Pregunta 1. A continuación se muestra un paralelogramo ABCD. Complete cada afirmación junto con la definición o propiedad utilizada.
(i) DA =
(ii) ∠DCB =
(iii) CO =
(iv) ∠DAB + ∠CDA =
Solución:
(i) AD = BC. Porque las diagonales se bisecan en un paralelogramo.
(ii) ∠DCB = ∠BAD. Porque los ángulos interiores alternos son iguales.
(iii) CO = OA. Porque las diagonales se bisecan en un paralelogramo.
(iv) ∠DAB+ ∠CDA = 180°. Porque la suma de los ángulos adyacentes en un paralelogramo es 180°.
Pregunta 2. Las siguientes figuras son paralelogramos. Encuentra los valores en grados de las incógnitas x, y, z.
Solución:
(i) De la figura concluimos que,
∠ABC = ∠y = 100 o (Los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
∠x + ∠y = 180 o (la suma de los ángulos adyacentes es = 180° en un paralelogramo)
∠x + 100° = 180°
∠x = 180° – 100° = 80°
Por lo tanto, ∠x = 80° ∠y = 100° ∠z = 80° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
(ii) De la figura concluimos que,
∠RSP + ∠y = 180° (la suma de los ángulos adyacentes es = 180° en un paralelogramo)
∠y + 50° = 180°
∠y = 180° – 50° = 130°
Por lo tanto, ∠x = ∠y = 130° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
De la figura, concluimos que,
∠RSP = ∠RQP = 50° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
∠RQP + ∠z = 180° (par lineal)
50° + ∠z = 180°
∠z = 180° – 50° = 130°
Por lo tanto, ∠x = 130°, ∠y = 130° y ∠z = 130°.
(iii) Como sabemos que,
En ΔPMN ∠NPM + ∠NMP + ∠MNP = 180° (La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°)
30° + 90° + ∠z = 180°
∠z = 180°-120° = 60°
De la figura, concluimos que,
∠y = ∠z = 60° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
∠z = 180°-120° (la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180° en un paralelogramo)
∠z = 60°
∠z + ∠LMN = 180° (la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180° en un paralelogramo)
60° + 90°+ ∠x = 180°
∠x = 180°-150° = 30°
Por lo tanto, ∠x = 30° ∠y = 60° ∠z = 60°
(iv) De la figura concluimos que,
∠x = 90° [los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
En ΔDOC, ∠x + ∠y + 30° = 180° (La suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°)
90° + 30° + ∠y = 180°
∠y = 180°-120°
∠y = 60°
∠y = ∠z = 60° (los ángulos interiores alternos son iguales)
Por lo tanto, ∠x = 90° ∠y = 60° ∠z = 60°
(v) De la figura concluimos que,
∠x + ∠POR = 180° (la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180° en un paralelogramo)
∠x + 80° = 180°
∠x = 180°-80° = 100°
∠y = 80° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
∠SRQ =∠x = 100°
∠SRQ + ∠z = 180° (par lineal)
100° + ∠z = 180°
∠z = 180°-100° = 80°
Por lo tanto, ∠x = 100°, ∠y = 80° y ∠z = 80°.
(vi) De la figura concluimos que,
∠y = 112° (En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales)
∠y + ∠VUT = 180° (En un paralelogramo la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180°)
∠z + 40° + 112° = 180°
∠z = 180°-152° = 28°
∠z =∠x = 28° (los ángulos interiores alternos son iguales)
Por lo tanto, ∠x = 28°, ∠y = 112°, ∠z = 28°.
Pregunta 3. ¿Las siguientes figuras pueden ser paralelogramos? Justifica tu respuesta.
Solución:
(i) No, ya que sabemos que los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo.
(ii) Sí, ya que sabemos que los lados opuestos son iguales y paralelos en un paralelogramo.
(iii) No, ya que sabemos que las diagonales se bisecan en un paralelogramo.
Pregunta 4. En la figura adyacente, la ESPERANZA es un paralelogramo. Halla las medidas de los ángulos x, y y z. Indique las verdades geométricas que usa para encontrarlas.
Solución:
Como sabemos que,
∠POH + 70° = 180° (par lineal)
∠POH = 180°-70° = 110°
∠POH = ∠x = 110° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
∠x + ∠z + 40° = 180° (la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180° en un paralelogramo)
110° + ∠z + 40° = 180°
∠z = 180° – 150° = 30°
∠z +∠y = 70°
∠y + 30° = 70°
∠y = 70°- 30° = 40°
Pregunta 5. En las siguientes figuras , GUNS y RUNS son paralelogramos. Encuentre x e y.
Solución:
De la figura, concluimos que,
(i) 3y – 1 = 26 (los lados opuestos tienen la misma longitud en un paralelogramo)
3 años = 26 + 1
y = 27/3 = 9
3x = 18 (los lados opuestos tienen la misma longitud en un paralelogramo)
x = 18/3 = 6
Por lo tanto, x = 6 y y = 9
(ii) y – 7 = 20 (las diagonales se bisecan en un paralelogramo)
y = 20 + 7 = 27
x – y = 16 (las diagonales se bisecan en un paralelogramo)
x -27 = 16
X = 16 + 27 = 43
Por lo tanto, x = 43 y y = 27
Pregunta 6. En la siguiente figura, RIESGO y PISTA son paralelogramos. Encuentra la medida de x.
Solución:
De la figura, concluimos que,
En paralelogramo RIESGO
∠RKS + ∠KSI = 180° (la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180° en un paralelogramo)
120° + ∠KSI = 180°
∠KSI = 180° – 120° = 60°
En paralelogramo CLUE,
∠CEU = ∠CLU = 70° (los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo)
En ΔEOS,
70° + ∠x + 60° = 180° (La suma de los ángulos de un triángulo es 180°)
∠x = 180° – 130° = 50°
Por lo tanto, x = 50°
Pregunta 7. Dos ángulos opuestos de un paralelogramo son (3x – 2)° y (50 – x)°. Encuentra la medida de cada ángulo del paralelogramo.
Solución:
Como sabemos que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
Entonces, (3x – 2)° = (50 – x)°
3xo – 2° = 50° – x°
3x° + xo = 50° + 2°
4x° = 52°
xo = 52°/4 = 13°
Los ángulos opuestos son,
(3x – 2)° = 3×13 – 2 = 37°
(50 – x)° = 50 – 13 = 37°
Como sabemos que Suma de ángulos adyacentes = 180°
Otros dos ángulos son 180° – 37° = 143°
Por lo tanto, la medida de cada ángulo es 37°, 143°, 37°, 143°.
Pregunta 8. Si un ángulo de un paralelogramo es dos tercios de su ángulo adyacente, encuentre los ángulos del paralelogramo.
Solución:
Supongamos que uno de los ángulos adyacentes como x°,
entonces el otro ángulo adyacente es = 2x°/3
Como sabemos que la suma de los ángulos adyacentes = 180°
Por lo tanto,
x° + 2x°/3 = 180°
(3x° + 2x°)/3 = 180°
5x°/3 = 180°
x° = 180°×3/5 = 108°
Otro ángulo es = 180° – 108° = 72°
Por lo tanto, los ángulos de un paralelogramo son 72°, 72°, 108°, 108°.
Pregunta 9. La medida de un ángulo de un paralelogramo es 70°. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos restantes?
Solución:
Supongamos que la del ángulo adyacente como x°
Otro ángulo adyacente = 70°
Como sabemos que la suma de los ángulos adyacentes = 180°
Por lo tanto,
x° + 70° = 180°
x° = 180° – 70° = 110°
Por lo tanto, las medidas de los ángulos restantes son 70°, 70°, 110° y 110°
Pregunta 10. Dos ángulos adyacentes de un paralelogramo son como 1: 2. Encuentra las medidas de todos los ángulos del paralelogramo.
Solución:
Supongamos que uno de los ángulos adyacentes como x°,
luego otro ángulo adyacente = 2x°
Como sabemos que la suma de los ángulos adyacentes = 180°
Por lo tanto,
x° + 2x° = 180°
3x° = 180°
x° = 180°/3 = 60°
Entonces el otro ángulo es 2x = 2×60 = 120°
Por lo tanto, las medidas de los ángulos restantes son 60°, 60°, 120° y 120°
Pregunta 11. En un paralelogramo ABCD, ∠D= 135°, determina la medida de ∠A y ∠B.
Solución:
Dado que,
uno de los ángulos adyacentes ∠D = 135°
Supongamos que el otro ángulo adyacente ∠A sea = x°
Como sabemos que la suma de los ángulos adyacentes = 180°
x° + 135° = 180°
x° = 180° – 135° = 45°
∠A = x° = 45°
Como sabemos que los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo.
Por lo tanto, ∠A = ∠C = 45°
y ∠D = ∠B = 135°.
Pregunta 12. ABCD es un paralelogramo en el que ∠A = 70°. Calcule ∠B, ∠C y ∠D.
Solución:
Dado que,
uno de los ángulos adyacentes ∠A = 70°
y otro ángulo adyacente ∠B es = x°
Como sabemos que la suma de los ángulos adyacentes = 180°
x° + 70° = 180°
x° = 180° – 70° = 110°
∠B = x° = 110°
Como sabemos que los ángulos opuestos son iguales en un paralelogramo.
Por lo tanto, ∠A = ∠C = 70°
y ∠D = ∠B = 110°
Pregunta 13. La suma de dos ángulos opuestos de un paralelogramo es 130°. Encuentra todos los ángulos del paralelogramo.
Solución:
De la figura, concluimos que ABCD es un paralelogramo
∠A + ∠C = 130°
Aquí ∠A y ∠C son ángulos opuestos
Por lo tanto ∠C = 130/2 = 65°
Como sabemos que la suma de los ángulos adyacentes es 180
∠B + ∠D = 180
65 + ∠D = 180
∠D = 180 – 65 = 115
∠D = ∠B = 115 (Ángulos opuestos)
Por lo tanto, ∠A = 65°, ∠B = 115°, ∠C = 65° y ∠D = 115°.
Pregunta 14. Todos los ángulos de un cuadrilátero son iguales entre sí. Halla la medida de cada uno. ¿El cuadrilátero es un paralelogramo? ¿Qué tipo especial de paralelogramo es?
Solución:
Supongamos que cada ángulo de un paralelogramo como xo
Como sabemos que la suma de los ángulos = 360°
x° + x° + x° + x° = 360°
4x° = 360°
x° = 360°/4 = 90°
Por lo tanto, cada ángulo es de 90°
Sí, este cuadrilátero es un paralelogramo.
Dado que cada ángulo de un paralelogramo es igual a 90°, entonces es un rectángulo.
Pregunta 15. Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden 4 cm y 3 cm respectivamente. Encuentra su perímetro.
Solución:
Como sabemos que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos e iguales.
por lo tanto, Perímetro = Suma de todos los lados (hay 4 lados)
Perímetro = 4 + 3 + 4 + 3 = 14 cm
Por lo tanto, el perímetro es de 14 cm.
Capítulo 17 Comprender las formas Tipos especiales de cuadriláteros – Ejercicio 17.1 | conjunto 2
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Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA