Clase 8 RD Sharma Solutions – Capítulo 4 Cubos y raíces cúbicas – Ejercicio 4.3

Pregunta 1: Encuentra las raíces cúbicas de los siguientes números mediante restas sucesivas de números: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, …

(yo) 64

(ii) 512

(iii) 1728

Solución:

(yo) 64

Realizando restas sucesivas:

64 – 1 = 63

63 – 7 = 56

56 – 19 = 37

37 – 37 = 0

Dado que la resta se realiza 4 veces.

Por lo tanto, la raíz cúbica de 64 es 4.

(ii) 512

Realizando restas sucesivas:

512 – 1 = 511

511 – 7 = 504

504 – 19 = 485

485 – 37 = 448

448 – 61 = 387

387 – 91 = 296

296 – 127 = 169

169 – 169 = 0

Dado que la resta se realiza 8 veces.

Por lo tanto, la raíz cúbica de 512 es 8.

(iii) 1728

Realizando restas sucesivas:

1728 – 1 = 1727

1727 – 7 = 1720

1720 – 19 = 1701

1701 – 37 = 1664

1664 – 91 = 1512

1512 – 127 = 1385

1385 – 169 = 1216

1216 – 217 = 999

999 – 271 = 728

728 – 331 = 397

397 – 397 = 0

Dado que la resta se realiza 12 veces.

Por lo tanto, la raíz cúbica de 1728 es 12.

Pregunta 2: Usando el método de resta sucesiva, examine si los siguientes números son cubos perfectos:

(yo) 130

(ii) 345

(iii) 792

(iv) 1331

Solución:

(yo) 130

Realizando restas sucesivas:

130 – 1 = 129

129 – 7 = 122

122 – 19 = 103

103 – 37 = 66

66 – 61 = 5

Como el próximo número a restar es 91, que es mayor que 5

Por lo tanto, 130 no es un cubo perfecto.

(ii) 345

Realizando restas sucesivas:

345 – 1 = 344

344 – 7 = 337

337 – 19 = 318

318 – 37 = 281

281 – 61 = 220

220 – 91 = 129

129 – 127 = 2

Como el próximo número a restar es 169, que es mayor que 2

Por lo tanto, 345 no es un cubo perfecto.

(iii) 792

Realizando restas sucesivas:

792 – 1 = 791

791 – 7 = 784

784 – 19 = 765

765 – 37 = 728

728 – 61 = 667

667 – 91 = 576

576 – 127 = 449

449 – 169 = 280

280 – 217 = 63

Como el próximo número a restar es 271, que es mayor que 63

Por lo tanto, 792 no es un cubo perfecto.

(iv) 1331

Realizando restas sucesivas:

1331 – 1 = 1330

1330 – 7 = 1323

1323 – 19 = 1304

1304 – 37 = 1267

1267 – 61 = 1206

1206 – 91 = 1115

1115 – 127 = 988

988 – 169 = 819

819 – 217 = 602

602 – 271 = 331

331 – 331 = 0

Como la resta se realiza 11 veces, 

Por lo tanto, la raíz cúbica de 1331 es 11

Por lo tanto, 1331 es un cubo perfecto.

Pregunta 3: Encuentra el número más pequeño que se debe restar de los números de la pregunta 2 que no son cubos perfectos, para convertirlos en cubos perfectos. ¿Cuáles son las raíces cúbicas correspondientes?

Solución:

En la pregunta anterior hay tres números que no son cubos perfectos.

(yo) 130

Realizando restas sucesivas:

130 – 1 = 129

129 – 7 = 122

122 – 19 = 103

103 – 37 = 66

66 – 61 = 5

El siguiente número que se va a restar es 91, que es mayor que 5.

Ya que, 130 no es un cubo perfecto. 

Por tanto, para que sea un cubo perfecto tenemos que restar 5.

130 – 5 = 125 

125 es un cubo perfecto de 5.

(ii) 345

Realizando restas sucesivas:

345 – 1 = 344

344 – 7 = 337

337 – 19 = 318

318 – 37 = 281

281 – 61 = 220

220 – 91 = 129

129 – 127 = 2

El siguiente número que se va a restar es 169, que es mayor que 2

Ya que, 345 no es un cubo perfecto. 

Por tanto, para que sea un cubo perfecto tenemos que restar 2.

345 – 2 = 343 

343 es un cubo perfecto de 7.

(iii) 792

Realizando restas sucesivas:

792 – 1 = 791

791 – 7 = 784

784 – 19 = 765

765 – 37 = 728

728 – 61 = 667

667 – 91 = 576

576 – 127 = 449

449 – 169 = 280

280 – 217 = 63

El siguiente número que se va a restar es 271, que es mayor que 63.

Ya que 792 no es un cubo perfecto. 

Por tanto, para que sea un cubo perfecto tenemos que restar 63.

792 – 63 = 729 

729 es un cubo perfecto de 9.

Pregunta 4: Encuentra la raíz cúbica de cada uno de los siguientes números naturales:

(i) 343 (ii) 2744 (iii) 4913 (iv) 1728 (v) 35937 (vi) 17576 (vii) 134217728 (viii) 48228544 (ix) 74088000 (x) 157464 (xi) 1157625 (xii) 33698267

Solución:

(yo) 343

Factorizando en prima 343, obtenemos

∛343 = ∛ (7 × 7 × 7) = 7

Por lo tanto, la raíz cúbica de 343 es 7

(ii) 2744

Factorizando en prima 2744, obtenemos

∛2744 = ∛ (2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7) 

∛2744 = ∛ (23 × 73) = 2 × 7 = 14

Por lo tanto, la raíz cúbica de 2744 es 14

(iii) 4913

Factorizando en prima 4913, obtenemos

∛4913 = ∛ (17 × 17 × 17) = 17

Por lo tanto, la raíz cúbica de 4913 es 17

(iv) 1728

Al factorizar en primos 1728, obtenemos

∛1728 = ∛(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3) 

∛1728 = ∛ (2 3 × 2 3 × 3 3 ) = 2 × 2 × 3 = 12

Por lo tanto, la raíz cúbica de 1728 es 12

(v) 35937

Al factorizar en primos 35937, obtenemos

∛35937 = ∛ (3 × 3 × 3 × 11 × 11 × 11) 

∛35937 = ∛ (3 3 × 11 3 ) = 3 × 11 = 33

Por lo tanto, la raíz cúbica de 35937 es 33

(vi) 17576

Al factorizar en primos 17576, obtenemos

∛17576 = ∛ ​​(2 × 2 × 2 × 13 × 13 × 13) 

∛17576 = ∛ ​​(2 3 × 13 3 ) = 2 × 13 = 26

Por lo tanto, la raíz cúbica de 17576 es 26

(vii) 134217728

Al factorizar en prima 134217728, obtenemos

∛134217728 = ∛ (2 27 ) = 2 9 = 512

Por lo tanto, la raíz cúbica de 134217728 es 512

(viii) 48228544

Al factorizar en prima 48228544, obtenemos

∛48228544 = ∛ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 13 × 13 × 13) 

∛48228544 = ∛ (2 3 × 2 3 × 7 3 × 13 3 ) = 2 × 2 × 7 × 13 = 364

Por lo tanto, la raíz cúbica de 48228544 es 364

(ix) 74088000

Al factorizar en prima 74088000, obtenemos

74088000 = ∛ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7) 

∛74088000 = ∛ (2 3 × 2 3 × 3 3 × 5 3 × 7 3 ) = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

Por lo tanto, la raíz cúbica de 74088000 es 420

(x) 157464

Factorizando en prima 157464, obtenemos

∛157464 = ∛ (2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) 

∛157464 = ∛ (2 3 × 3 3 × 3 3 × 3 3 ) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

Por lo tanto, la raíz cúbica de 157464 es 54

(xi) 1157625

Al factorizar en prima 1157625, obtenemos

∛1157625 = ∛ (3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7) 

∛1157625 = ∛ (3 3 × 5 3 × 7 3 ) = 3 × 5 × 7 = 105

Por lo tanto, la raíz cúbica de 1157625 es 105

(xii) 33698267

Factorizando en prima 33698267, obtenemos

∛33698267 = ∛ (17 × 17 × 17 × 19 × 19 × 19) 

∛33698267 = ∛ (17 3 × 19 3 ) = 17 × 19 = 323

Por lo tanto, la raíz cúbica de 33698267 es 323 

Pregunta 5: Encuentra el número más pequeño que, cuando se multiplica por 3600, hará que el producto sea un cubo perfecto. Además, encuentre la raíz cúbica del producto.

Solución:

Factorizando en prima 3600, obtenemos

3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

Formando grupos en triplete de factores iguales obtenemos, 3600 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3) × (5 × 5) × 2

Ya que, 2, 3 y 5 no pueden formar un triplete de factores iguales.

Por lo tanto, 3600 debe multiplicarse por 60 (2 × 2 × 3 × 5) para obtener un cubo perfecto.

3600 × 60 = 216000

La raíz cúbica de 216000 es

∛216000 = ∛ (60 × 60 × 60) 

∛216000 = ∛ (60 3 ) = 60

Por tanto, el número más pequeño que multiplicado por 3600 hace un cubo perfecto es 60.

Pregunta 6: Multiplica 210125 por el número más pequeño para que el producto sea un cubo perfecto. Además, averigüe la raíz cúbica del producto.

Solución:

Al factorizar en prima 210125, obtenemos

210125 = 5 × 5 × 5 × 41 × 41

Formando grupos en triplete de factores iguales obtenemos, 210125 = (5 × 5 × 5) × (41 × 41)

Ya que, 41 no puede formar un triplete de factores iguales.

Por lo tanto, 210125 debe multiplicarse por 41 para obtener un cubo perfecto.

210125 × 41 = 8615125

Ahora, encontrando la raíz cúbica de 8615125

Usando el método de descomposición en factores primos, obtenemos

8615125 = 5 × 5 × 5 × 41 × 41 × 41

Por lo tanto, Raíz cúbica del producto = ∛8615125 = ∛ (5 × 41) = 205

Pregunta 7: ¿Cuál es el número más pequeño por el que se debe dividir 8192 para que el cociente sea un cubo perfecto? Además, encuentre la raíz cúbica del cociente así obtenido.

Solución:

Factorizando en prima 8192, obtenemos

8192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 23 × 23 × 23 × 2

Formando grupos en triplete de factores iguales obtenemos, 8192 = (2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)×2

Ya que, 2 no puede formar un triplete de factores iguales.

Por lo tanto, 8192 debe dividirse por 2 para obtener un cubo perfecto.

8192/2 = 4096

Ahora, encontrando la raíz cúbica de 4096

Usando el método de descomposición en factores primos, obtenemos

4096 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 2 3 ×2 3 ×2 3 ×2 3

Por lo tanto, Raíz cúbica de 4096 = ∛4096 = ∛ ​​(2 3 ×2 3 ×2 3 ×2 3 ) = 2×2×2×2 = 16

Pregunta 8: Tres números están en la razón 1:2:3. La suma de sus cubos es 98784. Encuentra los números.

Solución:

Dado, la proporción del número es 1: 2: 3 

Por lo tanto, sea el número x, 2x y 3x

De acuerdo con la pregunta, la suma de su cubo es 98784

x 3 + (2x) 3 + (3x) 3 = 98784

x3 + 8×3 + 27×3 = 98784

36×3 = 98784

x3 = 98784/36

x = 2744

x = ∛2744 = ∛ (2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7) 

x = 2 × 7 

x = 14

Entonces, los números respetados son,

x = 14

2x = 2 × 14 = 28

3x = 3 × 14 = 42

Pregunta 9: El volumen de un cubo es 9261000 m 3 . Encuentra el lado del cubo.

Solución:

Dado, el volumen del cubo = 9261000 m 3

Sea el lado del cubo ‘x’ metro

Por lo tanto, x 3 = 9261000

Tomando raíz cúbica en ambos lados,

x = ∛9261000 = ∛ (2×2×2×3×3×3×5×5×5×7×7×7) = ∛ (23×33×53×73) = 2×3×5×7 = 210

Por lo tanto, el lado del cubo mide 210 metros.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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