Factorice cada uno de los siguientes polinomios cuadráticos usando el método de completar el cuadrado
Pregunta 1. p 2 + 6p + 8
Solución:
pag 2 + 6 pag + 8
= p 2 + 2 xpx 3 + 3 2 – 3 2 + 8 (completando el cuadrado)
= (p 2 + 6p + 3 2 ) – 1
= (p + 3) 2 – 1
= (pag + 3) 2 – (1) 2 { ∵ un 2 + segundo 2 = (un + segundo) (un – segundo)}
= (pag + 3 + 1) (pag + 3 – 1)
= (pag + 4) (pag + 2)
Pregunta 2. q 2 – 10q + 21
Solución:
q 2 – 10 q + 21
= (q) 2 – 2 xqx 5 + (5) 2 – (5) 2 + 21 (completando el cuadrado)
= (q) 2 – 2 xqx 5 + (5) 2 – 25+ 21
= (q) 2 – 2 xqx 5 + (5) 2 – 25 +21
= (q) 2 – 2 xqx 5 + (5) 2 – 4
= (q – 5) 2 – (2) {∵ un 2 – segundo 2 = (un + segundo) (un – segundo)}
= (q – 5 + 2) (q – 5 – 2)
=(q – 3) (q – 7)
Pregunta 3. 4y 2 + 12y + 5
Solución:
4 años 2 + 12 años + 5
= (2y) 2 + 2 x 2y x 3 + (3) 2 – (3) 2 + 5 (completando el cuadrado)
= (2y + 3) 2 – 9 + 5
= (2y + 3) 2 – 4
= (2y + 3) 2 – (2) 2 {∵ un 2 – segundo 2 = (un + segundo) (un – segundo)}
= (2y + 3 + 2) (2y + 3 – 2)
= (2y + 5) (2y + 1)
Pregunta 4. p 2 + 6p – 16
Solución:
p 2 + 6p – 16
= (p) 2 + 2 x px 3 + (3) 2 – (3) 2 – 16 (completando el cuadrado)
= (p) 2 + 2 xpx 3 + (3) 2 – 9 – 16
= (p + 3) 2 – 25
= (p + 3) 2 – (5) 2 {∵ un 2 – segundo 2 = {un + segundo) (un – segundo)}
= (pag + 3 + 5) (pag + 3 – 5)
= (p + 8) (p – 2)
Pregunta 5. x 2 + 12x + 20
Solución:
x2 + 12x + 20
= (x) 2 + 2 x x x 6 + (6) 2 – (6) 2 + 20 (completar el cuadrado)
= (x) 2 + 2 x x x 6 + (6) 2 -36 + 20
= (x + 6) 2 -16
= (x + 6) 2 – (4) 2 {∵ un 2 – segundo 2 = (un + segundo) (un – segundo)}
= (x + 6 + 4) (x + 6 – 4)
= (x + 10) (x + 2)
Pregunta 6. a 2 – 14a – 51
Solución:
2-14a – 51
= (a) 2 – 2 xax 7 + (7) 2 – (7) 2 – 51 (completando el cuadrado)
= (a) 2 – 2 xax 7 + (7) 2 – 49 – 51
= (a – 7) 2 – 100
= (a – 7) 2 – (10) 2 {∵ a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)}
= (a – 7 + 10) (a – 7 – 10)
= (a + 3) (a – 17)
Pregunta 7. a 2 + 2a – 3
Solución:
un 2 + 2a – 3
= (a) 2 + 2 xax 1 + (1) 2 – (1) 2 – 3 (completando el cuadrado)
= (a) 2 + 2 xax 1 + (1) 2 – 1 – 3
= (a + 1) 2 – 4
= (a + 1) 2 – (2) 2 {∵ a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)}
= (un + 1 + 2) (un + 1 – 2)
= (a + 3) (a – 1)
Pregunta 8. 4x 2 – 12x + 5
Solución:
4x 2 – 12x + 5
= (2x) 2 – 2 x 2x x 3 + (3) 2 – (3) 2 + 5 (completando el cuadrado)
= (2x) 2 – 2x2xx3 + (3) 2 – 9 + 5
= (2x – 3) 2 – 4
= (2x – 3) 2 – (2) 2 {∵ un 2 – segundo 2 = (un + segundo) (un – segundo)}
= (2x – 3 + 2) (2x – 3 – 2)
= (2x – 1) (2x – 5)
Pregunta 9. y 2 – 7y + 12
Solución:
año 2 – 7 años + 12
= (y) 2 – 2 × y × 7/2 + (7/2) 2 – (7/2) 2 + 12 (completando el cuadrado)
= (y) 2 – 2 × y × 7/2 + 49/4 – 49/4 + 12
= (y – 7/2) 2 – (49 – 48)/4
= (y – 7/2) 2 – 1/4
= (y – 7/2) 2 – (1/2) 2 {∵ a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)}
= (y – 7/2 + 1/2) (y – 7/2 – 1/2)
= (y – 6/2) (y – 8/2)
= (y – 3) (y – 4)
Pregunta 10. z 2 – 4z -12
Solución:
z 2 – 4z – 12
= (z) 2 – 2 xzx 2 + (2) 2 – (2) 2 – 12 (completando el cuadrado)
= (z) 2 – 2 xzx 2 + (2) 2 – 4 – 12
= (z-2 ) 2-16
= (z – 2) 2 – (4) 2 {∵ un 2 – segundo 2 = (un + segundo) (un – segundo)}
= (z – 2 + 4) (z – 2 – 4)
= (z + 2)(z – 6)