 3 , & \text{ if } x \leq - 3 \\ - 2x , & \text { if } - 3 < x < 3 \\ 6x + 2 , & \text{ if } x > 3\end{cases}$

Solución:

f(x) siendo una función de módulo es continua para cada x ≤ – 3.

At – 3 < x < 3 f(x) siendo una función polinomial es continua.

En x > 3, f(x) siendo una función polinomial es continua.

En x = 3,

Tenemos: (LHL en x = 3) = lim _{{x -> 3-}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(3 – h)

= lím _{{h -> 0}} -2(3 – h)

= -6

(RHL en x = 3) = lim _{{x -> 3+}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(3 + h)

= lím _{{h -> 0}} 6(3 + h) + 2

= 20

Observamos que lim _{{x -> 3-}} f(x) ≠ lim _{{x -> 3+}} f(x)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 3.

(X) $f\left( x \right) = \begin{cases}x^{10} - 1, & \text{ if } x \leq 1 \\ x^2 , & \text{ if } x > 1\end{cases}$

Solución:

De acuerdo a la pregunta se da que la función f está definida en todos los puntos de la recta real.

Consideremos c como un punto sobre la recta real.

Caso I: Si c< 1, entonces f(c) = c ¹⁰ −1 y

lím _{{x-> c}} f(x) = lím _{x->c} (x ¹⁰ – 1)

= c ¹⁰ −1.

∴ lím _{x->c} f(x) = f(c)

Por tanto, f es continua para todo x < 1.

Caso II: Si c = 1, entonces el límite izquierdo de f en x = 1.

El límite derecho de f en x = 1 es, lim _(x->1) f(x) = lim _(x->1) (x ² ) = 1 ² = 1

Entonces concluimos que los límites izquierdo y derecho de f en x = 1 no coinciden. Entonces, f no es continua en x = 1.

Caso III: Si c>1, entonces f(c) = c ²

lím _(x->c) f(x) = lím _(x->c) f(c) = c ²

∴ lím _(x->c) f(x) = f(c)

Por lo tanto, f(x) es discontinua solo en x = 1.

(xi) $f\left( x \right) = \begin{cases}2x , & \text{ if } & x < 0 \\ 0 , & \text{ if } & 0 \leq x \leq 1 \\ 4x , & \text{ if } & x > 1\end{cases}$

Solución:

Consideremos a como un punto sobre la recta real.

Caso I: si a < 0, entonces f(c) = 2a.

lím _{x->a} (a) = 2a.

∴ lím _{{N -> 0}} f(x) = f(a)

Entonces, f es continua en todos los puntos tal que x < 0.

Caso II: Si 0 < a < 1 entonces f(x) y lim _{x->a} f(x)=lim _{x->a} (0)=0 .

∴ lím _{x->a} f(x)=f(a)

Entonces, f es continua en todos los puntos del intervalo (0, 1).

Caso III: Si a =1 entonces f(a) = f(1) = 0.

El límite izquierdo de f en x = 1 es,

límite _{x->1} f(x) = límite _{x->1} f(1)

El límite derecho de f en x = 1 es,

lím _{x->1} f(x) = lím _{x->1} (4x) = 4(1) = 4

Entonces concluimos que LHL ≠ RHL. Por tanto, f no es continua en x = 1.

Caso IV: Si a > 1, entonces f(a) = 4a y lim _{x->a} f(4x) = 4a .

∴ lím _{x->a} f(x) = f(a)

Entonces, f(x) es discontinua solo en x = 1.

(xii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\sin x - \cos x , & \text{ if } x \neq 0 \\ - 1 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

Solución:

Es evidente que f está definida en todos los puntos de la recta real. Sea p un número real.

Caso I: si p ≠ 0 , entonces f (p) = sen p – cos p

lim _{{x → p}} f(x) = lim _{x→p} ( sen x – cos x ) = sen p – cos p

∴ lím _{{x →p}} f(x) = f(p)

Por tanto, f es continua en todos los puntos x, tal que x ≠ 0.

Caso II: si p = 0 , entonces f (0) = – 1.

lím _{{x →0-}} f(x) = lím _{{x →0^-}} (sen x – cos x) = sen 0 – cos 0 = 0 – 1 = -1

lím _{{x →0+}} f(x) = lím _{{x →0}} (sen x – cos x) = sen 0 – cos 0 = 0 – 1 = -1

Observamos que: lim _{{x →0-}} f (x) = lim _{{x →0+}} f (x)= f(0)

Por lo tanto, f es una función continua en todas partes.

(xii) $f\left( x \right) = \begin{cases}- 2 , & \text{ if }& x \leq - 1 \\ 2x , & \text{ if } & - 1 < x < 1 \\ 2 , & \text{ if } & x \geq 1\end{cases}$

Solución:

La función dada está definida en todos los puntos de la recta real. Consideremos a como un punto sobre la recta real.

Caso I: Si a < -1 entonces f(a)= -2 y lim _{x->a} (x) = lim _{x->a} (-2) = -2

∴ lím _{x->a} f(x) = f(a)

f es continua para todo x < −1.

Caso II: Si a =1 entonces f(a) = f(-1) = -2

LHL = lím _{x->-1} f(x) = lím _{x->-1} f(-2) = -2

RHL = lím _{x->-1} f(x) = lím _{x->-1} f(2x) = 2(-1) = -2

Observamos que lim _{x->-1} f(x) = f(-1)

Por lo tanto, f es continua en x = −1.

Caso III: si -1 < a < 1, entonces f(a) = 2a

lím _{x->a} f(x) = lím _{x->a} f(2x) = 2a

∴ lím _{x->a} f(x) = f(a)

Por lo tanto, f es continua en todos los puntos del intervalo (−1, 1).

Caso IV: si a = 1, entonces f(c) = f(1) = 2(1) = 2.

LHL = lím _{x->1} f(x) = lím _{x->1} 2 = 2

RHL = lím _{x->1} f(x) = lím _{x->1} 2 = 2

Observamos que: lim _{x->1} f(x) = lim _{x->1} f(c)

Por lo tanto, f es continua en x = 2.

Por lo tanto, f es una función continua en todas partes.

Pregunta 4. A continuación, determine el valor de la constante involucrada en la definición para que la función dada sea continua:

(i) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin 2x}{5x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 3k , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

Solución:

Si f( x ) es continua en x = 0, entonces

⇒ lím{x -> 0} f(x) = f(0)

⇒ lím _{{x -> 0}} sen 2x/5x = f(0)

⇒ lím _{{x -> 0}} 2 sen 2x/10x = f(0)

⇒ 2/5 lím _{{x -> 0}} sen 2x/2x = f(0)

⇒ k = 2/15

(ii) $f\left( x \right) = \begin{cases}kx + 5, & \text{ if } x \leq 2 \\ x - 1, & \text{ if } x > 2\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = 2, entonces

límite _{{x -> 2-}} f(x) = límite _{{x -> 2+}} f(x)

⇒ límite _{{h -> 0}} (k (2 – h) + 5) = límite _{{h -> 0}} (2 + h -1)

⇒ límite _{{h -> 0}} f(2 – h) = límite _{{h -> 0}} f(2 + h)

⇒ 2k + 5 = 1

⇒ 2k = – 4

⇒ k = – 2

(iii) $f\left( x \right) = \begin{cases}k( x^2 + 3x), & \text{ if } x < 0 \\ \cos 2x , & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = 0, entonces

límite _{{x -> 0-}} f(x) = límite _{{x -> 0+}} f(x)

⇒ límite _{{h -> 0}} f(-h) = límite _{{h -> 0}} f(h)

⇒ $\lim_{h -> 0} \left( k\left( \left( - h \right)^2 - 3h \right) \right) = lim_{h -> 0} \left( \cos 2h \right)$

⇒ 0 = 1, lo cual no es posible

Por lo tanto, la función dada no es continua para ningún valor de k.

(iv) $f\left( x \right) = \begin{cases}2 , & \text{ if } x \leq 3 \\ ax + b, & \text{ if } 3 < x < 5 \\ 9 , & \text{ if } x \geq 5\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = 3 y 5, entonces

límite _{{x -> 3-}} f(x) = límite _{{x -> 3+}} f(x)

y lím _{{x -> 5-}} f(x) = lím _{{x -> 5+}} f(x)

⇒ límite _{{h -> 0}} f(3 – h) = límite _{{h -> 0}} f(3 + h)

y lim _{{h -> 0}} f(5 – h) = lim _{{h -> 0}} f(5 + h)

⇒ 2 = 3a + b y 5a + b = 9

⇒ 2 = 3a + b y 5a + b = 9

⇒ a = 7/2 yb = -17/2.

(v) $f\left( x \right) = \begin{cases}4 , & \text{ if } x \leq - 1 \\ a x^2 + b, & \text{ if } - 1 < x < 0 \\ \cos x, &\text{ if }x \geq 0\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = −1 y 0, entonces

lím _{{x -> -1-}} f(x) = lím _{{x -> – 1+}} f(x) y lím _{{x -> 0-}} f(x) = lím _{{x -> 0+}} f (X)

⇒ lím _{{h -> 0}} f(-1 – h) = lím _{{h -> 0}} f(-1 + h) y lím _{{h -> 0}} f(-h) = lím _{{h -> 0 }} f(h)

⇒ límite _{{h -> 0}} (4) = límite _{{h -> 0}} (a (-1 + h) ² + b)

También, $\lim_{h -> 0} \left( a \left( - h \right)^2 + b \right) = \lim_{h -> 0} \left( \cos h \right)$

⇒ 4 = a + b y b = 1

⇒ a = 3 y b = 1.

(vi) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sqrt{1 + px} - \sqrt{1 - px}}{x}, & \text{ if } - 1 \leq x < 0 \\ \frac{2x + 1}{x - 2} , & \text{ if } 0 \leq x \leq 1\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = 0, entonces $\lim_{x \to 0^-} f( x ) = \lim_{x \to 0^+} f( x )$

⇒ $\lim_{h \to 0} f\left( - h \right) = \lim_{h \to 0} f\left( h \right)$

⇒ $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 - ph} - \sqrt{1 + ph}}{- h} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{2h + 1}{h - 2} \right)$

⇒ $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( \sqrt{1 - ph} - \sqrt{1 + ph} \right)\left( \sqrt{1 - ph} + \sqrt{1 + ph} \right)}{- h\left( \sqrt{1 - ph} + \sqrt{1 + ph} \right)} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{2h + 1}{h - 2} \right)$

⇒ $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( 1 - ph - 1 - ph \right)}{- h\left( \sqrt{1 - ph} + \sqrt{1 + ph} \right)} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{2h + 1}{h - 2} \right)$

⇒ $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( - 2ph \right)}{- h\left( \sqrt{1 - ph} + \sqrt{1 + ph} \right)} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{2h + 1}{h - 2} \right)$

⇒ $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\left( 2p \right)}{\left( \sqrt{1 - ph} + \sqrt{1 + ph} \right)} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{2h + 1}{h - 2} \right)$

⇒ 2p/2 = -1/2

⇒ p = -1/2.

(vii) $f\left( x \right) = \begin{cases}5 , & \text{ if } & x \leq 2 \\ ax + b, & \text{ if } & 2 < x < 10 \\ 21 , & \text{ if } & x \geq 10\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = 2 y x = 10, entonces

lím _{{x -> 2-}} f(x) = lím _{{x -> 2+}} f(x) y lím _{{x -> {10} ^– }} f(x) = lím _{{x -> {10}+ }} f(x)

⇒ lím _{{h -> 0}} f(2 – h) = lím _{{h -> 0}} f(2 + h) y lím _{{h -> 0}} f(10 – h) = lím _{{h -> 0}} f(10 + h)

⇒ límite _{{h -> 0}} (5) = límite _{{h -> 0}} (a (2 + h) + b)

Y lim _{{h -> 0}} a (10 – h) + b = lim _{{h -> 0}} (21)

Al resolver ecuaciones, obtenemos,

⇒ a = 2 y b = 1.

(viii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{k \cos x}{\pi - 2x} , & x < \frac{\pi}{2} \\ 3 , & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{3 \tan 2x}{2x - \pi}, & x > \frac{\pi}{2}\end{cases}$

Solución:

Si f(x) es continua en x = π/2, entonces

lím _{{x -> π/2-}} f(x) = f(π/2)

⇒ lím _{{h -> 0}} f(π/2 – h) = f(π/2)

⇒ lím _{{h -> 0}} f(π/2 – h) = 3

⇒ $\lim_{h \to 0} \left[ \frac{k \cos \left( \frac{\pi}{2} - h \right)}{\pi - 2\left( \frac{\pi}{2} - h \right)} \right] = 3$

⇒ $\lim_{h \to 0} \left[ \frac{k \sin h}{\pi - \pi + 2h} \right] = 3$

⇒ lím _{{h -> 0}} (k sen h/2h) = 3

⇒ k/2 lím _{{h -> 0}} sen h/h =3

⇒ k/2 = 3

⇒ k = 6

Pregunta 5. La función $f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 /a , & \text{ if } 0 \leq x < 1 \\ a , & \text{ if } 1 \leq x < \sqrt{2} \\ \frac{2 b^2 - 4b}{x^2}, & \text{ if } \sqrt{2} \leq x < \infty\end{cases}$ es continua en (0, ∞), luego encuentre los valores más adecuados de a y b.

Solución:

Dado que f es continua en ( 0, ∞ ).

Entonces, f es continua en x = 1 y x = √2.

En x = 1, tenemos lim _{{x -> 1-}} f(x)

= lím _{{h -> 0}} f(1 – h)

= lím _{{h -> 0}} [(1 – h) ² /a]

= 1/a

En x = √2, tenemos

lím _{{x -> √2-}} f(x) = lím _{{h -> 0}} f(√2 + h)

= lím _{{h -> 0}} (a)

= un

$\lim_{x \to \sqrt{2}^+} f\left( x \right) = \lim_{h \to 0} f\left( \sqrt{2} + h \right) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{2 b^2 - 4b}{\left( \sqrt{2} + h \right)^2} \right] = \frac{2 b^2 - 4b}{2} = b^2 - 2b$

f es continua en x = 1 y √2.

⇒ 1/a = a y b ² – 2b = a

⇒ a ² = 1 y b ² – 2b = a

⇒ a = ±1 y b ² – 2b = a . . . (1)

Si a = 1, entonces b ² – 2b = 1

⇒ ^{segundo 2} – 2b – 1 = 0

⇒ segundo = $\frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ = 1 ± √2

Si a = −1, entonces b ² – 2b = – 1

⇒ ^{segundo 2} – 2b + 1 = 0

⇒ segundo = 1

Por tanto, a = −1, b = 1 oa = 1, b = √2.son los valores más adecuados de a y b.

Pregunta 6. Encuentra los valores de ayb para que la función f(x) definida por $f\left( x \right) = \begin{cases}x + a\sqrt{2}\sin x , & \text{ if }0 \leq x < \pi/4 \\ 2x \cot x + b , & \text{ if } \pi/4 \leq x < \pi/2 \\ a \cos 2x - b \sin x, & \text{ if } \pi/2 \leq x \leq \pi\end{cases}$ se vuelva continua en [0, π].

Solución:

f es continua en x = π.

En x = π/4, tenemos

lím _{{x -> π/4-}} f(x) = lím _{{h -> 0}} f(π/4 – h)

= lím{h -> 0} [(π/4 – h) + √2a sen (π/4 – h)]

= π/4 + √2a sen π/4

= π/4 + a

= lim _{{h -> 0}} [2 (π/4 + h) cot (π/4 + h) + b]

= [2 π/4 cuna π/4 + b]

= π/2 + segundo

⇒ – segundo – un = segundo y π/4 + un = π/2 + segundo

⇒ a = π/6 y b = -π/12

Pregunta 7. La función f(x) se define como sigue: $[f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 + ax + b , & 0 \leq x < 2 \\ 3x + 2 , & 2 \leq x \leq 4 \\ 2ax + 5b , & 4 < x \leq 8\end{cases}$ . Si f es continua en [0, 8], encuentre los valores de a y b.

Solución:

Dado que f es continua en [0, 8].

Entonces, f es continua en x = 2 y x = 4

En x = 2,

límite _{{x -> 2-}} f(x) = límite _{{h -> 0}} f(2 – h)

= lím _{{h -> 0}} (2 – h) ² + a(2 – h) + b

= 4 + 2a + b

límite _{{x -> 2+}} f(x) = límite _{{h -> 0}} f(2 + h)

= límite _{{h -> 0}} [3(2 + h) + h]

= 8

En x = 4,

límite _{{x -> 4-}} f(x) = límite _{{h -> 0}} f(4 – h)

= lim_{h -> 0} [3(4 – h) + 2]

= 14

límite _{{x -> 4+}} f(x) = límite _{{h -> 0}} f(4 + h)

= límite _{{h -> 0}} [2a(4 + h) + 5b]

= 8a + 5b

Entonces, f es continua en x = 2 y x = 4.

límite _{{x -> 2-}} f(x) = límite _{{x -> 2+}} f(x)

y, lím _{{x -> 4-}} f(x) = lím _{{x -> 4+}} f(x)

⇒ 4 + 2a + b = 8 y 8a + 5b = 14

⇒ 2a + b = 4 y 8a + 5b = 14

Al resolver obtenemos

a = 3 y b = -2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Continuidad – Ejercicio 9.2 | Serie 1

Pregunta 1. Demuestra que la función $f(x)=\begin{cases}\frac{sinx}{x} \ \ \ \ ,x\le0\\x+1\ \ \ ,x\le0\end{cases}$ es continua en todas partes.

Pregunta 2. Discuta la continuidad de la función $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\left| x \right|}, & x \neq 0 \\ 0 , & x = 0\end{cases}$ .

Pregunta 3. Encuentra los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:

(i) $f(x)=\begin{cases}x^3 - x^2 + 2x - 2, & \text{ if }x \neq 1 \\ 4 , & \text{ if } x = 1\end{cases}$

(ii) $f( x ) =\begin{cases}\frac{x^4 - 16}{x - 2}, & \text{ if } x \neq 2 \\ 16 , & \text{ if } x = 2\end{cases}$

(iii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ if } x < 0 \\ 2x + 3, & x \geq 0\end{cases}$

(iv) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin 3x}{x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 4 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(v) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} + \cos x, & \text{ if } x \neq 0 \\ 5 , & \text { if } x = 0\end{cases}$

(vi) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{x^4 + x^3 + 2 x^2}{\tan^{- 1} x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 10 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(vii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{e^x - 1}{\log_e (1 + 2x)}, & \text{ if }x \neq 0 \\ 7 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(viii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\left| x - 3 \right|, & \text{ if } x \geq 1 \\ \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}, & \text{ if } x < 1\end{cases}$

(ix) $f\left( x \right) = \begin{cases}\left| x \right| + 3 , & \text{ if } x \leq - 3 \\ - 2x , & \text { if } - 3 < x < 3 \\ 6x + 2 , & \text{ if } x > 3\end{cases}$

(X) $f\left( x \right) = \begin{cases}x^{10} - 1, & \text{ if } x \leq 1 \\ x^2 , & \text{ if } x > 1\end{cases}$

(xi) $f\left( x \right) = \begin{cases}2x , & \text{ if } & x < 0 \\ 0 , & \text{ if } & 0 \leq x \leq 1 \\ 4x , & \text{ if } & x > 1\end{cases}$

(xii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\sin x - \cos x , & \text{ if } x \neq 0 \\ - 1 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(xii) $f\left( x \right) = \begin{cases}- 2 , & \text{ if }& x \leq - 1 \\ 2x , & \text{ if } & - 1 < x < 1 \\ 2 , & \text{ if } & x \geq 1\end{cases}$

Pregunta 4. A continuación, determine el valor de la constante involucrada en la definición para que la función dada sea continua:

(i) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin 2x}{5x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 3k , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(ii) $f\left( x \right) = \begin{cases}kx + 5, & \text{ if } x \leq 2 \\ x - 1, & \text{ if } x > 2\end{cases}$

(iii) $f\left( x \right) = \begin{cases}k( x^2 + 3x), & \text{ if } x < 0 \\ \cos 2x , & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$

(iv) $f\left( x \right) = \begin{cases}2 , & \text{ if } x \leq 3 \\ ax + b, & \text{ if } 3 < x < 5 \\ 9 , & \text{ if } x \geq 5\end{cases}$

(v) $f\left( x \right) = \begin{cases}4 , & \text{ if } x \leq - 1 \\ a x^2 + b, & \text{ if } - 1 < x < 0 \\ \cos x, &\text{ if }x \geq 0\end{cases}$

(vi) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sqrt{1 + px} - \sqrt{1 - px}}{x}, & \text{ if } - 1 \leq x < 0 \\ \frac{2x + 1}{x - 2} , & \text{ if } 0 \leq x \leq 1\end{cases}$

(vii) $f\left( x \right) = \begin{cases}5 , & \text{ if } & x \leq 2 \\ ax + b, & \text{ if } & 2 < x < 10 \\ 21 , & \text{ if } & x \geq 10\end{cases}$

(viii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{k \cos x}{\pi - 2x} , & x < \frac{\pi}{2} \\ 3 , & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{3 \tan 2x}{2x - \pi}, & x > \frac{\pi}{2}\end{cases}$

Pregunta 5. La función $f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 /a , & \text{ if } 0 \leq x < 1 \\ a , & \text{ if } 1 \leq x < \sqrt{2} \\ \frac{2 b^2 - 4b}{x^2}, & \text{ if } \sqrt{2} \leq x < \infty\end{cases}$ es continua en (0, ∞), luego encuentre los valores más adecuados de a y b.

Pregunta 7. La función f(x) se define como sigue: $[f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 + ax + b , & 0 \leq x < 2 \\ 3x + 2 , & 2 \leq x \leq 4 \\ 2ax + 5b , & 4 < x \leq 8\end{cases}$ . Si f es continua en [0, 8], encuentre los valores de a y b.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. Demuestra que la función es continua en todas partes.

Pregunta 2. Discuta la continuidad de la función .

Pregunta 3. Encuentra los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(X)

(xi)

(xii)

(xii)

Pregunta 4. A continuación, determine el valor de la constante involucrada en la definición para que la función dada sea continua:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

Pregunta 5. La función es continua en (0, ∞), luego encuentre los valores más adecuados de a y b.

Pregunta 6. Encuentra los valores de ayb para que la función f(x) definida por se vuelva continua en [0, π].

Pregunta 7. La función f(x) se define como sigue: . Si f es continua en [0, 8], encuentre los valores de a y b.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. Demuestra que la función $f(x)=\begin{cases}\frac{sinx}{x} \ \ \ \ ,x\le0\\x+1\ \ \ ,x\le0\end{cases}$ es continua en todas partes.

Pregunta 2. Discuta la continuidad de la función $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\left| x \right|}, & x \neq 0 \\ 0 , & x = 0\end{cases}$ .

(i) $f(x)=\begin{cases}x^3 - x^2 + 2x - 2, & \text{ if }x \neq 1 \\ 4 , & \text{ if } x = 1\end{cases}$

(ii) $f( x ) =\begin{cases}\frac{x^4 - 16}{x - 2}, & \text{ if } x \neq 2 \\ 16 , & \text{ if } x = 2\end{cases}$

(iii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ if } x < 0 \\ 2x + 3, & x \geq 0\end{cases}$

(iv) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin 3x}{x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 4 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(v) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} + \cos x, & \text{ if } x \neq 0 \\ 5 , & \text { if } x = 0\end{cases}$

(vi) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{x^4 + x^3 + 2 x^2}{\tan^{- 1} x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 10 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(vii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{e^x - 1}{\log_e (1 + 2x)}, & \text{ if }x \neq 0 \\ 7 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(viii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\left| x - 3 \right|, & \text{ if } x \geq 1 \\ \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}, & \text{ if } x < 1\end{cases}$

(ix) $f\left( x \right) = \begin{cases}\left| x \right| + 3 , & \text{ if } x \leq - 3 \\ - 2x , & \text { if } - 3 < x < 3 \\ 6x + 2 , & \text{ if } x > 3\end{cases}$

(X) $f\left( x \right) = \begin{cases}x^{10} - 1, & \text{ if } x \leq 1 \\ x^2 , & \text{ if } x > 1\end{cases}$

(xi) $f\left( x \right) = \begin{cases}2x , & \text{ if } & x < 0 \\ 0 , & \text{ if } & 0 \leq x \leq 1 \\ 4x , & \text{ if } & x > 1\end{cases}$

(xii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\sin x - \cos x , & \text{ if } x \neq 0 \\ - 1 , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(xii) $f\left( x \right) = \begin{cases}- 2 , & \text{ if }& x \leq - 1 \\ 2x , & \text{ if } & - 1 < x < 1 \\ 2 , & \text{ if } & x \geq 1\end{cases}$

(i) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sin 2x}{5x}, & \text{ if } x \neq 0 \\ 3k , & \text{ if } x = 0\end{cases}$

(ii) $f\left( x \right) = \begin{cases}kx + 5, & \text{ if } x \leq 2 \\ x - 1, & \text{ if } x > 2\end{cases}$

(iii) $f\left( x \right) = \begin{cases}k( x^2 + 3x), & \text{ if } x < 0 \\ \cos 2x , & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$

(iv) $f\left( x \right) = \begin{cases}2 , & \text{ if } x \leq 3 \\ ax + b, & \text{ if } 3 < x < 5 \\ 9 , & \text{ if } x \geq 5\end{cases}$

(v) $f\left( x \right) = \begin{cases}4 , & \text{ if } x \leq - 1 \\ a x^2 + b, & \text{ if } - 1 < x < 0 \\ \cos x, &\text{ if }x \geq 0\end{cases}$

(vi) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{\sqrt{1 + px} - \sqrt{1 - px}}{x}, & \text{ if } - 1 \leq x < 0 \\ \frac{2x + 1}{x - 2} , & \text{ if } 0 \leq x \leq 1\end{cases}$

(vii) $f\left( x \right) = \begin{cases}5 , & \text{ if } & x \leq 2 \\ ax + b, & \text{ if } & 2 < x < 10 \\ 21 , & \text{ if } & x \geq 10\end{cases}$

(viii) $f\left( x \right) = \begin{cases}\frac{k \cos x}{\pi - 2x} , & x < \frac{\pi}{2} \\ 3 , & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{3 \tan 2x}{2x - \pi}, & x > \frac{\pi}{2}\end{cases}$

Pregunta 5. La función $f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 /a , & \text{ if } 0 \leq x < 1 \\ a , & \text{ if } 1 \leq x < \sqrt{2} \\ \frac{2 b^2 - 4b}{x^2}, & \text{ if } \sqrt{2} \leq x < \infty\end{cases}$ es continua en (0, ∞), luego encuentre los valores más adecuados de a y b.

Pregunta 7. La función f(x) se define como sigue: $[f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 + ax + b , & 0 \leq x < 2 \\ 3x + 2 , & 2 \leq x \leq 4 \\ 2ax + 5b , & 4 < x \leq 8\end{cases}$ . Si f es continua en [0, 8], encuentre los valores de a y b.