Pregunta 1. En la figura, los lados BA y CA se han producido de manera que: BA = AD y CA = AE. Demuestre que el segmento DE BC.
Solución:
Dado que:
BA = AD y CA = AE
Demuestre que DE BC
Entonces, aquí consideramos el triángulo BAC y DAE,
BA = AD -(dado)
CA= AE -(dado)
Y ∠BAC = ∠DAE -(ángulos verticalmente opuestos)
Por lo tanto, por el criterio de congruencia SAS, tenemos
ΔBAC ≃ ΔDAE
Entonces, podemos decir que:
∠DEA = ∠BCA, ∠EDA = ∠CBA -(Las partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales)
Ahora, las rectas DE y BC son cortadas por una DB transversal tal que ∠DEA = ∠BCA.
Por lo tanto, demostró que DE BC.
Pregunta 2. En un Δ QPR, si PQ = QR y L, M y N son los puntos medios de los lados PQ, QR y RP respectivamente. Demuestre que LN = MN.
Solución:
Dado que,
En Δ QPR, PQ = QR
Además, L, M, N son puntos medios de los lados PQ, QP y RP.
Y nos dan para probar que LN = MN.
En Δ QPR, PQ = QR, y L, M, N son puntos medios
Por lo tanto, Δ QPR es un triángulo isósceles.
PQ = QR
∠ QPR = ∠ QRP -(1)
Y además, L y M son puntos medios de PQ y QR.
Por lo tanto, podemos decir que:
PQ = QR
PL = LQ = QM = MR = PQ/2 = QR/2
Ahora, tenemos Δ LPN y Δ MRN,
LP = MR
∠LPN = ∠MRN -(Desde arriba)
∠QPR y ∠LPN son iguales.
Y también ∠QRP y ∠MRN son lo mismo.
PN = NR -(N es el punto medio de PR)
Entonces, por el criterio de congruencia SAS, podemos decir que ΔLPN = ΔMRN
Por partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales podemos decir que LN = MN.
Pregunta 3. En la figura dada, PQRS es un cuadrado y SRT es un triángulo equilátero. Demuestre que (i) PT = QT (ii) ∠TQR = 15°
Solución:
Sabemos que PQRS es un cuadrado y SRT es un triángulo equilátero.
Y tenemos que demostrar que
(i) PT = QT
PQRS es un cuadrado y SRT es un triángulo equilátero.
Ahora vemos que PQRS es un cuadrado
PQ = QR = RS = SP -(1)
Y ∠SPQ = ∠PQR = ∠QRS = ∠RSP = 90° = ángulo recto
Y también, SRT es un triángulo equilátero.
SR = RT = TS -(2)
Y ∠TSR = ∠SRT = ∠RTS = 60°
De la ecuación (1) y (2) podemos decir que,
PQ = QR = SP = SR = RT = TS -(3)
Y también para los ángulos tenemos,
∠TSP = ∠TSR + ∠RSP = 60° + 90° + 150°
∠TRQ = ∠TRS + ∠SRQ = 60° + 90° + 150°
∠TSR = ∠TRQ = 150° -(4)
SP = RQ -(De la ecuación (3))
Por lo tanto, según el criterio de congruencia de SAS, podemos decir que ΔTSP = ΔTRQ, es decir, ambos triángulos son congruentes.
PT = QT (Las partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales)
(ii) ∠TQR = 15°
Veamos ΔTQR.
QR = TR
Y también se da que ΔTQR es un triángulo isósceles.
∠QTR = ∠TQR -(Ángulos opuestos a lados iguales)
Como sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es igual a 180∘
∠QTR + ∠TQR + ∠TRQ = 180°
2∠TQR + 150° = 180°
2∠TQR = 180° – 150°
2∠TQR = 30°
Por lo tanto, ∠TQR = 15°
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 4. Demuestra que las medianas de un triángulo equilátero son iguales.
Solución:
Demostrar que las medianas de un triángulo equilátero son iguales.
Entonces, sean D, E, F los puntos medios de BC, CA y AB. AD, BE y CF son medianas de ABC.
Entonces, AD, BE y CF son medianas de ABC.
Ahora, podemos decir que
D es el punto medio de BC
Así que ahora podemos decir que,
BD = DC = BC/2
CE = EA = CA/2
AF = FB = AB/2
Como ya se sabe que ΔABC es un triángulo equilátero
Por lo tanto
AB = BC = CA
Por lo tanto, podemos implicar que,
BD = DC = CE = EA = AF = FB = BC/2 = AC/2 = AB/2
Además, podemos decir que ∠ABC = ∠BCA = ∠CAB = 60° -(Ángulos del triángulo equilátero)
Ahora, considere ΔABD y ΔBCE AB = BC
Aquí encontramos que BD = CE
Ahora, en ΔTSR y ΔTRQ
TS = TR
∠ABD = ∠BCE
Entonces, del criterio de congruencia SAS, podemos concluir que ΔABD = ΔBCE
Ahora, considere ΔBCE y ΔCAF, BC = CA
∠BCE = ∠CAF (Desde arriba)
CE = FA
Entonces, del criterio de congruencia SAS, tenemos, ΔBCE = ΔCAF
BE = CF [desde arriba]
DA = BE = FC.
Por lo tanto probado
Pregunta 5. En ΔABC, si ∠A = 120° y AB = AC. Encuentra ∠B y ∠C.
Solución:
En el triangulo ABC
Dado que ∠A = 120° y AB = AC
Según la pregunta el triángulo es isósceles
por lo tanto los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales
∠B = ∠C
También sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
2∠B = 180° – 120°
∠B = ∠C = 30°
Pregunta 6. En ΔABC, si AB = AC y ∠B = 70°. Encuentra ∠A.
Solución:
En el triangulo ABC
Dado que ∠B = 70° y AB = AC
Según la pregunta el triángulo es isósceles
por lo tanto, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
∠B = ∠C
Por lo tanto, ∠C = 70°
También sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 40°
Por lo tanto, ∠A = 40° y ∠C = 70°
Pregunta 7. El ángulo vertical de un triángulo isósceles es 100°. Encuentra sus ángulos base.
Solución :
Considere un ΔABC isósceles tal que AB = AC
Dado ese ángulo vertical, ∠A = 100°
Para encontrar los ángulos de la base
Como ΔABC es un triángulo isósceles, entonces ∠B = ∠C
Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
100° + ∠B +∠B = 180°
2∠B = 180° – 100°
∠B = 40°
∠B = ∠C = 40°
Por lo tanto, ∠B = 40° y ∠C = 40°
Pregunta 8. En ∆ABC AB = AC y ∠ACD = 105°. Encuentre ∠BAC.
Solución:
Dado: AB = AC y ∠ACD = 105°
Ya que, ∠BCD = 180° = Ángulo recto
∠BCA + ∠ACD = 180°
∠BCA + 105° = 180°
Por lo tanto, ∠BCA = 75°
Además, ΔABC es un triángulo isósceles
AB = CA
∠ABC = ∠ACB = 75°.
Ahora la suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180°
∠ABC = ∠BCA + ∠CAB = 180°
75° + 75° + ∠CAB = 180°
∠BAC = 30°
Pregunta 9. Encuentra la medida de cada ángulo exterior de un triángulo equilátero.
Solución:
Sabemos que para un triángulo equilátero
∠ABC = ∠BCA = CAB =180°/3 = 60°
Ahora,
Extienda el lado BC a D, CA a E y AB a F.
∠BCA + ∠ACD = 180°
60° + ∠ACD = 180°
∠ACD = 120°
De manera similar, podemos decir que, ∠BAE = ∠FBC = 120°
Entonces, la medida de cada ángulo exterior de un triángulo equilátero = 120°.
Pregunta 10. Si la base de un triángulo isósceles se produce en ambos lados, demuestre que los ángulos exteriores así formados son iguales entre sí.
Solución:
ED es un segmento de línea recta y B y C son los puntos en él.
∠EBC = ∠BCD -(Ambos son iguales a 180°)
∠EBA + ∠ABC = ∠ACB + ∠ACD
Como ∠ABC = ∠ACB
Por lo tanto, ∠EBA = ∠ACD
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 11. En la figura dada AB = AC y DB = DC, encuentre la razón ∠ABD:∠ACD.
Solución:
Dado: AB = AC, DB = DC
∠ABD = ∠ACD
Por lo tanto, ΔABC y ΔDBC son triángulos isósceles
∠ABC = ∠ACB y también ∠DBC = ∠DCB (Los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Ahora tenemos que encontrar la razón =∠ABD : ∠ACD
∠ABD = (∠ABC – ∠DBC)
∠ACD = (∠ACB – ∠DCB)
(∠ABC – ∠DBC):(∠ACB – ∠DCB)
(∠ABC – ∠DBC):(∠ABC – ∠DBC)
1:1
Por lo tanto, ∠ ABD:∠ ACD = 1:1
Pregunta 12. Determina la medida de cada uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles rectángulo.
Solución:
ABC es un triangulo rectangulo
∠A = 90° y AB = CA
Ya que,
AB = CA
∠C = ∠B
Como sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
90° + ∠ B+ ∠ B = 180°
2∠B = 90°
∠B = 45°
∠B = 45°, ∠C = 45°
Entonces, la medida de cada uno de los ángulos iguales de un triángulo rectángulo isósceles = 45°
Pregunta 13. AB es un segmento de línea. P y Q son puntos en lados opuestos de AB tales que cada uno de ellos es equidistante de los puntos A y B. Demuestre que la línea PQ es la bisectriz perpendicular de AB.
Solución:
Dado:
AB es un segmento de línea y P, Q son puntos en lados opuestos de AB tales que
AP = PA
AQ = BQ
Demostrar que PQ es la mediatriz de AB.
Sean ΔPAQ y ΔPBQ,
AP = PA
AQ = BQ
PQ-PQ
Δ PAQ ≃ Δ PBQ son congruentes por la condición de congruencia SAS.
Ahora, podemos observar que APB y ABQ son triángulos isósceles.
∠ PAB = ∠ ABQ
Y también ∠ QAB = ∠ QBA
Ahora considere Δ PAC y Δ PBC
C es el punto de intersección de AB y PQ
PA = PB
∠APC = ∠BPC
PC = PC
Entonces, por congruencia SAS del triángulo ΔPAC ≅ ΔPBC.
CA = CB y ∠PCA = ∠PBC
Y además, ACB es el segmento de línea
∠ACP + ∠BCP = 180°
∠ACP = ∠PCB
∠ACP = ∠PCB = 90°
Tenemos AC = CB
C es el punto medio de AB
Entonces, podemos concluir que PC es la mediatriz de AB y C es un punto en la línea PQ.
Por lo tanto, PQ es la mediatriz de AB.
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Artículo escrito por its_just_me y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA