Capítulo 22 Medición III (Área de superficie y volumen del cilindro circular recto) – Ejercicio 22.2 | Serie 1
Pregunta 21. Se cava un pozo de 20 m de profundidad y tiene un diámetro de 7 m. La tierra así excavada se extiende sobre un terreno rectangular de 22 m de largo y 14 m de ancho. ¿Cuál es la altura de la plataforma así formada?
Solución:
Dado que,
Profundidad del pozo = 20m
Diámetro del pozo = 7 m
Radio del pozo = d/2 = 7/2 m
Dimensión del campo rectangular = 22m × 14m
Como sabemos que Volumen de tierra excavado del pozo = πr 2 h
= 22/7 × 7/2 × 7/2 × 20 = 770 m3
Cuando esta tierra se extienda en campo rectangular,
entonces la Altura de la plataforma formada en el Campo Rectangular = Volumen de Tierra excavado / Área del Campo
= 770/ (22×14) = 2,5m
Pregunta 22. Un pozo de 14 m de diámetro tiene una profundidad de 8 m. La tierra extraída se ha esparcido uniformemente a su alrededor hasta un ancho de 21 m para formar un terraplén. Encuentre la altura del terraplén.
Solución:
Dado que,
Diámetro del pozo = 14 m,
Radio del pozo = d/2 = 14/2 = 7m,
Profundidad del pozo = 8 m.
Sabemos que Volumen de la Tierra extraído del pozo = πr 2 h
= 22/7 × 7 × 7 × 8 = 1232 m 3 .
Esta tierra se extendía sobre la anchura de 21 m. (Dado)
área × h = 1232
π(R 2 – r 2 ) h = 1232
π(28 2 – 7 2 ) h = 1232
22/7 (735) hora = 1232
h = 1232×7 / 22×735 = 8624/16170 = 0,533 m = 53,3 cm
Por lo tanto, la altura del terraplén es de 53,3 cm.
Pregunta 23. Un recipiente cilíndrico con diámetro de base 56 cm contiene agua suficiente para sumergir un sólido rectangular de hierro con dimensiones 32 cm×22 cm×14 cm. Encuentre el aumento en el nivel del agua cuando el sólido está completamente sumergido.
Solución:
Dado que,
Diámetro de la base del recipiente cilíndrico = 56 cm
Radio de la base = d/2 = 56/2 = 28 cm
Dimensiones del recipiente sólido rectangular = 32 cm × 22 cm × 14 cm
Volumen del Recipiente Sólido rectangular = 32 × 22 × 14 = 9856 cm 3
Supongamos que la subida del nivel del agua es ‘h’ cm.
Volumen del recipiente cilíndrico = Volumen del recipiente sólido rectangular (Dado)
πr2h = 9856
22/7 × 28 × 28 × altura = 9856
h = 9856×7 / 22×28×28 = 4cm
Por lo tanto, la subida del nivel del agua es de 4 cm.
Pregunta 24. Una hoja de papel rectangular de 30 cm × 18 cm se puede transformar en la superficie curva de un cilindro circular recto de dos maneras, es decir, enrollando el papel a lo largo o enrollándolo a lo ancho. Encuentre la relación de los volúmenes de los dos cilindros así formados.
Solución:
Dado que,
Dimensiones de la hoja rectangular = 30 cm × 18 cm
Caso 1. Cuando el papel se enrolla a lo largo,
2 πr = 30
r = 30 / 2πcm
Altura = 18 cm
Sabemos que Volumen del Cilindro V1 = πr 2 h
= π × (30/2π) 2 × 18 cm 3
Caso 2. Cuando el papel se enrolla a lo ancho
2πr = 18
r = 18/2πcm
Altura = 30cm
Sabemos que Volumen del Cilindro V2 = πr 2 h
= π × (18/2π) 2 × 30 cm 3
Por lo tanto Volumen del cilindro V1 / Volumen del cilindro V2 = (π × (30/2π) 2 × 18} / {π × (18/2π) 2 × 30)
= (π × (30/2π) 2 × 18}×1/{π × (2π/18) 2 × 30)
= 30 2 × 18 / 18 2 × 30 = 5/3
Por lo tanto, la relación de dos volúmenes es 5:3.
Pregunta 25. Se permite almacenar la lluvia que cae sobre un techo de 18 m de largo y 16,5 m de ancho en un tanque cilíndrico de 8 m de diámetro. Si llueve 10 cm en un día, ¿cuál es el aumento del nivel del agua en el tanque debido a ello?
Solución:
Dado que,
Dimensiones del techo = 18 m × 16,5 m,
Diámetro del tanque cilíndrico = 8 m,
Radio del tanque = d/2 = 8/2 = 4m,
llueve 10 cm al dia
Supongamos que el aumento en el nivel del tanque sea ‘h’
Volumen del tanque = Volumen del techo
πr 2 h = lbh
22/7 × 4 × 4 × altura = 18 × 16,5 × 0,1
h = (18 × 16,5 × 0,1 × 7) / 22×4×4
= 207,9/352 = 0,5906 m = 59,06 cm
Por lo tanto, el aumento del nivel del agua es de 59,06 cm.
Pregunta 26. Una pieza de metal dúctil tiene forma de cilindro de 1 cm de diámetro y 5 cm de longitud. Se estira en un alambre de 1 mm de diámetro. ¿Cuál será la longitud del alambre así formado?
Solución:
Dado que,
Diámetro del cilindro metálico = 1 cm
Radio del cilindro metálico = d/2 = 1/2 = 0,5 cm
Longitud del cilindro = 5 cm
Diámetro del alambre extraído de él = 1 mm = 0,1 cm
Radio de alambre = 0,5 mm = 0,05 cm
Supongamos que la longitud del cable sea ‘h’ cm
Longitud de alambre extraído del metal = Volumen de metal / Volumen de alambre (dado)
= πr 2 h / πr 2
= (½) 2 × 5 / (0,05) 2 = 1,25/0,0025 = 500 cm o 5 m
Por lo tanto, la longitud del cable es de 5 m.
Pregunta 27. Encuentra la longitud de 13,2 kg de alambre de cobre de 4 mm de diámetro, cuando 1 cm cúbico de cobre pesa 8,4 g.
Solución:
Dado que,
Peso del alambre de cobre = 13,2 kg = 13200 g,
Diámetro del alambre = 4 mm,
Radio del cable = d/2 = 4/2 = 2 mm = 0,2 cm,
Supongamos que la longitud del cable es ‘h’ cm
Peso de 1 cm cúbico de alambre = 8,4 g
Como sabemos que Volumen = Peso / Densidad
Volumen × Densidad = Peso
πr 2 h × 8.4 = 13200
22/7 × 0,2 × 0,2 × altura × 8,4 = 13200
h = 13200×7 / 22×0,2×0,2×8,4 = 12500 cm = 125m
Por lo tanto, la longitud de 13,2 kg de alambre de cobre es de 125 m.
Pregunta 28. Se van a trefilar 2,2 dm cúbicos de latón en un alambre cilíndrico de 0,25 cm de diámetro. Encuentra la longitud del alambre.
Solución:
Dado que,
Diámetro del alambre cilíndrico = 0,25 cm,
Radio del alambre = d/2 = 0,25/2 = 0,125 cm,
Volumen de alambre de latón = 2,2 dm 3 = 2200 cm 3 .
Supongamos que la longitud del cable es ‘h’ cm
πr 2 h = 2200
22/7 × 0,125 × 0,125 × altura = 2200
h = 2200×7 / 22×0.125×0.125 = 44800 cm = 448m
Por lo tanto, la longitud del cable es de 448 m.
Pregunta 29. La diferencia entre las superficies interior y exterior de un tubo cilíndrico de 14 cm de largo es de 88 cm cuadrados. Si el volumen del tubo es de 176 cm cúbicos, encuentre los radios interior y exterior del tubo.
Solución:
Dado que,
Longitud del tubo cilíndrico = 14 cm
Supongamos que el radio exterior del tubo es = R cm
Supongamos que el radio interior del tubo es = r cm
Diferencia entre la superficie interior y exterior del tubo = 88 cm 2
2π (Rr) h = 88 ——— (yo)
Volumen del Cilindro = 176 cm 3 (Dado)
π (R2 – r2) h = 176 ——— (ii)
Dividiendo la ecuación (i) por la ecuación (ii),
2π (Rr) h / π (R 2 – r 2 ) h = 88/176
2 / R + r = 1/2
R + r = 4 ——— (iii)
De la ecuación (ii) obtenemos,
π (R 2 – r 2 ) h = 176
π (R+r) (Rr) h = 176
22/7 × 4 × (Rr) × 14 = 176
Rr = 176×7 / 22×4×14 = 1232/1232
Rr = 1 ———— (iv)
Sumando las ecuaciones (iii) y (iv) obtendremos,
R+r = 4
Rr = 1
2R = 5
R = 5/2 = 2,5 cm
Rr = 1
r = 2,5 – 1 = 1,5 cm
Por lo tanto, los radios interior y exterior son 2,5 cm y 1,5 cm.
Pregunta 30. Por un tubo circular de 2 cm de diámetro interior sale agua a razón de 6 metros por segundo hacia un depósito cilíndrico de 60 cm de radio en la base. ¿Encuentre el aumento en el nivel del agua en 30 minutos?
Solución:
Dado que,
Diámetro interno de la tubería = 2 cm
Radio interno de la tubería = d/2 = 2/2 = 1 cm
Tasa de flujo de agua = 6 m/s = 600 cm/s
Radio de la base del tanque cilíndrico = 60 cm
Aumento de altura en el tanque cilíndrico = Tasa de flujo de agua × Tiempo total × Volumen de la tubería / Volumen del tanque cilíndrico
= (600 × 30 × 60 × π × 1 × 1) / (π × 60 × 60) = 300 cm = 3m
Por lo tanto, la subida del nivel del agua es de 3 m.
Pregunta 31. Un tubo cilíndrico, abierto por ambos extremos, está hecho de metal. El diámetro interno del tubo es de 10,4 cm y su longitud es de 25 cm. El espesor del metal es de 8 mm en todas partes. Calcular el volumen del metal.
Solución:
Dado que,
Diámetro interno del tubo cilíndrico = 10,4 cm
Radio interno del tubo = d/2 = 10,4/2 = 5,2 cm
Longitud del tubo = 25 cm
Grosor del metal = 8 mm = 0,8 cm
Radio exterior del tubo = R = 5,2+0,8 = 6 cm
Sabemos que, Volumen de metal = π(R 2 – r 2 ) × l
= 22/7 × (6 2 – 5,2 2 ) × 25
= 22/7 × (36 – 27,04) × 25
= 704 cm 3
Pregunta 32. De un grifo de radio interior de 0,75 cm, el agua fluye a razón de 7 m por segundo. Encuentre el volumen en litros de agua entregada por la tubería en una hora.
Solución:
Dado que,
Radio interior del grifo = 0,75 cm
Longitud del agua que fluye en 1s = 7m = 700 cm
Volumen de agua por segundo derivado del grifo = πr – 2l
= 22/7 × 0,75 × 0,75 × 700 = 1237,5 cm3
Por lo tanto, Volumen de agua derivado en 1 hora (3600 seg) = (1237,5 × 3600)/1000 = 4455 litros.
Pregunta 33. Un tanque de agua cilíndrico de 1,4 m de diámetro y 2,1 m de altura está siendo alimentado por una tubería de 3,5 cm de diámetro por la que fluye agua a razón de 2 metros por segundo. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque?
Solución:
Dado que,
Diámetro del tanque cilíndrico = 1,4 m
Radio del tanque = d/2 = 1,4/2 = 0,7 m
Altura del tanque = 2,1 m
Diámetro de la tubería de agua que fluye en el tanque = 3,5 cm
Radio de tubería = d/2 = 3,5/2 cm
Tasa de flujo de agua = 2 m/s
Tiempo necesario para llenar el tanque = Volumen del tanque / Volumen de la tubería × Tasa de flujo
= πr 2 h/(πr 2 × 2)
= (π × 0,7 × 0,7 × 2,1) / (π × 3,5/2 × 3,5/2 × 2) = 1,029 / 6,125 = 0,168= 1680 segundos = 28 minutos.
Por lo tanto, el tiempo necesario para llenar el tanque es de 28 minutos.
Pregunta 34. Una hoja de papel rectangular de 30 cm × 18 cm puede transformarse en la superficie curva de un cilindro circular recto de dos maneras, es decir, enrollando el papel a lo largo o enrollándolo a lo ancho. Encuentre la relación de los volúmenes de los dos cilindros así formados.
Solución:
Dado que,
Dimensiones de la hoja rectangular = 30 cm × 18 cm
Caso 1. Cuando el papel se enrolla a lo largo
2 πr = 30
r = 30 / 2πcm
Altura = 18 cm
Volumen del Cilindro V1 = πr 2 h
= π × (30/2π) 2 × 18 cm 3
Caso 2. Cuando el papel se enrolla a lo ancho
2πr = 18
r = 18/2πcm
Altura = 30cm
Volumen del cilindro V2 = πr 2 h
= π × (18/2π) 2 × 30 cm 3
Por lo tanto, el Volumen del Cilindro V1 / Volumen del Cilindro V2 = (π × (30/2π) 2 × 18) / (π × (18/2π) 2 × 30)
= (π × (30/2π) 2 × 18) × 1/(π × (2π/18) 2 × 30) = 30 2 × 18 / 18 2 × 30 = 5/3
Por lo tanto, la razón de dos volúmenes es 5:3
Pregunta 35. ¿Cuántos litros de agua salen de una tubería que tiene un área de sección transversal de 5 cm 2 en un minuto, si la velocidad del agua en la tubería es de 30 cm/seg?
Solución:
Dado que,
Área de la sección transversal de la tubería = 5 cm 2 ,
Velocidad del agua = 30 cm/s,
Tiempo = 1 minuto = 60 seg.
Como sabemos que el volumen de agua fluye a través de la tubería = área de sección transversal × velocidad de flujo × tiempo
= 5 × 30 × 60 = 9000 cm3 = 9000/1000 = 9 litros
Por lo tanto, 9 litros de agua salen de la tubería.
Pregunta 36. Un cilindro sólido tiene un área de superficie total de 231 cm 2 . Su superficie curva es 2/3 de la superficie total. Encuentra el volumen del cilindro.
Solución:
Dado que,
Superficie total del cilindro = 231 cm 2
Superficie curva = 2/3 Superficie total = 2/3 × 231 = 154 cm 2 (Dado)
2πrh = 2/3 2πr(r + h)
3h = 2(r + h)
3h = 2h + 2r
h = 2r ———– (yo)
2πr(h + r) = 231 (Dado)
2 × 22/7 × r × (2r+r) =231
2 × 22/7 × r × 3r = 231
3r2 = 231×7 / 2×22 = 36,75
r2 = 36,75 / 3 = 12,25
r = √12,25 = 3,5 cm
Ya que, h = 2r = 2×3.5 = 7cm
Sabemos que Volumen del cilindro = πr 2 h
= 22/7 × 3,5 × 3,5 × 7 = 269,5 cm3
Pregunta 37. Calcule el costo de excavar un pozo entubado de 280 m de profundidad y 3 m de diámetro a razón de 3,60 rupias por metro cúbico. Encuentre también el costo de cementar su superficie curva interior en Rs 2.50 por metro cuadrado.
Solución:
Dado que,
Profundidad del pozo entubado = 280 m
Diámetro del pozo entubado = 3 m
Radio del pozo = d/2 = 3/2 = 1,5 m
Como sabemos que Volumen del Cilindro= πr 2 h
= 22/7 × 1,5 × 1,5 × 280 = 1980 m 3
Costo del pozo entubado hundido a una tasa de Rs 3,60/m 3 = 1980 × 3,60 = Rs 7128 (Dado)
Sabemos que Área de superficie curva = 2πrh
= 2 × 22/7 × 1,5 × 280 = 2640 m 2
Por lo tanto, el costo de cementar su superficie curva interior a razón de 2,50 rupias/m 2 = 2,50 × 2640 = 6600 rupias
Pregunta 38. Encuentra la longitud de 13,2 kg de alambre de cobre de 4 mm de diámetro, cuando 1 cm cúbico de cobre pesa 8,4 g.
Solución:
Dado que,
Peso del alambre de cobre = 13,2 kg = 13200 g
Diámetro del alambre = 4 mm
Radio del alambre = d/2 = 4/2 = 2 mm = 0,2 cm
Supongamos que la longitud del cable es ‘h’ cm.
Peso de 1 cm cúbico de alambre = 8,4 g (Dado)
Como sabemos que el Volumen = Peso / Densidad
Volumen × Densidad = Peso
πr 2 h × 8.4 = 13200
22/7 × 0,2 × 0,2 × altura × 8,4 = 13200
h = 13200×7 / 22×0,2×0,2×8,4 = 12500 cm = 125m
Por lo tanto, la longitud de 13,2 kg de alambre de cobre es de 125 m.
Pregunta 39. 2,2 dm cúbicos de latón se van a estirar en un alambre cilíndrico de 0,25 cm de diámetro. Encuentra la longitud del alambre.
Solución:
Dado que,
Diámetro del alambre cilíndrico = 0,25 cm
Radio del alambre = d/2 = 0,25/2 = 0,125 cm
Supongamos que la longitud del cable es ‘h’ cm
Volumen de alambre de latón = 2,2 dm3 = 2200 cm 3 (Dado)
πr 2 h = 2200
22/7 × 0,125 × 0,125 × altura = 2200
h = 2200×7 / 22×0.125×0.125 = 44800 cm = 448m
Por lo tanto, la longitud del cable es de 448 m.
Pregunta 40. Un pozo con 10 m de diámetro interior tiene una profundidad de 8,4 m. La tierra que se extrae se extiende a su alrededor hasta un ancho de 7,5 m para formar un terraplén. Encuentre la altura del terraplén.
Solución:
Dado que,
Diámetro del pozo = 10 m
Radio del pozo = d/2 = 10/2 = 5m
Profundidad del pozo = 8,4 m
Volumen de tierra excavado del pozo = πr 2 h
= 22/7 × 5 × 5 × 8,4 = 660 m3
Esta tierra se extiende sobre una anchura de 7,5 m.
Radios interiores r = 5 m y radios exteriores R = (5+7,5) = 12,5 cm
área × h = 660
π(R 2 – r 2 ) h = 660
π(12.5 2 – 5 2 ) h = 660
22/7 (131,25) hora = 660
h = 660×7 / 22×131,25 = 4620/2887,5 = 1,6 m
Por lo tanto, la altura del terraplén es de 1,6 m.
Pregunta 41. Un rodillo de jardín hueco, de 63 cm de ancho con una circunferencia de 440 cm, está hecho de hierro de 4 cm de espesor. Encuentra el volumen del hierro.
Solución:
Dado que,
Ancho del rodillo = 63 cm
Grosor del rodillo = 4 cm
Circunferencia (Perímetro) = 440 cm
Como sabemos que Perímetro = 2πR
2πR = 440
2 × 22/7 × R = 440
R = 440 × 7 / 2 × 22 = 70 cm
Radio interior = R – Grosor = 70 – 4 = 66 cm
Volumen de hierro cilíndrico = π(R 2 – r 2 ) l
= 22/7 × (70 2 – 66 2 ) × 63 = 107712 cm 3
Por lo tanto, el Volumen de Hierro es 107712cm 3 .
Pregunta 42. ¿Qué longitud de un cilindro sólido de 2 cm de diámetro se debe tomar para refundir en un cilindro hueco de 16 cm de longitud, 20 cm de diámetro exterior y 2,5 mm de espesor?
Solución:
Dado que,
Longitud del cilindro sólido = L
Diámetro del Cilindro = 2 cm
Radio del cilindro = d/2 = 2/2 = 1 cm
Volumen del Cilindro = πr 2 L ——— (i)
Longitud del cilindro hueco = 16 cm
Diámetro exterior = 20 cm
Radio exterior = 20/2 = 10 cm
Grosor = 2,5 mm = 0,25 cm
Radio interior = 10 – 0,25 = 9,75 cm
Volumen = π (R 2 – r 2 ) l ————– (ii)
De la ecuación (i) y (ii)
πr 2 L = π (R 2 – r 2 ) l
π × 1 × 1 × L = π × (10 2 – 9,75 2 ) × 16
largo = 79 cm
Por lo tanto, la longitud del cilindro sólido debe ser de 79 cm.
Pregunta 43. En medio de un terreno rectangular de 30m × 20m se excava un pozo de 7m de diámetro y 10m de profundidad. La tierra así removida se distribuye uniformemente sobre la parte restante del campo. Encuentre la altura a la que se eleva el nivel del campo.
Solución:
Dado que,
Diámetro del pozo = 7 m
Radio del pozo = d/2 = 7/2 = 3,5 m
Profundidad del pozo = 10 m
Como sabemos que Volumen del pozo = πr 2 h
= 22/7 × 3,5 × 3,5 × 10 = 385 m3
Área del campo Terraplén = 30 × 20 – 22/7 × 7/2 × 7/2
= 600 – 38,5 = 561,5 m 2
Volumen del pozo = Área del campo de terraplén × Altura del terraplén
385 = 561,5 × h
h = 385/561,5 = 0,6856 m = 68,56 cm
Por lo tanto, la Altura del Terraplén es de 68,56 cm.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA