Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Triángulos congruentes – Ejercicio 10.1

Pregunta 1. En la figura, los lados BA y CA se han producido de manera que: BA = AD y CA = AE. Demuestre que el segmento DE BC.

Solución:

Dado que:

BA = AD y CA = AE

Demuestre que DE BC

Entonces, aquí consideramos el triángulo BAC y DAE,

BA = AD -(dado)

CA= AE -(dado)

Y ∠BAC = ∠DAE -(ángulos verticalmente opuestos)

Por lo tanto, por el criterio de congruencia SAS, tenemos

ΔBAC ≃ ΔDAE

Entonces, podemos decir que:

∠DEA = ∠BCA, ∠EDA = ∠CBA -(Las partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Ahora, las rectas DE y BC son cortadas por una DB transversal tal que ∠DEA = ∠BCA.

Por lo tanto, demostró que DE BC.

Pregunta 2. En un Δ QPR, si PQ = QR y L, M y N son los puntos medios de los lados PQ, QR y RP respectivamente. Demuestre que LN = MN.

Solución:

Dado que,

En Δ QPR, PQ = QR 

Además, L, M, N son puntos medios de los lados PQ, QP y RP.

Y nos dan para probar que LN = MN.

En Δ QPR, PQ = QR, y L, M, N son puntos medios 

Por lo tanto, Δ QPR es un triángulo isósceles.

PQ = QR 

∠ QPR = ∠ QRP -(1)

Y además, L y M son puntos medios de PQ y QR.

Por lo tanto, podemos decir que:

PQ = QR

PL = LQ = QM = MR = PQ/2 = QR/2

Ahora, tenemos Δ LPN y Δ MRN,

LP = MR              

∠LPN = ∠MRN -(Desde arriba)

∠QPR y ∠LPN son iguales.

Y también ∠QRP y ∠MRN son lo mismo.

PN = NR -(N es el punto medio de PR)

Entonces, por el criterio de congruencia SAS, podemos decir que ΔLPN = ΔMRN

Por partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales podemos decir que LN = MN.

Pregunta 3. En la figura dada, PQRS es un cuadrado y SRT es un triángulo equilátero. Demuestre que (i) PT = QT (ii) ∠TQR = 15°

Solución:

Sabemos que PQRS es un cuadrado y SRT es un triángulo equilátero. 

Y tenemos que demostrar que

(i) PT = QT 

PQRS es un cuadrado y SRT es un triángulo equilátero.

Ahora vemos que PQRS es un cuadrado

PQ = QR = RS = SP -(1)

Y ∠SPQ = ∠PQR = ∠QRS = ∠RSP = 90° = ángulo recto

Y también, SRT es un triángulo equilátero.

SR = RT = TS -(2)

Y ∠TSR = ∠SRT = ∠RTS = 60°

De la ecuación (1) y (2) podemos decir que,

PQ = QR = SP = SR = RT = TS -(3)

Y también para los ángulos tenemos,

∠TSP = ∠TSR + ∠RSP = 60° + 90° + 150°

∠TRQ = ∠TRS + ∠SRQ = 60° + 90° + 150°

∠TSR = ∠TRQ = 150° -(4)

SP = RQ -(De la ecuación (3))

Por lo tanto, según el criterio de congruencia de SAS, podemos decir que ΔTSP = ΔTRQ, es decir, ambos triángulos son congruentes.

PT = QT (Las partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

(ii) ∠TQR = 15°

Veamos ΔTQR.

QR = TR     

Y también se da que ΔTQR es un triángulo isósceles.

∠QTR = ∠TQR -(Ángulos opuestos a lados iguales)

Como sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es igual a 180∘

∠QTR + ∠TQR + ∠TRQ = 180°

2∠TQR + 150° = 180°     

2∠TQR = 180° – 150°

2∠TQR = 30°                       

Por lo tanto, ∠TQR = 15°

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 4. Demuestra que las medianas de un triángulo equilátero son iguales.

Solución:

Demostrar que las medianas de un triángulo equilátero son iguales.

Entonces, sean D, E, F los puntos medios de BC, CA y AB. AD, BE y CF son medianas de ABC. 

Entonces, AD, BE y CF son medianas de ABC.

Ahora, podemos decir que 

D es el punto medio de BC 

Así que ahora podemos decir que,

BD = DC = BC/2

CE = EA = CA/2

AF = FB = AB/2

Como ya se sabe que ΔABC es un triángulo equilátero

Por lo tanto 

 AB = BC = CA  

Por lo tanto, podemos implicar que,

BD = DC = CE = EA = AF = FB = BC/2 = AC/2 = AB/2 

Además, podemos decir que ∠ABC = ∠BCA = ∠CAB = 60° -(Ángulos del triángulo equilátero)

Ahora, considere ΔABD y ΔBCE AB = BC  

Aquí encontramos que BD = CE  

Ahora, en ΔTSR y ΔTRQ

TS = TR    

∠ABD = ∠BCE       

Entonces, del criterio de congruencia SAS, podemos concluir que ΔABD = ΔBCE

Ahora, considere ΔBCE y ΔCAF, BC = CA   

∠BCE = ∠CAF (Desde arriba)

CE = FA          

Entonces, del criterio de congruencia SAS, tenemos, ΔBCE = ΔCAF

BE = CF [desde arriba]

DA = BE = FC.

Por lo tanto probado

Pregunta 5. En ΔABC, si ∠A = 120° y AB = AC. Encuentra ∠B y ∠C.

Solución:

En el triangulo ABC

Dado que ∠A = 120° y AB = AC 

Según la pregunta el triángulo es isósceles 

por lo tanto los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales

∠B = ∠C

También sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°                             

2∠B = 180° – 120°

∠B = ∠C = 30°

Pregunta 6. En ΔABC, si AB = AC y ∠B = 70°. Encuentra ∠A.

Solución:

En el triangulo ABC

Dado que ∠B = 70° y AB = AC

Según la pregunta el triángulo es isósceles 

por lo tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

∠B = ∠C

Por lo tanto, ∠C = 70°

También sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°                            

∠A = 40°

Por lo tanto, ∠A = 40° y ∠C = 70°

Pregunta 7. El ángulo vertical de un triángulo isósceles es 100°. Encuentra sus ángulos base.

Solución :

Considere un ΔABC isósceles tal que AB = AC

Dado ese ángulo vertical, ∠A = 100°

Para encontrar los ángulos de la base

Como ΔABC es un triángulo isósceles, entonces ∠B = ∠C

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

100° + ∠B +∠B = 180°

2∠B = 180° – 100°

∠B = 40°

∠B = ∠C = 40°

Por lo tanto, ∠B = 40° y ∠C = 40°

Pregunta 8. En ∆ABC AB = AC y ∠ACD = 105°. Encuentre ∠BAC.

Solución:

Dado: AB = AC y ∠ACD = 105°

Ya que, ∠BCD = 180° = Ángulo recto

∠BCA + ∠ACD = 180°

∠BCA + 105° = 180°

Por lo tanto, ∠BCA = 75°

Además, ΔABC es un triángulo isósceles      

AB = CA

∠ABC = ∠ACB = 75°.

Ahora la suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180°

∠ABC = ∠BCA + ∠CAB = 180°

75° + 75° + ∠CAB = 180°

∠BAC = 30°

Pregunta 9. Encuentra la medida de cada ángulo exterior de un triángulo equilátero.

Solución:

Sabemos que para un triángulo equilátero

∠ABC = ∠BCA = CAB =180°/3 = 60° 

Ahora,

Extienda el lado BC a D, CA a E y AB a F.

∠BCA + ∠ACD = 180° 

60° + ∠ACD = 180°

∠ACD = 120°

De manera similar, podemos decir que, ∠BAE = ∠FBC = 120°

Entonces, la medida de cada ángulo exterior de un triángulo equilátero = 120°.

Pregunta 10. Si la base de un triángulo isósceles se produce en ambos lados, demuestre que los ángulos exteriores así formados son iguales entre sí.

Solución:

ED es un segmento de línea recta y B y C son los puntos en él.

∠EBC = ∠BCD -(Ambos son iguales a 180°)

∠EBA + ∠ABC = ∠ACB + ∠ACD

Como ∠ABC = ∠ACB 

Por lo tanto, ∠EBA = ∠ACD

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 11. En la figura dada AB = AC y DB = DC, encuentre la razón ∠ABD:∠ACD. 

Solución:

Dado: AB = AC, DB = DC 

∠ABD = ∠ACD

Por lo tanto, ΔABC y ΔDBC son triángulos isósceles

∠ABC = ∠ACB y también ∠DBC = ∠DCB (Los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)

Ahora tenemos que encontrar la razón =∠ABD : ∠ACD

∠ABD = (∠ABC – ∠DBC)

∠ACD = (∠ACB – ∠DCB)

(∠ABC – ∠DBC):(∠ACB – ∠DCB)

(∠ABC – ∠DBC):(∠ABC – ∠DBC) 

1:1

Por lo tanto, ∠ ABD:∠ ACD = 1:1

Pregunta 12. Determina la medida de cada uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles rectángulo.

Solución:

ABC es un triangulo rectangulo

∠A = 90° y AB = CA

Ya que,

AB = CA 

∠C = ∠B  

Como sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo = 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

90° + ∠ B+ ∠ B = 180°

2∠B = 90°

∠B = 45°

∠B = 45°, ∠C = 45°

Entonces, la medida de cada uno de los ángulos iguales de un triángulo rectángulo isósceles = 45°

Pregunta 13. AB es un segmento de línea. P y Q son puntos en lados opuestos de AB tales que cada uno de ellos es equidistante de los puntos A y B. Demuestre que la línea PQ es la bisectriz perpendicular de AB.

Solución:

Dado:

AB es un segmento de línea y P, Q son puntos en lados opuestos de AB tales que

AP = PA   

AQ = BQ    

Demostrar que PQ es la mediatriz de AB.

Sean ΔPAQ y ΔPBQ,

AP = PA                   

AQ = BQ                 

PQ-PQ           

Δ PAQ ≃ Δ PBQ son congruentes por la condición de congruencia SAS.

Ahora, podemos observar que APB y ABQ son triángulos isósceles. 

∠ PAB = ∠ ABQ 

Y también ∠ QAB = ∠ QBA

Ahora considere Δ PAC y Δ PBC

C es el punto de intersección de AB y PQ

PA = PB                      

∠APC = ∠BPC           

PC = PC                    

Entonces, por congruencia SAS del triángulo ΔPAC ≅ ΔPBC.

CA = CB y ∠PCA = ∠PBC                           

Y además, ACB es el segmento de línea

∠ACP + ∠BCP = 180°

∠ACP = ∠PCB

∠ACP = ∠PCB = 90°

Tenemos AC = CB

C es el punto medio de AB

Entonces, podemos concluir que PC es la mediatriz de AB y C es un punto en la línea PQ.

Por lo tanto, PQ es la mediatriz de AB.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por its_just_me y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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