Pregunta 1. En dos triángulos rectángulos, un lado y un ángulo agudo de uno son iguales al lado y ángulo correspondientes del otro. Demuestra que los triángulos son congruentes.
Solución:
Tenemos dos triángulos rectángulos ABC y DEF en los que un lado y un ángulo agudo de uno son iguales al lado y ángulos correspondientes del otro, es decir,
∠A = ∠D
BC = FE
Demostrar: Δ ABC ≅ Δ DEF
Prueba:
De Δ ABC y Δ DEF
∠ B = ∠ E = 90° …….(i)[Triángulo rectángulo]
BC = EF …….(ii)[Dado]
∠A = ∠D ……(iii)[Dado]
Por criterio de congruencia AAS,
Δ ABC ≅ Δ DEF
Por lo tanto, probado.
Pregunta 2. Si la bisectriz del ángulo vertical exterior de un triángulo es paralela a la base. Demuestra que el triángulo es isósceles.
Solución:
En ABC ser un triangulo
Dado que AD es la bisectriz de∠EAC y AD || ANTES DE CRISTO.
De la figura anterior,
∠1 = ∠2 [AD es una bisectriz de ∠ EAC]
∠1 = ∠3 [Ángulos correspondientes]
y
∠2 = ∠4 [ángulo alternativo]
Además, tenemos ∠3 = ∠4
AB = CA
Entonces los lados AB y AC son iguales entonces
Δ ABC es un triángulo isósceles.
Pregunta 3. En un triángulo isósceles, si el ángulo del vértice es el doble de la suma de los ángulos de la base, calcula los ángulos del triángulo.
Solución:
Consideremos que Δ ABC es un triángulo isósceles
Donde AB = AC y ∠B = ∠C
Dado: ∠A = 2(∠B + ∠C)
Encuentra: El valor de ∠A, ∠B y ∠C
Entonces tenemos
∠A = 2(∠B + ∠C)
∠A = 2(∠B + ∠B) [∠B = ∠C porque Δ ABC es un triángulo isósceles]
∠A = 2(2 ∠B)
∠A = 4(∠B)
Como sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo isósceles = 180°
Entonces, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Ahora pon el valor de ∠A y ∠C, obtenemos
4 ∠B + ∠B + ∠B = 180°
6 ∠B =180°
∠B = 30°
Aquí, ∠B = ∠C
∠B = ∠C = 30°
Y ∠A = 4 ∠B
∠A = 4 x 30° = 120°
Por lo tanto, el valor de ∠A = 120°, ∠B = 30° y ∠C = 30°.
Pregunta 4. PQR es un triángulo en el que PQ = PR y es cualquier punto del lado PQ. A través de S, se dibuja una línea paralela a QR y que corta a PR en T. Demuestre que PS = PT.
Solución:
En ΔPQR es un triángulo
Dado que PQ = PR, y S, se traza una recta paralela a QR y que corta a PR en T
Entonces, ST || QR.
Demostrar: PS = PT
Como sabemos que PQ = PR, el △PQR dado es un triángulo isósceles.
Por lo tanto, ∠ PQR = ∠ PRQ
∠ PST = ∠ PQR y ∠ PTS = ∠ PRQ [Ángulos correspondientes como ST paralelos a QR]
∠ PQR = ∠ PRQ
∠ PST = ∠ PTS
Entonces, en Δ PST,
∠ PST = ∠ PTS
Por lo tanto, Δ PST es un triángulo isósceles.
Entonces, PD = PT.
Por lo tanto, probado.
Pregunta 5. En un △ABC, se da que AB = AC y las bisectrices de B y C se intersecan en O. Si M es un punto producido en BO, prueba que ∠MOC = ∠ABC.
Solución:
En △ABC,
Se da que AB = AC y la bisectriz de ∠B y ∠C se cortan en O.
Demostrar: ∠MOC = ∠ABC
Se da que AB = AC
Entonces el △ABC es un triángulo isósceles
Por eso
∠B = ∠C
∠ABC = ∠ACB
De la figura BO y CO son bisectrices de ∠ABC y ∠ACB
Asi que,
∠ABO = ∠OBC = ∠ACO = ∠OCB = 1/2 ∠ABC = 1/2 ∠ACB ………..(i)
En △OBC
∠BOC+ ∠MOC = 180° ………(ii) [Línea recta]
∠OBC+ ∠OCB + ∠BOC = 180°[Suma de los ángulos en un triángulo isósceles = 180°]
De la ecuación (ii)
∠OBC+ ∠OCB + ∠BOC = ∠BOC+ ∠MOC
∠OBC+ ∠OCB = ∠MOC
2∠OBC = ∠MOC
De la Ecuación (i)
2(1/2 ∠ABC) = ∠MOC
∠ABC = ∠MOC
Por lo tanto probado
Pregunta 6. P es un punto en la bisectriz de un ángulo ABC. Si la línea que pasa por P paralela a AB se encuentra con BC en Q, demuestre que el triángulo BPQ es isósceles.
Solución:
Dado que P es un punto en la bisectriz de ∠ABC, y PQ || AB.
Demostrar: △BPQ es un triángulo isósceles
Se da que BP es bisectriz de ∠ABC
Entonces, ∠ABP = ∠PBC ……….(i)
También dado que PQ || AB
Entonces, ∠BPQ = ∠ABP ……….(ii) [ángulos alternativos]
De la ecuación (i) y (ii), tenemos
∠BPQ = ∠PBC
o ∠BPQ = ∠PBQ
En △BPQ
∠BPQ = ∠PBQ
Por lo tanto, se demostró que △BPQ es un triángulo isósceles.
Pregunta 7. Demuestra que cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°.
Solución:
Demostrar: cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°.
Consideremos que tenemos un triángulo equilátero △ABC
Entonces, AB = BC = CA
Tome AB = BC
Entonces, ∠A = ∠C …….(i) [Porque los ángulos opuestos a lados iguales son iguales]
Toma BC = AC
∠B = ∠A ………(ii) [Porque los ángulos opuestos a lados iguales son iguales]
De (i) y (ii), obtenemos
∠A = ∠B = ∠C ………….(iii)
Como ya sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo = 180°
Entonces, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
De la ecuación (iii), obtenemos
∠A + ∠A + ∠A = 180°
3∠A = 180°
∠A = 60°
Entonces, ∠A = ∠B = ∠C = 60°
Por lo tanto probado
Pregunta 8. Los ángulos ∠A, ∠B, ∠C de un triángulo ABC son iguales entre sí. Demostrar que ABC es equilátero.
Solución:
Dado que en △ABC
∠A =∠B = ∠C
Demuestra: △ABC es equilátero
En △ABC
Como ya sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo = 180°
Entonces, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Dado que ∠A =∠B = ∠C
Asi que,
∠A + ∠A + ∠A = 180°
3∠A = 180°
∠A = 60°
Entonces, ∠A =∠B = ∠C = 60°
Como sabemos que los ángulos de los triángulos equiláteros son de 60°
Por lo tanto, demostró que △ABC es equilátero.
Pregunta 9. ABC es un triángulo en el que ∠B = 2 ∠C. D es un punto en BC tal que AD biseca a ∠BAC y AB = CD. Demuestra que ∠BAC = 72°.
Solución:
Dado que en △ABC,
∠B = 2 ∠C, AD bisectrices de ∠BAC y AB = CD.
Demostrar:∠BAC = 72°
Ahora, dibuja una línea BP que sea bisectriz de ∠ABC y únete a PD.
Consideremos∠C = ∠ACB = y
∠B = ∠ABC = 2y
Consideremos ∠BAD = ∠DAC = x
∠BAC = 2x [AD es la bisectriz de ∠BAC]
En △BPC,
∠CBP = ∠PCB = y [BP es la bisectriz de ∠ABC]
CP = PA
En △ABP y △DCP,
∠ABP = ∠DCP = y
AB = DC [Dado]
Y PC = PA
Entonces, por el criterio de congruencia SAS,
△ABP ≅ △DCP
∠BAP = ∠CDP y AP = DP [CPCT]
∠ CDP = 2x
∠ADP = ∠DAP = x
En △ABD
∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°
∠BAD + ∠CAD = 180°
Asi que,
∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = ∠ADB + ∠ADC
2y + x = ∠ADP + ∠PDC
2y + x = x + 2x
2y = 2x
y = x
En △ABC,
Como ya sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
2x + 2y + y = 180° [∠A = 2x, ∠B = 2y, ∠C = y]
2(y) + 3y = 180° [x = y]
5y = 180°
y = 36°
∠A = ∠BAC = 2 × 36 = 72°
∠A = 72°
Por lo tanto probado
Pregunta 10. ABC es un triángulo rectángulo en el que ∠A = 90° y AB = AC. Encuentra ∠B y ∠C.
Solución:
Dado que en ABC es un triángulo rectángulo
∠A = 90° y AB = CA
Encuentra: ∠B y ∠C
En △ABC
AB = AC [Dado]
∠B = ∠C
Como ya sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo = 180°
Entonces, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
90° + ∠B + ∠B = 180°
2 ∠B = 180° – 90°
∠B = 45°
Por lo tanto, el valor de ∠B = ∠C = 45°.
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Artículo escrito por sudhasinghsudha90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA