Pregunta 1: Defina un número irracional.
Solución:
Un número real que no se puede expresar en forma de fracciones, es decir, p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Es un decimal no terminador o no periódico. es decir, por ejemplo:
1.1000120010211…..
Pregunta 2: Explique, ¿en qué se diferencian los números irracionales de los números racionales?
Solución:
Un número irracional es un número real que no puede expresarse en forma de fracciones, es decir, p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0, es decir, no puede expresarse como una relación de números enteros. Es un decimal no terminador o no periódico.
Por ejemplo, √2 es un número irracional
Un número racional es un número real que se puede expresar como una fracción y como un decimal, es decir, se puede expresar como una proporción de números enteros. Es un decimal terminador o periódico.
Por ejemplo: 0.101 y 5/4 son números racionales
Pregunta 3: Examina si los siguientes números son racionales o irracionales:
(yo) √7
(ii) √4
(iii) 2 + √3
(iv) √3 + √2
(v) √3 + √5
(vi) (√2 – 2) 2
(vii) (2 – √2)(2 + √2)
(viii) (√3 + √2) 2
(ix) √5 – 2
(x) √23
(xi) √225
(xii) 0,3796
(xiii) 7.478478……
(xiv) 1.101001000100001……
Solución:
(yo) √7
Dado: √7
Como no es una raíz cuadrada perfecta,
Por lo tanto, es un número irracional.
(ii) √4
Dado: √4
Ya que es una raíz cuadrada perfecta de 2.
Por lo tanto, 2 se puede expresar en forma de 2/1, por lo que es un número racional.
(iii) 2 + √3
Dado: 2 + √3
Aquí, 2 es un número racional y √3 i no es un cuadrado perfecto, por lo que es un número irracional.
Ya que, la suma de un número racional e irracional siempre es un número irracional.
Por lo tanto, 2 + √3 es un número irracional.
(iv) √3 + √2
Dado: √3 + √2
Aquí, √3 no es un cuadrado perfecto, por lo que es un número irracional.
De manera similar, √2 no es un cuadrado perfecto, por lo que es un número irracional.
Ya que, la suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
Por tanto, √3 + √2 es un número irracional.
(v) √3 + √5
Dado: √3 + √5
Aquí, √3 no es un cuadrado perfecto por lo que es un número irracional
Del mismo modo, √5 no es un cuadrado perfecto, por lo que es un número irracional.
Ya que, la suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
Por lo tanto, √3 + √5 es un número irracional.
(vi) (√2 – 2) 2
Dado: (√2 – 2) 2
(√2 – 2) 2 = 2 + 4 – 4 √2
= 6 – 4 √2
Aquí, 6 es un número racional pero 4√2 es un número irracional.
Ya que, la suma de un número racional e irracional siempre es un número irracional.
Por lo tanto, (√2 – 2) 2 es un número irracional.
(vii) (2 – √2)(2 + √2)
Dado: (2 – √2)(2 + √2)
(2 – √2)(2 + √2) = ((2) 2 − (√2) 2 ) [Como, (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 ]
= 4 – 2
= 2 o 2/1
Como 2 es un número racional,
Por lo tanto, (2 – √2)(2 + √2) es un número racional.
(viii) (√3 + √2) 2
Dado: (√3 + √2) 2
(√3 + √2) 2 = (√3) 2 + (√2) 2 + 2√3 x √2 [ Como, (a + b) 2 = a 2 – 2ab + b2 ]
= 3 + 2 + 2√6
= 5 + 2√6
Ya que, la suma de un número racional e irracional siempre es un número irracional.
Por lo tanto, (√3 + √2) 2 es un número irracional.
(ix) √5 – 2
Dado: √5 – 2
Aquí, √5 es un número irracional pero 2 es un número racional.
Ya que, la diferencia entre un número irracional y un número racional es un número irracional.
Por lo tanto, √5 – 2 es un número irracional.
(x) √23
Dado: √23
√23 = 4,795831352331…
Dado que, la expansión decimal de √23 no termina ni se repite
Por lo tanto, √23 es un número irracional.
(xi) √225
Dado: √225
√225 = 15 o 15/1
Ya que, √225 se puede representar en forma de p/q y q ≠ 0.
Por lo tanto, √225 es un número racional
(xii) 0,3796
Dado: 0.3796
Ya que, la expansión decimal está terminando.
Por lo tanto, 0,3796 es un número racional.
(xiii) 7.478478……
Dado: 7.478478……
Dado que, la expansión decimal es un decimal periódico no terminado.
Por lo tanto, 7.478478…… es un número racional.
(xiv) 1.101001000100001……
Dado: 1.101001000100001……
Dado que, la expansión decimal no termina y no se repite.
Por lo tanto, 1.101001000100001…… es un número irracional
Pregunta 4: Identifique los siguientes números como racionales o irracionales. Dar la representación decimal de los números racionales:
(yo) √4
(ii) 3√18
(iii) √1.44
(iv) √9/27
(v) – √64
(vi) √100
Solución:
(yo) √4
Dado: √4
Como √4 = 2 = 2/1, se puede escribir en forma de a/b.
Por lo tanto, √4 es un número racional.
La representación decimal de √4 es 2.0
(ii) 3√18
Dado: 3√18
3√18 = 9√2
Ya que el producto de un número racional por un irracional siempre es un número irracional.
Por lo tanto, 3√18 es un número irracional.
(iii) √1.44
Dado: √1.44
Como √1,44 = 1,2, es un decimal finito.
Por lo tanto, √1.44 es un número racional.
La representación decimal de √1.44 es 1.2
(iv) √9/27
Dado: √9/27
Ya que, √9/27 = 1/√3, como el cociente de un número racional y un número irracional es un número irracional.
Por lo tanto, √9/27 es un número irracional.
(v) – √64
Dado: – √64
Ya que, – √64 = – 8 o – 8/1, como se puede escribir en forma de a/b.
Por lo tanto, – √64 es un número racional.
La representación decimal de – √64 es –8.0
(vi) √100
Dado: √100
Ya que, √100 = 10 = 10/1, como se puede escribir en forma de a/b.
Por lo tanto, √100 es un número racional.
La representación decimal de √100 es 10.0
Pregunta 5: En la siguiente ecuación, encuentre qué variables x, y, z, etc. representan números racionales o irracionales:
(yo) x 2 = 5
(ii) y2 = 9
(iii) z2 = 0,04
(iv) u 2 = 17/4
(v) v 2 = 3
(vi) w2 = 27
(vii) t2 = 0,4
Solución:
(yo) x 2 = 5
Dado: x 2 = 5
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
X = √5
Como √5 no es una raíz cuadrada perfecta,
Por lo tanto, x es un número irracional.
(ii) y 2 = 9
Dado: y 2 = 9
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
y = 3
Ya que, 3 = 3/1, como se puede expresar en forma de a/b
Por lo tanto, y es un número racional.
(iii) z2 = 0,04
Dado: z 2 = 0.04
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
z = 0,2
Ya que, 0.2 = 2/10, ya que se puede expresar en forma de a/b y es un decimal finito.
Por lo tanto, z es un número racional.
(iv) u 2 = 17/4
Dado: u 2 = 17/4
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
tu = √17/2
Como el cociente de un número irracional y uno racional es irracional,
Por lo tanto, u es un número irracional.
(v) v 2 = 3
Dado: v 2 = 3
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
v = √3
Como √3 no es una raíz cuadrada perfecta,
Por lo tanto, v es un número irracional.
(vi) w2 = 27
Dado: w 2 = 27
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
w = 3√3
Ya que, el producto de un racional por un irracional siempre es un número irracional.
Por lo tanto, w es un número irracional.
(vii) t2 = 0,4
Dado: t 2 = 0.4
Cuando sacamos raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos,
t = √(4/10)
t = 2/√10
Ya que, el cociente de un número racional y un número irracional es siempre un número irracional.
Por lo tanto, t es un número irracional.
Pregunta 6: Da un ejemplo de cada uno, de dos números irracionales cuyos:
(i) Diferencia en un número racional
(ii) Diferencia en un número irracional
(iii) Suma en un número racional
(iv) Sum es un número irracional
(v) Producto en un número racional
(vi) Producto en un número irracional
(vii) Cociente en un número racional
(viii) Cociente en un número irracional
Solución:
(i) Diferencia en un número racional
√5 es un número irracional
Ya que, √5 – √5 = 0
Aquí, 0 es un número racional.
(ii) Diferencia en un número irracional
Sean los dos números irracionales 5√3 y √3
Ya que, (5√3) – (√3) = 4√3
Aquí, 4√3 es un número irracional.
(iii) Suma en un número racional
Sean los dos números irracionales √5 y -√5
Ya que, (√5) + (-√5) = 0
Aquí, 0 es un número racional.
(iv) Sum es un número irracional
Sean los dos números irracionales 4√5 y √5
Ya que, 4√5 + √5 = 5√5
Aquí, 5√5 es un número irracional.
(v) Producto en un número racional
Sean los dos números irracionales 2√2 y √2
Ya que, 2√2 × √2 = 2 × 2 = 4
Aquí, 4 es un número racional.
(vi) Producto en un número irracional
Sean los dos números irracionales √2 y √3
Ya que, √2 × √3 = √6
Aquí, √6 es un número irracional.
(vii) Cociente en un número racional
Sean los dos números irracionales 2√2 y √2
Ya que, 2√2 / √2 = 2
Aquí, 2 es un número racional.
(viii) Cociente en un número irracional
Sean los dos números irracionales 2√3 y 2√2
Ya que, 2√3 / 2√2 = √3/√2
Aquí, √3/√2 es un número irracional.
Pregunta 7: Da dos números racionales que estén entre 0.232332333233332 y 0.212112111211112.
Solución:
Sea a = 0.212112111211112
Sea b = 0.232332333233332
Aquí a<b como en el segundo lugar decimal a tiene el dígito 1 y b tiene el dígito 3.
Si el segundo lugar decimal se considera 2, entonces se encuentra entre a y b .
Por lo tanto, Sea x = 0.22
y y = 0.22112211…
Así, a < x < y < b
Por lo tanto, x e y son los números racionales requeridos.
Pregunta 8: Da dos números racionales que estén entre 0.515115111511115 y 0.5353353335
Solución:
Sea a = 0.515115111511115
Sea b = 0.5353353335
Aquí a<b como en el segundo lugar decimal a tiene el dígito 1 y b tiene el dígito 3.
Si el segundo lugar decimal se considera 2, entonces se encuentra entre a y b .
Por lo tanto, Sea x = 0.52
y y = 0.520520…
Así, a < x < y < b
Por lo tanto, x e y son los números racionales requeridos.
Pregunta 9: Encuentra un número irracional entre 0.2101 y 0.2222…
Solución:
Sea a = 0.2101
y b = 0.2222…
Aquí a<b como en el segundo lugar decimal a tiene el dígito 1 y b tiene el dígito 2.
Si el tercer decimal se considera 1, entonces se encuentra entre a y b .
Por lo tanto, Sea x = 0.2110110011…
Así, a < x < b
Por lo tanto, x es el número irracional requerido.
Pregunta 10: Encuentra un número racional y también un número irracional entre los números 0.3030030003… y 0.3010010001…
Solución:
Sea a = 0.3010010001…
y b = 0.3030030003…
Aquí a<b como en el tercer lugar decimal a tiene el dígito 1 y b tiene el dígito 3.
Si el tercer decimal se considera 2, entonces se encuentra entre a y b .
Por lo tanto, Sea x = 0.302
y y = 0.302002000200002…
Así, a < x < y < b
Por lo tanto, x e y son los números racional e irracional requeridos respectivamente.
Pregunta 11: Encuentra dos números irracionales entre 0,5 y 0,55.
Solución:
Sea a = 0.5
y b = 0,55
Aquí a<b como en el segundo lugar decimal a tiene el dígito 0 y b tiene el dígito 5.
Si el segundo decimal se considera entre 1 y 4, entonces se encuentra entre a y b.
Por lo tanto, Sea x = 0.510510051000…
y y = 0.53053530…
Así, a < x < y < b
Por lo tanto, x e y son los números irracionales requeridos.
Pregunta 12: Encuentra dos números irracionales entre 0,1 y 0,12.
Solución:
Sea a = 0.1
y b = 0,12
Aquí a<b como en el segundo lugar decimal a tiene el dígito 0 y b tiene el dígito 2.
Si el segundo decimal se considera 1, entonces se encuentra entre a y b.
Por lo tanto, Sea x = 0.11011011000…
y y = 0.11100010100…
Así, a < x < y < b
Por lo tanto, x e y son los números irracionales requeridos.
Pregunta 13: Demuestra que √3 + √5 es un número irracional.
Solución:
Sea √3 + √5 un número racional igual a x.
Por lo tanto, x = √3 + √5
x2 = (√3 + √5) 2
x2 = (√3) 2 + (√5) 2 + 2 √3 √5
= 3 + 5 + 2√15
= 8 + 2√15
x2-8 = 2√15
(x 2 – 8)/2 = √15
Aquí, (x 2 – 8)/2 es un número racional pero √15 es un número irracional.
Por lo tanto, √3 + √5 es un número irracional.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA