Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de regiones acotadas – Ejercicio 21.1

Pregunta 21. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva $y=\frac{π}{2}+2sin^2x$ y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Solución:

Aquí, tenemos que encontrar el acotado por

$y=\frac{\pi}{2}+2sin^2x$

eje x, x = 0 y x = π

Esta es la tabla de valores de $y=\frac{\pi}{2}+2sin^2x$

X 0 $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ π

$\frac{\pi}{2}+2\ sin^2x$ 1.57 2.07 2,57 3,07 3.57 3,07 2,57 2.07 1.57

Aquí está el boceto aproximado,

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = π,

De este modo,

Área requerida = Región ABCDO

$\displaystyle =\int_0^π y\ dx\\ =\int_0^π\left(\frac{π}{2}+2sin^2x\right)\ dx\\ =\int_0^π\left(\frac{π}{2}+1-cos\ 2x\right)\ dx\\ =\left[\frac{π}{2}x+x-\frac{sin\ 2x}{2}\right]_0^π\\ =\left[\left(\frac{π^2}{2}+π-\frac{sin\ 2x}{2}\right)-(0)\right]\\ =\frac{π^2}{2}+π$

área requerida = $\frac{π}{2}(π+2)$ unidades cuadradas

Pregunta 22. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva $y=\frac{x}{π}+2sin^2x$ y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Solución:

Aquí, tenemos el área entre el eje y,

x = 0,

x = π

y

$y=\frac{x}{π}+2\ sin^2x\ \ \ \ \ ......(1)$

Por lo tanto, la tabla para la ecuación (1) es

X 0 $\frac{π}{6}$ $\frac{π}{4}$ $\frac{π}{3}$ $\frac{π}{2}\ \ \ \ \frac{2π}{3}\ \ \ \ \ \frac{3π}{4}\ \ \ \ \ \frac{5π}{6}$ π

y 0 0.66 1.25 1.88 2,5 1,88 1,25 0,66 0

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y

Área del rectángulo = y△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = π,

De este modo,

Área requerida = Región ABOA

$\displaystyle =\int_0^π y\ dx\\ =\int_0^π\left(\frac{π}{2}+2sin^2x\right)\ dx\\ =\int_0^π\left(\frac{π}{2}+1-cos\ 2x\right)\ dx\\ =\left[\frac{π}{2x}x+x-\frac{sin\ 2x}{2}\right]_0^π\\ =\left[\left(\frac{π^2}{2x}+π-0\right)-(0)\right]\\$

área requerida = $\frac{3\pi}{2}$ unidades cuadradas

Pregunta 23. Encuentra el área delimitada por la curva y = cos x entre x = 0 y x = 2

Solución:

Aquí de la figura podemos ver que

El área requerida = área de la región OABO + área de la región BCDB + área de la región DEFD

Por lo tanto,

El área requerida = $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}cos\ x\ dx+\left|\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}cos\ x\ dx\right|+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}cos\ x\ dx\\ =[sin\ x]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left|[sin\ x]^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\right|+[sin\ x]^{2\pi}_{\frac{3\pi}{2}}\\ =\left[sin\frac{\pi}{2}-sin0\right]+\left|sin\frac{3\pi}{2}-sin\frac{\pi}{2}\right|+\left[sin\ 2x-sin\frac{3\pi}{2}\right]\\ =1+2+1\\ =4\ sq.\ units$

Pregunta 24. Muestre que las áreas bajo las curvas y = sen x y y = sen 2x entre x = 0 y x = $\frac{π}{3}$ son la razón 2:3.

Solución:

Tenemos que encontrar el área bajo la curva.

y = sen x ……..(1)

y

y = sen 2x …………(2)

Entre x = 0 y x = $\frac{\pi}{3}$

X

y = sen x
$0\ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{6}\ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{4}\ \ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{3}\\ 0\ \ \ \ \ 0.5\ \ \ \ 0.7\ \ \ \ 0.8$ $\frac{\pi}{2}\\ 1$

y = sen 2x 0 0,8 1 0,8 0

Aquí está el boceto aproximado

Área bajo la curva y = sen 2x

La región sombreada representa el área requerida.

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y1

Área del rectángulo = y1△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = $\frac{\pi}{3}$ ,

De este modo,

Área requerida = Región OPACO

$\displaystyle A_1=\int_0^{\frac{\pi}{3}}y_1\ dx\\ =\int_0^{\frac{\pi}{3}}sin\ 2x\ dx\\ =\left[\frac{-cos\ 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}\\ =-\left[-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right]\\ A_1=\frac{3}{4}\ sq.\ units$

Lo cortamos en un rectángulo de aproximación de

Ancho = △x

Longitud = y2

Área del rectángulo = y2△x

Los rectángulos aproximados se deslizan de x = 0 a x = $\frac{\pi}{3}$ ,

De este modo,

Área requerida = Región OQACO

$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{3}}y_2\ dx\\ =\int_0^{\frac{\pi}{3}}sin\ x\ dx\\ =\left[{-cos\ x}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}\\ =-\left[\frac{1}{2}-1\right]\\ A_2=\frac{1}{2}\ sq.\ units$

De este modo,

$A_2:A_1=\frac{1}{2}:\frac{3}{4}\\ A_2:A_1=2:3$

Pregunta 25. Compara el área bajo las curvas y = cos ² x e y = sen ² x entre x = 0 y x =

Solución:

Aquí para comparar el área bajo las curvas

y = cos ² x

y

y = sen ² x

Entre x = 0 y x =

Esta es la tabla para y = cos ² x y y = sen ² x

X

y = cos ² x

0

1
$\frac{\pi}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{4}\\ 0.75\ \ \ \ 0.5$ $\frac{\pi}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{2}\\ 0.25\ \ \ \ \ 0$ $\frac{2\pi}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3\pi}{4}\\ 0.25\ \ \ \ \ \ 0.5$ $\frac{5\pi}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \pi\\ 0.75\ \ \ \ \ 1$

y = sen ² x 0 0,25 0,5 0.75 1 0,75 0,5 0.25 0

Área de la región encerrada por

y = cos ² x y eje

A ₁ = Región OABO + Región BCDB

= 2 (Región BCDB)

$\displaystyle =2\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi cos^2x\ dx\\ =2\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi\left(\frac{1-cos\ 2x}{2}\right)\ dx\\ =\left[x-\frac{sin\ 2x}{2}\right]^\pi_{\frac{\pi}{2}}\\ =\left[(x-0)-\left(\frac{\pi}{2}-0\right)\right]\\ =\pi-\frac{\pi}{2}\\ A_1=\frac{\pi}{2}\ sq.\ units\ \ \ \ \ \ .....(1)$

Área de región encerrada por y = sen ² x y eje

A ₂ = Región OEDO

$\displaystyle =\int_{0}^\pi sin^2x\ dx\\ =\int_{0}^\pi\left(\frac{1-cos\ 2x}{2}\right)\ dx\\ =\frac{1}{2}\left[x-\frac{sin\ 2x}{2}\right]^\pi_{0}\\ =\frac{1}{2}[(x-0)-(0)]\\ A_2=\frac{\pi}{2}\ sq.\ units\ \ \ \ \ \ .....(2)$

De la ecuación (1) y (2),

UN ₁ = UN ₂

De este modo,

Área encerrada por y = cos ² x = Área encerrada por y = sen ² x.

Pregunta 26. Encuentra el área delimitada por la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ y las ordenadas x = 0 y x = ae, donde, b ² = a ² (1 – e ² ) y e < 1.

Solución:

Por lo tanto, el área requerida en la figura siguiente de la región BOB’RFSB está encerrada por la elipse y las líneas x = 0 y x = ae

Aquí está el área de la región BOB’RFSB

$\displaystyle =2\int_0^{ae}y\ dx\\ =2\frac{b}{a}\int_0^{ae}\sqrt{a^2-x^2}\ dx\\ =\frac{2b}{a}\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}\right]_0^{ae}\\ =\frac{2b}{2a}\left[ae\sqrt{a^2-a^2e^2}+a^2sin^{-1}e\right]\\ =ab\left[e\sqrt{1-e^2}+sin^{-1}e\right]$

Pregunta 27. Encuentra el área del segmento menor del círculo x ² + y ² = a ² cortado por la línea x = $\frac{a}{2}$ .

Solución:

Área del segmento de espejo del círculo.

$\displaystyle =2\int_{\frac{a}{2}}^a\sqrt{a^2-x^2}\ dx\\ =2\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_{\frac{a}{2}^a}\\ =2\left[\frac{a}{2}(0)+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)-\frac{a}{4}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}-\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{a}{4}\right]\\ =2\left[\frac{a^2}{2}sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)-\frac{a}{4}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}-\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{a}{4}\right]\\ =\frac{a^2}{12}[4\pi-3\sqrt3]\ sq.\ units$

Pregunta 28. Encuentra el área de la región delimitada por la curva x = at, y = 2at entre las ordenadas correspondientes t = 1 y t = 2.

Solución:

Área de la región delimitada

$\displaystyle =2\int_1^2y\ \frac{dx}{dt}\ dt\\ =2\int_1^2(2at)(2at)\ dt\\ =8a^2\int_1^2t^2\ dt\\ =8a^2\left[\frac{t^3}{3}\right]_1^2\\ =8a^2\left[\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right]\\ =\frac{56a^2}{3}\ sq.\ units$

Pregunta 29. Encuentra el área encerrada por la curva x = 3 cos t, y = 2 sin t.

Solución:

Área de la región delimitada

$\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}}2sin\ t\ dt\\ =-8[cos\ t]_0^{\frac{\pi}{2}}$

= -8 [0 – 1]

= 8 unidades cuadradas

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de regiones acotadas – Ejercicio 21.1 | conjunto 3

Pregunta 21. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva $y=\frac{π}{2}+2sin^2x$ y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Pregunta 22. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva $y=\frac{x}{π}+2sin^2x$ y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Pregunta 23. Encuentra el área delimitada por la curva y = cos x entre x = 0 y x = 2

Pregunta 24. Muestre que las áreas bajo las curvas y = sen x y y = sen 2x entre x = 0 y x = $\frac{π}{3}$ son la razón 2:3.

Pregunta 25. Compara el área bajo las curvas y = cos ² x e y = sen ² x entre x = 0 y x =

Pregunta 26. Encuentra el área delimitada por la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ y las ordenadas x = 0 y x = ae, donde, b ² = a ² (1 – e ² ) y e < 1.

Pregunta 27. Encuentra el área del segmento menor del círculo x ² + y ² = a ² cortado por la línea x = $\frac{a}{2}$ .

Pregunta 28. Encuentra el área de la región delimitada por la curva x = at, y = 2at entre las ordenadas correspondientes t = 1 y t = 2.

Pregunta 29. Encuentra el área encerrada por la curva x = 3 cos t, y = 2 sin t.

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Pregunta 21. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Pregunta 22. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Pregunta 23. Encuentra el área delimitada por la curva y = cos x entre x = 0 y x = 2

Pregunta 24. Muestre que las áreas bajo las curvas y = sen x y y = sen 2x entre x = 0 y x = son la razón 2:3.

Pregunta 25. Compara el área bajo las curvas y = cos 2 x e y = sen 2 x entre x = 0 y x =

Pregunta 26. Encuentra el área delimitada por la elipse y las ordenadas x = 0 y x = ae, donde, b 2 = a 2 (1 – e 2 ) y e < 1.

Pregunta 27. Encuentra el área del segmento menor del círculo x 2 + y 2 = a 2 cortado por la línea x = .

Pregunta 28. Encuentra el área de la región delimitada por la curva x = at, y = 2at entre las ordenadas correspondientes t = 1 y t = 2.

Pregunta 29. Encuentra el área encerrada por la curva x = 3 cos t, y = 2 sin t.

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Pregunta 21. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva $y=\frac{π}{2}+2sin^2x$ y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Pregunta 22. Dibuja un bosquejo aproximado de la curva $y=\frac{x}{π}+2sin^2x$ y encuentra el área entre el eje x, la curva y las ordenadas x = 0, x =

Pregunta 24. Muestre que las áreas bajo las curvas y = sen x y y = sen 2x entre x = 0 y x = $\frac{π}{3}$ son la razón 2:3.

Pregunta 25. Compara el área bajo las curvas y = cos ² x e y = sen ² x entre x = 0 y x =

Pregunta 26. Encuentra el área delimitada por la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ y las ordenadas x = 0 y x = ae, donde, b ² = a ² (1 – e ² ) y e < 1.

Pregunta 27. Encuentra el área del segmento menor del círculo x ² + y ² = a ² cortado por la línea x = $\frac{a}{2}$ .