Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de regiones acotadas – Ejercicio 21.1

Pregunta 11. Dibuja la región {(x, y) : 9x ² + 4y ² = 36} y encuentra el área encerrada por ella, usando integración.

Solución:

9×2 + 4y2 = 36

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=\pm\sqrt{\frac{36-9x^2}{4}}$

Área del Sector OABCO = $\displaystyle \int_0^2\sqrt{\frac{36-9x^2}{4}}\ dx\\ =\frac{3}{2}\int_0^2\sqrt{4-x^2}\ dx\\ =\frac{3}{2}\left[\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+\frac{2^2}{2}sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_0^2\\ =\frac{3}{2}\left[\frac{2\sqrt{4-2^2}}{2}+\frac{2^2}{2}sin^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)\right]-\frac{3}{2}\left[\frac{0\sqrt{4-0^2}}{2}+\frac{2^2}{2}sin^{-1}\left(\frac{0}{2}\right)\right]\\ =\frac{3}{2}\times2\times\frac{\pi}{2}-0\\ =\frac{3\pi}{2}\ sq.\ units$

Área de toda la figura = 4 x área de DOABCO

$=4\times\frac{3\pi}{2}\\ =6\pi\ sq.\ units.$

Pregunta 12. Dibuja un bosquejo aproximado de la gráfica de la función $y=2\sqrt{1-x^2}$ , x

Solución:

Aquí, tenemos que encontrar el área encerrada entre la curva y el eje x.

$y=2\sqrt{1-x^2},\ x\ ∈\ [0,\ 1 ]\\ \Rightarrow y^2+4x^2=4,\ x\ ∈\ [0,\ 1]\\ \Rightarrow \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4},\ x\ ∈\ [0,\ 1]$

La ecuación (1) representa una elipse con centro en el origen y pasa por (±1, 0) y (0, ±2) y x ∈ [0, 1] representada por la región entre el eje y y la línea x = 1.

Aquí, está el boceto aproximado.

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = 1,

De este modo,

Área requerida = Región OAPBO

$\displaystyle =\int_0^1y\ dx\\ =\int_0^12\sqrt{1-x^2}\ dx\\ =2\left[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}sin^{-1}(x)\right]_0^1\\ =2\left[\left(\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}sin^{-1}(1)\right)-(0+0)\right]\\ =2\left[0+\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2}\right]$

área requerida = $\frac{\pi}{2}$ unidades cuadradas

$y=\sqrt{a^2-x^2}$

Aquí,

Tenemos que encontrar el área bajo la curva.

$y =\sqrt{a^2-x^2}$

x2 + y2 = un ………..(1)

entre x = 0 ………(2)

x = un ………..(3)

La ecuación (1) representa un círculo con Centro (0, 0) y pasa ejes en (0, ±a), (±a, 0).

La ecuación (2) representa el eje y y

La ecuación x = a representa una línea paralela al eje y que pasa por (a, 0)

Aquí, está el boceto aproximado,

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = a,

De este modo,

Área requerida = Región OAPBO

$\displaystyle =\int_0^ay\ dx\\ =\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\ dx\\ =\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}\right]_0^a\\ =\left[\left(\frac{a}{2}\sqrt{a^2-a^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}(1)\right)-(0)\right]\\ =2\left[0+\frac{a^2}{2}\times\frac{\pi}{2}\right]$

área requerida = $\frac{\pi}{4}a^2$ unidades cuadradas

Aquí,

Tenemos que encontrar el área delimitada por el eje x

2y + 5x = 7 ………(1)

x = 2 ……..(2)

x = 8 ………(3)

La ecuación (1) representa la línea que pasa $\left(-\frac{7}{5},\ 0\right)$ y la $\left(0,\ \frac{7}{2}\right)$ ecuación.

La ecuación (2), (3) muestra una línea paralela al eje y que pasa por (2, 0), (8, 0) respectivamente.

Aquí, está el bosquejo aproximado;

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 2 a x = 8,

De este modo,

Área requerida = Región ABCDA

$\displaystyle =\int_2^8\left(\frac{5x+7}{2}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{5x^2}{2}+7x\right)_2^8\\ =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{5(8)^2}{2}+7(8)\right)-\left(\frac{5(2)^2}{2}+7(2)\right)\right]\\ =\frac{1}{2}[(160+56)-(10+14)]\\ =\frac{192}{2}$

Área requerida = 96 unidades cuadradas

Aquí, tenemos que encontrar el área del círculo,

x2 + y2 = a2

La ecuación (1) representa un círculo con centro (0, 0) y radio a, por lo que cumple con los ejes (±a, 0), (0, ±a).

Aquí, está el bosquejo aproximado;

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = a,

De este modo,

Área requerida = Región ABCDA

= 4 (Región ABOA)

$\displaystyle =4\int_0^ay\ dx\\ =4\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\ dx\\ =4\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}\right]_0^a\\ =4\left[\left(\frac{a}{2}\sqrt{a^2-a^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}(1)\right)-(0+0)\right]\\ =4\left[0+\frac{a^2}{2}\times\frac{\pi}{2}\right]\\ =4\left(\frac{a^2\pi}{4}\right)$

Aquí, tenemos que encontrar el área encerrada por;

x = -2,

x = 3,

y = 0 y

y = 1 + |x + 1|

⇒ y = 1 + x + 1, si x + 1 0

⇒ y = 2 + x ……….(1), si x ≥ -1

y

⇒ y = 1 – (x + 1), si x + 1 < 0

⇒ y = 1 – x – 1, si x < -1

⇒ y = -x ………(2), si x < -1

De este modo,

La ecuación (1) es una línea recta que pasa por (0, 2) y (-1, 1).

La ecuación (2) es una recta que pasa por (-1, 1) y (-2, 2) y está delimitada por las rectas x = 2 y x = 3, que son rectas paralelas al eje y y pasan por (2, 0 ) y (3, 0) respectivamente y = 0 es el eje x

Aquí está el boceto aproximado

La región sombreada representa el área requerida.

De este modo,

Área requerida = Región (ABECDFA)

Área requerida = (Región ABEFA + Región ECDFE) ……..(1)

Región ECDFE

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y1

Área del rectángulo = y1△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = -2 a x = -1,

Región ABEFA

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y2

Área del rectángulo = y2△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = -1 a x = 3,

Área requerida = $\displaystyle \int_{-2}^{-1}y_1\ dx+\int_{-1}^3y_2\ dx\\ =-\left[\frac{x^2}{2}\right]^{-1}_{-2}+\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^3\\ =-\left[\frac{1}{2}+\frac{4}{2}\right]+\left[\left(\frac{9}{2}+6\right)-\left(\frac{1}{2}-2\right)\right]\\ =\frac{3}{2}+\left(\frac{21}{2}+\frac{3}{2}\right)\\ =\frac{27}{2}$

área requerida = $\frac{27}{2}$ unidades cuadradas

$\displaystyle \int_0^1|x-5|\ dx$

Aquí, está el bosquejo del gráfico dado:

y = |x – 5|

Por eso,

Área requerida = $\displaystyle =\int_0^1y\ dx\\ =\int_0^1|x-5|\ dx\\ =\int_0^1-(x-5)\ dx\\ =\left[\frac{-x^2}{2}+5x\right]_0^1\\ =\left[-\frac{1}{2}+5\right]\\ =\frac{9}{2}\ sq.\ units$

De este modo,

La integral dada representa el área delimitada por las curvas que son,

x = 0,

y = 0,

X = 1

y

y = -(x – 5).

Pregunta 18. Dibuja la gráfica de y = |x + 3| y evaluar $\displaystyle \int_{-6}^0|x+3|\ dx$ ¿Qué representa esta integral en la gráfica?

Solución:

Aquí,

La ecuación dada es y = |x + 3|

Los valores correspondientes de x e y se dan en la siguiente tabla.

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y 3 2 1 0 1 2 3

De este modo,

Después de trazar estos puntos,

Obtendremos la gráfica de y = |x + 3|

Se muestra como;

Se sabe que (x + 3) ≤ 0 para -6 ≤ x ≤ -3 y (x + 3) ≥ 0 para -3 ≤ x ≤ 0

Por lo tanto,

$\displaystyle \int_{-6}^0|(x+3)|\ dx=-\int_{-6}^{-3}(x + 3)\ dx\\ =-\left[\frac{x^2}{2}+3x\right]_{-6}^{-3}+\left[\frac{x^2}{2}+3x\right]_{-3}^0\\ =\left[\left(\frac{(-3)^2}{2}+3(-3)\right)-\left(\frac{(-6)^2}{2}+3(-6)\right)\right]+\left[0-\frac{(-3)^2}{2}+3(-3)\right]\\ =-\left[-\frac{9}{2}\right]-\left[-\frac{9}{2}\right]\\ =9$

Pregunta 19. Dibuja la gráfica y = |x + 1|. evaluar $\displaystyle \int_{4}^2|(x+1)|\ dx$ _ ¿Qué representa el valor de esta integral en este gráfico?

Solución:

Aquí,

Dado:

y = |x + 1|= $\begin{cases} x+1,\ if\ x+1\ge 0\\ -(x+1),\ if\ x+1<0 \end{cases}\\ y=\begin{cases} (x+1),\ if\ x\ge -1\\ -x-1,\ if\ x<-1 \end{cases}$

y = x + 1 …………(1)

y

y = -x – 1 ……….(2)

La ecuación (1) representa una línea que se encuentra con los ejes en (0, 1).

La ecuación (2) representa una línea que pasa por (0, -1) y (-1, 0)

Aquí está el boceto aproximado

$\displaystyle \int_{4}^2|(x+1)|\ dx=-\int_{-4}^{-1}(x + 1)\ dx\ +\int_{-1}^2(x+1)\ dx\\ =-\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-4}^{-1}+\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^2\\ =-\left[\left(\frac{1}{2}-1\right)-\left(\frac{16}{2}-4\right)\right]+\left[\left(\frac{4}{2}+2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]\\ =-\left[\left(-\frac{1}{2}-4\right)\right]+\left[4+\frac{1}{2}\right]\\ =\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\\ =\frac{18}{2}$

Área requerida = 9 unidades cuadradas.

Pregunta 20. Encuentra el área de la región delimitada por la curva xy – 3x – 2y – 10 = 0, eje x y las líneas x = 3, x = 4.

Solución:

Aquí,

Tenemos que encontrar el área delimitada por

eje x,

x = 3,

x = 4

y

xy – 3x -2y – 10 = 0

⇒ y(x – 2) = 3x + 10

⇒ $y=\frac{3x+10}{x-2}$

Aquí, está el boceto aproximado.

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 3 a x = 4,

Área requerida = Región ABCDA

$\displaystyle =\int_3^4y\ dx\\ =\int_3^4\left(\frac{3x+10}{x-2}\right)\ dx\\ =\int_3^4\left(3+\frac{16}{x-2}\right)\ dx\\ =(3x)_3^4+16(log|x-2|)_3^4\\ =(12-9)+16(log2-log1)$

Área requerida = (3 + 16 log2) unidades cuadradas.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de regiones acotadas – Ejercicio 21.1 | conjunto 2

Pregunta 11. Dibuja la región {(x, y) : 9x ² + 4y ² = 36} y encuentra el área encerrada por ella, usando integración.

Pregunta 12. Dibuja un bosquejo aproximado de la gráfica de la función $y=2\sqrt{1-x^2}$ , x

$y=\sqrt{a^2-x^2}$

$\displaystyle \int_0^1|x-5|\ dx$

Pregunta 18. Dibuja la gráfica de y = |x + 3| y evaluar $\displaystyle \int_{-6}^0|x+3|\ dx$ ¿Qué representa esta integral en la gráfica?

Pregunta 20. Encuentra el área de la región delimitada por la curva xy – 3x – 2y – 10 = 0, eje x y las líneas x = 3, x = 4.

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Pregunta 11. Dibuja la región {(x, y) : 9x 2 + 4y 2 = 36} y encuentra el área encerrada por ella, usando integración.

Pregunta 12. Dibuja un bosquejo aproximado de la gráfica de la función , x

Pregunta 18. Dibuja la gráfica de y = |x + 3| y evaluar ¿Qué representa esta integral en la gráfica?

Pregunta 20. Encuentra el área de la región delimitada por la curva xy – 3x – 2y – 10 = 0, eje x y las líneas x = 3, x = 4.

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Pregunta 11. Dibuja la región {(x, y) : 9x ² + 4y ² = 36} y encuentra el área encerrada por ella, usando integración.

Pregunta 12. Dibuja un bosquejo aproximado de la gráfica de la función $y=2\sqrt{1-x^2}$ , x

Pregunta 18. Dibuja la gráfica de y = |x + 3| y evaluar $\displaystyle \int_{-6}^0|x+3|\ dx$ ¿Qué representa esta integral en la gráfica?