Capítulo 4 Cubos y Raíces Cúbicas – Ejercicio 4.1 | Serie 1
Pregunta 12. ¿Por qué número más pequeño se deben dividir los siguientes números para que el cociente sea un cubo perfecto?
(i) 675 (ii) 8640
(iii) 1600 (iv) 8788
(v) 7803 (vi) 107811
(vii) 35721 (viii) 243000
Solución:
(yo) 675
Encontrar los factores primos de 675
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 3 3 × 5 2
Por lo tanto, 675 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 5 2 = 25 para hacer el cociente un cubo perfecto, eso da como cociente 27 que es un cubo perfecto.
Por lo tanto, 25 es el número más pequeño requerido.
(ii) 8640
Encontrar los factores primos de 8640
8640 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 3 × 2 3 × 3 3 × 5
Por lo tanto, 8640 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 5 para que el cociente sea un cubo perfecto, lo que da como cociente 1728 que es un cubo perfecto.
Por lo tanto, 5 es el número más pequeño requerido.
(iii) 1600
Encontrar los factores primos de 1600
1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2 3 × 2 3 × 5 2
Por lo tanto, 1600 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 5 2 = 25 para hacer el cociente un cubo perfecto, lo que da como cociente 64 que es un cubo perfecto
Por lo tanto, 25 es el número más pequeño requerido.
(iv) 8788
Encontrar los factores primos de 8788
8788 = 2 × 2 × 13 × 13 × 13
= 2 2 × 13 3
Por lo tanto, 8788 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 4 para que el cociente sea un cubo perfecto, lo que da como cociente 2197 que es un cubo perfecto
Por lo tanto, 4 es el número más pequeño requerido.
(v) 7803
Encontrar los factores primos de 7803
7803 = 3 × 3 × 3 × 17 × 17
= 3 3 × 17 2
Por lo tanto, 7803 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 17 2 = 289 para hacer el cociente un cubo perfecto, lo que da como cociente 27 que es un cubo perfecto.
Por lo tanto, 289 es el número más pequeño requerido.
(vi) 107811
Encontrar los factores primos de 107811
107811 = 3 × 3 × 3 × 3 × 11 × 11 × 11
= 3 3 × 11 3 × 3
Por lo tanto, 107811 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 3 para que el cociente sea un cubo perfecto, lo que da como cociente 35937 que es un cubo perfecto.
Por lo tanto, 3 es el número más pequeño requerido.
(vi) 35721
Encontrar los factores primos de 35721
35721 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7
= 3 3 × 3 3 × 7 2
Por lo tanto, 35721 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 7 2 = 49 para hacer el cociente un cubo perfecto, lo que da como cociente 729 que es un cubo perfecto.
Por lo tanto, 49 es el número más pequeño requerido.
(viii) 243000
Encontrar los factores primos de 243000
243000 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= 2 3 × 3 3 × 5 3 × 3 2
Por lo tanto, 243000 no es un cubo perfecto.
Lo dividimos por 3 2 = 9 para hacer el cociente un cubo perfecto, lo que da como cociente 27000 que es un cubo perfecto
Por lo tanto, 9 es el número más pequeño requerido.
Pregunta 13. Demuestra que si un número se triplica, su cubo es 27 veces el cubo del número dado.
Solución:
Supongamos que el número es un
Por lo tanto, su cubo es = a 3
Triplicar el número = 3 × a = 3a
Por lo tanto, el cubo del nuevo número = (3a) 3 = 27a 3
Esto implica que el nuevo cubo es 27 veces el cubo original.
Por lo tanto, probado.
Pregunta 14. ¿Qué le sucede al cubo de un número si el número se multiplica por
(yo) 3?
(ii) 4?
(iii) 5?
Solución:
(yo) 3?
Supongamos que el número es un
Por lo tanto, su cubo es = a 3
Ahora, cuando el número se multiplica por 3
El nuevo número se convierte en = 3a
Por lo tanto, el cubo del nuevo número es = (3a) 3 = 27a 3
Esto implica que el número se convertirá en 27 veces el cubo del número.
(ii) 4?
Supongamos que el número es un
Por lo tanto, su cubo es = a 3
Ahora, cuando el número se multiplica por 4
El nuevo número se convierte en = 4a
Por lo tanto, el cubo del nuevo número es = (4a) 3 = 64a 3
Esto implica que el número se convertirá en 64 veces el cubo del número.
(iii) 5?
Supongamos que el número es un
Por lo tanto, su cubo es = a 3
Ahora, cuando el número se multiplica por 5
El nuevo número se convierte en = 5a
Por lo tanto, el cubo del nuevo número es = (5a) 3 = 125a 3
Esto implica que el número se convertirá en 125 veces el cubo del número.
Pregunta 15. Encuentra el volumen de un cubo, una de cuyas caras tiene un área de 64m 2 .
Solución:
Se da que el área de una cara del cubo es = 64 m 2
Supongamos que la longitud de la arista del cubo sea ‘a’ metros
un 2 = 64
un = √ 64
= 8m
Ahora, volumen del cubo = a 3
un 3 = 8 3 = 8 × 8 × 8
= 512m 3
Por lo tanto, el volumen de un cubo es 512m 3
Pregunta 16. Encuentra el volumen de un cubo cuya superficie es de 384m 2 .
Solución:
Se da que la superficie del cubo es = 384 m 2
Supongamos que la longitud de cada arista del cubo sea ‘a’ metros
6a 2 = 384
un 2 = 384/6
= 64
a = √64
= 8m
Ahora, volumen del cubo = a 3
un 3 = 8 3 = 8 × 8 × 8
= 512m 3
Por lo tanto, el volumen de un cubo es 512m 3
Pregunta 17. Evalúa lo siguiente:
(i) {(5 2 + 12 2 ) 1/2 } 3
(ii) {(6 2 + 8 2 ) 1/2 } 3
Solución:
(i) {(5 2 + 12 2 ) 1/2 } 3
De la ecuación anterior obtenemos,
{(25 + 144) 1/2 } 3
{(169) 1/2 } 3
{(13 2 ) 1/2 } 3
(13) 3
2197
(ii) {(6 2 + 8 2 ) 1/2 } 3
De la ecuación anterior obtenemos,
{(36 + 64) 1/2 } 3
{(100) 1/2 } 3
{(10 2 ) 1/2 } 3
(10) 3
1000
Pregunta 18. Escribe el dígito de las unidades del cubo de cada uno de los siguientes números:
31, 109, 388, 4276, 5922, 77774, 44447, 125125125
Solución:
31
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número
El dígito de la unidad de 31 es 1
Cubo de 1 = 1 3 = 1
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 31 es siempre 1
109
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número
El dígito de la unidad de 109 es = 9
Cubo de 9 = 9 3 = 729
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 109 siempre es 9
388
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número.
El dígito de la unidad de 388 es = 8
Cubo de 8 = 8 3 = 512
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 388 es siempre 2
4276
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número.
El dígito de la unidad de 4276 es = 6
Cubo de 6 = 6 3 = 216
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 4276 es siempre 6
5922
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número.
El dígito de la unidad de 5922 es = 2
Cubo de 2 = 2 3 = 8
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 5922 es siempre 8
77774
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número
El dígito de la unidad de 77774 es = 4
Cubo de 4 = 4 3 = 64
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 77774 es siempre 4
44447
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número.
El dígito de la unidad de 44447 es = 7
Cubo de 7 = 7 3 = 343
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 44447 es siempre 3
125125125
Encontraremos el cubo del dígito unitario solo para encontrar el dígito unitario del cubo de un número.
El dígito de la unidad de 125125125 es = 5
Cubo de 5 = 5 3 = 125
Por lo tanto, el dígito unitario del cubo de 125125125 es siempre 5
Pregunta 19. Encuentra los cubos de los siguientes números por el método de la columna:
(i) 35
(ii) 56
(iii) 72
Solución:
(yo) 35
Tenemos, a = 3 y b = 5
columna yo
un 3
Columna II
3×a 2 ×b
Columna III
3×a×b 2
Columna IV
segundo 3
3 3 = 27 3×9×5 = 135 3×3×25 = 225 5 3 = 125 +15 +23 +12 125 42 158 237 42 8 7 5 Por lo tanto, el cubo de 35 es 42875
(ii) 56
Tenemos, a = 5 y b = 6
columna yo
un 3
Columna II
3×a 2 ×b
Columna III
3×a×b 2
Columna IV
segundo 3
5 3 = 125 3×25×6 = 450 3×5×36 = 540 6 3 = 216 +50 +56 +21 126 175 506 561 175 6 1 6 Por lo tanto, el cubo de 56 es 175616
(iii) 72
columna yo
un 3
Columna II
3×a 2 ×b
Columna III
3×a×b 2
Columna IV
segundo 3
7 3 = 343 3×49×2 = 294 3×7×4 = 84 2 3 = 8 +30 +8 +0 8 373 302 84 373 2 4 8 Por lo tanto, el cubo de 72 es 373248
Pregunta 20. ¿Cuáles de los siguientes números no son cubos perfectos?
(i) 64
(ii) 216
(iii) 243
(iv) 1728
Solución:
(yo) 64
Encontrar los factores primos de 64
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2 3 × 2 3
= 4 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(ii) 216
Encontrar los factores primos de 216
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 2 3 × 3 3
= 6 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(iii) 243
Encontrar los factores primos de 243
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3 3 × 3 2
Por lo tanto, no es un cubo perfecto.
(iv) 1728
Encontrar los factores primos de 1728
1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 2 3 × 2 3 × 3 3
= 12 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
Pregunta 21. Para cada uno de los cubos no perfectos en Q. No 20 encuentre el número más pequeño por el cual debe ser
(a) Multiplicado para que el producto sea un cubo perfecto.
(b) Dividido para que el cociente sea un cubo perfecto.
Solución:
En la pregunta anterior el único cubo no perfecto era = 243
(a) Multiplicado para que el producto sea un cubo perfecto.
Encontrar los factores primos de 243
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 3 × 3 2
Por lo tanto, debemos multiplicarlo por 3 para que sea un cubo perfecto.
(b) Dividido para que el cociente sea un cubo perfecto.
Encontrar los factores primos de 243
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 3 × 3 2
Por lo tanto, tenemos que dividirlo por 9 para que sea un cubo perfecto.
Pregunta 22. Tomando tres valores diferentes de n se verifica la verdad de las siguientes afirmaciones:
(i) Si n es par, entonces n 3 también es par.
(ii) Si n es impar, entonces n 3 también es impar.
(ii) Si n deja resto 1 cuando se divide por 3, entonces n 3 también deja 1 como resto cuando se divide por 3.
(iv) Si un número natural n es de la forma 3p+2 entonces n 3 también es un número del el mismo tipo.
Solución:
(i) Si n es par, entonces n 3 también es par.
Considere tres números naturales pares 2, 4, 6
Por lo tanto, los cubos de 2, 4 y 6 son
2 3 = 8
4 3 = 64
6 3 = 216
Por lo tanto, podemos ver que todos los cubos son de naturaleza par.
Por lo tanto probado.
(ii) Si n es impar, entonces n 3 también es impar.
Considere tres números naturales impares 3, 5, 7
Por lo tanto, los cubos de 3, 5 y 7 son
3 3 = 27
5 3 = 125
7 3 = 343
Por lo tanto, podemos ver que todos los cubos son impares por naturaleza.
Por lo tanto probado.
(iii) Si n se divide por 3 deja resto de 1, entonces cuando n 3 se divide por 3 también deja 1 como resto.
Considere 4, 7 y 10 como tres números naturales de la forma (3n+1)
Por lo tanto, cubo de 4, 7, 10 son
4 3 = 64
7 3 = 343
10 3 = 1000
Obtenemos 1 como resto en cada caso si dividimos estos números por 3.
Por lo tanto probado.
(iv) Si un número natural n es de la forma 3p+2 entonces n 3 también es un número del mismo tipo.
Considere 5, 8 y 11 como tres números naturales de la forma (3p+2)
Por lo tanto, cubo de 5, 8 y 10 son
5 3 = 125
8 3 = 512
11 3 = 1331
Escribamos estos cubos en forma de (3p + 2)
125 = 3 × 41 + 2
512 = 3 × 170 + 2
1331 = 3 × 443 + 2
Por lo tanto probado.
Pregunta 23. Escribe verdadero (V) o falso (F) para las siguientes afirmaciones:
(i) 392 es un cubo perfecto.
(ii) 8640 no es un cubo perfecto.
(iii) Ningún cubo puede terminar con exactamente dos ceros.
(iv) No existe un cubo perfecto que termine en 4.
(v) Para un número entero a, un 3 siempre es mayor que un 2 .
(vi) Si ayb son enteros tales que a 2 >b 2 , entonces a 3 >b 3 .
(vii) Si a divide a b, entonces a 3 divide a b 3 .
(viii) Si un 2 termina en 9, entonces un 3 termina en 7.
(ix) Si un 2 termina en un número par de ceros, entonces un 3 termina en 25.
(x) Si un2 termina en un número par de ceros, luego un 3 termina en un número impar de ceros.
Solución:
(i) 392 es un cubo perfecto.
Encontrar los factores primos de 392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 = 2 3 × 7 2
Por lo tanto, la afirmación es Falsa.
(ii) 8640 no es un cubo perfecto.
Encontrar los factores primos de 8640 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2 3 × 2 3 × 3 3 × 5
Por lo tanto, la afirmación es verdadera
(iii) Ningún cubo puede terminar con exactamente dos ceros.
La declaración es verdadera.
Como un cubo perfecto siempre tiene ceros en múltiplos de 3.
(iv) No existe un cubo perfecto que termine en 4.
Se sabe que 64 es un cubo perfecto = 4 × 4 × 4 y termina en 4.
Por lo tanto, la afirmación es Falsa.
(v) Para un entero a, un 3 siempre es mayor que un 2 .
La declaración es falsa en el caso de números enteros negativos,
(-2) 2 = 4 y (-2) 3 = -8
(vi) Si ayb son enteros tales que a 2 >b 2 , entonces a 3 >b 3 .
La declaración es falsa.
Porque, en el caso de los enteros negativos,
(-5) 2 > (-4) 2 = 25 > 16
Pero, (-5) 3 > (-4) 3 = -125 > -64 no es cierto.
(vii) Si a divide a b, entonces a 3 divide a b 3 .
La declaración es verdadera.
Si a divide a b
b/a = k, entonces b=ak
b 3 /a 3 = (ak) 3 /a 3 = a 3 k 3 /a 3 = k 3 ,
Para cada valor de b y a es cierto.
(viii) Si un 2 termina en 9, entonces un 3 termina en 7.
La declaración es falsa.
Sea a = 7
7 2 = 49 y 7 3 = 343
(ix) Si un 2 termina en un número par de ceros, entonces un 3 termina en 25.
La declaración es falsa.
Ya que, cuando a = 20
un 2 = 20 2 = 400 y un 3 = 8000 (un 3 no termina en 25)
(x) Si un 2 termina en un número par de ceros, entonces un 3 termina en un número impar de ceros.
La declaración es falsa.
Ya que, cuando a = 100
a 2 = 100 2 = 10000 y a 3 = 100 3 = 1000000 (un 3 no termina con un número impar de ceros)
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por deepanshumehra1410 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA