Capítulo 17 Comprender las formas Tipos especiales de cuadriláteros – Ejercicio 17.1 | Serie 1
Pregunta 16. El perímetro de un paralelogramo es 150 cm. Uno de sus lados es mayor que el otro en 25 cm. Encuentra la longitud de los lados del paralelogramo.
Solución:
Dado que,
Perímetro del paralelogramo = 150 cm
Supongamos que uno de los lados como = ‘x’ cm
y otro lado como = (x + 25) cm
Como sabemos que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos e iguales.
Por lo tanto, Perímetro = Suma de todos los lados
x + x + 25 + x + x + 25 = 150
4x + 50 = 150
4x = 150 – 50
x = 100/4 = 25
Por lo tanto, los lados del paralelogramo son (x) = 25 cm y (x+25) = 50 cm.
Pregunta 17. El lado más corto de un paralelogramo mide 4,8 cm y el lado más largo es la mitad del lado más corto. Encuentra el perímetro del paralelogramo.
Solución:
Dado que,
Lado menor del paralelogramo = 4,8 cm
y lado mayor del paralelogramo = 4,8 + 4,8/2 = 4,8 + 2,4 = 7,2 cm
Como sabemos que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos e iguales.
Por lo tanto, Perímetro = Suma de todos los lados
Perímetro del paralelogramo = 4,8 + 7,2 + 4,8 + 7,2 = 24 cm
Por lo tanto, el perímetro del paralelogramo es de 24 cm.
Pregunta 18. Dos ángulos adyacentes de un paralelogramo son (3x-4)o y (3x+10)°. Encuentra los ángulos del paralelogramo.
Solución:
Como sabemos que los ángulos adyacentes de un paralelogramo son iguales.
Por lo tanto, (3x – 4)° + (3x + 10)° = 180°
3x° + 3xo – 4 + 10 = 180°
6x = 180° – 6°
x = 174°/6 = 29°
Los ángulos adyacentes son,
(3x – 4)° = 3×29 – 4 = 83°
(3x + 10)° = 3×29 + 10 = 97°
Como sabemos que Suma de ángulos adyacentes = 180°
Por lo tanto, cada ángulo es 83°, 97°, 83°, 97°.
Pregunta 19. En un paralelogramo ABCD, las diagonales se bisecan en O. Si ∠ABC =30°, ∠BDC= 10° y ∠CAB =70°. Encontrar:
∠DAB, ∠ADC, ∠BCD, ∠AOD, ∠DOC, ∠BOC, ∠AOB, ∠ACD, ∠CAB, ∠ADB, ∠ACB, ∠DBC y ∠DBA.
Solución:
Dado que,
∠ABC = 30°,
∠ABC = ∠ADC = 30° (Sabemos que la medida de los ángulos opuestos es igual en un paralelogramo)
∠BDC = 10°
∠CABINA =70°
∠BDA = ∠ADB = ∠ADC – ∠BDC = 30° – 10° = 20° (De la figura concluimos)
∠DAB = 180° – 30° = 150°
∠ADB = ∠DBC = 20° (ángulos alternos)
∠BCD = ∠DAB = 150° (sabemos que los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
∠DBA = ∠BDC = 10° (sabemos que los ángulos alternos internos son iguales)
En ΔABC ∠CAB + ∠ABC+ ∠BCA = 180° (ya que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°)
70° + 30° + ∠BCA = 180°
∠BCA = 180° – 100° = 80°
∠DAB = ∠DAC+ ∠CAB = 70° + 80° = 150°
∠BCD = 150° (ángulo opuesto del paralelogramo)
∠DCA = ∠CAB = 70°
En ΔDOC ∠BDC+ ∠ACD + ∠DOC = 180° (ya que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°)
10° + 70° + ∠DOC = 180°
∠DOC = 180°- 80°
∠DOC = 100°
Por lo tanto, ∠DOC = ∠AOB = 100° (los ángulos verticalmente opuestos son iguales)
∠DOC+ ∠AOD = 180° [Par lineal]
100° + ∠AOD = 180°
∠AOD = 180°- 100°
∠AOD = 80°
Por lo tanto, ∠AOD = ∠BOC = 80° (los ángulos verticalmente opuestos son iguales)
∠CAB = 70o
∠ABC+ ∠BCD = 180° (En un paralelogramo la suma de los ángulos adyacentes es 180°)
30° + ∠ACB + ∠ACD = 180°
30° + ∠ACB + 70° = 180°
∠ACB = 180° – 100°
∠ACB = 80°
Por lo tanto, ∠DAB = 150o, ∠ADC = 30°, ∠BCD = 150°, ∠AOD = 80°, ∠DOC = 100°, ∠BOC = 80°, ∠AOB = 100°, ∠ACD = 70°, ∠CAB = 70°, ∠ADB = 20°, ∠ACB = 80°, ∠DBC = 20° y ∠DBA = 10°.
Pregunta 20. Encuentra los ángulos marcados con un signo de interrogación que se muestra en la figura.
Solución:
En ΔBEC ∠BEC+ ∠ECB +∠CBE = 180° (La suma de los ángulos de un triángulo es 180°)
90° + 40° + ∠CBE = 180°
∠CBE = 180°-130°
∠CBE = 50°
∠CBE = ∠ADC = 50° (Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)
∠B = ∠D = 50° (los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)
∠A + ∠B = 180° (La suma de los ángulos adyacentes de un triángulo es 180°)
∠A + 50° = 180°
∠A = 180°-50°
por lo tanto, ∠A = 130°
En ΔDFC ∠DFC+ ∠FCD +∠CDF = 180° (La suma de los ángulos de un triángulo es 180°)
90° + ∠FCD + 50° = 180°
∠FCD = 180°-140°
∠FCD = 40°
∠A = ∠C = 130° (Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)
∠C = ∠FCE +∠BCE + ∠FCD
∠FCD + 40° + 40° = 130°
∠FCD = 130° – 80°
∠FCD = 50°
Por lo tanto, ∠EBC = 50°, ∠ADC = 50° y ∠FCD = 50°.
Pregunta 21. El ángulo entre las alturas de un paralelogramo, que pasa por el mismo vértice de un ángulo obtuso del paralelogramo , es de 60°. Encuentra los ángulos del paralelogramo.
Solución:
Consideremos el paralelogramo ABCD, donde DP⊥ AB y DQ ⊥ BC.
Dado que ∠PDQ = 60°
En el cuadrilátero DPBQ ∠PDQ + ∠DPB + ∠B + ∠BQD = 360° (La suma de todos los ángulos de un cuadrilátero es 360°)
60° + 90° + ∠B + 90° = 360°
∠B = 360° – 240°
∠B = 120°
∠B = ∠D = 120° (los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales)
∠B + ∠C = 180° (La suma de los ángulos interiores adyacentes en un paralelogramo es 180°)
120° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 120° = 60°
∠A = ∠C = 60° (Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales)
Por lo tanto, los ángulos de un paralelogramo son 60°, 120°, 60°, 120°
Pregunta 22. En la figura, ABCD y AEFG son paralelogramos. Si ∠C =55°, ¿cuál es la medida de ∠F?
Solución:
De la figura, concluimos que,
En paralelogramo ABCD ∠C = ∠A = 55° (En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
En paralelogramo AEFG ∠A = ∠F = 55° (En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
Por lo tanto ∠F = 55°
Pregunta 23. En la figura, BDEF y DCEF son cada uno un paralelogramo. ¿Es cierto que BD = DC? ¿Por qué o por qué no?
Solución:
De la figura, concluimos que,
En paralelogramo BDEF BD = EF (En un paralelogramo los lados opuestos son iguales)
En paralelogramo DCEF DC = EF (En un paralelogramo los lados opuestos son iguales)
Ya que, BD = EF = DC
Por lo tanto, BD = DC
Pregunta 24. En la Figura, suponga que se sabe que DE = DF. Entonces, ¿ Δ ABC es isósceles? ¿Por qué o por qué no?
Solución:
De la figura concluimos que,
En paralelogramo BDEF BD = EF y BF = DE (los lados opuestos son iguales en un paralelogramo)
En paralelogramo DCEF DC = EF y DF = CE (los lados opuestos son iguales en un paralelogramo)
En paralelogramo AFDE AF = DE y DF = AE (los lados opuestos son iguales en un paralelogramo)
por lo tanto, DE = AF = BF
de manera similar, DF = CE = AE
Dado que, DE = DF
Ya que, DF = DF
AF + BF = CE + AE
AB = CA
Por lo tanto, ΔABC es un triángulo isósceles.
Pregunta 25. Las diagonales del paralelogramo ABCD se intersecan en O como se muestra en la figura. XY contiene O, y X, Y son puntos en lados opuestos del paralelogramo. Explique las razones de cada uno de los siguientes:
(i) OB = OD
(ii) ∠OBY = ∠ODX
(iii) ∠BOY = ∠DOX
(iv) ΔBOY = ΔDOX
Ahora, indique si XY se biseca en O.
Solución:
(i) OB = OD
OB = OD. Dado que las diagonales se bisecan en un paralelogramo.
(ii) ∠OBY =∠ODX
∠OBY =∠ODX. Dado que los ángulos interiores alternos son iguales en un paralelogramo.
(iii) ∠BOY= ∠DOX
∠BOY= ∠DOX. Dado que los ángulos verticales opuestos son iguales en un paralelogramo.
(iv) ΔBOY ≅ ΔDOX
ΔBOY y ΔDOX. Dado que OB = OD, donde las diagonales se bisecan en un paralelogramo.
∠OBY =∠ODX (Los ángulos interiores alternos son iguales)
∠BOY= ∠DOX (Los ángulos verticalmente opuestos son iguales)
ΔBOY ≅ΔDOX (por regla de congruencia ASA)
OX = OY (Partes correspondientes de triángulos congruentes)
Por lo tanto, XY se biseca en O.
Pregunta 26. En la figura, ABCD es un paralelogramo, CE biseca ∠C y AF biseca ∠A. En cada uno de los siguientes, si la afirmación es verdadera, dé una razón para la misma:
(yo) ∠A = ∠C
(ii) ∠FAB = ½ ∠A
(iii) ∠DCE = ½ ∠C
(iv) ∠CEB = ∠FAB
(v) CE ∥ AF
Solución:
(yo) ∠A = ∠C
Cierto, dado que ∠A =∠C = 55° [los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo]
(ii) ∠FAB = ½ ∠A
Cierto, dado que AF es la bisectriz del ángulo de ∠A.
(iii) ∠DCE= ½ ∠C
Cierto, ya que CE es la bisectriz del ángulo ∠C.
(iv) ∠CEB= ∠FAB
Cierto, ya que ∠DCE = ∠FAB (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo).
∠CEB = ∠DCE (ángulos alternos)
½ ∠C = ½ ∠A [AF y CE son bisectrices de ángulos]
v) CE || FA
Es cierto, dado que un par de ángulos opuestos son iguales, por lo tanto, quad. AEFC es un paralelogramo.
Pregunta 27. Las diagonales de un paralelogramo ABCD se cortan en O. AL y CM se dibujan perpendiculares a BD de modo que L y M se encuentran en BD. ¿Es AL = CM? ¿Por qué o por qué no?
Solución:
Dado que,
AL y CM son perpendiculares sobre la diagonal BD.
En ΔAOL y ΔCOM,
∠AOL = ∠COM (ángulo verticalmente opuesto) ———–(i)
∠ALO = ∠CMO = 90° (cada ángulo recto) ——–(ii)
Usando la propiedad de suma de ángulos,
∠AOL + ∠ALO + ∠LAO = 180° ———(iii)
∠COM + ∠CMO + ∠OCM = 180° ———- (iv)
De (iii) y (iv)
∠AOL + ∠ALO + ∠LAO = ∠COM + ∠CMO + ∠OCM
∠LAO = ∠OCM (de (i) y (ii))
En ΔAOL y ΔCOM
∠ALO = ∠CMO (cada ángulo recto)
AO = OC (las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí)
∠LAO = ∠OCM (probado)
por lo tanto, ΔAOL es congruente con ΔCOM
Por lo tanto AL = CM (Partes correspondientes de triángulos congruentes)
Pregunta 28. Los puntos E y F se encuentran en las diagonales AC de un paralelogramo ABCD tal que AE = CF. ¿Qué tipo de cuadrilátero es BFDE?
Solución:
De la figura, concluimos que,
En el paralelogramo ABCD,
AO = OC ———- (i) (Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí)
AE = CF ———-(ii) Dado
Al restar (ii) de (i)
AO – AE = OC – CF
EO = DE ——-(iii)
En ΔDOE y ΔBOF,
EO = OF (probado)
DO = OB (Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí)
∠DOE = ∠BOF (los ángulos verticalmente opuestos son iguales en un paralelogramo)
Por congruencia SAS ΔDOE ≅ ΔBOF
por lo tanto, DE = BF (Partes correspondientes de triángulos congruentes)
En ΔBOE y ΔDOF,
EO = OF (probado)
DO = OB (las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí)
∠DOF = ∠BOE (los ángulos verticalmente opuestos son iguales en un paralelogramo)
Por congruencia SAS ΔDOE ≅ ΔBOF
Por lo tanto, DF = BE (Partes correspondientes de triángulos congruentes).
Por lo tanto, BFDE es un paralelogramo, ya que un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
Pregunta 29. En un paralelogramo ABCD, AB = 10 cm, AD = 6 cm. La bisectriz de ∠A se encuentra con DC en E, AE y BC producidos se encuentran en F. Encuentra la longitud CF.
Solución:
De la figura concluimos que,
En un paralelogramo ABCD,
Dado, AB = 10 cm, AD = 6 cm
CD = AB = 10 cm y AD = BC = 6 cm (En un paralelogramo los lados opuestos son iguales)
AE es la bisectriz de ∠DAE = ∠BAE = x
∠BAE = ∠AED = x (los ángulos alternos son iguales)
ΔADE es un triángulo isósceles. Dado que los ángulos opuestos en ΔADE son iguales.
AD = DE = 6 cm (los lados opuestos son iguales)
CD = DE + CE
CE = CD – DE = 10 – 6 = 4 cm
∠DEA = ∠CEF = x (los ángulos verticalmente opuestos son iguales)
∠EAD = ∠EFC = x (los ángulos alternos son iguales)
ΔEFC es un triángulo isósceles. Dado que los ángulos opuestos en ΔEFC son iguales.
CF = CE = 4cm (los lados opuestos son iguales a los ángulos)
Por lo tanto CF = 4 cm.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA