Capítulo 6 Expresiones e identidades algebraicas – Ejercicio 6.6 | Serie 1
Pregunta 11. Si x – y = 7 y xy = 9, encuentra el valor de x 2 +y 2
Solución:
Dado en la pregunta x – y = 7 y xy = 9
Al cuadrar por ambos lados
(x – y) 2 = 72
x2 + y2 – 2xy = 49
x 2 + y 2 – 2 (9) = 49 (ya que xy=9)
x2 + y2 – 18 = 49
x2 + y2 = 49 + 18
x 2 + y 2 = 67
Pregunta 12. Si 3x + 5y = 11 y xy = 2, encuentra el valor de 9x 2 + 25y 2
Solución:
Dado en la pregunta 3x + 5y = 11 y xy = 2
al cuadrar en ambos lados
(3x + 5y) 2 = 112
(3x) 2 + (5y) 2 + 2(3x)(5y) = 121
9x 2 + 25y 2 + 2 (15xy) = 121 (dado xy=2)
9x 2 + 25y 2 + 2(15(2)) = 121
9x 2 + 25y 2 + 60 = 121
9x 2 + 25y 2 = 121-60
9x 2 + 25y 2 = 61
Pregunta 13. Encuentra los valores de las siguientes expresiones:
(i) 16x 2 + 24x + 9 cuando x = 7/4
Usaremos la fórmula (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
=(4x) 2 + 2 (4x) (3) + 3 2
=(4x + 3) 2
Poniendo cuando x = 7/4
=[4 (7/4) + 3] 2
=(7 + 3) 2
=100
(ii) 64x 2 + 81y 2 + 144xy cuando x = 11 y y = 4/3
Usaremos la fórmula (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
=(8x) 2 + 2 (8x) (9y) + (9y) 2 (8x + 9y)
Poniendo cuando x = 11 y y = 4/3
=[8 (11) + 9 (4/3)] 2
=(88 + 12) 2
=(100) 2
=10000
(iii) 81x 2 + 16y 2 – 72xy cuando x = 2/3 y y = ¾
Usaremos la fórmula (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
=(9x) 2 + (4y) 2 – 2 (9x) (4y)
=(9x – 4y) 2
Poniendo x = 2/3 y y = 3/4
=[9 (2/3) – 4 (3/4)] 2
=(6 – 3) 2
=3 2
=9
Pregunta 14. Si x + 1/x = 9 encuentra el valor de x4 + 1/ x4.
Solución:
Dado en la pregunta x + 1/x = 9
cuadrar ambos lados
(x + 1/x) 2 = (9) 2
x 2 + 2 × x × 1/x + (1/x) 2 = 81
x2 + 2 + 1/ x2 = 81
x2 + 1/x2 = 81 – 2
x2 + 1/ x2 = 79
Ahora de nuevo cuando cuadramos en ambos lados
(x 2 + 1/x 2 ) 2 = (79) 2
x 4 + 2 × x 2 × 1/ x 2 + (1/x 2 ) 2 = 6241
x 4 + 2 + 1/x 4 = 6241
x 4 + 1/x 4 = 6241- 2
x 4 + 1/x 4 = 6239
Pregunta 15. Si x + 1/x = 12 encuentra el valor de x – 1/x.
Solución:
Dado en la pregunta x + 1/x = 12
Al cuadrar ambos lados
(x + 1/x) 2 = (12) 2
x 2 + 2 × x × 1/x + (1/x) 2 = 144
x 2 + 2 + 1/x 2 = 144
x2 + 1/x2 = 144 – 2
x2 + 1/ x2 = 142
Al restar 2 de ambos lados
x2 + 1/ x2 – 2 × x × 1/x = 142 – 2
(x – 1/x) 2 = 140
x – 1/x = √140
Pregunta 16. Si 2x + 3y = 14 y 2x – 3y = 2, encuentra el valor de xy. [Sugerencia: use (2x+3y) 2 – (2x-3y) 2 = 24xy]
Solución:
2x + 3y = 14 ecuación (1)
2x – 3y = 2 ecuación (2)
Ahora eleva al cuadrado ambas ecuaciones y resta la ecuación (2) de la ecuación (1)
(2x + 3y) 2 – (2x – 3y) 2 = (14) 2 – (2) 2
4×2 + 9y2 + 12xy – 4×2 – 9y2 + 12xy = 196 – 4
24 xy = 192
xy = 8
Pregunta 17. Si x 2 + y 2 = 29 y xy = 2, encuentra el valor de
(yo) x + y
(ii) x – y
(iii) x 4 + y 4
Solución:
(yo) x + y
x 2 + y 2 = 29 (dado en la pregunta)
x2 + y2 + 2xy – 2xy = 29
(x + y) 2 – 2 (2) = 29
(x + y) 2 = 29 + 4
x + y = ± √33
(ii) x – y
x2 + y2 = 29
x2 + y2 + 2xy – 2xy = 29
(x – y) 2 + 2 (2) = 29
(x – y) 2 + 4 = 29
(x – y) 2 = 25
(x – y) = ± 5
(iii) x 4 + y 4
x2 + y2 = 29
Cuadrando ambos lados
(x 2 + y 2 ) 2 = (29) 2
x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 = 841
x 4 + y 4 + 2 (2) 2 = 841
x 4 + y 4 = 841 – 8
= 833
Pregunta 18. ¿Qué se debe sumar a cada una de las siguientes expresiones para que sea un cuadrado entero?
(yo) 4x 2 – 12x + 7
(2x) 2 – 2 (2x) (3) + 32 – 32 + 7
(2x – 3) 2 – 9 + 7
(2x – 3) 2 – 2
(ii) 4x 2 – 20x + 20
(2x) 2 – 2 (2x) (5) + 52 – 52 + 20
(2x – 5) 2 – 25 + 20
(2x – 5) 2 – 5
Pregunta 19. Simplifica:
i) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2 ) (x 4 + y 4 )
(x 2 – y 2 ) (x 2 + y 2 ) (x 4 + y 4 )
[(x 2 ) 2 – (y 2 ) 2 ] (x 4 + y 4 )
(x 4 – y 4 ) (x 4 – y 4 )
[(x 4 ) 2 – (y 4 ) 2 ]
x 8 – y 8
(ii) (2x – 1) (2x + 1) (4x 2 + 1) (16x 4 + 1)
[(2x) 2 – (1) 2 ] (4x 2 + 1) (16x 4 + 1)
(4x 2 – 1) (4x 2 + 1) (16x 4 + 1) 1
[(4x 2 ) 2 – (1) 2 ] (16x 4 + 1) 1
(16x 4 – 1) (16x 4 + 1) 1
[(16x 4 ) 2 – (1) 2 ] 1
256x 8 – 1
(iii) (7m – 8n) 2 + (7m + 8n) 2
(7m) 2 + (8n) 2 – 2(7m)(8n) + (7m) 2 + (8n) 2 + 2(7m)(8n)
(7m) 2 + (8n) 2 – 112mn + (7m) 2 + (8n) 2 + 112mn
49m2 + 64n2 + 49m2 + 64n2 _
agrupando la expresión semejante
98m2 + 64n2 + 64n2 _
98m2 + 128n2 _
(iv) (2,5p – 1,5q) 2 – (1,5p – 2,5q) 2
en expansión
(2,5p) 2 + (1,5q) 2 – 2 (2,5p) (1,5q) – (1,5p) 2 – (2,5q) 2 + 2 (1,5p) (2,5q)
6.25p 2 + 2.25q 2 – 2.25p 2 – 6.25q 2
agrupando la expresión semejante
4p 2 – 6.25q 2 + 2.25q 2
4p 2 – 4q 2
4 (p 2 – q 2 )
(v) (m 2 – n 2 m) 2 + 2m3n 2
En la expansión usando (a + b) 2 fórmula
(m 2 ) 2 – 2 (m 2 ) (n 2 ) (m) + (n 2 m) 2 + 2m 3 n 2
m 4 – 2m 3 norte 2 + (n 2 m) 2 + 2m 3 norte 2
metro 4 + norte 4 metro 2 – 2m 3 norte 2 + 2m 3 norte 2
m 4 + m 2 norte 4
Pregunta 20. Demuestre que:
(i) (3x + 7) 2 – 84x = (3x – 7) 2
IZQ => (3x + 7) 2 – 84x
Usaremos la fórmula (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
(3x) 2 + (7) 2 + 2 (3x) (7) – 84x
(3x) 2 + (7) 2 + 42x – 84x
(3x) 2 + (7) 2 – 42x
(3x) 2 + (7) 2 – 2 (3x) (7)
(3x – 7) 2 = lado derecho
(ii) (9a – 5b) 2 + 180ab = (9a + 5b) 2
IZQ => (9a – 5b) 2 + 180ab
Usaremos la fórmula (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
(9a) 2 + (5b) 2 – 2 (9a) (5b) + 180ab
(9a) 2 + (5b) 2 – 90ab + 180ab
(9a) 2 + (5b) 2 + 9ab
(9a) 2 + (5b) 2 + 2 (9a) (5b)
(9a + 5b) 2 = lado derecho
(iii) (4m/3 – 3n/4) 2 + 2mn = 16m 2 /9 + 9n 2 /16
IZQ => (4m/3 – 3n/4) 2 + 2mn
(4m/3) 2 + (3n/4) 2 – 2mn + 2mn
(4m/3) 2 + (3n/4) 2
16/9m 2 + 9/16n 2 = lado derecho
(iv) (4pq + 3q) 2 – (4pq – 3q) 2 = 48pq 2
IZQ => (4pq + 3q) 2 – (4pq – 3q) 2
(4pq) 2 + (3q) 2 + 2 (4pq) (3q) – (4pq) 2 – (3q) 2 + 2(4pq)(3q)
24pq 2 + 24pq 2
48pq 2 = lado derecho
(v) (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a) = 0
LHS =>(a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a)
Usando la identidad (a – b) (a + b) = a 2 – b 2
(a 2 – b 2 ) + (b 2 – c 2 ) + (c 2 – a 2 )
a 2 – b 2 + b 2 – c 2 + c 2 – un 2
0 = lado derecho
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por vaibhavkumar303 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA