Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de regiones acotadas – Ejercicio 21.1

Pregunta 1. Usando la integración, encuentre el área de la región acotada entre la línea x = 2 y la parábola y ² = 8x

Solución:

Aquí,

Las ecuaciones dadas son:

x = 2 ……..(1)

y ² = 8x ……..(2)

Aquí,

La ecuación (1) representa una línea paralela al eje y y la ecuación (2) representa una parábola con vértice en el origen y eje x,

Aquí está el boceto aproximado

Tenemos que encontrar el área de la región sombreada. Lo cortamos en rectángulo vertical ancho de rectángulo = △x,

Longitud = (y – 0) = y

Área del rectángulo = y△x

Este rectángulo puede moverse horizontalmente de x = 0 a x = 2

Área requerida = región sombreada OCBO

= 2 (Región sombreada OABO)

= $\displaystyle =2\int_0^2y\ dx\\ =2\times2\sqrt2\int_0^2\sqrt{x}\ dx\\ =4\sqrt2\left[\frac{2}{3}\times\sqrt{x}\right]_0^2\\ =4\sqrt2\left[\left(\frac{2}{3}\times2\sqrt2\right)-\left(\frac{2}{3}\right)\times0\sqrt0\right]\\ =4\sqrt2\left(\frac{4\sqrt2}{3}\right)$

Área requerida = $\frac{32}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 2. Usando la integración, encuentre el área de la región delimitada por la línea y – 1 = x, el eje x y las ordenadas x = -2 y x = 3.

Solución:

El área de búsqueda de la región delimitada por el eje x las ordenadas x = -2 y x = 3

y – 1 = x ………….(1)

La ecuación (1) es una línea que se encuentra en los ejes en (0, 1) y (-1, 0)

Aquí, está el boceto aproximado.

El área requerida está encerrada entre las líneas.

Área requerida = Región ABCA + Región ADEA

$\displaystyle A=\int^3_{-1}y\ dx + \left|\int^{-1}_{-2}y\ dx\right|\\ =\int_{-1}^{3}(x+1)dx+\left|\int_{-2}^{-1}(x+1)dx\right|\\ =\left(\frac{x^2}{2}+x\right)_{-1}^3+\left|\left(\frac{x^2}{2}+x\right)_{-2}^{-1}\right|\\ =\left[\left(\frac{9}{3}+3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]+\left|\left(\frac{1}{2}-1(2-2)\right)\right|\\ =\left[\frac{15}{2}+\frac{1}{2}\right]+\left|-\frac{1}{2}\right|\\ =8+\frac{1}{2}\\ A=\frac{17}{2}\ square\ units.$

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por la parábola y ² = 4ax y la recta x = a

Solución:

Aquí tenemos que encontrar el área de la región que está delimitada por

x = un ………(1)

y

y2 = 4a ………(2)

La ecuación (1) representa una línea paralela al eje y y la ecuación (2) representa una parábola con vértice en el origen y eje como eje x.

Aquí, está el boceto aproximado.

Aquí tenemos que encontrar el área entre la región,

Por lo tanto, córtela en rectángulos de

Ancho = △x

Longitud = y – 0 = y

Área del rectángulo = y△x

Este supuesto triángulo puede ir de x = 0 a x = a.

Área requerida = Región OCBO

= 2 (Región OABO)

$\displaystyle =2\int_0^a\sqrt{4ax}\ dx\\ =2\times2\sqrt{a}\int_0^a\sqrt{x}\ dx\\ =4\sqrt{a}\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)_0^a\\ =4\sqrt{a}\left(\frac{2}{3}a\sqrt{a}\right)$

área requerida = $\frac{8}{3}a^2$ unidades cuadradas

Pregunta 4. Encuentra el área que se encuentra sobre el eje x y debajo de la parábola y = 4x – x ² .

Solución:

Tenemos que encontrar aquí el área delimitada por el eje x y la parábola.

y = 4x – x2

x2 – 4x +4 = -y + 4

(x – 2)2 = -(y – 4) ……….(1)

La ecuación (1) representa una parábola hacia abajo con vértice (2, 4) y que pasa por (0, 0) y (0, 4).

Aquí está el boceto aproximado

Aquí la región sombreada representa el área requerida.

Cortamos la región en rectángulos de aproximación

Ancho = △x

Longitud = y – 0 = y

Área del rectángulo = y△x

Este rectángulo de aproximación se desliza de x = 0 a x = a

De este modo,

Área requerida = Región OABO

$\displaystyle =\int_0^4(4x-x^2)\ dx\\ =\left(4\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)_0^4\\ =\left(\frac{4\times16}{2}-\frac{64}{3}\right)-(0-0)\\ =\frac{64}{6}$

área requerida = $\frac{32}{3}$ unidades cuadradas

Pregunta 5. Dibuja un bosquejo aproximado para indicar la región delimitada entre la curva y ² = 4x y la línea x = 3. Además, encuentra el área de esta región.

Solución:

Tenemos que encontrar el área delimitada por

y2 = 4x ……..(1)

y

x = 3 ………..(2)

La ecuación (1) representa una parábola con vértice en el origen y eje como eje x y la ecuación (2) representa una línea paralela al eje y

Aquí está el boceto aproximado

La región sombreada representa el área requerida que hemos cortado en forma de rectángulo de

Ancho = △x

Longitud = y – 0 = y

Este rectángulo de aproximación se desliza de x = 0 a x = 3

Área requerida = Región OCBO

= 2(Región OABO)

$\displaystyle =2\int_0^3y\ dx\\ =2\int_0^3\sqrt{4x}\ dx\\ =4\int_0^3\sqrt{x}\ dx\\ =4\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)_0^3\\ =\frac{8}{3}\times3\sqrt3$

área requerida = $8\sqrt3$ unidades cuadradas

Pregunta 6. Haz un bosquejo aproximado de la gráfica de la función y = 4 – x ² , 0 ≤ x ≤ 2 y determina el área encerrada por la curva , el eje x y la recta x = 0 y x = 2.

Solución:

Aquí encontraremos el área delimitada por

y = 4 – x2

x2 = -(y – 4) ……….(1)

x = 0 ………(2)

x = 2 ……….(3)

La ecuación (1) representa una parábola hacia abajo con vértice en (0, 4) y que pasa por (2, 0), (-2, 0). La ecuación (2) representa el eje y y la ecuación (3) representa una línea paralela al eje y.

Aquí hay un boceto aproximado

La región sombreada representa el área requerida que hemos cortado en forma de rectángulo de

Ancho = △x

longitud = y – 0 = y

Este rectángulo de aproximación se desliza de x = 0 a x = 2

Área requerida = Región OABO

$\displaystyle =\int_0^2(4-x^2)\ dx\\ =\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)_0^2\\ =\left[4(2)-\frac{(2)^3}{3}\right]-[0]\\ =\left[\frac{24-8}{3}\right]$

Área requerida = $\frac{16}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 7. Dibuja la gráfica de $y=\sqrt{x+1}$ en [0, 4] y determina el área de la región encerrada por la curva, el eje x y la línea x = 0 y x = 4.

Solución:

Aquí, encontraremos el área encerrada por el eje x y

$y=\sqrt{x+1}$

y2 = x + 1 …….(1)

x = 0 ………(2)

x = 4 ………(3)

La ecuación (1) representa una parábola con vértice en (-1, 0) y que pasa por (0, 1) y (0, -1). La ecuación (2) representa el eje y y la ecuación (3) representa una línea paralela al eje y que pasa por (4, 0).

Por lo tanto, aquí está el boceto aproximado;

La región sombreada representa el área requerida que hemos cortado en forma de rectángulo de

Ancho = △x

Longitud = y – 0 = y

Área del rectángulo = y△x

Este rectángulo de aproximación se desliza de x = 0 a x = 4

Área requerida = Región OCDE

$\displaystyle =\int_0^4y\ dx\\ =\int_0^4\sqrt{x+1}\ dx\\ =\left(\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}\right)_0^4\\ =\frac{2}{3}[((4+1)\sqrt{4+1})-((0+1)\sqrt{0+1})]$

Área requerida = unidades cuadradas $\frac{2}{3}[5\sqrt5-1]$ o $\frac{2}{3}\left[5^\frac{3}{2}-1\right]$ unidades cuadradas.

Pregunta 8. Encuentre el área bajo la curva $y=\sqrt{6x+4}$ sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 2. Dibuje también un bosquejo de la curva.

Solución:

Aquí, encontraremos el área encerrada por el eje x

x = 0,

x = 2 ………(1)

y2 = 6x + 4 ……….(2)

La ecuación (1) representa el eje y y una línea paralela al eje y que pasa por (2, 0). La ecuación (2) representa una parábola con vértice en $\left(-\frac{2}{3},\ 0\right)$ y pasa por los puntos (0, 2), (0, -2).

Por lo tanto, aquí está el boceto aproximado;

La región sombreada representa el área requerida que hemos cortado en forma de rectángulo de

Ancho = △x

Longitud = y – 0 = y

Área del rectángulo = y△x

Este rectángulo de aproximación se desliza de x = 0 a x = 2,

Área requerida = Región OABCO

$\displaystyle =\int_0^2\sqrt{6x+4}\ dx\\ =\left(\frac{2}{3}\frac{(6x+4)\sqrt{6x+4}}{6}\right)_0^2\\ =\frac{1}{9}[((12+4)\sqrt{12+4})-((0+4)\sqrt{0+4})]\\ =\frac{1}{9}[16\sqrt{16}-4\sqrt{4}]\\ =\frac{1}{9}(64-8)$

Área requerida = $\frac{56}{9}$ unidades cuadradas.

Pregunta 9. Dibuja el bosquejo aproximado de y ² + 1 = x, x ≤ 2. Encuentra el área encerrada por la curva y la línea x = 2.

Solución:

Aquí, encontraremos el área encerrada por el eje x

y2 = x + 1 ……….(1)

y

x = 2 ……………(2)

La ecuación (1) es una parábola con vértice en (0, 1) y eje como eje x.

La ecuación (2) representa una línea paralela al eje y que pasa por (2, 0)

Por lo tanto, aquí está el boceto aproximado;

La región sombreada representa el área requerida que hemos cortado en forma de rectángulo de

Ancho = △x

Longitud = y – 0 = y

Área del rectángulo = y△x

Este rectángulo de aproximación se desliza de x = 0 a x = 2,

Área requerida = Región ABCA

= 2 (Región AOCA)

$\displaystyle =2\int_1^2y\ dx\\ =2\int_1^2\sqrt{x-1}\ dx\\ =2\left(\frac{2}{3}(x-1)\times\sqrt{x-1}^2\right)_1^2\\ =\frac{4}{3}[((2-1)\sqrt{2-1})-((1-1)\sqrt{1-1})]\\ =\frac{4}{3}(1-0)$

Área requerida = $\frac{4}{3}$ unidades cuadradas.

Pregunta 10. Dibuje un bosquejo aproximado de la gráfica de la curva $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ y evalúe el área de la región debajo de la curva y arriba del eje x

Solución:

Aquí, podemos observar que la elipse es simétrica con respecto al eje x.

Área delimitada por elipse = $\displaystyle =2\int_0^2 y\ dx\\ = 2\int_0^23\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\ dx\\ =3\int\sqrt{4-x^2}\ dx\\ =3\left[\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+\frac{4}{2}sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_0^2\\ =3[1(0)+2sin^{-1}-0-2sin^{-1}(0)]\\ =3[\pi]\\ =3\pi\ sq.\ units$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 21 Áreas de regiones acotadas – Ejercicio 21.1 | Serie 1

Pregunta 1. Usando la integración, encuentre el área de la región acotada entre la línea x = 2 y la parábola y ² = 8x

Pregunta 2. Usando la integración, encuentre el área de la región delimitada por la línea y – 1 = x, el eje x y las ordenadas x = -2 y x = 3.

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por la parábola y ² = 4ax y la recta x = a

Pregunta 4. Encuentra el área que se encuentra sobre el eje x y debajo de la parábola y = 4x – x ² .

Pregunta 5. Dibuja un bosquejo aproximado para indicar la región delimitada entre la curva y ² = 4x y la línea x = 3. Además, encuentra el área de esta región.

Pregunta 6. Haz un bosquejo aproximado de la gráfica de la función y = 4 – x ² , 0 ≤ x ≤ 2 y determina el área encerrada por la curva , el eje x y la recta x = 0 y x = 2.

Pregunta 7. Dibuja la gráfica de $y=\sqrt{x+1}$ en [0, 4] y determina el área de la región encerrada por la curva, el eje x y la línea x = 0 y x = 4.

Pregunta 8. Encuentre el área bajo la curva $y=\sqrt{6x+4}$ sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 2. Dibuje también un bosquejo de la curva.

Pregunta 9. Dibuja el bosquejo aproximado de y ² + 1 = x, x ≤ 2. Encuentra el área encerrada por la curva y la línea x = 2.

Pregunta 10. Dibuje un bosquejo aproximado de la gráfica de la curva $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ y evalúe el área de la región debajo de la curva y arriba del eje x

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Pregunta 1. Usando la integración, encuentre el área de la región acotada entre la línea x = 2 y la parábola y 2 = 8x

Pregunta 2. Usando la integración, encuentre el área de la región delimitada por la línea y – 1 = x, el eje x y las ordenadas x = -2 y x = 3.

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por la parábola y 2 = 4ax y la recta x = a

Pregunta 4. Encuentra el área que se encuentra sobre el eje x y debajo de la parábola y = 4x – x 2 .

Pregunta 5. Dibuja un bosquejo aproximado para indicar la región delimitada entre la curva y 2 = 4x y la línea x = 3. Además, encuentra el área de esta región.

Pregunta 6. Haz un bosquejo aproximado de la gráfica de la función y = 4 – x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 y determina el área encerrada por la curva , el eje x y la recta x = 0 y x = 2.

Pregunta 7. Dibuja la gráfica de en [0, 4] y determina el área de la región encerrada por la curva, el eje x y la línea x = 0 y x = 4.

Pregunta 8. Encuentre el área bajo la curva sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 2. Dibuje también un bosquejo de la curva.

Pregunta 9. Dibuja el bosquejo aproximado de y 2 + 1 = x, x ≤ 2. Encuentra el área encerrada por la curva y la línea x = 2.

Pregunta 10. Dibuje un bosquejo aproximado de la gráfica de la curva y evalúe el área de la región debajo de la curva y arriba del eje x

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Pregunta 1. Usando la integración, encuentre el área de la región acotada entre la línea x = 2 y la parábola y ² = 8x

Pregunta 3. Halla el área de la región delimitada por la parábola y ² = 4ax y la recta x = a

Pregunta 4. Encuentra el área que se encuentra sobre el eje x y debajo de la parábola y = 4x – x ² .

Pregunta 5. Dibuja un bosquejo aproximado para indicar la región delimitada entre la curva y ² = 4x y la línea x = 3. Además, encuentra el área de esta región.

Pregunta 6. Haz un bosquejo aproximado de la gráfica de la función y = 4 – x ² , 0 ≤ x ≤ 2 y determina el área encerrada por la curva , el eje x y la recta x = 0 y x = 2.

Pregunta 7. Dibuja la gráfica de $y=\sqrt{x+1}$ en [0, 4] y determina el área de la región encerrada por la curva, el eje x y la línea x = 0 y x = 4.

Pregunta 8. Encuentre el área bajo la curva $y=\sqrt{6x+4}$ sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 2. Dibuje también un bosquejo de la curva.

Pregunta 9. Dibuja el bosquejo aproximado de y ² + 1 = x, x ≤ 2. Encuentra el área encerrada por la curva y la línea x = 2.

Pregunta 10. Dibuje un bosquejo aproximado de la gráfica de la curva $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ y evalúe el área de la región debajo de la curva y arriba del eje x